2024-2025學年高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 1.3.3 函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用1.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)（教師用書）教案新人教A版選修2-2主備人備課成員教學內容分析本節(jié)課的主要教學內容為高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用中的1.3.3節(jié)，重點探討函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)的關系。教學內容與學生已有知識的聯(lián)系在于，學生在之前的學習中掌握了導數(shù)的定義、計算規(guī)則以及導數(shù)與函數(shù)單調性的關系。在此基礎上，本節(jié)課將引導學生運用導數(shù)知識研究閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值問題，通過實際案例分析，讓學生理解并掌握利用導數(shù)求解函數(shù)最值的方法，從而加深對導數(shù)應用的理解，提高解決實際問題的能力。教學內容與教材緊密關聯(lián)，旨在幫助學生建立完整的導數(shù)應用知識體系。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學運算能力。通過探究函數(shù)最大（?。┲蹬c導數(shù)的關系，學生將提高對導數(shù)概念及其應用的理解，發(fā)展數(shù)學抽象思維。在邏輯推理方面，學生能夠運用導數(shù)性質和定理，合理解釋并證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的存在性。數(shù)學建模能力將在解決實際問題時得到鍛煉，學生將學會構建數(shù)學模型，利用導數(shù)工具求解函數(shù)最值。同時，數(shù)學運算能力也將通過具體計算過程中得到加強，確保學生能夠準確、熟練地進行導數(shù)運算，為后續(xù)學習打下堅實基礎。這些目標與新教材要求相符合，旨在全面提升學生的學科核心素養(yǎng)。學習者分析1.學生已掌握了導數(shù)的定義、計算法則、導數(shù)與函數(shù)單調性的關系等基礎知識，能夠進行基本的導數(shù)運算和運用導數(shù)分析函數(shù)的單調區(qū)間。

2.在學習興趣方面，學生對數(shù)學學科的興趣各異，但多數(shù)學生對解決實際問題的數(shù)學應用感興趣。就能力而言，學生的數(shù)學運算能力和邏輯思維能力參差不齊，部分學生具有較強的抽象思維和問題解決能力，而部分學生則在運算和推理上存在一定困難。在學習風格上，部分學生喜歡通過直觀圖形和具體案例學習，而另一些學生則偏好從理論推導入手。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：對于導數(shù)與函數(shù)最值關系的理解不夠深入，難以將理論知識應用到具體問題中；在求解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值時，可能會對邊界點和極值點的判斷和處理感到困惑；此外，對于一些復雜的函數(shù)形式，學生在進行導數(shù)運算時可能會出現(xiàn)錯誤。這些困難和挑戰(zhàn)需要在教學過程中針對不同學生給予指導和支持。學具準備Xxx課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源準備1.教材：確保每位學生都有《高中數(shù)學》選修2-2教材，方便學生跟隨課堂進度查閱相關章節(jié)。

2.輔助材料：準備與導數(shù)應用相關的函數(shù)圖像、圖表、實際案例視頻等多媒體資源，以便直觀展示函數(shù)最值與導數(shù)的關系。

3.實驗器材：無特殊實驗需求，只需準備計算器、草稿紙等基本學習工具。

4.教室布置：將教室劃分為講授區(qū)、討論區(qū)，設置白板或投影設備，便于展示多媒體資源，同時為學生分組討論提供便利。確保教室環(huán)境有利于學生專注聽講和積極參與課堂活動。教學過程首先，讓我們一起來回顧一下導數(shù)的概念及其在研究函數(shù)中的應用。今天，我們將重點探討如何利用導數(shù)來尋找函數(shù)的最大值和最小值。

1.導入新課

（1）通過一個簡單的實際問題引入：假設我們有一個物體從高處自由落下，我們如何確定它落地前的最高點？

（2）讓學生思考并嘗試用已學的導數(shù)知識來解決這個問題。

2.知識探究

（1）首先，我們來復習一下導數(shù)的定義和性質。

（2）引導學生回顧導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，并提問：“如果函數(shù)在某個區(qū)間內單調遞增（遞減），那么這個區(qū)間的端點是否可能是函數(shù)的最值點呢？”

