專題05用配方法求解一元二次方程（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)7種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)4種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專題05用配方法求解一元二次方程（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)7種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)4種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：用直接配平方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2：用配方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3：利用一元二次方程求解簡單的實(shí)際問題（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程題型2：用配方法解一元二次方程題型3：用配方法求字母的值題型4：用用配方法求代數(shù)式的最大（最?。┲殿}型5：直接開平方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用題型6：用配方法判斷三角形的形狀題型7：利用配方法解決有關(guān)新定義問題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1混淆方程配方與代數(shù)式配方易錯(cuò)點(diǎn)2配方時(shí)，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯(cuò)誤【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：解一元二次方程-直接開平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：換元法解一元二次方程考法4：配方法的應(yīng)用【方法五】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：用直接配平方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．【例1】（2022秋?江都區(qū)校級(jí)期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4【解答】解：直接開平方得：x＝±2，∴方程的解為：x1＝2，x2＝﹣2，故選：C．知識(shí)點(diǎn)2：用配方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．要點(diǎn)詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．【例2】用配方法解一元二次方程.解：移常數(shù)項(xiàng)兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式轉(zhuǎn)化為的形式解得求解所以原方程的根是．【例3】如何用配方法解方程解：移常數(shù)項(xiàng)方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式開平方解得求解所以原方程的根是.知識(shí)點(diǎn)3：利用一元二次方程求解簡單的實(shí)際問題（難點(diǎn)）一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的有效數(shù)學(xué)模型，有些通過列一元二次方程來解決的實(shí)際問題都可以利用配方法或直接開平方法來解決。注意：一定要檢驗(yàn)所得的根是否符合實(shí)際意義【例4】（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)三模）閱讀下面的材料：我們可以用配方法求一個(gè)二次三項(xiàng)式的最大值或最小值，例如：求代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）①仿照上述方法求代數(shù)式m2﹣4m﹣3的最小值為．②代數(shù)式﹣x2﹣4x+7的最大值為．（2）延伸與應(yīng)用：如圖示，小紅父親想用長60m的柵欄．再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形的羊圈，已知房屋外墻長40m，設(shè)矩形ABCD的邊面積為Sm2．當(dāng)AB，BC分別為多少米時(shí)，羊圈的面積最大？最大值是多少？【解答】解：（1）①∵m2﹣4m﹣3＝m2﹣4m+4﹣7＝（m﹣2）2﹣7，由（m﹣2）2≥0，得（m﹣2）2﹣7≥﹣7；∴代數(shù)式m2﹣4m﹣3的最小值是﹣7．故答案為：﹣7；②﹣x2﹣4x+7＝﹣x2﹣4x﹣4+11＝﹣（x+2）2+11，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2+11≤11，∴代數(shù)式﹣x2﹣4x+7有最大值，最大值為11．故答案為：11；（2）設(shè)AB＝xm，則BC＝（60﹣2x）m，根據(jù)題意得，S＝x（60﹣2x）＝60x﹣2x2＝﹣2（x2﹣30x）＝﹣2（x2﹣30x+225）+450＝﹣2（x﹣15）2+450，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝15時(shí)，S有最大值450，即當(dāng)AB，BC分別為15m，30m時(shí)，羊圈的面積最大，最大值是450m2．【方法二】實(shí)例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程1.解方程(x-3)2=49．

