2024年全國一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線單選填空4雙曲線（中下中檔）

2024年全國一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線單選填空4雙曲線（中下、中檔）試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！秷A錐曲線——單選填空》題目分類有：橢圓（易~中檔），雙曲線（易~中檔），拋物線（易~中檔），其他等，大概251道題。雙曲線（中下）：（2024年閩J04漳州三檢）13.點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若為以為底的等腰三角形，則的離心率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖象，結(jié)合雙曲線的定義及題中條件可得，，，繼而根據(jù)勾股定理建立方程，解出即可.【詳解】由題可得，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則．設(shè)【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖象，結(jié)合雙曲線的定義及題中條件可得，，，繼而根據(jù)勾股定理建立方程，解出即可.【詳解】由題可得，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則．設(shè)，則，所以，所以．因?yàn)橹本€的斜率為，所以．又，所以，則，所以．在中，，即，解得，即雙曲線的離心率．故答案為：.（2024年魯J23泰安新泰一中）5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，以為直徑的圓與的一條漸近線交于另一點(diǎn)，若，則的離心率為（【答案】B【解析】【分析】由漸近線方程和⊥求出，由勾股定理得到，從而求出離心率.【詳解】由題意得，⊥，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故選：【答案】B【解析】【分析】由漸近線方程和⊥求出，由勾股定理得到，從而求出離心率.【詳解】由題意得，⊥，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故選：B.（2024年鄂J03武漢二聯(lián)，末）8.斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，交雙曲線兩條漸近線于，兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為（【答案】B【解析】【分析】設(shè)是中點(diǎn)，且，根據(jù)求得，再由得到直線傾斜角為，則直線傾斜角為，結(jié)合倍角正切公式求，進(jìn)而求離心率.【詳解】由題設(shè)，雙曲線的漸近線為，如下圖，若是中點(diǎn)，且，，則，可得，所以【答案】B【解析】【分析】設(shè)是中點(diǎn)，且，根據(jù)求得，再由得到直線傾斜角為，則直線傾斜角為，結(jié)合倍角正切公式求，進(jìn)而求離心率.【詳解】由題設(shè)，雙曲線的漸近線為，如下圖，若是中點(diǎn)，且，，則，可得，所以，則，而，則，所以，若直線傾斜角為，則直線傾斜角為，由，則，故，所以雙曲線的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若是中點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)差法求得，即，由得直線傾斜角為，則直線傾斜角為為關(guān)鍵.（2024年浙J25溫州二適，末）14.已知，分別是雙曲線與拋物線的公共點(diǎn)和公共焦點(diǎn)，直線傾斜角為，則雙曲線的離心率為【答案】或【解析】【分析】由題意，根據(jù)直線傾斜角為得直線的方程為，聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可得離心率.【詳解】【答案】或【解析】【分析】由題意，根據(jù)直線傾斜角為得直線的方程為，聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可得離心率.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)，所以，故，因直線傾斜角為，故直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，得，即，得或，當(dāng)時(shí)，，代入得，又因，，得，解得，又因，得當(dāng)時(shí)，，代入得，又因，，得，解得，又因，得故答案為：或.（2024年蘇J01高郵一模）7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在C的左支上，，的周長為，則C的離心率為（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)綜合條件，結(jié)合雙曲線定義，利用余弦定理計(jì)算即得.【詳解】令雙曲線的焦距為，依題意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：C【答案】C【解析】【分析】根據(jù)綜合條件，結(jié)合雙曲線定義，利用余弦定理計(jì)算即得.【詳解】令雙曲線的焦距為，依題意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：C（2024年浙J23適應(yīng)）7.已知過原點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（【答案】A【解析】【分析】通過對(duì)稱性以及數(shù)量積與垂直的關(guān)系可得是直角三角形，，由題意可設(shè)出，代入雙曲線方程可得關(guān)于的齊次式，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，，由對(duì)稱性知，，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，故是直角三角形，.不妨設(shè)點(diǎn)【答案】A【解析】【分析】通過對(duì)稱性以及數(shù)量積與垂直的關(guān)系可得是直角三角形，，由題意可設(shè)出，代入雙曲線方程可得關(guān)于的齊次式，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，，由對(duì)稱性知，，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，故是直角三角形，.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，直線的傾斜角為，則，，，則點(diǎn)，即.