人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三專題13.3角平分線的判定與性質(zhì)【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題13.3角平分線的判定與性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由角平分線的性質(zhì)求線段長度】 1【題型2由角平分線的性質(zhì)求面積】 2【題型3由角平分線的性質(zhì)比較大小】 3【題型4由角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明】 4【題型5證明是角平分線】 6【題型6由角平分線的判定求角的度數(shù)】 7【題型7尺規(guī)作角平分線】 8【題型8角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】 9【題型9與角平分線的性質(zhì)與判定相關(guān)的多結(jié)論問題】 10【題型10角平分線的實(shí)際應(yīng)用】 12知識點(diǎn)1：角平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.【題型1由角平分線的性質(zhì)求線段長度】【例1】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD為∠BAC的平分線，△ABC的面積是28cm，AB=20cm，AC=8cm，DF=cm【變式1-1】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，AD是△ABC的角平分線，AC=4,BD=3,DC=2，則AB=．【變式1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在△ABD中，BC平分∠ABD，DE為高，∠ACB=135°，△ABD的面積為6，AE=4，則BD的長為【變式1-3】（23-24八年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交BC于F，AC=8，BC=12，則BF的長為．【題型2由角平分線的性質(zhì)求面積】【例2】（23-24八年級·全國·單元測試）如圖，已知△ABC的周長是20，點(diǎn)O為∠ABC與∠ACB的平分線的交點(diǎn)，且OD⊥BC于點(diǎn)D，若OD=1，則△ABC的面積是（）A．8 B．10 C．12 D．20【變式2-1】（23-24八年級·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC中，E為AC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，BA:CA=3:4，AD與BE相交于點(diǎn)O，若△OAE的面積比△BOD的面積大1，則△ADC的面積是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式2-2】（23-24八年級·重慶南岸·期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為48和26，則△EDF的面積為（

）A．11 B．22 C．26 D．37【變式2-3】（23-24八年級·重慶·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，S△ABC=24，BD：CD=2：1，AC=BD，∠ACB的角平分線CE交AB于E，則

A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6【題型3由角平分線的性質(zhì)比較大小】【例3】（23-24八年級·遼寧本溪·期末）如圖，點(diǎn)O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，△ABO的面積記為S1,△ACO的面積記為S2,△BCO的面積記為S3A．S1+S2=S3 B．【變式3-1】（23-24八年級·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，BO、AO分別是△ABC中∠ABC、∠BAC的平分線，OH⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為H、E、F，則OH、OE、OF長度的大小關(guān)系是（）A．OH=OF≠OE B．OH=OE=OFC．OH≠OF=OE D．OH≠OE≠OF【變式3-2】（23-24八年級·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC=3，則PD的大小關(guān)系是（）A．PD≥3 B．PD=3 C．PD≤3 D．不能確定【變式3-3】（23-24八年級·廣東惠州·開學(xué)考試）如圖，在∠AOB中，OC平分∠AOB，OA>OB，∠OAC+∠OBC=180°，則AC與BC之間的大小關(guān)系是（）

A．AC=BC B．AC>BC C．AC<BC D．無法確定【題型4由角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明】【例4】（23-24八年級·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分【變式4-1】（23-24八年級·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．求證：∠B=∠C．【變式4-2】（23-24八年級·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥CD，交AB于點(diǎn)G，連接(1)求證：∠A+∠AEG=90°；(2)求證：EC=EG；【變式4-3】（23-24八年級·貴州安順·期中）在人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材P53的數(shù)學(xué)活動中有這樣一段描述：在四邊形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖（1）．

(1)知識應(yīng)用：小風(fēng)想要做一個如圖（2）所示的風(fēng)箏，他想先固定中間的“十字架”，再確定四周，從數(shù)學(xué)的角度看，小風(fēng)確定“十字架”時應(yīng)滿足什么要求？并證明你的結(jié)論．(2)知識拓展：如圖（3）所示，如果D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD平分∠ABC，且AD=CD，試證明：AB=CB．知識點(diǎn)2：角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【題型5證明是角平分線】【例5】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE=CF，求證：

【變式5-1】（23-24八年級·河南安陽·階段練習(xí)）如圖，已知F、G是OA上兩點(diǎn)，M、N是OB上兩點(diǎn)，且FG=MN，S△PFG=S△PMN，求證：點(diǎn)