（3）討論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值存在性定理。

3.案例分析

（1）給出一個具體的函數(shù)例子，如f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的最值問題。

（2）引導學生運用導數(shù)知識，分析函數(shù)在給定區(qū)間內的單調性、極值和最值。

（3）通過圖像和計算，讓學生直觀地看到最值點的位置。

4.課堂練習

（1）給出幾個練習題，讓學生獨立求解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值。

（2）鼓勵學生分享解題思路，討論遇到的困難和解決方案。

（3）針對學生的解答，進行點評和指導，強調解題過程中的注意事項。

5.知識拓展

（1）引入實際應用案例，如優(yōu)化問題、最大利潤等。

（2）讓學生嘗試用導數(shù)知識解決這些實際問題。

（3）討論在解決實際問題時，如何建立數(shù)學模型和選擇合適的求解方法。

6.小組討論

（1）將學生分成小組，針對一個具有挑戰(zhàn)性的最值問題進行討論。

（2）鼓勵小組成員積極發(fā)表意見，共同探討解決方案。

（3）分享各小組的討論成果，總結解題思路和方法。

7.總結與反思

（1）讓學生回顧本節(jié)課所學內容，總結求函數(shù)最值的方法和步驟。

（2）反思在實際問題中如何運用導數(shù)知識，以及所學知識在實際生活中的意義。

（3）鼓勵學生提問，解答他們在學習過程中遇到的疑惑。學生學習效果1.知識與技能：

-理解并掌握函數(shù)最大值和最小值的概念。

-能夠運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，分析閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的極值和最值。

-學會使用導數(shù)工具解決實際問題，如優(yōu)化問題、最大利潤等。

-提高數(shù)學運算能力，熟練進行導數(shù)運算和函數(shù)最值計算。

2.過程與方法：

-通過案例分析，學會將實際問題抽象為數(shù)學模型，運用導數(shù)知識進行求解。

-在小組討論中，培養(yǎng)合作意識和團隊協(xié)作能力，提高問題解決效率。

-通過總結與反思，形成對導數(shù)及其應用知識體系的整體認識。

3.情感態(tài)度與價值觀：

-增強對數(shù)學學科的興趣，特別是對導數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用。

-提高學習自信心，勇于面對數(shù)學問題，克服困難。

-認識到數(shù)學知識在實際生活中的重要性和價值。

具體表現(xiàn)在以下方面：

1.學生能夠獨立完成教材中關于函數(shù)最值與導數(shù)的相關練習題，正確率較高。

2.在課堂討論和小組活動中，學生積極參與，能夠提出自己的觀點和疑問。

3.學生在面對實際問題時，能夠主動運用導數(shù)知識進行分析和求解，解決問題能力得到提升。

4.課后反饋顯示，學生對本節(jié)課的教學內容掌握較好，對導數(shù)在研究函數(shù)最值中的應用有了更深入的認識。

5.學生在課程結束后，對數(shù)學學科的興趣和熱情有所提高，學習動力增強。課堂小結，當堂檢測1.課堂小結：

本節(jié)課我們重點學習了如何利用導數(shù)來研究函數(shù)的最大值和最小值。通過實例分析和實際操作，我們掌握了以下知識點：

（1）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值存在性定理。

（2）如何運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，尋找極值和最值。

（3）將實際問題抽象為數(shù)學模型，運用導數(shù)知識解決實際問題。

2.當堂檢測：

為了檢驗學生對本節(jié)課內容的掌握程度，特設計以下檢測題：

（1）判斷題：

①若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則一定存在最大值和最小值。

②若函數(shù)在某點的導數(shù)為0，則該點一定是函數(shù)的極值點。

（2）選擇題：

下列關于函數(shù)最值的說法，正確的是：

A.函數(shù)在單調遞增區(qū)間內，端點取最值

B.函數(shù)在單調遞減區(qū)間內，端點取最值

C.函數(shù)在極值點處取最值

D.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值一定存在

（3）計算題：

求函數(shù)f(x)=x^3-3x在閉區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

（4）應用題：

某企業(yè)生產的產品銷售價格為p(x)=10-0.02x（萬元/噸），成本為c(x)=2+0.01x（萬元/噸）。求該企業(yè)如何確定生產量和銷售價格，才能使利潤最大？

