專(zhuān)題05用配方法求解一元二次方程（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)7種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)4種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專(zhuān)題05用配方法求解一元二次方程（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)7種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)4種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：用直接配平方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2：用配方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3：利用一元二次方程求解簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：用直接開(kāi)平方法解一元二次方程題型2：用配方法解一元二次方程題型3：用配方法求字母的值題型4：用用配方法求代數(shù)式的最大（最小）值題型5：直接開(kāi)平方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用題型6：用配方法判斷三角形的形狀題型7：利用配方法解決有關(guān)新定義問(wèn)題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1混淆方程配方與代數(shù)式配方易錯(cuò)點(diǎn)2配方時(shí)，沒(méi)有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯(cuò)誤【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：換元法解一元二次方程考法4：配方法的應(yīng)用【方法五】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：用直接配平方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方．【例1】（2022秋?江都區(qū)校級(jí)期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4【解答】解：直接開(kāi)平方得：x＝±2，∴方程的解為：x1＝2，x2＝﹣2，故選：C．知識(shí)點(diǎn)2：用配方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開(kāi)方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．【例2】用配方法解一元二次方程.解：移常數(shù)項(xiàng)兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式轉(zhuǎn)化為的形式解得求解所以原方程的根是．【例3】如何用配方法解方程解：移常數(shù)項(xiàng)方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式開(kāi)平方解得求解所以原方程的根是.知識(shí)點(diǎn)3：利用一元二次方程求解簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題（難點(diǎn)）一元二次方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有效數(shù)學(xué)模型，有些通過(guò)列一元二次方程來(lái)解決的實(shí)際問(wèn)題都可以利用配方法或直接開(kāi)平方法來(lái)解決。注意：一定要檢驗(yàn)所得的根是否符合實(shí)際意義【例4】（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)三模）閱讀下面的材料：我們可以用配方法求一個(gè)二次三項(xiàng)式的最大值或最小值，例如：求代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）①仿照上述方法求代數(shù)式m2﹣4m﹣3的最小值為．②代數(shù)式﹣x2﹣4x+7的最大值為．（2）延伸與應(yīng)用：如圖示，小紅父親想用長(zhǎng)60m的柵欄．再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形的羊圈，已知房屋外墻長(zhǎng)40m，設(shè)矩形ABCD的邊面積為Sm2．當(dāng)AB，BC分別為多少米時(shí)，羊圈的面積最大？最大值是多少？【解答】解：（1）①∵m2﹣4m﹣3＝m2﹣4m+4﹣7＝（m﹣2）2﹣7，由（m﹣2）2≥0，得（m﹣2）2﹣7≥﹣7；∴代數(shù)式m2﹣4m﹣3的最小值是﹣7．故答案為：﹣7；②﹣x2﹣4x+7＝﹣x2﹣4x﹣4+11＝﹣（x+2）2+11，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2+11≤11，∴代數(shù)式﹣x2﹣4x+7有最大值，最大值為11．故答案為：11；（2）設(shè)AB＝xm，則BC＝（60﹣2x）m，根據(jù)題意得，S＝x（60﹣2x）＝60x﹣2x2＝﹣2（x2﹣30x）＝﹣2（x2﹣30x+225）+450＝﹣2（x﹣15）2+450，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝15時(shí)，S有最大值450，即當(dāng)AB，BC分別為15m，30m時(shí)，羊圈的面積最大，最大值是450m2．【方法二】實(shí)例探索法題型1：用直接開(kāi)平方法解一元二次方程1.解方程(x-3)2=49．

