新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類(lèi)第2講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(2022-2023年高考真題)(原卷版+解析)

第2講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一．選擇題1．（2023?甲卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．2．（2023?乙卷）已知是偶函數(shù)，則A． B． C．1 D．23．（2023?上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是A．， B．， C．， D．，4．（2023?天津）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為A． B． C． D．5．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，6．（2023?天津）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為直線，一個(gè)周期為4，則的解析式可能為A． B． C． D．7．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為A． B． C． D．8．（2023?新高考Ⅱ）若為偶函數(shù)，則A． B．0 C． D．19．（2022?乙卷）已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，（2），則A． B． C． D．10．（2022?乙卷）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間，的大致圖像，則該函數(shù)是A． B． C． D．11．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?），則A． B． C．0 D．1二．多選題12．（2023?新高考Ⅰ）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，，，則A． B． C． D．13．（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．14．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線15．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若，均為偶函數(shù)，則A． B． C．（4） D．（2）三．填空題16．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則．17．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則．18．（2023?上海）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?9．（2023?天津）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．20．（2023?乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．21．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是．22．（2022?新高考Ⅱ）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為．23．（2022?乙卷）已知和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則的取值范圍是．24．（2022?天津）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記，．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．25．（2022?浙江）已知函數(shù)則．26．（2022?乙卷）若是奇函數(shù)，則．27．（2022?北京）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的一個(gè)取值為0．四．解答題28．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍．29．（2023?乙卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求，的值，若不存在，說(shuō)明理由；（3）若在存在極值，求的取值范圍．30．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．31．（2022?天津）已知，，函數(shù)，．（1）求函數(shù)在，處的切線方程；（2）若和有公共點(diǎn)．（?。┊?dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ⅱ）求證：．32．（2022?上海）．（1）若將函數(shù)圖像向下移后，圖像經(jīng)過(guò)，，求實(shí)數(shù)，的值．（2）若且，求解不等式．33．（2022?浙江）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點(diǎn)，，，，，處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：（ⅰ）若，則（a）；（ⅱ）若，，則．（注是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）34．（2022?甲卷）已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)，處的切線也是曲線的切線．（1）若，求；（2）求的取值范圍．35．（2022?北京）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；（Ⅲ）證明：對(duì)任意的，，有．36．（2022?甲卷）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．37．（2022?乙卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．38．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)和有相同的最小值．（1）求；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．39．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．40．（2022?乙卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若在區(qū)間，各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．第2講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一．選擇題1．（2023?甲卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．【答案】【解析】因?yàn)椋?，故函?shù)在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為，即．故選：．2．（2023?乙卷）已知是偶函數(shù)，則A． B． C．1 D．2【答案】【解析】的定義域?yàn)?，又為偶函?shù)，，，，，．故選：．3．（2023?上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】由給定區(qū)間可知，．區(qū)間，與區(qū)間，相鄰，且區(qū)間長(zhǎng)度相同．取，則，，區(qū)間，，可知，，故可能；取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能；取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能．結(jié)合選項(xiàng)可得，不可能的是，．故選：．4．（2023?天津）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為A． B． C． D．【答案】【解析】由圖象可知，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，恒大于0，與圖象符合，故錯(cuò)誤．故選：．5．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】設(shè)，對(duì)稱軸為，拋物線開(kāi)口向上，是的增函數(shù)，要使在區(qū)間單調(diào)遞減，則在區(qū)間單調(diào)遞減，即，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．6．（2023?天津）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為直線，一個(gè)周期為4，則的解析式可能為A． B． C． D．【答案】【解析】：若，則，令，，則，，顯然不是對(duì)稱軸，不符合題意；：若，則，令，，則，，故是一條對(duì)稱軸，符合題意；，則，不符合題意；，則，不符合題意．故選：．7．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為A． B． C． D．【答案】【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，依題意，在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．故選：．8．（2023?新高考Ⅱ）若為偶函數(shù)，則A． B．0 C． D．1【答案】【解析】由，得或，由是偶函數(shù)，，得，即，，得，得．故選：．9．（2022?乙卷）已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，（2），則A． B． C． D．【答案】【解析】的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，，，，故為偶函數(shù)，（2），（2），得．由，得，代入，得，故關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，（1），由，，得，，故，周期為4，由（2），得（2），又（3）（1），所以（1）（2）（3）（4），故選：．10．（2022?乙卷）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間，的大致圖像，則該函數(shù)是A． B． C． D．【答案】【解析】首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù)，其次觀察函數(shù)在存在零點(diǎn)，而對(duì)于選項(xiàng)：令，即，解得，或或，故排除選項(xiàng)；選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，，故，且?dāng)時(shí)，，故，而觀察圖像可知當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．