【答案與解析】把x-3看作一個(gè)整體，直接開平方，得x-3=7或x-3=-7．

由x-3=7，得x=10．

由x-3=-7，得x=-4．

所以原方程的根為x=10或x=-4．2.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得： 即方程兩根為，．3.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：， 即方程兩根為，．4.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：， 得或，即方程兩根為，．5.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】直接開平方法解方程，即得，得或， 即得方程兩根為，．6.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即為，直接開平方法解方程，即得 ，得或，解得方程兩根 分為，．7.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即為，直接開平方法解方程，即得， 得：或，解得方程兩根分為，．題型2：用配方法解一元二次方程8.用配方法解方程：．【答案與解析】解：∵，∴∴，∴∴．9.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以原方程的解為：，．10.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以，所以或者， 所以原方程的解為：，．11.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以， 所以原方程的解為：，．12.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 配方，得：，即，解得：， 所以原方程的解為：，．13.用配方法解方程：．【答案】．【解析】由，得，即， 所以，所以原方程的解為：．14.用配方法解關(guān)于x的方程：．【答案】．【解析】由，得，即，解得：，所以原方程的解為：．題型3：用配方法求字母的值15.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．【答案】5．【解析】因?yàn)?，所以，所以?6.已知，求的值．【答案與解析】解：由題意可得：∴，∴將代入得：題型4：用配方法求代數(shù)式的最大（最?。┲?7．（2023春?蘇州月考）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題．例題：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0且n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3問題：（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值．（2）求代數(shù)式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值．【解答】解：（1）x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，x2﹣2xy+y2+2y2+4y+2＝0，（x﹣y）2+2（y+1）2＝0，x﹣y＝0，y+1＝0，解得x＝﹣1，y＝﹣1；（2）x2+2x+y2﹣4y﹣1＝x2+2x+1+y2﹣4y+4﹣6＝（x+1）2+（y﹣2）2﹣6，則代數(shù)式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值為﹣6，故答案為：﹣6．18．（2022秋?淮安區(qū)校級(jí)期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因?yàn)閙2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問題：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長，且a，b滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x＝﹣，y＝，∴xy＝×（﹣）＝﹣，∴xy的值為﹣；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以c＝5或4，分兩種情況：當(dāng)c＝5時(shí)，△ABC的周長為5+5+4＝14，當(dāng)c＝4，△ABC的周長為5+4+4＝13，所以△ABC的周長為13或14．19．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}，（1）嘗試：①當(dāng)x＝﹣2，y＝1時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③當(dāng)x＝2，y＝2.5時(shí)，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y22xy．（2）歸納：x2+y2與2xy有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．（3）運(yùn)用：求代數(shù)式的最小值．【解答】解：（1）當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy，故答案為：＝；（2）x2+y2≥2xy，理由如下，∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy；（3）∵x2+y2≥2xy，x2+＝（x﹣）2+4，∵（x﹣）2≥0，∴代數(shù)式的最小值為4．題型5：直接開平方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用20．（2022秋?高州市期末）我們知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，這一種方法稱為配方法，利用配方法請(qǐng)解以下各題：（1）探究：當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)，求代數(shù)式a2﹣4a的最小值．（2）應(yīng)用：如圖．已知線段AB＝6，M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AM＝x，以AM為一邊作正方形AMND，再以MB、MN為一組鄰邊作長方形MBCN．問：當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，長方形MBCN的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；否則請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，∴當(dāng)a＝2時(shí)，代數(shù)式a2﹣4a存在最小值為﹣4；（2）設(shè)長方形MBCN的面積為S，根據(jù)題意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，則x＝3時(shí)，S存在最大值，最大值為9．21．（2022秋?洛陽期末）【閱讀材料】若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，∴x+4＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣4，y＝3．【解決問題】（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；【拓展應(yīng)用】（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且b，c滿足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最長的邊，求a的取值范圍．【解答】解：（1）∵m2+n2﹣12n+10m+61＝0，將61拆分為25和36，可得：（m2+10m+25）+（n2﹣12n+36）＝0，根據(jù)完全平方公式得（m+5）2+（n﹣6）2＝0，∴m+5＝0，n﹣6＝0，∴m＝﹣5，n＝6，∴（m+n）2023＝（﹣5+6）2023＝1．（2）∵b2+c2＝8b+4c﹣20，將61拆分為25和36，可得：b2+c2﹣8b﹣4c+20＝0，根據(jù)完全平方公式得（b2﹣8b+16）+（c2﹣4c+4）＝0，（b﹣4）2+（c﹣2）2＝0，∴b﹣4＝0，c﹣2＝0，∴b＝4，c＝2．∵a是△ABC中最長的邊，∴4≤a＜6，即a的取值范圍為4≤a＜6．22．（2022秋?廣水市期末）【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因?yàn)椋╝+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，當(dāng)a＝﹣3時(shí)，代數(shù)式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【問題解決】利用配方法解決下列問題：（1））當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值為．（2）當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）當(dāng)x，y何值時(shí)，代數(shù)式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值為多少？（4）如圖所示的第一個(gè)長方形邊長分別是2a+5、3a+2，面積為S1；如圖所示的第二個(gè)長方形邊長分別是5a、a+5，面積為S2．試比較S1與S2的大小，并說明理由．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因?yàn)椋▁﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2．故答案為：1，﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因?yàn)椋▁+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；（3）5x2﹣4xy+y2+6x+25＝（4x2﹣4xy+y2）+（x2+6x+9）+16＝（2x﹣y）2+（x+3）2+16，因?yàn)椋?x﹣y）2≥0，（x+3）2≥0，所以5x2﹣4xy+y2+6x+25≥16，因此，當(dāng)x＝﹣3，y＝﹣6時(shí)，代數(shù)式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值是16；（4）S1＞S2．