【變式5-2】（23-24八年級·山東德州·階段練習(xí)）已知：如圖，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE和CD交于點(diǎn)F，BF=CF，BD=CE．求證：點(diǎn)F在∠A的平分線上．【變式5-3】（23-24八年級·廣東湛江·期中）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，連接AE，CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)N．

(1)求證：AE=CD；(2)求證：AE⊥CD；(3)求證：MB平分∠AMD．【題型6由角平分線的判定求角的度數(shù)】【例6】（23-24八年級·甘肅定西·期中）如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于點(diǎn)M，連接OP．若∠BOP=26°，則∠AMP的大小為（

）A．48° B．52° C．56° D．64°【變式6-1】（23-24八年級·全國·單元測試）已知點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等，若∠POB=45°，則∠AOB等于（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【變式6-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)I到Rt△ABC三邊的距離相等，則∠AIB的度數(shù)為【變式6-3】（23-24八年級·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，已知點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF，S△DCE=S△DBF，且∠BAD=42°，則【題型7尺規(guī)作角平分線】【例7】（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測）在如圖四個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是（

）A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【變式7-1】（23-24八年級·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在直角△ABC中，∠C=90°，

(1)請用尺規(guī)作圖法在AC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到邊AB，BC的距離相等，（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若CP=1，AB=3，求△ABP的面積．【變式7-2】（23-24八年級·陜西西安·階段練習(xí)）尺規(guī)作圖（保留做圖痕跡）如下圖，在∠ABC內(nèi)求做一點(diǎn)P，使P到∠ABC兩邊的距離相等，且PG=PH．【變式7-3】（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．請用尺規(guī)作圖法，在邊BC上求作一點(diǎn)M，使得S△ABM【題型8角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】【例8】（23-24八年級·河北邢臺·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF=50°，連接DE．(1)求證：DE平分∠ADC；(2)若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求【變式8-1】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）已知：如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，(1)求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上；(2)若∠A=50°，求∠BFC的大?。咀兪?-2】（23-24八年級·河南許昌·期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長線上，∠ACB=106°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度數(shù)；(2)求證：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，則【變式8-3】（23-24八年級·河南周口·階段練習(xí)）如圖①，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)DBD>AD，求證：BC?AC=BD?AD【嘗試探究】在圖①中，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，連接OC．因?yàn)椤螧AC的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，所以O(shè)D=______=______．所以CO是∠ACB的平分線……請同學(xué)們補(bǔ)充后面的解答過程．【類比延伸】如圖②，在四邊形ABCD中，各角的平分線交于點(diǎn)O，試判斷AB、BC、CD、AD間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【題型9與角平分線的性質(zhì)與判定相關(guān)的多結(jié)論問題】【例9】（23-24八年級·湖南婁底·期中）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【變式9-1】（23-24八年級·全國·單元測試）如圖所示，在△ABC中，內(nèi)角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，BE=BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP，下列結(jié)論：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC:S△PAB=PC:PB；③BP其中一定正確的有（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③【變式9-2】（23-24八年級·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH＝PD；④連接CP，CPA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【變式9-3】（23-24八年級·河南漯河·階段練習(xí)）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=80°，連接BD，CE相交于點(diǎn)F，連接AF．下列結(jié)論：①BD=CE；②∠DFE=80°；③△ABF≌△FCA；④∠AFB=50°．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【題型10角平分線的實(shí)際應(yīng)用】【例10】（23-24八年級·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，道路AO和BO的交叉區(qū)域（∠AOB的內(nèi)部）為一個公園．C，D分別是兩處游樂場地，若設(shè)置一個游樂場售票點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩條道路的距離相等，且到兩游樂場的距離也相等，這個售票點(diǎn)的位置應(yīng)建在何處？請作出這個點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式10-1】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)準(zhǔn)備在其中建一小亭供人們小憩，使小亭中心到三條馬路的距離相等，試確定小亭中心的位置．【變式10-2】（23-24八年級·遼寧丹東·期末）校園的一角如圖所示，其中線段AB，BC，CD表示圍墻，圍墻內(nèi)是學(xué)生的一個活動區(qū)域，小明想在圖中的活動區(qū)域中找到一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到三面圍墻的距離都相等．