【答案與解析】把x-3看作一個(gè)整體，直接開(kāi)平方，得x-3=7或x-3=-7．

由x-3=7，得x=10．

由x-3=-7，得x=-4．

所以原方程的根為x=10或x=-4．2.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開(kāi)平方法解方程，得： 即方程兩根為，．3.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開(kāi)平方法解方程，得：， 即方程兩根為，．4.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開(kāi)平方法解方程，得：， 得或，即方程兩根為，．5.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】直接開(kāi)平方法解方程，即得，得或， 即得方程兩根為，．6.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即為，直接開(kāi)平方法解方程，即得 ，得或，解得方程兩根 分為，．7.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即為，直接開(kāi)平方法解方程，即得， 得：或，解得方程兩根分為，．題型2：用配方法解一元二次方程8.用配方法解方程：．【答案與解析】解：∵，∴∴，∴∴．9.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以原方程的解為：，．10.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以，所以或者， 所以原方程的解為：，．11.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以， 所以原方程的解為：，．12.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 配方，得：，即，解得：， 所以原方程的解為：，．13.用配方法解方程：．【答案】．【解析】由，得，即， 所以，所以原方程的解為：．14.用配方法解關(guān)于x的方程：．【答案】．【解析】由，得，即，解得：，所以原方程的解為：．題型3：用配方法求字母的值15.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．【答案】5．【解析】因?yàn)?，所以，所以?6.已知，求的值．【答案與解析】解：由題意可得：∴，∴將代入得：題型4：用配方法求代數(shù)式的最大（最?。┲?7．（2023春?蘇州月考）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題．例題：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0且n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3問(wèn)題：（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值．（2）求代數(shù)式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值．【解答】解：（1）x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，x2﹣2xy+y2+2y2+4y+2＝0，（x﹣y）2+2（y+1）2＝0，x﹣y＝0，y+1＝0，解得x＝﹣1，y＝﹣1；（2）x2+2x+y2﹣4y﹣1＝x2+2x+1+y2﹣4y+4﹣6＝（x+1）2+（y﹣2）2﹣6，則代數(shù)式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值為﹣6，故答案為：﹣6．18．（2022秋?淮安區(qū)校級(jí)期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因?yàn)閙2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問(wèn)題：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長(zhǎng)，且a，b滿(mǎn)足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x＝﹣，y＝，∴xy＝×（﹣）＝﹣，∴xy的值為﹣；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以c＝5或4，分兩種情況：當(dāng)c＝5時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為5+5+4＝14，當(dāng)c＝4，△ABC的周長(zhǎng)為5+4+4＝13，所以△ABC的周長(zhǎng)為13或14．19．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉?wèn)題，（1）嘗試：①當(dāng)x＝﹣2，y＝1時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③當(dāng)x＝2，y＝2.5時(shí)，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y22xy．（2）歸納：x2+y2與2xy有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．（3）運(yùn)用：求代數(shù)式的最小值．【解答】解：（1）當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy，故答案為：＝；（2）x2+y2≥2xy，理由如下，∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy；（3）∵x2+y2≥2xy，x2+＝（x﹣）2+4，∵（x﹣）2≥0，∴代數(shù)式的最小值為4．題型5：直接開(kāi)平方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用20．（2022秋?高州市期末）我們知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，這一種方法稱(chēng)為配方法，利用配方法請(qǐng)解以下各題：（1）探究：當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)，求代數(shù)式a2﹣4a的最小值．（2）應(yīng)用：如圖．已知線(xiàn)段AB＝6，M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AM＝x，以AM為一邊作正方形AMND，再以MB、MN為一組鄰邊作長(zhǎng)方形MBCN．問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)方形MBCN的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，∴當(dāng)a＝2時(shí)，代數(shù)式a2﹣4a存在最小值為﹣4；（2）設(shè)長(zhǎng)方形MBCN的面積為S，根據(jù)題意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，則x＝3時(shí)，S存在最大值，最大值為9．21．（2022秋?洛陽(yáng)期末）【閱讀材料】若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，∴x+4＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣4，y＝3．【解決問(wèn)題】（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；【拓展應(yīng)用】（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且b，c滿(mǎn)足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最長(zhǎng)的邊，求a的取值范圍．【解答】解：（1）∵m2+n2﹣12n+10m+61＝0，將61拆分為25和36，可得：（m2+10m+25）+（n2﹣12n+36）＝0，根據(jù)完全平方公式得（m+5）2+（n﹣6）2＝0，∴m+5＝0，n﹣6＝0，∴m＝﹣5，n＝6，∴（m+n）2023＝（﹣5+6）2023＝1．（2）∵b2+c2＝8b+4c﹣20，將61拆分為25和36，可得：b2+c2﹣8b﹣4c+20＝0，根據(jù)完全平方公式得（b2﹣8b+16）+（c2﹣4c+4）＝0，（b﹣4）2+（c﹣2）2＝0，∴b﹣4＝0，c﹣2＝0，∴b＝4，c＝2．∵a是△ABC中最長(zhǎng)的邊，∴4≤a＜6，即a的取值范圍為4≤a＜6．22．（2022秋?廣水市期末）【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因?yàn)椋╝+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，當(dāng)a＝﹣3時(shí)，代數(shù)式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【問(wèn)題解決】利用配方法解決下列問(wèn)題：（1））當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值為．（2）當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）當(dāng)x，y何值時(shí)，代數(shù)式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值為多少？（4）如圖所示的第一個(gè)長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)分別是2a+5、3a+2，面積為S1；如圖所示的第二個(gè)長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)分別是5a、a+5，面積為S2．試比較S1與S2的大小，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因?yàn)椋▁﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2．故答案為：1，﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因?yàn)椋▁+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；（3）5x2﹣4xy+y2+6x+25＝（4x2﹣4xy+y2）+（x2+6x+9）+16＝（2x﹣y）2+（x+3）2+16，因?yàn)椋?x﹣y）2≥0，（x+3）2≥0，所以5x2﹣4xy+y2+6x+25≥16，因此，當(dāng)x＝﹣3，y＝﹣6時(shí)，代數(shù)式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值是16；（4）S1＞S2．