專題7-1 直線與圓綜合應(yīng)用歸類（原卷版）

專題7-1直線與圓綜合應(yīng)用歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01含參直線過定點 1題型02含參雙直線型 2題型03圓切線型含參動直線 3題型04圓綜合：弦長最值 3題型05圓綜合：切線最值 4題型06圓綜合：三角形面積最值 5題型07圓綜合：四邊形最值 6題型08圓綜合：切線轉(zhuǎn)化 7題型09圓綜合：將軍飲馬型最值 7題型10圓綜合：切點弦 8題型11圓綜合：切點弦過定點 9題型12圓綜合：切點弦最值 10題型13直線與圓綜合：兩圓公切線 11題型14直線與圓綜合：超難壓軸小題選 12高考練場 12題型01含參直線過定點【解題攻略】一般情況下，過定點直線系：過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.【典例1-1】（2023上·重慶開州·高三重慶市開州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，若，則（

）A． B． C．或 D．【典例1-2】（2020下·高三課時練習(xí)）若，且，則直線必不過（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式1-1】（2024上·天津·高三天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考）直線：與圓：交于、兩點，點為中點，直線：與兩坐標(biāo)軸分別交于、兩點，則面積的最大值為（

）A． B．9 C．10 D．【變式1-2】．（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考）在平面直角坐標(biāo)系中，直線：被圓：截得的最短弦的長度為（

）A． B．2 C． D．4【變式1-3】（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考）設(shè)點，直線：，當(dāng)點到的距離最大時，直線的斜率為（

）A． B． C． D．題型02含參雙直線型【解題攻略】如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點必在定點線段為直徑的圓上。每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點。兩條動直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動態(tài)垂直”。如果兩條動直線“動態(tài)垂直”，則兩直線交點必在兩條直線所過定點為直徑的圓上。如果兩條動直線交點在對應(yīng)的兩直線所過定點為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進(jìn)行線段的最值求解計算【典例1-1】（2023上·浙江紹興·高三紹興一中?？迹┮阎?，三點，直線l1：與直線l2：相交于點P，則的最大值（

）A．72 B．80 C．88 D．100【典例1-2】（2024上·全國·高三）過定點的直線與過定點的直線交于點（與不重合），則面積的最大值為（

）A．4 B． C．2 D．【變式1-1】（2023上·全國·高三）已知，，直線：與直線：相交于點，則的面積最大值為（

）A．10 B．14 C．18 D．20【變式1-2】（2024上·全國·高三）設(shè)，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．5【變式1-3】AB中點為Q，則的值為（

）A． B． C． D．與m的取值有關(guān)題型03圓切線型含參動直線【解題攻略】圓的動切線：到直線系距離，每條直線的距離，直線系表示圓的切線集合，【典例1-1】（2022上·湖南懷化·高三?？迹┰谥苯亲鴺?biāo)系中，全集，集合，已知集合A的補(bǔ)集所對應(yīng)區(qū)域的對稱中心為M，點P是線段（，）上的動點，點Q是x軸上的動點，則周長的最小值為（

）A．24 B． C．14 D．【典例1-2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線系，對于下列四個結(jié)論：（1）當(dāng)直線垂直于軸時，或；（2）當(dāng)時，直線傾斜角為；（3）中所有直線均經(jīng)過一個定點；（4）存在定點不在中任意一條直線上．其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②④【變式1-1】（2021·廣東·福田外國語高中高三階段練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最小值為_______．【變式1-2】（2021·上?！とA師大二附中高三階段練習(xí)）直線系，直線系A(chǔ)中能組成正三角形的面積等于______.題型04圓綜合：弦長最值【解題攻略】直線與圓的位置關(guān)系：(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：利用判別式Δ＝b2－4ac進(jìn)行判斷：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離．【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相交于M，N兩點.則的最小值為（

）A． B． C．4 D．6【典例1-2】．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考）已知圓，直線與圓相交于，兩點，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【變式1-1】（2022秋·廣東廣州·高三校聯(lián)考）直線與圓相交于兩點，則的最小值為（

