人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專題13.2垂直平分線的判定與性質(zhì)【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題13.2垂直平分線的判定與性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由垂直平分線的性質(zhì)求線段長度】 1【題型2由垂直平分線的性質(zhì)求周長】 2【題型3由垂直平分線的性質(zhì)求角度】 3【題型4由垂直平分線的性質(zhì)求最值】 4【題型5由垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 6【題型6由垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明】 8【題型7證明是線段的垂直平分線】 9【題型8尺規(guī)作線段的垂直平分線或垂線】 10【題型9線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 11【題型10線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用】 13知識(shí)點(diǎn)1：垂直平分線的性質(zhì)（1）線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．書寫格式：如圖所示，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．【題型1由垂直平分線的性質(zhì)求線段長度】【例1】（23-24八年級(jí)·重慶渝中·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，DE⊥AC于點(diǎn)D，且AD=CD，∠ABE+∠CBE=180°，EF⊥BC于點(diǎn)F，若AB=7，BF=1，則BC=．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·廣東佛山·期末）如圖，已知線段AB，分別以點(diǎn)A,B為圓心，5為半徑作弧相交于點(diǎn)C,D．連接CD，點(diǎn)E在CD上，連接CA,CB,EA,EB．若△ABC與△ABE的周長之差為4，則AE的長為．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·江蘇連云港·期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE與邊AB,AC分別交于點(diǎn)D，E，已知△ABC與△BCE的周長分別為20cm和12cm，則BD的長為cm．

【變式1-3】（2024·廣東廣州·二模）如圖：小文在一個(gè)周長為22cm的△ABC中，截出了一個(gè)周長為14cm的△ADC，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D剛好落在AB的垂直平分線上，請(qǐng)問AB的長是【題型2由垂直平分線的性質(zhì)求周長】【例2】（23-24八年級(jí)·廣東梅州·期末）如圖，在△ABC中，AB=11，AC=6，BC=8，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，則△BCE的周長為（

）A．18 B．14 C．17 D．19【變式2-1】（23-24八年級(jí)·山東青島·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BC=12，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)F，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)H，則△AFH的周長是（

）A．63 B．10 C．12 D．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·山西太原·期末）如圖，在△ABC中，AE=CE=1,DE⊥AC．△BCD的周長為6，則△ABC的周長是．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·山東青島·期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線FG分別與BC、AC交于點(diǎn)F、G，BC=20，EF=7，則△AEF的周長是．【題型3由垂直平分線的性質(zhì)求角度】【例3】（23-24八年級(jí)·遼寧丹東·期中）如圖，∠A=80°，點(diǎn)O是AB，AC的垂直平分線OD，OE的交點(diǎn)，則∠BOC的度數(shù)為（

A．145° B．150° C．160° D．165°【變式3-1】（23-24八年級(jí)·北京東城·期末）如圖，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接BE，則∠BEC的大小為（

）

A．40° B．50° C．80° D．100°【變式3-2】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期末）在△ABC中，AB，AC的垂直平分線FD，GE分別交BC于點(diǎn)D，E，若∠B=30°，A．26° B．15° C．24° D．30°【變式3-3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（

）

A．α B．14α+90° C．12【題型4由垂直平分線的性質(zhì)求最值】【例4】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)．若BC=4，△ABC面積為10，則BM+MD長度的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式4-1】（23-24八年級(jí)·山東日照·期末）如圖，△ABC的周長為30，BC=12,AC=5，作BC邊的垂直平分線PF分別交AB，BC于點(diǎn)F,E．連接PB、PC，若點(diǎn)M是直線PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△MAC周長的最小值為．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的點(diǎn)．將△ABC沿直線EF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合．點(diǎn)P是直線EF上的任意一點(diǎn)，連接PD、PC．若BC=3，△ABC的面積為9．則△CDP周長的最小值為．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·山西臨汾·期末）我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸．如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連接PA，PB．將線段AB沿直線MN對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)PA與已知：如圖，MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，AC=BC，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)．

求證：PA=PB分析圖中有兩個(gè)直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PA=PB．(1)請(qǐng)結(jié)合以上分析、利用圖1寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．(2)定理應(yīng)用：如圖2，在△ABC中AB=AC，AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB，若AB=10cm，△MBC的周長是18cm①求BC的長

②點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)的過程中，△PBC的周長是否存在最小值？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置，并求出此時(shí)△PBC的周長；若不存在，說明理由．【題型5由垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】【例5】（2024八年級(jí)·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小：.（提示：可添加輔助線）