理由如下：∵S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，∴S1﹣S2＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，∴S1＞S2．題型6：用配方法判斷三角形的形狀23.已知△ABC的一邊長(zhǎng)為4，另外兩邊長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩根，當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？【答案】．【解析】由，得，所以或者． 當(dāng)時(shí)，和，滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系， 當(dāng)時(shí)，和，不滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系． 所以時(shí)，△ABC是等腰三角形24．（2023春?莊浪縣期中）若三角形的三邊a，b，c滿(mǎn)足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判斷此三角形的形狀，并求此三角形面積．【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴32+42＝52，即a2+b2＝c2，∴此三角形為直角三角形，∴面積為．題型7：利用配方法解決有關(guān)新定義問(wèn)題25．（2022秋?通川區(qū)期末）配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個(gè)式子或?qū)⒁粋€(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決問(wèn)題．定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?＝12+22，所以5是“完美數(shù)”．解決問(wèn)題：（1）已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n為常數(shù)），求mn的值；（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出k值．【解答】解：（1）∵29是“完美數(shù)”，∴29＝52+22；（2）∵x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1，又∵x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，∴m＝2，n＝1，∴mn＝2×1＝2．（3）當(dāng)k＝13時(shí)，S是完美數(shù)，理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9＝（x+2）2+（2y﹣3）2，∵x，y是整數(shù)，∴x+2，2y﹣3也是整數(shù)，∴S是一個(gè)“完美數(shù)”．26．（2023春?江都區(qū)月考）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．【解決問(wèn)題】（1）數(shù)11“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；數(shù)53“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問(wèn)題】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，則x+y＝；【拓展提升】（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）數(shù)11不是“完美數(shù)”；53＝22+72，數(shù)53是“完美數(shù)”．故答案為：不是，是；（2）已知等式變形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，則x+y＝2﹣1＝1．故答案為：1；（3）當(dāng)k＝36時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由如下：S＝2x2+y2+2xy+12x+k＝（x2+12x+k）+（y2+2xy+x2）＝（x2+12x+k）+（y+x）2，∵S是完美數(shù)，∴x2+12x+k是完全平方式，∴k＝36．27．（2023春?東陽(yáng)市期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12.所以5是“完美數(shù)”．解決問(wèn)題：（1）已知10是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），則mn＝；探究問(wèn)題：（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，則x+y＝；（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．拓展結(jié)論：（5）已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足﹣x2+x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．【解答】解：解決問(wèn)題：（1）根據(jù)題意得：10＝12+32；故答案為：10＝12+32；（2）根據(jù)題意得：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1m＝2，n＝﹣1；mn＝﹣2探究問(wèn)題：（3）已知等式變形得：（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，即（x﹣1）2+（y+32＝0，∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，∴x﹣1＝0，y+3＝0，得：x＝1，y＝﹣3則x+y＝1﹣3＝﹣2故答案為﹣2，（4）當(dāng)k＝8，S為“完美數(shù)”，理由如下：S＝x2+9y2+4x﹣12y+9，＝（x2+4x+4）+（9y2﹣12y+4），＝（x+2）2+（3y﹣2）2，∵x，y是整數(shù)，∴x+2，3y﹣2也是整數(shù)，∴S是一個(gè)“完美數(shù)”；拓展結(jié)論：（5）∵﹣x2+x+y﹣2＝0，∴﹣y＝﹣x2+x﹣2，即﹣3y＝﹣3x2+7x﹣6，5x﹣3y＝5x﹣3x2+7x﹣6，＝﹣3（x﹣2）2+6，當(dāng)x＝2時(shí)，5x﹣3y最大，最大值為：6．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1混淆方程配方與代數(shù)式配方28.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．【答案】5．【解析】因?yàn)?，所以，所以．易錯(cuò)點(diǎn)2配方時(shí)，沒(méi)有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯(cuò)誤29.如何用配方法解方程解：移常數(shù)項(xiàng)方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式開(kāi)平方解得求解所以原方程的根是.【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1．解一元二次方程-直接開(kāi)平方法30．（2020?揚(yáng)州）方程（x+1）2＝9的根是．【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案為：x1＝2，x2＝﹣4．考法2：解一元二次方程-配方法31．（2019?南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故選：C．考法3：換元法解一元二次方程32．（2002?南京）用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果設(shè)x2﹣x＝y(tǒng)，那么原方程變?yōu)椋窘獯稹拷猓焊鶕?jù)題意x2﹣x＝y(tǒng)，把原方程中的x2﹣x換成y，所以原方程變化為：y2﹣5y+6＝0考法4：配方法的應(yīng)用33．（2018?泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，則實(shí)數(shù)a的值為．【解答】解：依題意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故答案是：3．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）下列配方有錯(cuò)誤的是（）A．，化為B．，化為C．，化為D．，化為【答案】D【分析】根據(jù)配方法的一般步驟對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、由可化為，所以A選項(xiàng)的計(jì)算正確，不合題意；B、由可化為，所以B選項(xiàng)的計(jì)算正確，不合題意；C、先化為，則可化為，所以C選項(xiàng)的計(jì)算正確，不合題意；D、先化為，則可化為，所以D選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．2．（2023秋·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時(shí)，變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在方程兩邊加上16，然后把方程左邊配成完全平方形式即可．【詳解】解：，配方得，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程－配方法，關(guān)鍵是掌握配方的方法：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊除以，接著把方程兩邊加上，然后把方程左邊配成完全平方式，從而得到、的值，最后計(jì)算它們的和即可．【詳解】解：，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2022秋·山西太原·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在解方程時(shí)，對(duì)方程進(jìn)行配方，圖1是小思做的，圖2是小博做的，對(duì)于兩人的做法，說(shuō)法正確的是（

