高二下學期數(shù)學期末模擬卷（一）2024年北師大版2019新高考數(shù)學期末沖刺模擬卷

高二下學期數(shù)學期末模擬卷（一）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．測試范圍：北師大版選擇性必修一、選擇性必修二。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的二項展開式中的系數(shù)為（

）A．15 B．6 C． D．2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線的上、下焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．4．曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．5．下列結論正確的是（

）A．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，()，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，…，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大B．已知具有線性相關關系的變量x，y，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)m的值是4C．50名學生在一模考試中的數(shù)學成績，已知，則的人數(shù)為20人D．已知隨機變量，若，則6．已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．7．雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．8．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一；享有“數(shù)學王子“的稱號.用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和，則（）A．999 B．749 C．499 D．249選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得09．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，則（

）A． B． C． D．10．（多選）如圖，八面體的每個面都是正三角形，若四邊形是邊長為4的正方形，則（

）

A．異面直線與所成角大小為B．二面角的平面角的余弦值為C．此八面體存在外接球D．此八面體的內(nèi)切球表面積為11．設函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心三．填空題本題共3小題，每小題5分，共15分12．甲、乙兩名學生在學校組織的課后服務活動中，準備從①②③④⑤這5個項目中分別隨機選擇其中1個項目，記事件A:甲和乙選擇的項目不同，事件B:甲和乙恰好一人選擇①，則．13．已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是．14．在中，三邊，，所對應的角分別是，，，已知，，成等比數(shù)列.若，數(shù)列滿足前項和為，.四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816．記為數(shù)列的前項和，且．(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和為．17．已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)當時，恒成立，求的取值范圍．18．已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．19．已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構造點，過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設為的面積，證明：對任意的正整數(shù)，.參考答案：1．B【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.【詳解】的二項展開式為，令，解得，故所求即為.故選：B.2．B【分析】分類討論甲乙的位置，得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進行求解.【詳解】當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B3．C【分析】由焦點坐標可得焦距，結合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.【詳解】由題意，、、，則，，，則，則.故選：C.4．A【分析】先求出切線方程，再求出切線的截距，從而可求面積.【詳解】，所以，故切線方程為，故切線的橫截距為，縱截距為，故切線與坐標軸圍成的面積為故選：A.5．D【分析】計算可得平均數(shù)不變，可得新數(shù)據(jù)極差變小，可判斷A；利用賀歸直線過樣本中心點，可求，可判斷B；可求得，進而可判斷C；由已知得，計算可判斷D.【詳解】對于A：新數(shù)據(jù)的總和為，與原數(shù)據(jù)的總和相等，且數(shù)據(jù)個數(shù)相等，因此平均數(shù)不變，因為，而，即極差變小了，由于兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，因此方差變小，故A錯誤；對于B：因為回歸直線方程必經(jīng)過樣本中心點，所以，解得，故B錯誤；對于C：因為一?？荚囍械臄?shù)學成績，，所以，所以，所以的人數(shù)為人，故C錯誤；對于D：因為，所以，，解得，故D正確.故選：D.6．C【分析】結合等差數(shù)列性質將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結合法即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，，此時.

故選：C7．C【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉化出三邊比例，設，由面積公式求出，由勾股定理得出，結合第一定義再求出.【詳解】如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設，，由，求得，因為，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：C8．A【分析】根據(jù)遞推關系可得為等比數(shù)列，進而可得，由累加法可求解，進而根據(jù)對數(shù)的運算性質可得，根據(jù)裂項求和即可求解.【詳解】由，得，因此數(shù)列為公比為5，首項為的等比數(shù)列，故，進而根據(jù)累加法得，由于，又，因此，則，故，所以.故選：A9．ABD【分析】根據(jù)已知條件，推出，即可得到數(shù)列的單調(diào)性，從而判斷A、B、D，再利用作差法判斷C．【詳解】因為，所以，，故，故A、B正確；，，所以單調(diào)遞增，則，所以，則，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD．10．ACD【分析】建立空間直角坐標系，運用坐標法計算異面直線所成角及二面角判斷AB；由判斷C項；利用等體積法求得內(nèi)切球的半徑，進而可求得內(nèi)切球的表面積即可判斷D項．【詳解】連接交于點，連接，由正方形，得，又八面體的每個面都是正三角形，則三點共線，且平面，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，對于A，，則，所以異面直線與所成角大小為，A正確；對于B，，設平面的法向量為，則，取，得，設平面的法向量為，則，取，得，于是，又平面與平面所成的二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為，B錯誤；對于C，因為，即為此八面體外接球的球心，因此此八面體一定存在外接球，C正確；對于D，設內(nèi)切球的半徑為，，八面體表面積則八面體的體積為，又八面體的體積為，因此，解得，所以內(nèi)切球的表面積為，D正確．故選：ACD【點睛】結論點睛：一個多面體的表面積為S，如果這個多面體有半徑為r的內(nèi)切球，則此多面體的體積V滿足：.11．AD【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導函數(shù)符號的關系進行分析；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【點睛】結論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心12．/0.4【分析】根據(jù)給定條件，求出事件和事件含有的基本事件數(shù)，再借助古典概率公式計算即得.【詳解】依題意，事件含有的基本事件數(shù)為，事件含有的基本事件數(shù)為，所以.故答案為：13．【分析】由題意轉化為，再利用導數(shù)轉化為求函數(shù)的值域，即可求解實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，無解，即，設，，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，所以函數(shù)的值域是，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：14．【分析】利用等比中項及正弦定理、余弦定理求出B，再分奇偶求出，分組求和即可得解.【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，即,又，所以，即，由知，所以，，為偶數(shù)，，為奇數(shù)，所以.故答案為：15．(1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；（2）用頻率估計概率可得，根據(jù)題意計算，結合題意分析判斷.【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得，因為，所以有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，則，可知，所以可以認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.16．(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通項公式．（2）利用錯位相減法可求.【詳解】（1）當時，，解得．當時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.17．(1)極小值為，無極大值.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，故，因為在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當時，，當時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.（2），設，則，當時，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當時，當時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當，此時在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導數(shù)進一步利用導數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質來確定如何分類.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取中點，連接，，借助中位線的性質與平行四邊形性質定理可得，結合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當空間直角坐標系，計算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得解；（3）借助空間中點到平面的距離公式計算即可得解.【詳解】（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，由是的中點，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、、、，則有、、，設平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點到平面的距離為.19．(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構造方式計算出的坐標即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗證結論；（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無關的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明的取值為與無關的定值即可.【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當時，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點為，該點顯然在的左支上.故，從而，.（2）由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達定理，另一根，相應的.所以該直線與的不同于的交點為，而注意到的橫坐標亦可通過韋達定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所