【變式5-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上.（1）線段AB、AC、CE三者之間的長度有什么關(guān)系？（2）線段AB+BD與DE有怎樣的關(guān)系呢？【變式5-2】（23-24八年級(jí)·福建龍巖·開學(xué)考試）如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DE⊥DF，交AB于點(diǎn)E，連接EG、EF．(1)求證：BG=CF；(2)請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)F．(1)求證：DC=DF；(2)若點(diǎn)E恰在線段AD的垂直平分線上，求證：AB=BD+DF．【題型6由垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明】【例6】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：△BDE≌(2)若AD⊥BC，求證：BA=BE【變式6-1】（23-24八年級(jí)·湖北襄陽·期末）如圖，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，

【變式6-2】（23-24八年級(jí)·陜西榆林·期末）如圖，在四邊形ABDC中，AD所在直線垂直平分線段BC，過點(diǎn)C作CF∥BD交AB于點(diǎn)F，延長AB，CD交于點(diǎn)E．求證：

(1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)E，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，求證：知識(shí)點(diǎn)2：垂直平分線的判定與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．書寫格式：如圖所示，若PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．【題型7證明是線段的垂直平分線】【例7】（23-24八年級(jí)·江蘇泰州·期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D,E分別為AB，AC上的點(diǎn)，BE=CD．(1)△ABD與△ACE全等嗎？為什么？(2)連接AF,DE，求證：AF垂直平分DE．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于F．

(1)求證：AF=CF；(2)連接BF，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·江蘇·周測(cè)）如圖，已知△ABC，點(diǎn)P為∠BAC的平分線上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F(1)求證∶PE=PF(2)若BE=CF，求證：點(diǎn)P在BC的垂直平分線上．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·江蘇·周測(cè)）如圖，OC是∠AOB的平分線，D、E兩點(diǎn)分別在邊OA、OB上，且OD=OE，點(diǎn)F在OC上，連接DF、EF、DE．

(1)DE與OF有何關(guān)系？為什么？(2)求證：DF=EF．【題型8尺規(guī)作線段的垂直平分線或垂線】【例8】（2024·山東青島·一模）已知△ABC，在BC上方求作一點(diǎn)P，使PB=PC，且S△PBC【變式8-1】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖，已知△ABCAB<BC，用尺規(guī)作圖在線段BC上確定一點(diǎn)P，使得PA+PC=BC，則下列作法正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【變式8-2】（2024·福建·一模）如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)O為邊AB中點(diǎn)，且AC=3，BC=4(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖在BC上作一點(diǎn)D，使得BD=AC+CD．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接OD，求△AOD的面積．【變式8-3】（23-24八年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的角平分線．(1)尺規(guī)作圖：作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；（標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法．）(2)連接DE、DF，求證：DE=DF．【題型9線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例9】（23-24八年級(jí)·湖南永州·期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)D為線段CE的中點(diǎn)，∠CAD=20°，∠ACB=70°．求證：BE=AC．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·廣東潮州·期中）已知：如圖，AB=AC，DB=DC，點(diǎn)E在AD上．求證：EB=EC．

【變式9-2】（23-24八年級(jí)·湖南長沙·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)M，N，直線EF，MN交于點(diǎn)P．(1)求證：點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上；(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度數(shù)．【變式9-3】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，DA⊥AB，垂足為A,CB⊥AB，垂足為B，E為AB的中點(diǎn)，AB=BC,CE⊥BD．（1）求證：BE=AD．（2）有同學(xué)認(rèn)為AC是線段DE的垂直平分線，你認(rèn)為對(duì)嗎？說說你的理由；（3）若∠ABD=25°，求∠BDC的度數(shù)．【題型10線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用】【例10】（2024八年級(jí)·全國·專題練習(xí)）如圖所示，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛，M，N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法，在AB上找一點(diǎn)C，使得汽車行駛到C處時(shí)，到村莊M，N的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式10-1】（23-24八年級(jí)·全國·課后作業(yè)）有一段關(guān)于古代藏寶圖的記載（如圖）：“從赤石向一棵杉樹筆直走去，恰好在其連線中點(diǎn)處向右轉(zhuǎn)90°前進(jìn)，到達(dá)唐伽山山腳的一個(gè)洞穴，寶物就在洞穴中．”怎樣根據(jù)這段記載找到藏寶洞穴的位置？在圖上標(biāo)出藏寶洞穴的位置．【變式10-2】（23-24八年級(jí)·湖南永州·期中）如圖，A、B、C三個(gè)居民小區(qū)，現(xiàn)要建一個(gè)生活超市，使它到這三個(gè)居民小區(qū)的距離相等，試確定生活超市位置P．