請同學們在課堂上獨立完成檢測題，并相互檢查答案。對于檢測題中存在的問題，我們將進行解答和討論，確保每位同學都能掌握本節(jié)課的內容。典型例題講解例題1：求函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在閉區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

解答：首先求導數(shù)f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得x=2。在閉區(qū)間[1,3]上，當x=1時，f(x)=0；當x=2時，f(x)=-1；當x=3時，f(x)=3。故最大值為f(3)=3，最小值為f(2)=-1。

例題2：已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求在閉區(qū)間[-1,4]上的最大值和最小值。

解答：求導數(shù)f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，得x=1和x=3。在閉區(qū)間[-1,4]上，當x=-1時，f(x)=3；當x=1時，f(x)=5；當x=3時，f(x)=1；當x=4時，f(x)=1。故最大值為f(1)=5，最小值為f(3)=1。

例題3：求函數(shù)f(x)=(x-1)^2在閉區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。

解答：求導數(shù)f'(x)=2(x-1)。令f'(x)=0，得x=1。在閉區(qū)間[0,2]上，當x=0時，f(x)=1；當x=1時，f(x)=0；當x=2時，f(x)=1。故最大值為f(0)=f(2)=1，最小值為f(1)=0。

例題4：已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求在閉區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

解答：求導數(shù)f'(x)=3x^2-6x-9，令f'(x)=0，得x=-1和x=3。在閉區(qū)間[-2,3]上，當x=-2時，f(x)=-1；當x=-1時，f(x)=10；當x=3時，f(x)=-22。故最大值為f(-1)=10，最小值為f(3)=-22。

例題5：某物體沿直線運動，其位移s(t)=t^3-3t^2+4t（米），求物體在時間區(qū)間[0,3]上的最大位移和最小位移。

解答：求導數(shù)s'(t)=3t^2-6t+4。令s'(t)=0，得t=1和t=2。在時間區(qū)間[0,3]上，當t=0時，s(t)=0；當t=1時，s(t)=2；當t=2時，s(t)=4；當t=3時，s(t)=4。故最大位移為s(3)=4米，最小位移為s(0)=0米。反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.在本節(jié)課的教學中，我嘗試將實際問題引入課堂，通過案例分析和數(shù)學建模，讓學生在實際情境中感受導數(shù)在研究函數(shù)最值中的應用，提高了學生的學習興趣和參與度。

2.我采用了小組討論的教學方式，鼓勵學生互相交流、共同探討，培養(yǎng)了學生的團隊合作意識和解決問題的能力。

（二）存在主要問題

1.在教學過程中，我發(fā)現(xiàn)部分學生對導數(shù)的運算還不夠熟練，這在一定程度上影響了他們對函數(shù)最值的分析。

2.在課堂練習環(huán)節(jié)，部分學生解決問題時思路不夠清晰，缺乏系統(tǒng)性的解題方法。

（三）改進措施

1.針對學生導數(shù)運算不熟練的問題，我將在今后的教學中加強對導數(shù)基礎知識的復習，提高學生的運算能力。

2.為了幫助學生形成系統(tǒng)性的解題思路，我將設計更多具有針對性的例題和練習題，引導學生總結解題方法和步驟，并在課后提供輔導，以便學生能夠更好地消化和吸收課堂內容。板書設計1.重點知識點

①導數(shù)的定義與性質

②函數(shù)單調性與導數(shù)的關系

③閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值存在性定理

④求函數(shù)最值的方法和步驟

2.關鍵詞