）A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確【答案】A【分析】根據(jù)配方法把含未知數(shù)的項(xiàng)寫(xiě)成完全平方式，形如的形式即可．【詳解】解：根據(jù)配方法可知兩人的做法都正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步驟，能正確的將一元二次方程配成的形式是解答的關(guān)鍵．5．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用配方法解方程時(shí)、配方正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把方程化為一般式，再把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半得平方進(jìn)行配方即可．【詳解】解：，整理得，移項(xiàng)得：，配方得：，即，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法求解一元二次方程的步驟．6．（2023秋·天津津南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的解為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】用直接開(kāi)平方法求解即可．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了用直接開(kāi)平方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握平方根的定義和用直接開(kāi)平方法解一元二次方程的方法和步驟．7．（2021秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？计谀┬露x：關(guān)于的一元二次方程與稱(chēng)為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，那么代數(shù)式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【答案】D【分析】根據(jù)同族二次方程的定義，可得出a和b的值，從而解得代數(shù)式的最小值．【詳解】解：與為同族二次方程．，，∴，解得：．∴當(dāng)時(shí)，取最小值為2016．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組的方法，理解同族二次方程的定義是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱(chēng)為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：∵與就是“同族二次方程”，∴，即，∴解得∴＝＝，則代數(shù)式能取的最大值是2020．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2023春·廣東河源·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）方程的根是．【答案】【分析】利用直接開(kāi)平方法解二元一次方程即可．【詳解】解：∵，∴或，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將配方成形式，則．【答案】【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）把方程用配方法化為的形式，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．【詳解】解：，，，．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，配方法的一般步驟：①把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；②把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．12．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）已知一元二次方程的兩根為、，且，則的值為．【答案】/【分析】先利用直接開(kāi)平方法解方程得到，，然后把它們代入中計(jì)算即可．【詳解】解：，，解得．，方程的兩根為、，且，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知方程，則此方程的解為．【答案】，【分析】根據(jù)直接開(kāi)平方法可進(jìn)行求解．【詳解】解：，∴，；故答案為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．14．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州六中校考階段練習(xí)）若，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】移項(xiàng)整理后，直接開(kāi)平方即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)校考期中）一元二次方程的根是．【答案】【分析】用配方法求解即可．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用配方法解一元二次方程的方法和步驟．16．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若（為實(shí)數(shù)），則的最小值為．【答案】【分析】運(yùn)用配方法將變形為，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即可．【詳解】解：===∵為實(shí)數(shù)，∴∴的最小值為,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)注意配方的步驟，注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．三、解答題17．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：【答案】【分析】由于方程兩邊都是完全平方式，這兩個(gè)式子相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，即可求解．【詳解】解∶原方程左右開(kāi)方變形為，即或，解得【點(diǎn)睛】此題主要考查了直接開(kāi)平方法，解決本題的關(guān)鍵是降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解．18．（2022秋·天津津南·九年級(jí)校考期中）選取最恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）直接開(kāi)平方把原方程化為兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程即可得解；（2）原方程先配方然后再開(kāi)平方，最后化為一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：開(kāi)方得：或，解得：，；（2）解：原方程兩邊除以3得：，∴，即，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握配方法及直接開(kāi)平方的解方程方法是解題關(guān)鍵．19．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）下面是小明同學(xué)解一元二次方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．．解：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，第一步