又點(diǎn)在雙曲線上，所以，即，即，又，所以，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題是求解雙曲線離心率的問題，解決本題的關(guān)鍵是由已知條件建立關(guān)于，的等式，解題時(shí)，應(yīng)善于從題目給出的條件中挖掘幾何元素間的關(guān)系，然后將這種關(guān)系用含，的等式表示，即可求得離心率.（2024年魯J02荷澤一模）13.已知斜率為的直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，在第一象限，若，則的離心率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線的斜率公式，利用銳角三角函數(shù)及點(diǎn)在雙曲線上，結(jié)合齊次式及雙曲線的離心率的公式即可求解.【詳解】過作軸，垂足為.如圖所示的斜率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線的斜率公式，利用銳角三角函數(shù)及點(diǎn)在雙曲線上，結(jié)合齊次式及雙曲線的離心率的公式即可求解.【詳解】過作軸，垂足為.如圖所示的斜率為，則,,在雙曲線上，即，于是有，進(jìn)而得出，解得或（舍），，即（負(fù)舍），故的離心率為.故答案為：.（2024年魯J03臨沂一模）13.已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上.，則的離心率為_【答案】【解析】【分析】利用已知條件的幾何關(guān)系把點(diǎn)的坐標(biāo)表示為，將該點(diǎn)代入雙曲線方程，構(gòu)造齊次式求離心率.【詳解】過點(diǎn)作軸的垂線垂足為，由已知得，【答案】【解析】【分析】利用已知條件的幾何關(guān)系把點(diǎn)的坐標(biāo)表示為，將該點(diǎn)代入雙曲線方程，構(gòu)造齊次式求離心率.【詳解】過點(diǎn)作軸的垂線垂足為，由已知得，，則，，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程得，整理得，將代入得，即，解得或∵，∴舍去，∴，故答案為：.（2024年J01全國一卷）12.設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為__【答案】【解析】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入【答案】【解析】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：（2024年冀J19張家口一模）4.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則的方程為（【答案】B【解析】【分析】由題意可得及漸近線方程，再根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離及求出即可得解.【詳解】由題意可得，所以，雙曲線漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離，所以，又，所以【答案】B【解析】【分析】由題意可得及漸近線方程，再根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離及求出即可得解.【詳解】由題意可得，所以，雙曲線漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離，所以，又，所以，所以的方程為.故選：B.（2024年粵J52燕博園）4.已知為雙曲線的中心，為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且上存在點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率為（4.答案：C【命題意圖】：本小題考查雙曲線的定義及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，體現(xiàn)解析幾何的基本思想與基本方法.【解析】：，）

A.B.C.5D.7

（中下）4.答案：C【命題意圖】：本小題考查雙曲線的定義及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，體現(xiàn)解析幾何的基本思想與基本方法.【解析】：，（2024年粵J42江門一模）5.設(shè)，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的漸近線于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)、分別在第一、三象限，若，則雙曲線的離心率為（【答案】C【解析】【分析】先求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再利用余弦定理求出之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率．【詳解】由題意得圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，又，解得或，∴，．又，∴，，在中，【答案】C【解析】【分析】先求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再利用余弦定理求出之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率．【詳解】由題意得圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，又，解得或，∴，．又，∴，，在中，，由余弦定理得即，化簡(jiǎn)得，∴．故選：C．（2024年粵J26深圳華僑城一模）7.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線與交于，兩點(diǎn).若，則的離心率為（【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可得，可得，再結(jié)合橢圓定義及離心率公式可得解.【詳解】如圖所示，由已知，則一條漸近線，即，又，即，且四邊形為矩形，所以，則，又根據(jù)橢圓定義可知，所以離心率，故選：D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可得，可得，再結(jié)合橢圓定義及離心率公式可得解.【詳解】如圖所示，由已知，則一條漸近線，即，又，即，且四邊形為矩形，所以，則，又根據(jù)橢圓定義可知，所以離心率，故選：D.（2024年鄂J12三校二模）12.關(guān)于雙曲線C：，四位同學(xué)給出了四個(gè)說法：

小明：雙曲線C的實(shí)軸長為8；小紅：雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3；

小強(qiáng)：雙曲線C的離心率為；小同：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為1；