【變式10-3】（23-24八年級(jí)·貴州畢節(jié)·期末）作圖題：金沙縣新城區(qū)黃河大道l的一側(cè)有A、B兩個(gè)商住小區(qū)，為了方便居民出行，公交公司準(zhǔn)備在黃河大道l上修建一個(gè)公交車站．請(qǐng)問公交車站P建在什么位置從商住小區(qū)A乘坐公交車到小區(qū)B的路程最近，請(qǐng)?jiān)趫D中做出點(diǎn)P的位置．

專題13.2垂直平分線的判定與性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由垂直平分線的性質(zhì)求線段長度】 1【題型2由垂直平分線的性質(zhì)求周長】 5【題型3由垂直平分線的性質(zhì)求角度】 7【題型4由垂直平分線的性質(zhì)求最值】 11【題型5由垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 16【題型6由垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明】 21【題型7證明是線段的垂直平分線】 25【題型8尺規(guī)作線段的垂直平分線或垂線】 30【題型9線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 33【題型10線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用】 38知識(shí)點(diǎn)1：垂直平分線的性質(zhì)（1）線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．書寫格式：如圖所示，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．【題型1由垂直平分線的性質(zhì)求線段長度】【例1】（23-24八年級(jí)·重慶渝中·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，DE⊥AC于點(diǎn)D，且AD=CD，∠ABE+∠CBE=180°，EF⊥BC于點(diǎn)F，若AB=7，BF=1，則BC=．【答案】9【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造全等三角形．由線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=CE，由補(bǔ)角的性質(zhì)推出∠EBF=∠EBH，由AAS證明△EBH≌△EBF，得到EH=EF，BH=BF=1，又CE=AE，推出Rt△CEF≌Rt△AEH(HL)，得到FC=AH【詳解】解：過E作EH⊥AB交AB延長線于H，連接EA，∵DE⊥AC于點(diǎn)D，且AD=CD，∴AE=CE，∵∠ABE+∠CBE=180°，∠ABE+∠EBH=180°，∴∠EBF=∠EBH，∵EF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠EFB=∠EHB=90°，∵EB=EB，∴△EBH≌△EBF(AAS∴EH=EF，BH=BF=1，∵CE=AE，∴Rt∴FC=AH，∵AH=AB+BH=7+1=8，∴FC=8，∴BC=CF+BF=8+1=9．故答案為：9．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·廣東佛山·期末）如圖，已知線段AB，分別以點(diǎn)A,B為圓心，5為半徑作弧相交于點(diǎn)C,D．連接CD，點(diǎn)E在CD上，連接CA,CB,EA,EB．若△ABC與△ABE的周長之差為4，則AE的長為．【答案】3【分析】本題考查了線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖，正確理解作圖的意義，并靈活計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)作圖的意義，可得CD是線段AB的垂直平分線，△ABC與△ABE的周長之差為4，就是2AC?2AE=4，即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖的意義，可得CD是線段AB的垂直平分線，∴AC=BC,AE=BE，∴△ABC與△ABE的周長之差為4，即2AC?2AE=4，∵AC=5，∴10?2AE=4，解得AE=3，故答案為：3．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·江蘇連云港·期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE與邊AB,AC分別交于點(diǎn)D，E，已知△ABC與△BCE的周長分別為20cm和12cm，則BD的長為cm．

【答案】4【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA=EB，AD=BD=1∵△BCE的周長是12cm∴BC+BE+EC=12cm，即AC+BC=12∵△ABC的周長是20cm∴AB+AC+BC=20cm∴AB=20?12=8cm∴BD=1故答案為：4【變式1-3】（2024·廣東廣州·二模）如圖：小文在一個(gè)周長為22cm的△ABC中，截出了一個(gè)周長為14cm的△ADC，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D剛好落在AB的垂直平分線上，請(qǐng)問AB的長是【答案】8【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長等知識(shí)點(diǎn)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BD=AD，再根據(jù)三角形周長公式可得AD+DC+AC=22cm、AB+BC+AC=22cm、即AB+BD+DC+AC=22cm【詳解】解：∵點(diǎn)D剛好落在AB的垂直平分線上，∴BD=AD，∵△ADC的周長為14cm∴AD+DC+AC=22cm∴△ABC的周長為22cm∴AB+BC+AC=22cm，即AB+BD+DC+AC=22∴AB+AD+DC+AC=22cm，即∴AB=22cm故答案為：8．【題型2由垂直平分線的性質(zhì)求周長】【例2】（23-24八年級(jí)·廣東梅州·期末）如圖，在△ABC中，AB=11，AC=6，BC=8，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，則△BCE的周長為（