理由如下：∵S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，∴S1﹣S2＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，∴S1＞S2．題型6：用配方法判斷三角形的形狀23.已知△ABC的一邊長為4，另外兩邊長是關(guān)于x的方程的兩根，當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？【答案】．【解析】由，得，所以或者． 當(dāng)時(shí)，和，滿足三角形三邊關(guān)系， 當(dāng)時(shí)，和，不滿足三角形三邊關(guān)系． 所以時(shí)，△ABC是等腰三角形24．（2023春?莊浪縣期中）若三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判斷此三角形的形狀，并求此三角形面積．【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴32+42＝52，即a2+b2＝c2，∴此三角形為直角三角形，∴面積為．題型7：利用配方法解決有關(guān)新定義問題25．（2022秋?通川區(qū)期末）配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個(gè)式子或?qū)⒁粋€(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決問題．定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?＝12+22，所以5是“完美數(shù)”．解決問題：（1）已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n為常數(shù)），求mn的值；（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出k值．【解答】解：（1）∵29是“完美數(shù)”，∴29＝52+22；（2）∵x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1，又∵x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，∴m＝2，n＝1，∴mn＝2×1＝2．（3）當(dāng)k＝13時(shí)，S是完美數(shù)，理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9＝（x+2）2+（2y﹣3）2，∵x，y是整數(shù)，∴x+2，2y﹣3也是整數(shù)，∴S是一個(gè)“完美數(shù)”．26．（2023春?江都區(qū)月考）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．【解決問題】（1）數(shù)11“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；數(shù)53“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，則x+y＝；【拓展提升】（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說明理由．【解答】解：（1）數(shù)11不是“完美數(shù)”；53＝22+72，數(shù)53是“完美數(shù)”．故答案為：不是，是；（2）已知等式變形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，則x+y＝2﹣1＝1．故答案為：1；（3）當(dāng)k＝36時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由如下：S＝2x2+y2+2xy+12x+k＝（x2+12x+k）+（y2+2xy+x2）＝（x2+12x+k）+（y+x）2，∵S是完美數(shù)，∴x2+12x+k是完全平方式，∴k＝36．27．（2023春?東陽市期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12.所以5是“完美數(shù)”．解決問題：（1）已知10是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），則mn＝；探究問題：（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，則x+y＝；（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說明理由．拓展結(jié)論：（5）已知實(shí)數(shù)x、y滿足﹣x2+x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．【解答】解：解決問題：（1）根據(jù)題意得：10＝12+32；故答案為：10＝12+32；（2）根據(jù)題意得：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1m＝2，n＝﹣1；mn＝﹣2探究問題：（3）已知等式變形得：（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，即（x﹣1）2+（y+32＝0，∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，∴x﹣1＝0，y+3＝0，得：x＝1，y＝﹣3則x+y＝1﹣3＝﹣2故答案為﹣2，（4）當(dāng)k＝8，S為“完美數(shù)”，理由如下：S＝x2+9y2+4x﹣12y+9，＝（x2+4x+4）+（9y2﹣12y+4），＝（x+2）2+（3y﹣2）2，∵x，y是整數(shù)，∴x+2，3y﹣2也是整數(shù)，∴S是一個(gè)“完美數(shù)”；拓展結(jié)論：（5）∵﹣x2+x+y﹣2＝0，∴﹣y＝﹣x2+x﹣2，即﹣3y＝﹣3x2+7x﹣6，5x﹣3y＝5x﹣3x2+7x﹣6，＝﹣3（x﹣2）2+6，當(dāng)x＝2時(shí)，5x﹣3y最大，最大值為：6．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1混淆方程配方與代數(shù)式配方28.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．【答案】5．【解析】因?yàn)?，所以，所以．易錯(cuò)點(diǎn)2配方時(shí)，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯(cuò)誤29.如何用配方法解方程解：移常數(shù)項(xiàng)方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式開平方解得求解所以原方程的根是.【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1．解一元二次方程-直接開平方法30．（2020?揚(yáng)州）方程（x+1）2＝9的根是．【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案為：x1＝2，x2＝﹣4．考法2：解一元二次方程-配方法31．（2019?南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故選：C．考法3：換元法解一元二次方程32．（2002?南京）用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果設(shè)x2﹣x＝y(tǒng)，那么原方程變?yōu)椋窘獯稹拷猓焊鶕?jù)題意x2﹣x＝y(tǒng)，把原方程中的x2﹣x換成y，所以原方程變化為：y2﹣5y+6＝0考法4：配方法的應(yīng)用33．（2018?泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，則實(shí)數(shù)a的值為．【解答】解：依題意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故答案是：3．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）下列配方有錯(cuò)誤的是（）A．，化為B．，化為C．，化為D．，化為【答案】D【分析】根據(jù)配方法的一般步驟對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、由可化為，所以A選項(xiàng)的計(jì)算正確，不合題意；B、由可化為，所以B選項(xiàng)的計(jì)算正確，不合題意；C、先化為，則可化為，所以C選項(xiàng)的計(jì)算正確，不合題意；D、先化為，則可化為，所以D選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．2．（2023秋·山西長治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時(shí)，變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在方程兩邊加上16，然后把方程左邊配成完全平方形式即可．【詳解】解：，配方得，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程－配方法，關(guān)鍵是掌握配方的方法：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．3．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊除以，接著把方程兩邊加上，然后把方程左邊配成完全平方式，從而得到、的值，最后計(jì)算它們的和即可．【詳解】解：，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022秋·山西太原·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在解方程時(shí)，對(duì)方程進(jìn)行配方，圖1是小思做的，圖2是小博做的，對(duì)于兩人的做法，說法正確的是（

