專題2-7 導數(shù)壓軸大題歸類（原卷版）

專題2-7導數(shù)大題求參歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01恒成立求參：常規(guī)型 1題型02恒成立求參：三角函數(shù)型 2題型03恒成立求參：雙變量型 2題型04恒成立求參：整數(shù)型 3題型05恒成立求參：三角函數(shù)型整數(shù) 4/題型06“能”成立求參：常規(guī)型 5題型07“能”成立求參：雙變量型 5題型08“能”成立求參：正余弦型 6題型09零點型求參：常規(guī)型 7題型10零點型求參：雙零點型 8題型11零點型求參：多零點綜合型 8題型12同構(gòu)型求參：x1，x2雙變量同構(gòu) 9題型13虛設(shè)零點型求參 10高考練場 10題型01恒成立求參：常規(guī)型【解題攻略】利用導數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)系，求解出參數(shù)范圍；（2）分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍最后取并集.【典例1-1】（2024上·北京·高三階段練習）設(shè)，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求a的取值范圍；(3)若，求a．【典例1-2】（2024上·甘肅武威·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當時，求的最大值；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考階段練習）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【變式1-2】（2024上·山西·高三期末）已知函數(shù)，.(1)求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出該函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．題型02恒成立求參：三角函數(shù)型【解題攻略】三角函數(shù)與導數(shù)應(yīng)用求參：正余弦的有界性三角函數(shù)與函數(shù)的重要放縮公式：.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．(1)求證：時，；(2)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【典例1-2】（2023上·全國·高三期末）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；(3)設(shè)實數(shù)a使得對恒成立，求a的最大整數(shù)值.【變式1-1】（2023上·湖北省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-2】（2023上·甘肅定西·高三甘肅省臨洮中學?？茧A段練習）已知函數(shù)為其導函數(shù)．(1)求在上極值點的個數(shù)；(2)若對恒成立，求的值．題型03恒成立求參：雙變量型【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【典例1-1】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，當有兩個極值點時，總有成立，求實數(shù)的值．【典例1-2】（2024上·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)在上的極值；(2)若函數(shù)f(x)有兩零點，且滿足，求正實數(shù)的取值范圍.【變式1-1】（2023·上海松江·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值點；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)有三個不同的極值點、、，且，求實數(shù)a的取值范圍.【變式1-2】（2023下·山東德州·高三校考階段練習）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點的取值范圍為，求a的取值范圍.題型04恒成立求參：整數(shù)型【解題攻略】恒成立求參的一般規(guī)律①若在上恒成立，則；②若在上恒成立，則；③若在上有解，則；④若在上有解，則；如果參數(shù)涉及到整數(shù)，要注意對應(yīng)解中相鄰兩個整數(shù)點函數(shù)的符號【典例1-1】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知．(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范同：(2)設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，已知的解集為，求．（參考數(shù)據(jù)：，，）【典例1-2】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，，為自然對數(shù)底數(shù)．(1)證明：當時，；(2)若不等式對任意的恒成立，求整數(shù)的最小值．【變式1-1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)值域；(2)是否存在正整數(shù)a使得恒成立？若存在，求出正整數(shù)a的取值集合；若不存在，請說明理由.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象相切，求k的值；(2)若，且時，恒有，求k的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）題型05恒成立求參：三角函數(shù)型整數(shù)【典例1-1】（2020·云南昆明·統(tǒng)考三模）已知．（1）證明：；（2）對任意，，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）【典例1-2】（2020上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若，不等式對任意恒成立，求滿足條件的最大整數(shù)b.【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，為的導函數(shù)．(1)討論在區(qū)間內(nèi)極值點的個數(shù)；(2)若，時，恒成立，求整數(shù)的最小值．【變式1-2】（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)，(1)求在區(qū)間上的極值點個數(shù)；(2)若為的極值點，則，求整數(shù)的最大值./題型06“能”成立求參：常規(guī)型【解題攻略】形如的有解的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【典例1-1】（2023上·浙江·高三浙江省長興中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.注：為自然對數(shù)的底數(shù).【典例1-2】（2023上·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，是的導函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在實數(shù)使成立，求的取值范圍.【變式1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在，使得，求實數(shù)的最小值．【變式1-2】（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得，求的取值范圍.題型07“能”成立求參：雙變量型【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，（1）相等關(guān)系記的值域為A,的值域為B,①若，，有成立，則有；②若，，有成立，則有；③若，，有成立，故；（2）不等關(guān)系(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【典例1-1】（2022·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，其中a≠0.(1)若，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在實數(shù)a，對任意，總存在，使得成立？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．