請在圖中找出點(diǎn)P．（用尺規(guī)作圖，不用寫作法，保留作圖痕跡）【變式10-3】（23-24八年級·貴州黔東南·階段練習(xí)）直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)在擬建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，請畫出符合要求的地址（保持作圖痕跡，不要求寫作法）專題13.3角平分線的判定與性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由角平分線的性質(zhì)求線段長度】 1【題型2由角平分線的性質(zhì)求面積】 5【題型3由角平分線的性質(zhì)比較大小】 9【題型4由角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明】 13【題型5證明是角平分線】 17【題型6由角平分線的判定求角的度數(shù)】 21【題型7尺規(guī)作角平分線】 24【題型8角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】 27【題型9與角平分線的性質(zhì)與判定相關(guān)的多結(jié)論問題】 33【題型10角平分線的實(shí)際應(yīng)用】 40知識點(diǎn)1：角平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.【題型1由角平分線的性質(zhì)求線段長度】【例1】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD為∠BAC的平分線，△ABC的面積是28cm，AB=20cm，AC=8cm，DF=【答案】2【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)△ABC的面積是28cm，列式得1【詳解】解：在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD為∠BAC的平分線，∴DE=DF，∵△ABC的面積是28cm∴12AB?ED+∴1∴FD=2cm，故答案為：2．【變式1-1】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，AD是△ABC的角平分線，AC=4,BD=3,DC=2，則AB=．【答案】6【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積，掌握“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”是解題的關(guān)鍵．作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，利用三角形的面積公式可得ABAC【詳解】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖所示，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABD又∵S△ABD∴ABAC=BD解得：AB=6．故答案為：6．【變式1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在△ABD中，BC平分∠ABD，DE為高，∠ACB=135°，△ABD的面積為6，AE=4，則BD的長為【答案】3【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造全等三角形．延長BD，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，易得∠DCB=45°，則∠ADF=45°+∠DBC，進(jìn)而推出∠DAF=45°?∠DBC，∠DAE=45°?∠ABC，則∠DAE=∠DAF，通過證明△ADE≌△ADFHL，得出AE=AF=4【詳解】解：延長BD，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，∵∠ACB=135°，∴∠DCB=180°?∠ACB=45°，∴∠ADF=∠DCB+∠DBC=45°+∠DBC，∵AF⊥BD，∴∠DAF=90°?∠ADF=90°?45°+∠DBC∵∠DCB=∠DAE+∠ABC=45°，∴∠DAE=45°?∠ABC，∵BC平分∠ABD∴∠DBC=∠ABC，∴∠DAE=∠DAF，∵AF⊥BD，DE⊥AB，∴DE=DF，∵DE=DF，AD=AD，∴△ADE≌△ADFHL∴AE=AF=4，∵△ABD的面積為6，∴12解得：BD=3，故答案為：3．【變式1-3】（23-24八年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交BC于F，AC=8，BC=12，則BF的長為．【答案】10【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等；連接AE，過點(diǎn)E作EG⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)G，由線段垂直平分線的性質(zhì)得EA=EB，由角平分線的性質(zhì)得EG=EF，由HL得Rt△EFC≌Rt△EGC由全等三角形的性質(zhì)得CF=CG【詳解】解：如圖，連接AE，過點(diǎn)E作EG⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)G，∵D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∴EA=EB，∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECG=180°，∴∠ECG=∠BCE，∵EF⊥BC，EG⊥AC，∴EG=EF，在Rt△EFC和RtCE=CEEF=EG∴Rt△EFC≌Rt∴CF=CG，同理可得：Rt△BFE∴BF=AG，∴BC?CF=AC+CG，∴12?CF=8+CF，解得：CF=2，∴BF=12?2=10，故答案：10．【題型2由角平分線的性質(zhì)求面積】【例2】（23-24八年級·全國·單元測試）如圖，已知△ABC的周長是20，點(diǎn)O為∠ABC與∠ACB的平分線的交點(diǎn)，且OD⊥BC于點(diǎn)D，若OD=1，則△ABC的面積是（）A．8 B．10 C．12 D．20【答案】B【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE=OF=OD=1，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，∵O為∠ABC與∠ACB的平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC，∴OE=OF=OD=1，∴△ABC的面積=△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積===10，故選：B．【變式2-1】（23-24八年級·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC中，E為AC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，BA:CA=3:4，AD與BE相交于點(diǎn)O，若△OAE的面積比△BOD的面積大1，則△ADC的面積是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和三角形中線，以及利用方程思想解決三角形的面積問題，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，得DM=DN，則S△ABD:S△ADC=BD:DC=12AB·DN:12AC·DM=BA:CA=3:4，設(shè)△ABC的面積為a，則S△ADC=【詳解】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴S△ABD設(shè)△ABC的面積為a，則S△ADC∵E為AC的中點(diǎn)，∴S△BEC∵△OAE的面積比△BOD的面積大1，∴△ADC的面積比△BEC的面積大1，∴47∴a=14，∴S故選：C．【變式2-2】（23-24八年級·重慶南岸·期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為48和26，則△EDF的面積為（