）A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確【答案】A【分析】根據(jù)配方法把含未知數(shù)的項(xiàng)寫成完全平方式，形如的形式即可．【詳解】解：根據(jù)配方法可知兩人的做法都正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步驟，能正確的將一元二次方程配成的形式是解答的關(guān)鍵．5．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用配方法解方程時(shí)、配方正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把方程化為一般式，再把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半得平方進(jìn)行配方即可．【詳解】解：，整理得，移項(xiàng)得：，配方得：，即，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法求解一元二次方程的步驟．6．（2023秋·天津津南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的解為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】用直接開平方法求解即可．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了用直接開平方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握平方根的定義和用直接開平方法解一元二次方程的方法和步驟．7．（2021秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？计谀┬露x：關(guān)于的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，那么代數(shù)式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【答案】D【分析】根據(jù)同族二次方程的定義，可得出a和b的值，從而解得代數(shù)式的最小值．【詳解】解：與為同族二次方程．，，∴，解得：．∴當(dāng)時(shí)，取最小值為2016．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組的方法，理解同族二次方程的定義是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：∵與就是“同族二次方程”，∴，即，∴解得∴＝＝，則代數(shù)式能取的最大值是2020．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2023春·廣東河源·九年級(jí)校考開學(xué)考試）方程的根是．【答案】【分析】利用直接開平方法解二元一次方程即可．【詳解】解：∵，∴或，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將配方成形式，則．【答案】【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．11．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）把方程用配方法化為的形式，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．【詳解】解：，，，．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，配方法的一般步驟：①把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；②把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．12．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）已知一元二次方程的兩根為、，且，則的值為．【答案】/【分析】先利用直接開平方法解方程得到，，然后把它們代入中計(jì)算即可．【詳解】解：，，解得．，方程的兩根為、，且，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知方程，則此方程的解為．【答案】，【分析】根據(jù)直接開平方法可進(jìn)行求解．【詳解】解：，∴，；故答案為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．14．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州六中校考階段練習(xí)）若，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】移項(xiàng)整理后，直接開平方即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·山東東營·九年級(jí)東營市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谥校┮辉畏匠痰母牵敬鸢浮俊痉治觥坑门浞椒ㄇ蠼饧纯桑驹斀狻拷猓海?，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用配方法解一元二次方程的方法和步驟．16．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若（為實(shí)數(shù)），則的最小值為．【答案】【分析】運(yùn)用配方法將變形為，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即可．【詳解】解：===∵為實(shí)數(shù)，∴∴的最小值為,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)注意配方的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．三、解答題17．（2022秋·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：【答案】【分析】由于方程兩邊都是完全平方式，這兩個(gè)式子相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，即可求解．【詳解】解∶原方程左右開方變形為，即或，解得【點(diǎn)睛】此題主要考查了直接開平方法，解決本題的關(guān)鍵是降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解．18．（2022秋·天津津南·九年級(jí)?？计谥校┻x取最恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）直接開平方把原方程化為兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程即可得解；（2）原方程先配方然后再開平方，最后化為一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：開方得：或，解得：，；（2）解：原方程兩邊除以3得：，∴，即，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握配方法及直接開平方的解方程方法是解題關(guān)鍵．19．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）下面是小明同學(xué)解一元二次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．．解：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，第一步