選項(xiàng)，中，當(dāng)時(shí)，，故排除選項(xiàng)．故選：．11．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?），則A． B． C．0 D．1【答案】【解析】令，則，即，，，，則，的周期為6，令，得（1）（1）（1），解得，又，（2）（1），（3）（2）（1），（4）（3）（2），（5）（4）（3），（6）（5）（4），，（1）（2）（3）（4）．故選：．二．多選題12．（2023?新高考Ⅰ）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，，，則A． B． C． D．【答案】【解析】由題意得，，，，，，，可得，正確；，錯(cuò)誤；，正確；，，正確．故選：．13．（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．【答案】【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋?，由題意，方程即有兩個(gè)正根，設(shè)為，，則有，，△，，，，即．故選：．14．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】【解析】，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得或，顯然和均不在曲線上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．15．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若，均為偶函數(shù)，則A． B． C．（4） D．（2）【答案】【解析】為偶函數(shù)，可得，關(guān)于對(duì)稱，令，可得，即（4），故正確；為偶函數(shù)，，關(guān)于對(duì)稱，故不正確；關(guān)于對(duì)稱，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)在，處的導(dǎo)數(shù)為0，即，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，函數(shù)在，的導(dǎo)數(shù)為0，是函數(shù)的極值點(diǎn)，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，由是函數(shù)的極值點(diǎn)可得是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，，進(jìn)而可得，故是函數(shù)的極值點(diǎn)，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，，故正確；圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，即每一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不是確定值，故錯(cuò)誤．解法二：構(gòu)造函數(shù)法，令，則，則，，滿足題設(shè)條件，可得只有選項(xiàng)正確，故選：．三．填空題16．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則．【答案】2．【解析】根據(jù)題意，設(shè)，若為偶函數(shù)，則，變形可得在上恒成立，必有．故答案為：2．17．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則．【答案】2．【解析】根據(jù)題意，設(shè)，其定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，則，變形可得，必有．故答案為：2．18．（2023?上海）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮?，．【解析】?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，．故答案為：，?9．（2023?天津）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】，，，．【解析】①當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；②當(dāng)方程滿足且△時(shí)，有即，，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不滿足，當(dāng)時(shí)，△，滿足；③△時(shí)，，，，記的兩根為，，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，且，，，但此時(shí)，舍去，，，且，但此時(shí)，舍去，故僅有1與兩個(gè)解，于是，，，，．故答案為：，，，．20．（2023?乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．【答案】的取值范圍是，．【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即，化簡(jiǎn)可得在上恒成立，而在上，故有，由，化簡(jiǎn)可得，即，，解答，故的取值范圍是，．故答案為：，．21．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是．【答案】，，．【解析】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線的斜率，切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，，整理得：，切線存在兩條，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，△，解得或，即的取值范圍是，，，故答案為：，，．22．（2022?新高考Ⅱ）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為．【答案】，．【解析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，切線的斜率，切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，，，切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，，與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程也關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程為，綜上所述，曲線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為，，故答案為：，．23．（2022?乙卷）已知和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則的取值范圍是．【答案】．【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，分析可知：在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)其再求導(dǎo)可得：，當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿足，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，且，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，故僅需滿足，即：，解得：，又因?yàn)椋示C上所述：的取值范圍是．24．（2022?天津）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記，．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】，．【解析】設(shè)，，由可得．要使得函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則△，解得或．①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，滿足題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則，可得，解得，此時(shí)．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．25．（2022?浙江）已知函數(shù)則．【答案】；．【解析】函數(shù)，，；作出函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，若當(dāng)，時(shí)，，則的最大值是．故答案為：；．26．（2022?乙卷）若是奇函數(shù)，則．【答案】；．【解析】，若，則函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不具有奇偶性，，由函數(shù)解析式有意義可得，且，且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，解得，，定義域?yàn)榍?，由得，，，故答案為：；?7．（2022?北京）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的一個(gè)取值為0．【答案】0，1．【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，滿足題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿足，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需，無(wú)解，故不滿足題意；綜上所述：的取值范圍是，，故答案為：0，1．四．解答題28．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍．【分析】（1）分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可證明；（2）分類(lèi)討論二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而可得一階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得極值點(diǎn)，即可得解．【詳解】（1）證明：設(shè)，，則，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，即，，，，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，，，即，，，，綜合可得：當(dāng)時(shí)，；（2），，且，，①若，即時(shí)，易知存在，使得時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，這顯然與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去；②若，即或時(shí)，存在，使得，時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，滿足為的極大值點(diǎn)，符合題意；③若，即時(shí)，為偶函數(shù)，只考慮的情況，此時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，與顯然與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去．