）A．11 B．22 C．26 D．37【答案】A【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF=DH，證明Rt△FDE≌Rt△HDG【詳解】解：如圖，作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF=DH，在Rt△FDE和RtDF=DHDE=DG∴Rt同理，Rt△FDA≌設(shè)△EDF的面積為x，由題意得，48?x=26+x，解得x=11，即△EDF的面積為11，故選：A【變式2-3】（23-24八年級·重慶·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，S△ABC=24，BD：CD=2：1，AC=BD，∠ACB的角平分線CE交AB于E，則

A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及運(yùn)用三角形的高求面積，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得EM=EN=?，通過同高，底邊比就是面積比得S3=S1=2【詳解】解：如圖：分別過點(diǎn)E作EM⊥BC，EN⊥AC，△BED

∵∠ACB的角平分線CE交AB于E∴EM=EN=?∵S則S1S2=1∴S∴S則△ADE的面積=24?故選：C【題型3由角平分線的性質(zhì)比較大小】【例3】（23-24八年級·遼寧本溪·期末）如圖，點(diǎn)O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，△ABO的面積記為S1,△ACO的面積記為S2,△BCO的面積記為S3A．S1+S2=S3 B．【答案】C【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出△ABO和△BOC和△AOC的高相等解答．根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系和三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，∴△ABO和△BOC和△AOC的高相等，∵△ABO的面積記為S1，△ACO的面積記為S2，△BCO的面積記為S∴S1+由△ABC的三邊關(guān)系得：AB+AC>BC，∴S故選：C．【變式3-1】（23-24八年級·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，BO、AO分別是△ABC中∠ABC、∠BAC的平分線，OH⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為H、E、F，則OH、OE、OF長度的大小關(guān)系是（）A．OH=OF≠OE B．OH=OE=OFC．OH≠OF=OE D．OH≠OE≠OF【答案】B【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)，由OB平分∠ABC，OH⊥BC，OF⊥AB，得出OF=OH，同理可得OF=OE即可求解，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵OB平分∠ABC，OH⊥BC，OF⊥AB，∴OF=OH，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OF⊥AB，∴OF=OE，∴OH=OE=OF，故選：B．【變式3-2】（23-24八年級·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC=3，則PD的大小關(guān)系是（）A．PD≥3 B．PD=3 C．PD≤3 D．不能確定【答案】A【分析】過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PE=PC，再根據(jù)垂線段最短解答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，∴PE=PC=3，∵D在OB上，∴PD≥PE，∴PD≥3．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查的是角平分線的性質(zhì)和垂線段最短的應(yīng)用，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等和垂線段最短是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24八年級·廣東惠州·開學(xué)考試）如圖，在∠AOB中，OC平分∠AOB，OA>OB，∠OAC+∠OBC=180°，則AC與BC之間的大小關(guān)系是（）

A．AC=BC B．AC>BC C．AC<BC D．無法確定【答案】A【分析】作CD⊥OA，垂足為D，CE⊥OB交OB延長線于點(diǎn)E，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DC=CE，證明△ADC≌△BECAAS，得出AC=BC【詳解】解：作CD⊥OA，垂足為D，CE⊥OB交OB延長線于點(diǎn)E，則∠ADC=∠BEC=90°，

∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴DC=CE，∵∠OAC+∠OBC=180°，∠CBE+∠OBC=180°，∴∠OAC=∠CBE，在△ADC和△BEC中，∠OAC=∠CBE∠ADC=∠BEC∴△ADC≌△BECAAS∴AC=BC，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是添加輔助線來證明三角形全等．【題型4由角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明】【例4】（23-24八年級·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分【答案】見解析【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖所示，作EF⊥AD于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EF=EB，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得EF=EC，再根據(jù)全等三角形的判定可得Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），Rt△DFE≌【詳解】證明：如圖所示，作EF⊥AD于點(diǎn)F，則∠AFE=∠DFE=90°，∵AB⊥BC，∴AB⊥BC，∵AE平分∠BAD，∴EF=EB，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EB=EC，∴EF=EC，在Rt△AFE和RtAE=AEEF=EB∴Rt△AFE≌∴AF=AB，在Rt△DFE和RtDE=DEEF=EC∴Rt△DFE≌∴FD=CD，∵AD=AF+FD，且AF+FD=AB+CD，∴AD=AB+CD．【變式4-1】（23-24八年級·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．求證：∠B=∠C．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì)定理進(jìn)行證明．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，證明Rt△BDE≌【詳解】解：∵∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△BDE和RtDE=DFBD=CD∴Rt△BDE≌∴∠B=∠C．【變式4-2】（23-24八年級·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥CD，交AB于點(diǎn)G，連接(1)求證：∠A+∠AEG=90°；(2)求證：EC=EG；【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）證明∠EGA=90°，即可證明結(jié)論成立；（2）利用角平分線性質(zhì)定理即可證明結(jié)論成立．【詳解】（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°∵EG∥CD，∴∠EGA=∠CDA=90°∵∠A+∠AEG+∠EGA=180°∴∠A+∠AEG=180°?∠EGA=180°?90°=90°（2）證明：∵∠ACB=90°，∴EC⊥BC∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∴EC=EG【變式4-3】（23-24八年級·貴州安順·期中）在人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材P53的數(shù)學(xué)活動中有這樣一段描述：在四邊形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖（1）．

(1)知識應(yīng)用：小風(fēng)想要做一個如圖（2）所示的風(fēng)箏，他想先固定中間的“十字架”，再確定四周，從數(shù)學(xué)的角度看，小風(fēng)確定“十字架”時應(yīng)滿足什么要求？并證明你的結(jié)論．(2)知識拓展：如圖（3）所示，如果D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD平分∠ABC，且AD=CD，試證明：AB=CB．【答案】(1)BD⊥AC，AO=OC（BD垂直平分AC），證明見解析(2)詳見解析【分析】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解決此題關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件可證得△ADB≌△CDB，利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件可得△AOD≌△COD，從而可得∠AOD=∠COD，OA=OC，由此可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分別為E，F(xiàn)，然后由角平分線的性質(zhì)得DE=DF，根據(jù)直角三角形全等的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）猜想：BD⊥AC，AO=OC（BD垂直平分AC），證明如下：如圖（1）∵AD=CD，AB=CB，在△ADB和△BCD中，AB=BCAD=DC∴△ADB≌△CDB(SSS∴∠ADO=∠ODC，在△AOD和△ODC中，AD=DC∠ADO=∠ODC∴△AOD≌△COD(SAS∴∠AOD=∠COD，OA=OC，∴∠DOC=90°，∴BD⊥AC；（2）證明：如圖，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分別為E，F(xiàn)，

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∵BD=BD，∴Rt∴BE=BF，∵ED=FD，AD=CD，∴Rt∴AE=CF，∴BE+AE=CF+BF，即AB=CB．知識點(diǎn)2：角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【題型5證明是角平分線】【例5】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE=CF，求證：

【答案】見解析【分析】本題主要考查了角平分線的判定和全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上”證得結(jié)論．先根據(jù)AAS定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DF=DE，由此可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE與Rt∠BED=∠CFD∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDFAAS∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．【變式5-1】（23-24八年級·河南安陽·階段練習(xí)）如圖，已知F、G是OA上兩點(diǎn)，M、N是OB上兩點(diǎn)，且FG=MN，S△PFG=S△PMN，求證：點(diǎn)

【答案】見解析【分析】本題考查的是角平分線的判定定理“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”．過點(diǎn)P分別向OA，OB作垂線，再根據(jù)FG=MN，S△PFG=S【詳解】解：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．理由：過點(diǎn)P分別向OA，OB作垂線，

∵S△PFG=12FG?PE，S∴PH=PE，∴點(diǎn)P是在∠AOB的平分線上．【變式5-2】（23-24八年級·山東德州·階段練習(xí)）已知：如圖，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE和CD交于點(diǎn)F，BF=CF，BD=CE．求證：點(diǎn)F在∠A的平分線上．【答案】證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直可得∠BDF=∠CEF=90°，根據(jù)兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等可得△BDF≌△CEF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得【詳解】證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°，在△BDF和△CEF中，∠DFB=∠EFC∠BDF=∠CEF∴△BDF∴DF=EF，又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴點(diǎn)F在∠BAC的平分線上．【變式5-3】（23-24八年級·廣東湛江·期中）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，連接AE，CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)N．