移項(xiàng)，得，第二步配方，得，第三步變形，得，第四步開方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______，其中“配方法”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是______；(2)上述解題過程，從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過程．【答案】(1)轉(zhuǎn)化思想，完全平方公式(2)三，解答過程見詳解【分析】（1）根據(jù)解答過程判斷依據(jù)即可；（2）根據(jù)配方法判斷即可．【詳解】（1）解法中運(yùn)用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，其中“配方法”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是完全平方公式；（2）解題過程，從第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確的解答過程如下：解：，，，，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的幾種常見解法：直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適的解法是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·河南南陽·九年級(jí)南陽市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程．解：原方程可變形，得：．，．直接開平方并整理，得．，．我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”(1)下面是小明用“平均數(shù)法”解方程時(shí)寫的解題過程．解：原方程可變形，得：．，∴．直接開平方并整理，得．，．上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為______，______，______，______．(2)請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：．【答案】(1)7，2，，．(2)，．【分析】（1）仿照平均數(shù)法可把原方程化為，可得，再解方程即可；（2）仿照平均數(shù)法可把原方程化為，可得，再解方程即可；【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴或，解得：，．∴上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為7，2，，．（2）∵，∴，∴，∴，∴，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，新定義運(yùn)算的含義，理解平均數(shù)法結(jié)合直接開平方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．21．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式．再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為______．【答案】(1)(2)(3)(4)4【分析】（1）根據(jù)題意，由完全平方公式，可以知道橫線上是，（2）按照題干上的示例可以將分為，再利用完全平方公式即可求解，（3）根據(jù)題意的方法，先將因式分解為完全平方的形式即，即可求出最小值，（4）根據(jù)題意先將因式分解，變成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：；（3）解：，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；（4）解：，，，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解決數(shù)學(xué)中的問題；把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法；配方法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用比較廣泛，既可以利用配方法進(jìn)行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同時(shí)對(duì)于（4）中幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，可得這幾個(gè)加數(shù)同時(shí)為零，求出未知數(shù)的值，這一知識(shí)在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．22．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)課上,老師展示了這樣一段內(nèi)容．問題求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小麗和小明想,二次多項(xiàng)式都能用類似的方法求出最值（最小值或最大值）嗎？（1）小麗寫出了一些二次三項(xiàng)式:①;

②;

③;④;

⑤;

⑥．經(jīng)探索可知,有最值的是__________（只填序號(hào)）,任選其中一個(gè)求出其最值;（2）小明寫出了如下3個(gè)二次多項(xiàng)式:①;②;③．請(qǐng)選擇其中一個(gè),探索它是否有最值,并說明理由．說明:①②③的滿分分值分別為3分?4分?5分;若選多個(gè)作答,則以較低分計(jì)分．【答案】（1）①②③⑥;（2）①無最值,見解析;②最小值為1,見解析;③最小值為,見解析【分析】（1）可以選擇①,運(yùn)用上面類似的方法——配方法,可得到:,再根據(jù)平方具有非負(fù)性可得到最小值,其它的也用類似的方法解答即可;（2）①進(jìn)行探究,配方后得到,無法確定最值,②進(jìn)行研究,配方后得到即可,③進(jìn)行研究,配方后得到即可,選擇一個(gè)作答即可．【詳解】（1）①②③⑥①

最小值為0②,∵,∴,即原式最小值5;③,∵,∴,∴,即原式