移項(xiàng)，得，第二步配方，得，第三步變形，得，第四步開(kāi)方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______，其中“配方法”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是______；(2)上述解題過(guò)程，從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】(1)轉(zhuǎn)化思想，完全平方公式(2)三，解答過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)解答過(guò)程判斷依據(jù)即可；（2）根據(jù)配方法判斷即可．【詳解】（1）解法中運(yùn)用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，其中“配方法”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是完全平方公式；（2）解題過(guò)程，從第三步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確的解答過(guò)程如下：解：，，，，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的幾種常見(jiàn)解法：直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、公式法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適的解法是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程．解：原方程可變形，得：．，．直接開(kāi)平方并整理，得．，．我們稱(chēng)小明這種解法為“平均數(shù)法”(1)下面是小明用“平均數(shù)法”解方程時(shí)寫(xiě)的解題過(guò)程．解：原方程可變形，得：．，∴．直接開(kāi)平方并整理，得．，．上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為_(kāi)_____，______，______，______．(2)請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：．【答案】(1)7，2，，．(2)，．【分析】（1）仿照平均數(shù)法可把原方程化為，可得，再解方程即可；（2）仿照平均數(shù)法可把原方程化為，可得，再解方程即可；【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴或，解得：，．∴上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為7，2，，．（2）∵，∴，∴，∴，∴，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，新定義運(yùn)算的含義，理解平均數(shù)法結(jié)合直接開(kāi)平方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．21．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式．再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線(xiàn)上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)(3)(4)4【分析】（1）根據(jù)題意，由完全平方公式，可以知道橫線(xiàn)上是，（2）按照題干上的示例可以將分為，再利用完全平方公式即可求解，（3）根據(jù)題意的方法，先將因式分解為完全平方的形式即，即可求出最小值，（4）根據(jù)題意先將因式分解，變成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：；（3）解：，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；（4）解：，，，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解決數(shù)學(xué)中的問(wèn)題；把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法；配方法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用比較廣泛，既可以利用配方法進(jìn)行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同時(shí)對(duì)于（4）中幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，可得這幾個(gè)加數(shù)同時(shí)為零，求出未知數(shù)的值，這一知識(shí)在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．22．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)課上,老師展示了這樣一段內(nèi)容．問(wèn)題求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小麗和小明想,二次多項(xiàng)式都能用類(lèi)似的方法求出最值（最小值或最大值）嗎？（1）小麗寫(xiě)出了一些二次三項(xiàng)式:①;

②;

③;④;

⑤;

⑥．經(jīng)探索可知,有最值的是__________（只填序號(hào)）,任選其中一個(gè)求出其最值;（2）小明寫(xiě)出了如下3個(gè)二次多項(xiàng)式:①;②;③．請(qǐng)選擇其中一個(gè),探索它是否有最值,并說(shuō)明理由．說(shuō)明:①②③的滿(mǎn)分分值分別為3分?4分?5分;若選多個(gè)作答,則以較低分計(jì)分．【答案】（1）①②③⑥;（2）①無(wú)最值,見(jiàn)解析;②最小值為1,見(jiàn)解析;③最小值為,見(jiàn)解析【分析】（1）可以選擇①,運(yùn)用上面類(lèi)似的方法——配方法,可得到:,再根據(jù)平方具有非負(fù)性可得到最小值,其它的也用類(lèi)似的方法解答即可;（2）①進(jìn)行探究,配方后得到,無(wú)法確定最值,②進(jìn)行研究,配方后得到即可,③進(jìn)行研究,配方后得到即可,選擇一個(gè)作答即可．【詳解】（1）①②③⑥①

最小值為0②,∵,∴,即原式最小值5;③,∵,∴,∴,即原式