(1)求證：AE=CD；(2)求證：AE⊥CD；(3)求證：MB平分∠AMD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，利用SAS證明△ABE≌△CBD是解題的關(guān)鍵．（1）欲證明AE=CD，只要證明△ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出∠BAE=∠BCD，由∠NMC=180°?∠BCD?∠CNM，∠ABC=180°?∠BAE?∠ANB，又∠CNM=∠ANB，∠ABC=90°，可得∠NMC=90°（3）過B分別作BP⊥AE,BQ⊥CD，垂足分別為P，Q，根據(jù)△ABE≌△CBD可得S△ABE=S△CBD，【詳解】（1）∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD(SAS)∴AE=CD；（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE=∠BCD，∵∠NMC=180°?∠BCD?∠CNM，∠ABC=180°?∠BAE?∠ANB，又∠CNM=∠ANB，∠ABC=90°，∴∠NMC=∠ABC=90°，∴AE⊥CD．（3）過B分別作BP⊥AE,BQ⊥CD，垂足分別為P，Q，

∵△ABE≌△CBD，∴S△ABE∴BP=BQ，∴B點(diǎn)在∠AMD的平分線上，即MB平分∠AMD．【題型6由角平分線的判定求角的度數(shù)】【例6】（23-24八年級·甘肅定西·期中）如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于點(diǎn)M，連接OP．若∠BOP=26°，則∠AMP的大小為（

）A．48° B．52° C．56° D．64°【答案】B【分析】設(shè)上面的直尺與射線OA的交點(diǎn)為E，直尺寬度為h，過點(diǎn)P作PD⊥OB，垂足為D，根據(jù)題意，得到PD=PE=?，從而判定OP平分∠AOB，得到∠AOP=∠BOP=26°，根據(jù)直尺的對邊平行，得到∠AOP=∠BOP=∠MPO=26°，結(jié)合∠AMP=∠AOP+∠MPO=52°判斷即可．【詳解】如圖，設(shè)上面的直尺與射線OA的交點(diǎn)為E，直尺寬度為h，過點(diǎn)P作PD⊥OB，垂足為D，所以PD=PE=?，所以O(shè)P平分∠AOB，所以∠AOP=∠BOP=26°，因?yàn)橹背叩膶吰叫校浴螦OP=∠BOP=∠MPO=26°，所以∠AMP=∠AOP+∠MPO=52°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的判定定理，平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握角的平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24八年級·全國·單元測試）已知點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等，若∠POB=45°，則∠AOB等于（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】此題考查角平分線判定定理，由題意可知OP平分∠AOB，即可得到∠AOB=2∠POB解題．【詳解】解：∵點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等，∴OP平分∠AOB，∴∠AOB=2∠POB=2×45°=90°，故選D．【變式6-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)I到Rt△ABC三邊的距離相等，則∠AIB的度數(shù)為【答案】135°/135度【分析】本題考查角平分線的判定，根據(jù)點(diǎn)I到Rt△ABC三邊的距離相等，得出點(diǎn)I在△ABC【詳解】解：∵點(diǎn)I到Rt△ABC∴點(diǎn)I在△ABC的角平分線上，即AI與BI都是△ABC的角平分線，∴∠IAB=12∠CAB∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠IAB+∠IBA=1∴∠AIB=180°?∠IAB+∠IBA∴∠AIB的度數(shù)為135°．故答案為：135°．【變式6-3】（23-24八年級·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，已知點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF，S△DCE=S△DBF，且∠BAD=42°，則【答案】84°/84度【分析】本題考查了三角形面積公式、角平分線的判定與性質(zhì)，作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，由三角形面積公式得出DG=DH，從而得出AD平分∠BAC，再由角平分線的性質(zhì)即可得出答案，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，，∵S△BDF=12BF?DG，∴DG=DH，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=2×42°=84°，故答案為：84°．【題型7尺規(guī)作角平分線】【例7】（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測）在如圖四個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是（

）A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，解決問題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對四個圖形的作法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①是尺規(guī)作圖作角的平分線，故正確；②作的是BC的垂直平分線，得到BD=DC，故錯誤；③作圖可以得到AD平分∠BAC，故正確；④作圖可以得到∠BAD=∠BDA=∠BAC，故正確，故選：C.【變式7-1】（23-24八年級·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在直角△ABC中，∠C=90°，