綜合可得：的取值范圍為，，．29．（2023?乙卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求，的值，若不存在，說(shuō)明理由；（3）若在存在極值，求的取值范圍．【解析】（1）時(shí)，（1），，（1），曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（2），定義域?yàn)椋?，，要使函?shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，則由，且，可知，即的圖像關(guān)于對(duì)稱，則（1），，得，解得．綜上，，；（3），要使在存在極值點(diǎn)，則方程有正根，記，，，①當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，，不符合題意；易知時(shí)，，故只需，記，，，故在上單調(diào)遞增，（2），故取，，有，即，符合題意；綜上所述，時(shí)，在存在極值點(diǎn)．30．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)分和兩種情況討論，判斷的符號(hào)，進(jìn)而得到的單調(diào)性；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，要證，只需證，只需證，設(shè)（a），，求導(dǎo)可得，從而證得．【詳解】（1），則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．證明：（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，要證，只需證，只需證，設(shè)（a），，則（a），令（a）得，，當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞增，所以，即，所以得證，即得證．31．（2022?天津）已知，，函數(shù)，．（1）求函數(shù)在，處的切線方程；（2）若和有公共點(diǎn)．（?。┊?dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ⅱ）求證：．【解析】（1），，，，函數(shù)在處的切線方程為；（2）（?。?，又和有公共點(diǎn)，方程有解，即有解，顯然，在上有解，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，的范圍為，；（ⅱ）證明：令交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，由柯西不等式可得，又易證時(shí)，，，，，故．32．（2022?上海）．（1）若將函數(shù)圖像向下移后，圖像經(jīng)過(guò)，，求實(shí)數(shù)，的值．（2）若且，求解不等式．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，將函數(shù)圖像向下移后，得的圖像，由函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，所以，解得，．（2）且時(shí)，不等式可化為，等價(jià)于，解得，當(dāng)時(shí)，，，解不等式得，當(dāng)時(shí)，，，解不等式得；綜上知，時(shí)，不等式的解集是，，時(shí)，不等式的解集是，．33．（2022?浙江）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點(diǎn)，，，，，處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：（ⅰ）若，則（a）；（ⅱ）若，，則．（注是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】（Ⅰ）函數(shù)，，，由，得，在，上單調(diào)遞增；由，得，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：過(guò)有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，，，，，，，2，，方程有3個(gè)不同的根，該方程整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，有3個(gè)不同的零點(diǎn)，（e）且（a），，且，整理得到且，此時(shí)，，且，此時(shí)，，整理得，且，此時(shí)，（a），設(shè)（a）為上的減函數(shù)，（a），．當(dāng)時(shí)，同討論，得：在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，有3個(gè)不同的零點(diǎn)，（a），且（e），，且，整理得，，，，設(shè)，則方程即為：，即為，記，則，，為有三個(gè)不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，而，且，，，即證，即證，即證，記，則，在為增函數(shù)，，，設(shè)，，則，在上是增函數(shù)，（1），，即，若，，則．34．（2022?甲卷）已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)，處的切線也是曲線的切線．（1）若，求；（2）求的取值范圍．【解析】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，，則，解得，則（1），解得；（2），則在點(diǎn)，處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，，的變化情況如下表：01000單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增則的值域?yàn)?，，故的取值范圍為，?5．（2022?北京）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；（Ⅲ）證明：對(duì)任意的，，有．【解析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：，將代入原函數(shù)可得，將代入導(dǎo)函數(shù)可得：，故在處切線斜率為1，故，化簡(jiǎn)得：；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，，令，令，設(shè)，恒成立，故在，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故在，恒成立，故，故在，單調(diào)遞增；解法二：由（Ⅰ）有：，，設(shè)，，則，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得上上是增函數(shù)，且，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增．（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又，故在，恒成立，故在，單調(diào)遞增，設(shè)，，由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，故單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故，即：，又因?yàn)楹瘮?shù)，故，得證．36．（2022?甲卷）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，令，解得，故函?shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故（1），要使得恒成立，僅需，故，故的取值范圍是，；（2）證明：由已知有函數(shù)要有兩個(gè)零點(diǎn)，故（1），即，不妨設(shè)，要證明，即證明，，，即證明：，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，即證明：，構(gòu)造函數(shù)，，，構(gòu)造函數(shù)，，因?yàn)?，所以，故在恒成立，故在單調(diào)遞增，故（1）又因?yàn)?，故在恒成立，故在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?），故（1），故，即．得證．37．（2022?乙卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，同時(shí)也是最大值，函數(shù)的最大值為（1）；（2），①當(dāng)時(shí)，由（1）可知，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又（1），故此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且（1），，又由（1）可得，，即，則，，則，當(dāng)時(shí)，，故存在，使得，此時(shí)在上存在唯一零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又（1），故此時(shí)函數(shù)有唯一零點(diǎn)；⑤當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且（1），又由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，則，則，此時(shí)，故存在，使得，故函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．38．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)和有相同的最小值．（1）求；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【解析】（1）定義域?yàn)椋?，，若，則，無(wú)最小值，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，的定義域?yàn)?，，，令，解得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故，函數(shù)和有相同的最小值，，化為，令，，則，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又（1），（a）（1），僅有此一解，．（2）證明：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?），所以當(dāng)時(shí)，（1）恒成立，即在時(shí)恒成立，所以時(shí)，，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在上存在唯一交點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為，，