若這4位同學(xué)中只有1位同學(xué)的說法錯(cuò)誤，則說法錯(cuò)誤的是【答案】①.小強(qiáng)②.．【解析】【分析】根據(jù)題意，小明、小紅、小強(qiáng)三個(gè)人中必有1位同學(xué)說法錯(cuò)誤，則小同的說法一定是正確的，小明和小紅正確，小強(qiáng)的說法錯(cuò)誤，得解.【詳解】由此確定由題意，小明正確則有，小紅正確有，小強(qiáng)正確有，小同正確則有，由此分析小明、小紅、小強(qiáng)三個(gè)人中必有1位同學(xué)說法錯(cuò)誤，則小同的說法一定是正確的，即，則小明和小紅正確，即雙曲線C：，故小強(qiáng)的說法錯(cuò)誤．故答案為：小強(qiáng)；.______；雙曲線C的方程為【答案】①.小強(qiáng)②.．【解析】【分析】根據(jù)題意，小明、小紅、小強(qiáng)三個(gè)人中必有1位同學(xué)說法錯(cuò)誤，則小同的說法一定是正確的，小明和小紅正確，小強(qiáng)的說法錯(cuò)誤，得解.【詳解】由此確定由題意，小明正確則有，小紅正確有，小強(qiáng)正確有，小同正確則有，由此分析小明、小紅、小強(qiáng)三個(gè)人中必有1位同學(xué)說法錯(cuò)誤，則小同的說法一定是正確的，即，則小明和小紅正確，即雙曲線C：，故小強(qiáng)的說法錯(cuò)誤．故答案為：小強(qiáng)；.（2024年浙J01湖州一中模擬）3.已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（【答案】B【解析】【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義可得，再根據(jù)三角形性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到線的距離求解即可.【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為，又由對(duì)稱性，不妨設(shè)在漸近線上.根據(jù)雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).又當(dāng)與漸近線垂直時(shí)取最小值，為，故最小值為5.故選：B【答案】B【解析】【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義可得，再根據(jù)三角形性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到線的距離求解即可.【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為，又由對(duì)稱性，不妨設(shè)在漸近線上.根據(jù)雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).又當(dāng)與漸近線垂直時(shí)取最小值，為，故最小值為5.故選：B（2024年湘J26衡陽八中，末）14.已知平面直角坐標(biāo)系中，直線：，：，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過作交于，作交于，得到的平行四邊形面積為1，記點(diǎn)的軌跡為曲線．若與圓有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為，再聯(lián)立直線與的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出平行四邊形面積，再結(jié)合平行四邊形面積為求出點(diǎn)的軌跡方程，再利用雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為，直線方程為，聯(lián)立，解得【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為，再聯(lián)立直線與的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出平行四邊形面積，再結(jié)合平行四邊形面積為求出點(diǎn)的軌跡方程，再利用雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為，直線方程為，聯(lián)立，解得，所以，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡為兩個(gè)雙曲線、，因?yàn)殡p曲線的實(shí)半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，若與圓有四個(gè)交點(diǎn)，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，最后結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求出的取值范圍.（2024年魯J01濱州一模，J06濰坊一模，末）14.已知平面直角坐標(biāo)系中，直線：，：，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過作交于，作交于，得到的平行四邊形面積為1，記點(diǎn)的軌跡為曲線．若與圓有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為，再聯(lián)立直線與的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出平行四邊形面積，再結(jié)合平行四邊形面積為求出點(diǎn)的軌跡方程，再利用雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為，直線方程為，聯(lián)立，解得【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為，再聯(lián)立直線與的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出平行四邊形面積，再結(jié)合平行四邊形面積為求出點(diǎn)的軌跡方程，再利用雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為，直線方程為，聯(lián)立，解得，所以，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡為兩個(gè)雙曲線、，因?yàn)殡p曲線實(shí)半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，若與圓有四個(gè)交點(diǎn)，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，最后結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求出的取值范圍.（2024年湘J01長郡一模）13.