(1)請用尺規(guī)作圖法在AC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到邊AB，BC的距離相等，（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若CP=1，AB=3，求△ABP的面積．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）作∠ABC的角平分線，與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；（2）作PQ⊥AB，由角平分線的性質(zhì)可得PQ=PC=1，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求：

（2）解：作PQ⊥AB，如圖所示：

由（1）可得，BP平分∠ABC，∵PQ⊥AB,PC⊥BC∴PQ=PC=1△ABP的面積為：1【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及尺規(guī)作圖．掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24八年級·陜西西安·階段練習(xí)）尺規(guī)作圖（保留做圖痕跡）如下圖，在∠ABC內(nèi)求做一點(diǎn)P，使P到∠ABC兩邊的距離相等，且PG=PH．【答案】作圖見解析【分析】連接GH，作出線段GH的垂直平分線和∠ABC的平分線，線段GH的垂直平分線和∠ABC的平分線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?基本作圖，角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線和線段垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．請用尺規(guī)作圖法，在邊BC上求作一點(diǎn)M，使得S△ABM【答案】見詳解【分析】本題主要查了尺規(guī)作圖法作角平分線的性質(zhì)，掌握基本的尺規(guī)作圖成為解答本題的關(guān)鍵．如圖，用尺規(guī)作∠A的角平分線，交BC于點(diǎn)M，M即為所求．【詳解】如圖，點(diǎn)M即為所求；∵作∠A的角平分線，∴∠BAM=∠CAM=30°，∴AMMC∵∠B=∠BAM∴BM=AM∴BM=2MC，∵S△ABM∴【題型8角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】【例8】（23-24八年級·河北邢臺·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF=50°，連接DE．(1)求證：DE平分∠ADC；(2)若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求【答案】(1)證明見解析(2)△ABE的面積為9．【分析】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的高．熟練掌握：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通過計算得出∠FAE=∠CAD=40，根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)得EF=EG，EF=EH，則（2）設(shè)EG=x，則EF=EH=EG=x，根據(jù)S△ACD=S△ADE+S△CDE【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，

