函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例二

函數(shù)模子的應(yīng)用實(shí)例〔二〕〔一〕涵養(yǎng)目的1．常識與技藝操縱應(yīng)用指數(shù)型，擬合型函數(shù)模子解答實(shí)際應(yīng)用咨詢題的題型特征，晉升教師處置龐雜的實(shí)際應(yīng)用咨詢題的才干.2．進(jìn)程與辦法HYPERLINK閱歷實(shí)際應(yīng)用咨詢題的求解進(jìn)程，休會指數(shù)函數(shù)模子、擬合函數(shù)模子的題型特征，學(xué)會應(yīng)用函數(shù)常識處置實(shí)際咨詢題.3．感情、破場與代價不雅不雅理解數(shù)學(xué)常識起源于生涯，又效能于實(shí)際，從而培育教師的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，進(jìn)步教師進(jìn)修數(shù)學(xué)的興味.〔二〕涵養(yǎng)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)模子、擬合函數(shù)模子的應(yīng)用難點(diǎn)：依照題設(shè)情境，樹破函數(shù)模子.〔三〕涵養(yǎng)辦法師生協(xié)作探求解題辦法，總結(jié)解題法那么.教師啟示引誘，教師動手實(shí)驗(yàn)相聯(lián)合.從而辦法應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模子，似合函數(shù)模子處置實(shí)際咨詢題的技藝.〔四〕涵養(yǎng)進(jìn)程涵養(yǎng)環(huán)節(jié)涵養(yǎng)內(nèi)容師生互動方案用意溫習(xí)引入例1某桶裝水運(yùn)營部天天的房租、職員人為等硬朗本鈔票為200元，每桶水的進(jìn)價是5元.販賣單價與日均販賣量的關(guān)聯(lián)如表所示：販賣單價/元6789日均販賣量/桶480440400360販賣單價/元101112日均販賣量/桶320280240請據(jù)以上數(shù)據(jù)作出剖析，那個運(yùn)營部怎樣樣訂價才干取得最大年夜利潤？師生協(xié)作回憶一元一次函數(shù)，一元二次函數(shù).分段函數(shù)建模實(shí)際咨詢題的求解思緒“審、建、解、檢〞HYPERLINK"://zxxk"生：實(shí)驗(yàn)解答例1HYPERLINK"://zxxk"解：依照表，販賣單價每添加1元，日均販賣量就添加40桶.設(shè)在進(jìn)價根底上添加x元后，日均販賣利潤為y元，而在此情況下的日均販賣量就為HYPERLINK"://zxxk"480–40(x–1)=520–40x(桶)HYPERLINK"://zxxk"因?yàn)閤＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，因此可得HYPERLINK"://zxxk"y=(520–40x)x–200HYPERLINK"://zxxk"=–40x2+520x–200，0＜x＜13HYPERLINK"://zxxk"易知，當(dāng)x=6.5時，y有最大年夜值.HYPERLINK"://zxxk"因此，只要將販賣單價定為11.5元，就可取得最大年夜的利潤.HYPERLINK"://zxxk"師：協(xié)助講義剖析解答進(jìn)程，回憶反思上節(jié)課的進(jìn)修結(jié)果以舊引新激起興味，再現(xiàn)應(yīng)用技藝.應(yīng)用舉例4．指數(shù)型函數(shù)模子的應(yīng)用HYPERLINK"://zxxk"例1生齒咨詢題是當(dāng)當(dāng)代界各國廣泛存眷的咨詢題.看法生齒數(shù)目的變更法那么，能夠?yàn)闊o效操縱生齒添加供給依照.早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了天然外形下的生齒添加模子：y=y0ert，HYPERLINK"://zxxk"此中t表示經(jīng)過的時刻，y0表示t=0時的生齒數(shù)，r表示生齒的年均勻添加率.HYPERLINK"://zxxk"下表是1950~1959年我國的生齒數(shù)據(jù)材料：年份19501951195219531954人數(shù)/萬人5519656300574825879660266年份19551956195719581959人數(shù)/萬人6145662828645636599467207〔1〕假定以各年生齒添加率的均勻值作為我國這一時代的生齒添加率〔準(zhǔn)確到0.0001〕，用馬爾薩斯生齒添加模子樹破我國在這一時代的詳細(xì)生齒添加模子，并測驗(yàn)所得模子與實(shí)際生齒數(shù)據(jù)是否契合；HYPERLINK"://zxxk"〔2〕假定按表的添加趨向，大年夜概在哪一年我國的生齒到達(dá)13億？HYPERLINK"://zxxk"例2某地域差別身高的未成年男性的體重均勻值如表身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05〔1〕依照表供給的數(shù)據(jù)，是否樹破恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模子，使它能比擬近似地反應(yīng)那個地域未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)聯(lián)？