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，向量，動(dòng)點(diǎn)滿足，寫出一個(gè)，使得有且只有一個(gè)點(diǎn)同時(shí)滿足，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，有且只有一個(gè)點(diǎn)，即是指直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)即可.【詳解】由，且，知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，.設(shè)【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，有且只有一個(gè)點(diǎn)，即是指直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)即可.【詳解】由，且，知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，.設(shè)，因，則，由于，.若直線與雙曲線的一條漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).所以，解得.故答案為：.雙曲線（中檔）：（2024年粵J102韶關(guān)二測(cè)）7.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)A（A在軸右側(cè)）．若是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（【答案】C【解析】【分析】利用題給條件得到的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，連接.又中，，則,由直線可得，則，又由雙曲線可得，則，則有，即又，則有，整理得，解之得【答案】C【解析】【分析】利用題給條件得到的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，連接.又中，，則,由直線可得，則，又由雙曲線可得，則，則有，即又，則有，整理得，解之得則雙曲線的漸近線方程為.故選：C（2024年湘J34長郡二適）14.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限內(nèi)），設(shè)，分別為，的內(nèi)心，則當(dāng)時(shí)，__【答案】①.##②.##【解析】【分析】利用雙曲線定義和勾股定理即可求得，利用雙曲線定義以及內(nèi)切圓切線長相等，可知內(nèi)切圓的半徑即可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知，如下圖所示：由，則，故，而，所以，故，解得，所以【答案】①.##②.##【解析】【分析】利用雙曲線定義和勾股定理即可求得，利用雙曲線定義以及內(nèi)切圓切線長相等，可知內(nèi)切圓的半徑即可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知，如下圖所示：由，則，故，而，所以，故，解得，所以，若為內(nèi)切圓圓心且可知，以直角邊切點(diǎn)和為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，結(jié)合雙曲線定義內(nèi)切圓半徑所以；即內(nèi)切圓的半徑為；故答案為：，；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解雙曲線中焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓半徑時(shí)，經(jīng)常利用雙曲線定義以及切線長相等，代入數(shù)值計(jì)算即可求得結(jié)果.（2024年浙J06金麗衢一聯(lián)，末）8.已知分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，是雙曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線，與交于兩點(diǎn)，的外接圓面積分別為，則的最小值為（【答案】A【解析】【分析】容易知道，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，則，設(shè)的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值.【詳解】由已知得，，，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，所以，，所以，設(shè)直線【答案】A【解析】【分析】容易知道，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，則，設(shè)的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值.【詳解】由已知得，，，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，所以，，所以，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，同時(shí)令，則，，所以，設(shè)的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若、分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線的斜率之積為定值.（2024年浙J04溫州一適，末）16.斜率為1的直線與雙曲線（）交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，滿足，和的重心分別為，的外心為，記直線，，的斜率為，，，若，則雙曲線的離心率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級(jí)結(jié)論斜率之積為定值，取的中點(diǎn)，得到，再由，，結(jié)合所以，求得，利用，即可求解.【詳解】若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級(jí)結(jié)論斜率之積為定值，取的中點(diǎn)，得到，再由，，結(jié)合所以，求得，利用，即可求解.【詳解】若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，又由在直線上，可得，所以，所以，即直線與雙曲線相交線的中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率與直線的斜率之積為定值，如圖所示，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈闹匦脑谥芯€上，的重心在中線上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因?yàn)?