）A．18 B．14 C．17 D．19【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是求出△BCE的周長=BC+AB．先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AE=CE，然后根據(jù)三角形的周長公式求解即可．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AE=CE，∴△BCE的周長=BC+AE+BE=BC+AB，∵AB=11，BC=8，∴△BCE的周長=8+11=19．故選：D．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·山東青島·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BC=12，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)F，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)H，則△AFH的周長是（

）A．63 B．10 C．12 D．【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由FD是AB的垂直平分線，HG是AC的垂直平分線，得出AF=BF,AH=CH，即可求解，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵FD是AB的垂直平分線，HG是AC的垂直平分線，∴AF=BF,AH=CH，∵BC=12∴△AFH的周長=AF+FH+AH=BF+FH+CH=BC=12，故選：C．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·山西太原·期末）如圖，在△ABC中，AE=CE=1,DE⊥AC．△BCD的周長為6，則△ABC的周長是．【答案】8【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出CD=AD．由題意可知DE垂直平分AC，再根據(jù)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”可得CD=AD，結(jié)合△BCD的周長=BC+BD+CD，△ABC的周長=BC+AB+AC=BC+BD+AD+AE+CE，即可獲得答案．【詳解】解：∵AE=CE=1，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC，∴CD=AD，∵△BCD的周長為6，∴BC+BD+CD=6，∴△ABC的周長=BC+AB+AC=BC+BD+AD+AE+CE=BC+BD+CD+AE+CE=6+1+1=8．故答案為：8．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·山東青島·期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線FG分別與BC、AC交于點(diǎn)F、G，BC=20，EF=7，則△AEF的周長是．【答案】34【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等得到BE=AE，CF=AF，再根據(jù)三角形周長公式推出△AEF的周長【詳解】解：∵DE，F(xiàn)G分別是∴BE=AE，∴△AEF的周長=AE+AF+EF=CF+BE+EF=BF+EF+EF+CE+EF=BC+2EF，∵BC=20，EF=7，∴△AEF的周長為34，故答案為：34．【題型3由垂直平分線的性質(zhì)求角度】【例3】（23-24八年級(jí)·遼寧丹東·期中）如圖，∠A=80°，點(diǎn)O是AB，AC的垂直平分線OD，OE的交點(diǎn)，則∠BOC的度數(shù)為（

A．145° B．150° C．160° D．165°【答案】C【分析】本題考查垂直平分線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)，得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解，即可解題．【詳解】解：連接OA，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°?80°=100°，∵AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，∴OB=OA，OC=OA，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∴∠OBC+∠OCB=100°?(∠OBA+∠OCA)=20°，∴∠BOC=180°?20°=160°，故選C．

【變式3-1】（23-24八年級(jí)·北京東城·期末）如圖，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接BE，則∠BEC的大小為（

）

A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】C【分析】由線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，繼而求得∠ABE的度數(shù)，再由三角形的外角性質(zhì)則可求得答案．【詳解】∵線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵∠BEC=∠A+∠ABE∴∠BEC=40°+40°=80°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期末）在△ABC中，AB，AC的垂直平分線FD，GE分別交BC于點(diǎn)D，E，若∠B=30°，A．26° B．15° C．24° D．30°【答案】C【分析】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由垂直平分線的性質(zhì)得到∠BAD=∠B=30°，∠CAE=∠C=48°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC=102°，即可求解，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵FD垂直平分AB，，∴BD=AD，又∵∠B=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∵GE垂直平分AC，，∴AE=CE，又∵∠C=48°，∴∠CAE=∠C=48°，∵∠B=30°，∠C=48°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=102°，∴∠DAE=∠BAC?∠BAD?∠CAE=102°?30°?48°=24°，故選：C．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（

）

A．α B．14α+90° C．12【答案】B【分析】連接CO并延長，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OC，OB=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°?∠AIB，根據(jù)角平分線的定義得到∠IAB+∠IBA=90°?【詳解】解：連接CO并延長，