∵EF⊥AB，∴∠FAE=90°?50°=40°，∵∠BAD=100°，∴∠CAD=180°?∠BAD?∠FAE=40°，∴∠FAE=∠CAD=40°，∴CA為∠DAE的平分線，又EF⊥AB，∴EF=EG，∵BE是∠ABC的平分線，∴EF=EH，∴EG=EH，∴點(diǎn)E在∠ADC的平分線上，∴DE平分∠ADC；（2）設(shè)EG=x，則EF=EH=EG=x，∵S△ACD∴S△ACD∵AD=4，CD=8，∴12解得，x=3，∵AB=6，∴S△ABE∴△ABE的面積為9．【變式8-1】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）已知：如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，(1)求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上；(2)若∠A=50°，求∠BFC的大?。敬鸢浮?1)證明見解析；(2)65°．【分析】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上是解題的關(guān)鍵．（1）作FM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥BC于N，F(xiàn)G⊥AC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到FM=FN，同理得到FM=FN，根據(jù)角平分線的判定定理證明即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可求出∠BCF=12∠A+∠ABC，∠CBF=【詳解】（1）證明：作FM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥BC于N，F(xiàn)G⊥AC于G，∵BF平分∠CBD，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，∴FM=FN，同理，F(xiàn)G=FN，∴FM=FG，又∵FM⊥AB，F(xiàn)G⊥AC，∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上；（2）解：∵BF、CF為△ABC兩外角∠CBD、∠BCE的平分線，∠A=50°，∴∠BCF=12∠A+∠ABC由三角形內(nèi)角和定理得：∠F=180°?∠BCF?∠CBF=180°?=180°?＝=90°?25°=65°．【變式8-2】（23-24八年級·河南許昌·期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長線上，∠ACB=106°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度數(shù)；(2)求證：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，則【答案】(1)∠ACE=37°(2)證明見解析(3)15【分析】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)與判定定理、三角形的面積等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和垂直的定義可得∠ACD=74°、∠CHE=90°，進(jìn)而得到∠ECH=37°，然后根據(jù)∠ACE=∠ACD?∠ECH即可解答；（2）如圖：過E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的定義可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根據(jù)角平分線的判定定理即可解答；（3）根據(jù)S△ACD=S【詳解】（1）解：∵∠ACB=106°，∴∠ACD=180°?106°=74°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=53°，∴∠ECH=90°?53°=37°，∴∠ACE=∠ACD?∠ECH=74°?37°=37°．（2）證明：如圖：過E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE=∠ECH=37°，∴CE平分∠ACD，∴EN=EH，∴EM=EN，∴AE平分∠CAF．（3）解：∵AC+CD=16，S△ACD=24，∴S△ACD即12×16?EM=24，解得∵AB=10，∴S△ABE【變式8-3】（23-24八年級·河南周口·階段練習(xí)）如圖①，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)DBD>AD，求證：BC?AC=BD?AD【嘗試探究】在圖①中，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，連接OC．因?yàn)椤螧AC的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，所以O(shè)D=______=______．所以CO是∠ACB的平分線……請同學(xué)們補(bǔ)充后面的解答過程．【類比延伸】如圖②，在四邊形ABCD中，各角的平分線交于點(diǎn)O，試判斷AB、BC、CD、AD間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】[嘗試探究]OE，OF，證明見解析；[類比延伸]AB+CD=AD+BC，證明見解析．【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．[嘗試探究]利用角平分線的性質(zhì)得出OD=OE=OF，然后利用HL證明Rt△ADO≌Rt△AFO，得出AD=AF，同理得出，BD=BE[類比延伸]過O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，然后仿照[嘗試探究]證明即可．【詳解】解：[嘗試探究]OE，OF，如圖，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，連接OC．∵∠BAC的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，∴OD=OE=OF．∴CO是∠ACB的平分線，在Rt△ADO與Rt△AFO中，∴Rt△ADO∴AD=AF，同理，BD=BE，CF=CE，∴BC?AC=BE+CE?AF?CF=BE?AF=BD?AD，[類比延伸]解∶AB+CD=AD+BC，理由∶過O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，∵BO平分∠ABC，∴OE=OF，∵BO=BO，∴Rt△BOE∴BE=BF，同理，CF=CM，DM=DN，AN=AE，∴AB+CD=AE+BE+CM+DM，AD+BC=AN+BF+CF+DN，∴AB+CD=AD+BC．【題型9與角平分線的性質(zhì)與判定相關(guān)的多結(jié)論問題】【例9】（23-24八年級·湖南婁底·期中）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD，得到∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC，得出∠AMB=∠AOB=36°，①正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正確；作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，則∠OGC=∠OHD=90°，由AAS證明△OCG≌△ODHAAS，得出OG=OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠AMD，④正確；由∠AOB=∠COD，得出當(dāng)∠DOM=∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM【詳解】解：∵∠AOB=∴∠AOB+即∠AOC=在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌∴∠OCA=∠ODB∴∠OAC=由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∴∠AMB=作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC=在△OCG和△ODH中，∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHD∴△OCG≌∴OG=OH，∴MO平分∠AMD，④正確；∵∠AOB=∴當(dāng)∠DOM=∠AOM時，OM假設(shè)∠∵△AOC≌△BOD，∴∠COM=∵M(jìn)O平分∠BMC∴∠CMO=在△COM和△BOM中，∠COM=∠BOMOM=OM∴△COM≌∴OB=OC，∵OA=OB∴OA=OC與OA<OC矛盾，∴③錯誤；正確的有①②④；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（23-24八年級·全國·單元測試）如圖所示，在△ABC中，內(nèi)角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，BE=BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP，下列結(jié)論：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC:S△PAB=PC:PB；③BP其中一定正確的有（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③【答案】D【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和定義，線段的垂直平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)等．利用角平分線的性質(zhì)以及已知條件對①②③④進(jìn)行一一判斷，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴2∠PAB=∠CAB，2∠PBE=∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,∴2∠PAB+∠ACB=2∠PAB+2∠APB，∴∠ACB=2∠APB，故①正確；過P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC∵BE=BC，PB平分∠CBE，∴PB垂直平分CE，故③正確；∵PG∥AD，∴∠FPC=∠DCP，∵PC平分∠BCD，∴∠DCP=∠PCF，∴∠PCF=∠CPF，故④不正確．本題正確的有：①③，故選：D．【變式9-2】（23-24八年級·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH＝PD；④連接CP，CPA．①②③ B