試寫出那個函數(shù)模子的剖析式.HYPERLINK"://zxxk"〔2〕假定體重跨越一樣身高男性體重均勻值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么那個地域一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否畸形？HYPERLINK"://zxxk"例2解答：HYPERLINK"://zxxk"〔1〕以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖.依照點(diǎn)的散布特征，可思索以y=a·bx作為描繪那個地域未成年男性的體重與身高關(guān)聯(lián)的函數(shù)模子.HYPERLINK"://zxxk"HYPERLINK"://zxxk"假定取此中的兩組數(shù)據(jù)(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用計劃器算得a≈2，b≈1.02.HYPERLINK"://zxxk"如此，咱們就失落失落落一個函數(shù)模子：y=2×1.02x.HYPERLINK"://zxxk"將曾經(jīng)清晰數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)剖析式，或作出上述函數(shù)的圖象，能夠察覺，那個函數(shù)模子與曾經(jīng)清晰數(shù)據(jù)的擬合水平較好，這闡明它能較好地反應(yīng)那個地域未成年男性體重與身高的關(guān)聯(lián).HYPERLINK"://zxxk"〔2〕將x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，HYPERLINK"://zxxk"由計劃器算得y≈63.98.HYPERLINK"://zxxk"因?yàn)?8÷63.98≈1.22＞1.2，HYPERLINK"://zxxk"因此，那個男生偏胖.HYPERLINK"://zxxk"歸結(jié)總結(jié)：HYPERLINK"://zxxk"經(jīng)過樹破函數(shù)模子，處置實(shí)際實(shí)際咨詢題的全然進(jìn)程：HYPERLINK"://zxxk"師：形如y=bacx函數(shù)為指數(shù)型函數(shù)，破費(fèi)生涯中以此函數(shù)構(gòu)建模子的實(shí)例特不多〔如例1〕HYPERLINK"://zxxk"生：在教師的指點(diǎn)下審題、建模、求解、測驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)此例HYPERLINK"://zxxk"師生協(xié)作總結(jié)解答思緒及題型特征HYPERLINK"://zxxk"師生：獨(dú)特實(shí)現(xiàn)例1解答：HYPERLINK"://zxxk"〔1〕設(shè)1951~1959年的生齒添加率分不為r1，r2，…，r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的生齒添加率HYPERLINK"://zxxk"r1≈0.0200.HYPERLINK"://zxxk"同理可得，HYPERLINK"://zxxk"r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，HYPERLINK"://zxxk"r8≈0.0222，r9≈0.0184.HYPERLINK"://zxxk"因此，1951~1959年時代，我國生齒的年均添加率為HYPERLINK"://zxxk"r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.HYPERLINK"://zxxk"令y0=55196，那么我國在1950~1959年時代的生齒添加模子為y=55196e0.0221t，t∈N.HYPERLINK"://zxxk"依照表中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖并作出函數(shù)HYPERLINK"://zxxk"y=55196e0.0221t(t∈N)的圖象HYPERLINK"://zxxk"HYPERLINK"://zxxk"由圖能夠看出，所得模子與1950~1959年的實(shí)際生齒數(shù)據(jù)全然契合.HYPERLINK"://zxxk"〔2〕將y=130000代入HYPERLINK"://zxxk"y=55196e0.0221t，HYPERLINK"://zxxk"由計劃器可得t≈38.76.HYPERLINK"://zxxk"因此，假定按表的添加趨向，那么大年夜概在1950年后的第39年〔即1989年〕我國的生齒就已到達(dá)13億.由此能夠看到，假定不履行方案生養(yǎng)，而是讓生齒天然添加，他日我國將面對難以接受的生齒壓力.HYPERLINK"://zxxk"經(jīng)過實(shí)例求解，提煉辦法整合思緒晉升才干.波動訓(xùn)練訓(xùn)練1曾經(jīng)清晰1650年天下生齒為5億，事后生齒的年添加率為0.3%；1970年天下生齒為36億，事后生齒的年添加率為2.1%.〔1〕用馬爾薩斯生齒模子計劃，什么時分天下生齒是1650年的2倍？什么時分天下生齒是1970年的2倍？〔2〕實(shí)際上，1850年往常天下生齒就跨越了10億；而2003年天下生齒還不到達(dá)72億.你對異樣的模子得出的兩個結(jié)果有何看法？