∵點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA=OC，OB=OC，∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個(gè)外角，∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，同理，∠BOD=2∠OCB，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，∴∠OCA+∠OCB=α∴∠ACB=α∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∠CAB∴∠IAB+∠IBA=1∴∠AIB=180°?(∠IAB+∠IBA)=90°+α故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【題型4由垂直平分線的性質(zhì)求最值】【例4】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)．若BC=4，△ABC面積為10，則BM+MD長度的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本題考查作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短路徑問題，連接AD，交直線EF于點(diǎn)N，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，BM+MD長度最小，最小值即為AD的長，結(jié)合已知條件求出AD即可．【詳解】解：連接AD，交直線EF于點(diǎn)N，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，由題意得，直線EF為線段AB的垂直平分線，∴AG=BG，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，BM+MD長度最小，最小值即為AD的長．∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵BC=4，△ABC面積為10，∴12解得AD=5．故選：B．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·山東日照·期末）如圖，△ABC的周長為30，BC=12,AC=5，作BC邊的垂直平分線PF分別交AB，BC于點(diǎn)F,E．連接PB、PC，若點(diǎn)M是直線PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△MAC周長的最小值為．【答案】18【分析】本題主要考查了最短距離問題，根據(jù)PF是BC的垂直平分線，即可得出MC=MB，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí)，MC+MA=FB+FA=AB，此時(shí)△MAC的周長最小，根據(jù)AB與AC的長即可得到△MAC周長的最小值．【詳解】解：如圖，連接FC，∵PF是BC邊的垂直平分線，∴FC=FB，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí)，MC+MA=FB+FA=AB，此時(shí)△MAC的周長最小，∵BC=12，AC=5，∴AB=13，∴△MAC周長的最小值為AB+AC=13+5=18，故答案為：18．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的點(diǎn)．將△ABC沿直線EF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合．點(diǎn)P是直線EF上的任意一點(diǎn)，連接PD、PC．若BC=3，△ABC的面積為9．則△CDP周長的最小值為．【答案】15【分析】連接AP，AD，先證明EF是線段AC的垂直平分線，再得出當(dāng)AD交EF于點(diǎn)P時(shí)，△PCD的周長最小，利用三角形的面積得出AD的長，最后根據(jù)△CDP周長＝PC+PD+CD得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AP，AD，∵將△ABC沿直線EF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∴AF=CF，EF⊥AC，∴EF是線段AC的垂直平分線，∴EA=EC，∵PC+PD=PA+PD≥AD，∴當(dāng)AD交EF于點(diǎn)P時(shí)，△PCD的周長最小，∵AB=AC，D為邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，CD=BD=1∵SΔ∴AD=6，∴△CDP周長的最小值為：PC+PD+CD=PA+PD+CD=AD+CD=6+=15故答案為：152【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)及三角形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，得出當(dāng)AD交EF于點(diǎn)P時(shí)，△PCD的周長最小是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·山西臨汾·期末）我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸．如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連接PA，PB．將線段AB沿直線MN對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)PA與已知：如圖，MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，AC=BC，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)．

求證：PA=PB分析圖中有兩個(gè)直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PA=PB．(1)請(qǐng)結(jié)合以上分析、利用圖1寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．(2)定理應(yīng)用：如圖2，在△ABC中AB=AC，AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB，若AB=10cm，△MBC的周長是18cm①求BC的長

②點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)的過程中，△PBC的周長是否存在最小值？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置，并求出此時(shí)△PBC的周長；若不存在，說明理由．【答案】(1)見解析(2)①BC=8cm；②圖見解析，△PBC的周長最小值是【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定：（1）證明△ACP≌△BCPSAS（2）①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到MB=MA，再根據(jù)三角形周長公式得到MB+MC+BC=AC+BC=18cm，再由AC=AB=10cm，可得BC=8cm；②如圖所示，連接PA、PB、PC，PA=PB，則當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PA+PC的值最小，即此時(shí)△PBC【詳解】（1）證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠ACP=∠BCP=90°，在△ACP和△BCP中，AC=BC∠ACP=∠BCP∴△ACP∴PA=PB；（2）解：①∵M(jìn)N垂直平分AB，∴MB=MA．∵△MBC的周長是18cm，∴MB+MC+BC=MA+MC+BC=AC+BC=18∵AC=AB=10cm∴BC=8cm②如圖所示，連接PA、PB、PC，∵AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，∴PA=PB，∴△PBC的周長=PB+PC+BC=PA+PC+8∴當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PA+PC的值最小，即此時(shí)△PBC的周長最小，最小值為PA+PC+8=AC+8=18cm

【題型5由垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】【例5】（2024八年級(jí)·上海·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小：.（提示：可添加輔助線）

【答案】BE+CF>EF【分析】延長ED至H，使DH=DE，連接CH、FH，證明△BDE≌△CDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH=BE，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得EF=HF，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可．【詳解】延長ED至H，使DH=DE，連接CH、FH，在△BDE和△CDH中，BD=CD∠BDE=∠CDH∴△BDE≌△CDH(SAS∴CH=BE，∵ED=HD，DE⊥DF，∴DF是EH的垂直平分線，∴EF=HF，在△CFH中，CH+CF>FH，∴BE+CF>EF，故答案為：BE+CF>EF．