）A．6 B．4 C． D．【變式1-2】．（2022秋·新疆烏魯木齊·高三烏市一中?？迹﹫A截直線所得的弦長最短時，實數(shù)（）A． B． C．2 D．【變式1-3】（2022秋·浙江寧波·高三?？迹┮阎獔A：，則動直線：所截得弦長的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型05圓綜合：切線最值【解題攻略】圓的切線常用結(jié)論：(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為：x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【典例1-1】（2021·吉林·長春市第二中學(xué)高三）已知為直線上一點，過作圓的切線，則切線長最短時的切線方程為__________．【典例1-2】（2022·河南·修武一中高三開學(xué)考試（文））已知點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【變式1-1】（2021·全國·高三課時練習(xí)）由直線上的一點向圓引切線，則切線段長的最小值為______.【變式1-2】（2022·廣東·鶴山市鶴華中學(xué)高三開學(xué)考試）已知直線平分圓的面積，過圓外一點向圓做切線，切點為Q，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1-3】（2022·四川·瀘縣五中高三（文））已知直線是圓的一條對稱軸，過點向圓作切線，切點為，則（

）A． B． C． D．題型06圓綜合：三角形面積最值【解題攻略】圓切三角形面積最值,然后把三角形面積最值轉(zhuǎn)化為PC最值【典例1-1】（2021·浙江·金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學(xué)高三）如圖是直線在第一象限內(nèi)的動點，過作圓的兩條切線，切點為，直線交坐標(biāo)軸正方向于兩點，則面積的最小值是（

）A． B．1 C． D．2【典例1-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：與圓：()相離，過直線上的動點做圓的一條切線，切點為，若面積的最小值是，則（

）A．1 B． C．1或 D．2【變式1-1】.（2022·江蘇·高三單元測試）已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的切線，切點為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2021·四川·成都外國語學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知定直線的方程為，點是直線上的動點，過點作圓的一條切線，是切點，是圓心，若面積的最小值為，則面積最小時直線的斜率為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過x軸上一點P向圓作圓的切線，切點為A、B，則面積的最小值是（

）A． B． C． D．題型07圓綜合：四邊形最值【解題攻略】圓切四邊形面積最值然后把三角形面積最值轉(zhuǎn)化為PC最值【典例1-1】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知點是直線上一動點，與是圓的兩條切線，為切點，則四邊形的最小面積為()A． B． C． D．【典例1-2】（2022·全國·高三課時練習(xí)）已知圓，直線，點為上一動點，過點作圓的切線，（切點為，），當(dāng)四邊形的面積最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2020·安徽·定遠(yuǎn)縣私立啟明民族中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知是圓外一點，過點作圓的切線，切點為，記四邊形的面積為，當(dāng)在圓上運(yùn)動時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2021·全國·高三）從直線上的動點作圓的兩條切線，切點分別為、，則最大時，四邊形（為坐標(biāo)原點）面積是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022·全國·高三課時練習(xí)）已知P是直線l：3x－4y＋11＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是（

）A． B．2 C． D．2題型08圓綜合：切線轉(zhuǎn)化【解題攻略】切線轉(zhuǎn)化：1.抓化為定點、切點、圓心三點三角形，可以借助勾股定理（或者三角函數(shù)正余弦）求解。2.轉(zhuǎn)化為圓心到切點弦距離最值求解【典例1-1】.（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知圓,直線,若直線上存在點，過點引圓的兩條切線,使得,則實數(shù)的取值范圍是A． B．[,]C． D．）【典例1-2】（2022·安徽省宣城中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點P是直線l：上的動點，過點P引圓C：的兩條切線PM，PN，M，N為切點，當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r，則r的值為A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-1】（2021·山東德州·高三）已知點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，，其中，為切點，若的最大值為120°，則的值為（

）A． B． C．4 D．6【變式1-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，直線：，若在直線上任取一點作圓的切線，，切點分別為，，則最小時，原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2021·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個點滿足：過點作圓C的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實數(shù)m的值為（

）A．1 B． C．3 D．7題型09圓綜合：將軍飲馬型最值【典例1-1】（2019·江西南昌·校聯(lián)考二模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為A． B． C． D．【典例1-2】（2022上·山西太原·高三山西大附中校考階段練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在平面區(qū)域為，河岸線所在直線方程為.假定將軍從點處出發(fā)，只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則將軍可以選擇最短路程為.【變式1-1】（2022下·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為．【變式1-2】（2023上·湖南益陽·高三桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺，黃昏時從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-3】（2023上·山西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流，，其方程分別為，，點，，則下列說法正確的是（