，且的外心為點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn)，可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】知識(shí)方法：求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.（2024年粵J02佛山一中一模）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，弦AB的中點(diǎn)為M且.若過原點(diǎn)O與點(diǎn)M的直線的斜率不小于，則雙曲線E的離心率的取值范圍為（【答案】B【解析】【分析】方法一：連接，，結(jié)合雙曲線的定義，再由條件列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；方法二：連接，，可得，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，表示出，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】方法一：如圖，設(shè)雙曲線E的半焦距為c，連接，，因?yàn)?，所?設(shè)，由雙曲線的定義，得【答案】B【解析】【分析】方法一：連接，，結(jié)合雙曲線的定義，再由條件列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；方法二：連接，，可得，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，表示出，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】方法一：如圖，設(shè)雙曲線E的半焦距為c，連接，，因?yàn)?，所?設(shè)，由雙曲線的定義，得，，所以，，，所以，即.設(shè)，則，所以，解得.又，所以，解得，所以，即，所以.故選：B.方法二：如圖，設(shè)雙曲線E的半焦距為c，連接，，因?yàn)?，所?設(shè)，由雙曲線的定義，得，，所以.設(shè)直線l的方程為，，.由，消去x并整理，得.，因?yàn)橹本€l與雙曲線E的兩支相交，所以，即.由，得.結(jié)合，化簡(jiǎn)得①.由，兩式相減，得，即②，②代入①化簡(jiǎn)，得，所以，即，所以.故選：B.（2024年鄂J05七市調(diào)研）13.已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，則__________；當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為____【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.【詳解】設(shè)，則，可得，又因?yàn)榉謩e為雙曲線的左右頂點(diǎn)，可得，【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.【詳解】設(shè)，則，可得，又因?yàn)榉謩e為雙曲線的左右頂點(diǎn)，可得，所以；又由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，解得，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；.（2024年粵J18執(zhí)信二調(diào)）15.過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向⊙和⊙作切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為【答案】17【解析】【分析】根據(jù)雙曲線和圓的方程可確定雙曲線焦點(diǎn)與圓的圓心重合，利用勾股定理表示出切線長，將問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用雙曲線定義和三角形三邊關(guān)系可求得最小值.【詳解】由，得，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由圓的方程知：圓圓心的坐標(biāo)為，半徑，【答案】17【解析】【分析】根據(jù)雙曲線和圓的方程可確定雙曲線焦點(diǎn)與圓的圓心重合，利用勾股定理表示出切線長，將問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用雙曲線定義和三角形三邊關(guān)系可求得最小值.【詳解】由，得，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由圓的方程知：圓圓心的坐標(biāo)為，半徑，圓圓心的坐標(biāo)為，半徑，分別為兩圓切線，，，為雙曲線右支上的點(diǎn)，且雙曲線焦點(diǎn)為，又（當(dāng)為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），，即的最小值為.故答案為：17.（2024年粵J21中附一調(diào)）15.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線有交點(diǎn)，且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，則雙曲線離心率取值范圍范圍為【答案】【解析】【分析】由直線與雙曲線有交點(diǎn)，得在一三象限的漸近線的斜率大于1，得出的一個(gè)范圍．雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得【答案】【解析】【分析】由直線與雙曲線有交點(diǎn)，得在一三象限的漸近線的斜率大于1，得出的一個(gè)范圍．雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，與軸交于點(diǎn)，由平面幾何的知識(shí)及雙曲線定義得，在直角三角形中由邊的關(guān)系得不等式，得出的范圍，同時(shí)由的范圍又是一個(gè)不等關(guān)系，從而得出離心率范圍．【詳解】雙曲線C與直線有交點(diǎn)，則，，解得，雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，則點(diǎn)在右支上，設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性，所以，所以，，所以，由得，所以，又中，，，所以，即，綜上，．故答案為：．（2024年粵J19執(zhí)信沖刺）15.已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限且與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，，直線NE與雙曲線的右支交于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為【答案】##【解析】【分析】先設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得點(diǎn)坐標(biāo)，推理證明（二階結(jié)論），再利用和整體代