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，正確的做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上.（1）線段AB、AC、CE三者之間的長度有什么關(guān)系？（2）線段AB+BD與DE有怎樣的關(guān)系呢？【答案】（1）AB=AC=【分析】（1）因?yàn)锳D⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，由垂直平分線的性質(zhì)得AB=AC=CE；（2）AB+BD=DE，由（1）的結(jié)論得AB=AC=CE，因?yàn)锳C+CD=AB+BD，所以DE=EC+CD=AB+BD，即AB+BD=DE．【詳解】解：（1）∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC又∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE∴AB、AC、CE之間的長度關(guān)系是AB=（2）∵BD=DC∴AB+BD=AC+BD=AC+CD=CE+CD=DE.∴AB+BD與DE之間的關(guān)系是AB+BD=DE【點(diǎn)睛】此題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，利用線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·福建龍巖·開學(xué)考試）如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DE⊥DF，交AB于點(diǎn)E，連接EG、EF．(1)求證：BG=CF；(2)請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)BE+CF>EF【分析】本題考查三角形全等的判定方法，垂直平分線的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）先利用ASA判定ΔBGD?ΔCFD（2）再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF．【詳解】（1）證明：∵BG//AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD與△CFD中，∵∠DBG=∠DCF∴△BGD≌△CFDASA∴BG=CF．（2）證明：BE+CF>EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等）．∴在△EBG中，BE+BG>EG，即BE+CF>EF．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)F．(1)求證：DC=DF；(2)若點(diǎn)E恰在線段AD的垂直平分線上，求證：AB=BD+DF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)：（1）由“ASA”可證△ADC≌△BDF，可得（2）連接DE，證明∠EDC=∠C；EA=EC，得出BE是AC的垂直平分線，得出AB=BC，故可得結(jié)論【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°,∵∠DBF+∠DFB=90°∴∠BAD=45°=∠ABD,∴AD=BD，∵BE⊥AC于點(diǎn)E，∴∠DBF+∠C=90°，∴∠C=∠DFB，在△ADC和△BDF中，∠ADC=∠BDF，∴△ADC≌∴DC=DF，（2）證明：連接DE.∵E在AD垂直平分線上，∴EA=ED，∴∠EDA=∠EAD，∵AD⊥BC，∴∠EDA+∠EDC=90°，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC，∴EA=EC，∴BE是AC的垂直平分線，∴AB=BC，∵BC=BD+CD=BD+DF∴AB=BD+DF．【題型6由垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明】【例6】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：△BDE≌(2)若AD⊥BC，求證：BA=BE【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)：（1）由中點(diǎn)，得到BD=CD，由BE∥AC，得到∠E=∠DAC,∠DBE=∠C，即可得證；（2）由全等三角形的性質(zhì)，得到ED=AD，進(jìn)而推出BD垂直平分AE，即可得證．【詳解】（1）證明：∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD．

∵BE∴∠E=∠DAC,∠DBE=∠C；

在△BDE和△CDA中，∠E=∠DAC∴△BDE≌△CDAAAS（2）證明：∵△BDE≌△CDA,∴ED=AD∵AD⊥BC,∴BD垂直平分AE，∴BA=BE．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·湖北襄陽·期末）如圖，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，

【答案】見解析【分析】連接BC，利用線段垂直平分線的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立.【詳解】證明：如圖，連接BC，

∵CD⊥AB于D,D是AB的中點(diǎn)，即CD垂直平分AB，∴AC=BC（線段垂直平分線的性質(zhì)），∵E為AC中點(diǎn)，BE⊥AC，∴BC=AB（線段垂直平分線的性質(zhì)），∴AC=AB．【點(diǎn)睛】題目主要考查線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·陜西榆林·期末）如圖，在四邊形ABDC中，AD所在直線垂直平分線段BC，過點(diǎn)C作CF∥BD交AB于點(diǎn)F，延長AB，CD交于點(diǎn)E．求證：