）A．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7B．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7C．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是D．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是題型10圓綜合：切點弦【解題攻略】切點弦求解：1.公共弦法：過圓外一點作圓的切線，則切點與四點共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級結(jié)論法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點P(x0，y0)做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【典例1-1】（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓M：，直線l：，P為直線l上的動點，過P點作圓M的切線PA、PB，切點為A、B，當(dāng)最小時，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2022秋·山東·高三山東省實驗中學(xué)校考）已知圓與直線，過l上任意一點P向圓C引切線，切點為A，B，若線段長度的最小值為，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023秋·江蘇·高三南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，當(dāng)直線與平行時，（

）A． B． C． D．4【變式1-2】（2023春·河南南陽·高三統(tǒng)考）過坐標(biāo)原點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．2【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設(shè)切點為，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．題型11圓綜合：切點弦過定點【解題攻略】過圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程的求法：①以M為圓心，切線長為半徑求圓M的方程； ②用圓M的方程減去圓C的方程即得；(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點P(x0，y0)做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【典例1-1】（2022·全國·高三單元測試）已知圓的圓心為原點，且與直線相切.點在直線上，過點引圓的兩條切線，，切點分別為，，如圖所示，則直線恒過定點的坐標(biāo)為A． B． C． D．【典例1-2】（2021·江蘇·高三單元測試）已知圓：，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線?，?為切點，則直線過定點（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021·山西·太原市第六十六中學(xué)校高三）已知點P是直線上的動點，過點P作圓的切線，切點分別是A，B，則直線AB恒過定點的坐標(biāo)為___________.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知過點作圓的兩條切線，，切點分別為，，則直線必過定點（

）A． B．C． D．【變式1-3】（2022·四川省資陽市雁江區(qū)伍隍中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經(jīng)過定點（

）A． B． C． D．題型12圓綜合：切點弦最值【解題攻略】（1）與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．（2）與圓上點有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法：①形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點和點的直線的斜率的最值問題；②形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題．【典例1-1】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）若為直線上一個動點，從點引圓的兩條切線，（切點為，），則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·江蘇·高三課時練習(xí)）過圓：外一點作圓的切線，切點分別為、，則（

）A．2 B． C． D．3【變式1-1】（2022·江西·上高三中高三階段練習(xí)（文））若為直線上一個動點，從點引圓：的兩條切線，（切點為，），則的最小值是（

）A． B． C． D．6【變式1-2】（2020·四川·宜賓市教科所高三（文））已知圓和圓，過圓上任意一點作圓的兩條切線，設(shè)兩切點分別為，則線段長度的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點滿足，過作單位圓的兩條切線，切點分別為，則線段長度的取值范圍是______.題型13直線與圓綜合：兩圓公切線【典例1-1】（2020·江西·南昌市新建區(qū)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））圓與圓的公切線有（

）條．A．1 B．2 C．3 D．4【典例1-2】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，兩圓與相交于A、B兩點，且在點A處兩圓的切線互相垂直，則線段AB的長度為（

）A．3 B．4 C． D．【變式1-1】（2019·四川·成都七中高一）若圓:與圓:相交于，兩點，且兩圓在點處的切線互相垂直，則公共弦的長度是______.【變式1-2】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知：與：相交于A，B兩點，若兩圓在A點處的切線互相垂直，且，則的方程為___________．【變式1-3】（2021·全國·高三課時練習(xí)）若圓：與圓：相交于，兩點，且兩圓在點處的切線互相垂直，則線段的長為______．題型14直線與圓綜合：超難壓軸小題選【典例1-1】（2022·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔A和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【典例1-2】（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線．設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023春·湖北·高三黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）直線與分別與圓交于、和、，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C．10 D．15【變式1-2】（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓和兩點，，若圓C上至少存在一點P，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點在圓運(yùn)動，若對任意點，在直線上均存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．高考練場1.．（2024上·四川巴中·高三統(tǒng)考）若曲線與曲線有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．2.（2023上·四川成都·高三四川省成都市西北中學(xué)校考階段練習(xí)）巳知直線與直線分別過定點A，B，且交于點P，則面積的最大值是（

）A．5 B．8 C．10 D．163.（2021·浙江省青田縣中學(xué)高三）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點，集合，任意的點，則的取值范圍是___________.4.（2021秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點，若圓C：（）上存在兩點，使得，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．5.（2022·全國·高三課時