解答：〔1〕曾經(jīng)清晰生齒模子為y=y0en，此中y0表示t=0時的生齒數(shù)，r表示生齒的年添加率.假定按1650年天下生齒5億，年添加率為0.3%估量，有y=5e0.003t.當(dāng)y=10時，解得t≈231.因此，1881年天下生齒約為1650年的2倍.同理可知，2003年天下生齒數(shù)約為1970年的2倍.〔2〕由此看出，此模子不太適合估量跨度時刻特不大年夜的生齒添加情況.固化才干強(qiáng)化技藝應(yīng)用舉例4．?dāng)M合函數(shù)模子例3某皮鞋廠從往年1月份開場投產(chǎn)，同時前4個月的產(chǎn)量分不為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙.因?yàn)楫a(chǎn)物質(zhì)量好，樣式新鮮，前多少多個月的販賣情況優(yōu)秀.為了傾銷員在傾銷產(chǎn)物時，接受定單不至于過多或過少，需求估量當(dāng)前多少多個月的產(chǎn)量.廠里剖析，產(chǎn)量的添加是因?yàn)楣と似瀑M(fèi)純熟跟理順了破費(fèi)流程.廠里也臨時不預(yù)備添加裝備跟工人.假定你是廠長，就月份x，產(chǎn)量y給出四種函數(shù)模子：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+c，你將應(yīng)用哪一種模子去預(yù)算當(dāng)前多少多個月的產(chǎn)量？歸結(jié)總結(jié)：因此y=–0.8×0.54+1.4=1.35此題是對數(shù)據(jù)進(jìn)展函數(shù)模仿，抉擇最契合的模仿函數(shù).普通思緒要畫出散點(diǎn)圖，而后作出模仿函數(shù)的圖象，抉擇適合的多少多種函數(shù)模范后，再加以驗(yàn)證.函數(shù)模子的樹破是最大年夜的難點(diǎn)，不的運(yùn)算量較大年夜，必需借助計劃機(jī)進(jìn)展數(shù)據(jù)處置，函數(shù)模子的牢靠性與合感性既需求數(shù)據(jù)測驗(yàn)，又必需與詳細(xì)實(shí)際聯(lián)合起來.生：動手實(shí)際解題此例教師四個代表分不板書四種函數(shù)模子.師：點(diǎn)評教師解答，總結(jié)，答復(fù)以下咨詢題剖析：此題是經(jīng)過數(shù)據(jù)驗(yàn)證，斷定系數(shù)，而后剖析斷定函數(shù)的變更情況，終極尋出與實(shí)際最瀕臨的函數(shù)模子.由題知A(1，1)，B(2，1.2)，C

(3，1.3)，D(4，1.37).〔1〕設(shè)模仿函數(shù)為y=ax+b，將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，有因此得y=0.1x+1.〔2〕設(shè)y=ax2+bx+c，將A，B，C三點(diǎn)代入，有因此y=–0.05x2+0.35x+0.7.〔3〕設(shè)，將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，有因此〔4〕設(shè)y=abx+c，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得用已學(xué)函數(shù)模子綜合求解咨詢題，晉升綜合應(yīng)用模子的才干.波動訓(xùn)練訓(xùn)練2某地域往年1月，2月，3月患某種沾染病的人數(shù)分不為52，61，68.為了猜測當(dāng)前各月的抱病人數(shù)，甲抉擇了模子y=ax2+bx+c，乙抉擇了模子y=pqx+r，此中y為抱病人數(shù)，x為月份數(shù)，a,b,c,p,q,r全然上常數(shù).結(jié)果4月，5月，6月份的抱病人分不為74,78，83，你認(rèn)為誰抉擇的模子較好？教師口述解題思緒教師借助電腦解答咨詢題〔1〕列表〔2〕畫散點(diǎn)圖.〔3〕斷定函數(shù)模子.甲：y1=–x2+12x+41，乙：y2=–52.07×0.778x+92.5〔4〕做出函數(shù)圖象進(jìn)展比擬.計劃x=6時，y1=77，y2=80.9.可見，乙抉擇的模子較好.固化解題技藝歸結(jié)總結(jié)1．?dāng)?shù)學(xué)模子所謂數(shù)學(xué)模子是指對客不雅不雅實(shí)際的特征或數(shù)目關(guān)聯(lián)進(jìn)展籠統(tǒng)歸結(jié)綜合，用辦法化的數(shù)學(xué)言語表述的一種數(shù)學(xué)構(gòu)造.數(shù)學(xué)模子剔除了事物中所有與研討目的無實(shí)質(zhì)聯(lián)絡(luò)的種種屬性，在地道外形下研討數(shù)目關(guān)聯(lián)跟空間辦法，函數(shù)確實(shí)是最要緊的數(shù)學(xué)模子，用函數(shù)處置方程咨詢題，使求解變得隨意進(jìn)展，這是數(shù)學(xué)模子間的互相轉(zhuǎn)換在發(fā)揚(yáng)沾染.而用函數(shù)處置實(shí)際咨詢題，那么表白了數(shù)學(xué)模子是聯(lián)絡(luò)數(shù)學(xué)與夢想天下的橋梁.2．對于數(shù)學(xué)建模中的假定就普通的數(shù)學(xué)建模來說，是離不開假定的，假定在咨詢題的原始外形下不作任何假定，將所有的變更要素全體思索到別處去，對于稍龐雜一點(diǎn)的咨詢題就無奈動手了.假定的沾染要緊表如今以下多少多個方面：〔1〕進(jìn)一步清晰模子中需求思索的要素跟它們在咨詢題中