(1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由AD所在直線垂直平分線段BC得到BD=CD，從而得到∠BCD=∠CBD，再利用平行線的性質(zhì)可知∠CBD=∠FCB，再用等量代換即可證明；（2）由AD所在直線垂直平分線段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC，從而得到∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB，再根據(jù)∠FCB=∠BCE即可得證．【詳解】（1）證明：∵AD所在直線垂直平分線段BC，∴BD=CD，∴∠BCD=∠CBD．∵BD∥∴∠CBD=∠FCB，∴∠FCB=∠BCD，即CB平分∠ECF；（2）∵AD所在直線垂直平分線段BC，∴AC=AB，∴∠ACB=∠ABC．∵∠ABC是△BCE的一個(gè)外角，∴∠ABC=∠E+∠BCE，∴∠ABC=∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB．又∵∠FCB=∠BCD，即∠FCB=∠BCE，∴∠ACF=∠E．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)E，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，求證：【答案】見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．先證明△AGE≌△AGC(ASA)，得GE=GC，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得DE=DC，則∠DEC=∠DCE，然后由平行線的性質(zhì)得【詳解】證明：∵CE⊥AD，∴∠AGE=∠AGC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAG=∠CAG，在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGCAG=AG∴△AGE≌△AGC(ASA∴GE=GC，∴AG垂直平分CE，∴DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∵EF∥∴∠FEC=∠DCE，∴∠DEC=∠FEC．知識(shí)點(diǎn)2：垂直平分線的判定與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．書寫格式：如圖所示，若PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．【題型7證明是線段的垂直平分線】【例7】（23-24八年級(jí)·江蘇泰州·期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D,E分別為AB，AC上的點(diǎn)，BE=CD．(1)△ABD與△ACE全等嗎？為什么？(2)連接AF,DE，求證：AF垂直平分DE．【答案】(1)△ABD≌△ACE，詳見解析；(2)詳見解析．【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理、垂直平分線的判定定理等知識(shí)點(diǎn)，（1）根據(jù)AB=AC，BE=CD可得AE=AD，利用SAS，進(jìn)而證明（2）由AE=AD則A在DE的垂直平分線上，再證明△CDF≌△BEF可得EF=DF，故F在DE的垂直平分線上，則AF垂直平分DE；正解理解題意是解決此問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）△ABD與△ACE全等；理由：∵AB=AC，∴AB?BE=AC?CD即AE=AD，在△ABD與△ACE中，AB=AC∠A=∠A∴△ABD≌△ACESAS（2）如圖：連接DE，由（1）∵AD=AE，∴A在DE的垂直平分線上，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，在△CDF與△BEF，∠ABD=∠ACE，∴△CDF≌△BEF（AAS）∴EF=DF，∴F在DE的垂直平分線上，∴AF垂直平分DE．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于F．

(1)求證：AF=CF；(2)連接BF，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)BF⊥AC．理由見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BA=BC，∠BDA=∠BEC，根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠FDC=∠FEA，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．（2）由AB=CB，AF=CF可得點(diǎn)B，F(xiàn)在AC的垂直平分線，即可得出結(jié)論【詳解】（1）在△BAD和△BCE中，∵∠B=∠B∠BAD=∠BCE∴△BAD≌△BCE，∴AB=CB，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCE，∴∠BAC?∠BAD=∠BCA?∠BCE，即∠FAC=∠FCA∴AF=CF．（2）BF⊥AC．理由：由（1）得AB=CB，∴點(diǎn)B在AC的垂直平分線上．∵AF=CF，∴點(diǎn)F在AC的垂直平分線，∴BF垂直平分AC，即BF⊥AC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·江蘇·周測(cè)）如圖，已知△ABC，點(diǎn)P為∠BAC的平分線上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F(1)求證∶PE=PF(2)若BE=CF，求證：點(diǎn)P在BC的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）通過證明△APE≌△APF，即可求證；（2）連接PB、PC，通過證明△BPE≌△CPF，得到BP=CP，即可求證．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)P為∠BAC的平分線上一點(diǎn)∴∠BAP=∠FAP∵PE⊥AB，PF⊥AF∴∠PEA=∠PFA=90°在△APE和△APF中∠BAP=∠FAP∴△APE≌△APF∴PE=PF（2）證明：連接PB、PC，如下圖：由（1）可得：∠BEP=∠CFP=90°又∵PE=PF，BE=CF∴△BPE≌△CPF∴BP=CP∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·江蘇·周測(cè)）如圖，OC是∠AOB的平分線，D、E兩點(diǎn)分別在邊OA、OB上，且OD=OE，點(diǎn)F在OC上，連接DF、EF、DE．

(1)DE與OF有何關(guān)系？為什么？(2)求證：DF=EF．【答案】(1)OF垂直平分線DE，理由見解析(2)見解析【分析】（1）由角平分線的定義可知∠DOF=∠EOF，進(jìn)而利用SAS可證明△DOF≌△EOF，可得DF=EF，即可證明OF垂直平分線DE；（2）由（1）△DOF≌△EOF，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）OF垂直平分線DE，理由如下：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠DOF=∠EOF，在△DOF與△EOF中，OD=OE∠DOF=∠EOF∴△DOF≌△EOFSAS∴DF=EF，又∵OD=OE，∴OF垂直平分線DE；（2）證明：由（1）可知△DOF≌△EOF，∴DF=EF．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．【題型8尺規(guī)作線段的垂直平分線或垂線】【例8】（2024·山東青島·一模）已知△ABC，在BC上方求作一點(diǎn)P，使PB=PC，且S△PBC【答案】見解析【分析】本題考查了作圖，線段垂直分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．先作出BC的垂直平分線，再過點(diǎn)A作∠ABC的等角∠HAB，AH交BC的垂直平分線于點(diǎn)P，此時(shí)PB=PC，且S△PBC=S【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖，已知△ABCAB<BC，用尺規(guī)作圖在線段BC上確定一點(diǎn)P，使得PA+PC=BC，則下列作法正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】此題考查了垂直平分線的判定和作圖，由題意可得，PA+PC=BC，PB+PC=BC，則PA=PB，即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：∵PA+PC=BC，PB+PC=BC，∴PA=PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，故選：D．【變式8-2】（2024·福建·一模）如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)O為邊AB中點(diǎn)，且AC=3，BC=4(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖在BC上作一點(diǎn)D，使得BD=AC+CD．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接OD，求△AOD的面積．【答案】(1)見詳解(2)21【分析】（1）在BC的延長線上截取CE＝AC，作BE的垂直平分線交BC于點(diǎn)（2）如圖，連接OD，AD，利用BD=AC+CD可計(jì)算出CD=12，則BD＝72，再利用三角形面積公式可計(jì)算出S△ADB＝【詳解】（1）解：如圖所示：點(diǎn)D為在BC上一點(diǎn)，使得BD=AC+CD（2）解：如圖，連接OD，AD∵BD=AC+CD∴BC?CD=AC+CD即4?CD=3+CD，則CD=∴BD=BC?CD=4?∴S∵點(diǎn)O為邊AB中點(diǎn)∴S【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的面積．【變式8-3】（23-24八年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的角平分線．(1)尺規(guī)作圖：作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；（標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法．）(2)連接DE、DF，求證：DE=DF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；（1）根據(jù)尺規(guī)作線段垂直平分線的方法作圖即可；（2）連接DE、DF，AD與EF交于點(diǎn)O，證明△AOE≌△AOF，可得AE=AF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=【詳解】（1）解：如圖所示：（2）證明：如圖，連接DE、DF，AD與EF交于點(diǎn)O，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵EF垂直平分線段AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∴在△AOE和△AOF中∠AOE=∠AOF=90°AO=AO∴△AOE≌△AOFASA，∴AE=AF，∵EF垂直平分線段AD，∴AE=∴DE=DF．【題型9線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例9】（23-24八年級(jí)·湖南永州·期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)D為線段CE的中點(diǎn)，∠CAD=20°，∠ACB=70°．求證：BE=AC．【答案】見解析【分析】首先證明AD是線段EC的垂直平分線，即可得出AE=AC，根據(jù)AB的垂直平分線EF，即可得出AE=BE,即可證明．【詳解】證明：連接AE，∵∠ACB=70°，∠DAC=20°，∴∠ADC=180°?∠DAC?∠ACB=180°?20°?70°=90°，∴AD⊥EC．∵點(diǎn)D為線段CE的中點(diǎn)，∴DE=DC，∴AD垂直平分線段CE，∴AE=AC，∵EF垂直平分AB，∴AE=BE，∴BE=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·廣東潮州·期中）已知：如圖，AB=AC，DB=DC，點(diǎn)E在AD上．求證：EB=EC．

【答案】見解析【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理說明AE是線段BC的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得出答案．【詳解】證明：如圖，連接BC，

∵AB=AC，∴點(diǎn)A是線段BC垂直平分線上的點(diǎn)．∵DB=DC，∴點(diǎn)D是線段BC垂直平分線上的點(diǎn)，∴AE是線段BC垂直平分線，∴EB=EC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定，靈活的應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24八年級(jí)·湖南長沙·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)M，N，直線EF，MN交于點(diǎn)P．(1)求證：點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上；(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)62°【分析】此題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）連接PB、PC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：連接PB、PC，PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，∴PA=PB，PA=PC，∴PB=PC∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上；（2）解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，∴FA=FB，NA=NC，∠AEP=∠AMP=90°，∠ABC=∠BAF，∠ACB=