【典例1-2】（2023上·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校考階段練習）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在，滿足，且，，求實數(shù)a的取值范圍．【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．【變式1-2】（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值;(2)若對任意的，均存在，使得，求a的取值范圍．題型08“能”成立求參：正余弦型【典例1-1】（2017·江蘇淮安·高三江蘇省淮安中學階段練習）函數(shù).（1）求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點；（2）若函數(shù)在處取極值，且，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f（x）＝x+2﹣2cosx（1）求函數(shù)f（x）在[，]上的最值：（2）若存在x∈（0，）使不等式f（x）≤ax成立，求實數(shù)a的取值范圍【變式1-1】（2020·四川瀘州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).（1）求證：當x∈(0,π]時，f(x)<1；（2）求證：當m＞2時，對任意x0∈(0,π]，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．（1）若在處的切線為，求的值；（2）若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．題型09零點型求參：常規(guī)型【解題攻略】零點常規(guī)型求參基礎(chǔ)：分類討論思想與轉(zhuǎn)化化歸思想數(shù)形結(jié)合與單調(diào)性的綜合應(yīng)用：一個零點，則多為所求范圍內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，或者“類二次函數(shù)”切線處（極值點處）3.注意“找點”難度，對于普通學生，可以用極限思維代替“找點思維”?！镜淅?-1】（2023上·安徽安慶·高一安慶市第二中學?？茧A段練習）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在上只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．【典例1-2】（2023上·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學?？茧A段練習）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若函數(shù)無零點，求的取值范圍；(3)設(shè)，（其中實數(shù)）．若函數(shù)有且只有一個零點，求的取值范圍．【變式1-1】（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）已知．(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【變式1-2】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求的取值范圍．題型10零點型求參：雙零點型【解題攻略】利用導數(shù)解決有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍問題，綜合性強，難點在于要分類討論參數(shù)的范圍，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定極值的正負問題，關(guān)鍵在于要多次構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性.【典例1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線過原點的切線的方程．(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【典例1-2】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，且恒成立．(1)求實數(shù)的最大值；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【變式1-1】（2023·四川綿陽·鹽亭中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當時，求的圖象在處的切線方程;(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-2】（2023下·山西晉城·高三?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.題型11零點型求參：多零點綜合型【解題攻略】三個以及三個以上零點，較復(fù)雜，綜合度較大。1、三個零點型，注意是否有容易觀察出來的零點，這樣可以轉(zhuǎn)化為兩個零點型以降低難度。2、三個零點型，可通過討論，研究函數(shù)是否是“類一元三次函數(shù)”型。3、如果函數(shù)有“斷點”，注意分段討論研究。【典例1-1】（2021下·重慶江北·高三?？茧A段練習）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)，記函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.【典例1-2】（2022上·廣西欽州·高三?？茧A段練習）已知在區(qū)間，上的值域，.（1）求的值；（2）若不等式在，上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-1】（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最值；（2）已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-2】（2022上·福建泉州·高三?？奸_學考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點；(2)當時,當函數(shù)恰有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.題型12同構(gòu)型求參：x1，x2雙變量同構(gòu)【解題攻略】雙變量同構(gòu)型，較多的是含有絕對值型。1.含絕對值型，大多數(shù)都是有單調(diào)性的，所以可以通過討論去掉絕對值。2.去掉絕對值，可以通過“同構(gòu)”重新構(gòu)造函數(shù)。不含絕對值型，可以直接調(diào)整構(gòu)造函數(shù)求解【典例1-1】（2019·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).（1）曲線在點處的切線方程為，求，的值；（2）若，時，，都有，求的取值范圍.【典例1-2】（2020上·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).（Ⅰ）若在處的切線方程為，求a的值；（Ⅱ）若，，都有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【變式1-1】（2019上·河南平頂山·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若對任意、，且，都有，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-2】（2019上·河南平頂山·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)設(shè)，，若對任意，且，都有，求實數(shù)的取值范圍..題型13虛設(shè)零點型求參【解題攻略】虛設(shè)零點轉(zhuǎn)化技巧：（1）、整體代換：把超越式子（多為指數(shù)和對數(shù)式子）轉(zhuǎn)化為普通的（如二次函數(shù)一次哈數(shù)等）可解式子，如比值代換等等。（2）、反代消參：反解參數(shù)代入，構(gòu)造單一變量的函數(shù)。如果要求解（或者要證明）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，則可以通過反解參數(shù)，用變量（零點）表示參數(shù)，然后把函數(shù)變成關(guān)于零點的單一函數(shù)，再對單一變量求導就可以解決相應(yīng)的問題。（3）留參降次（留參、消去指對等超越項）：如果要求解的與參數(shù)有關(guān)，則可以通過消去超越項，建立含參數(shù)的方程或者不等式。恒等變形或者化簡方向時保留參數(shù)，通過“降次”變換，一直降到不可再降為止，再結(jié)合條件，求解方程或者不等式，解的相應(yīng)的參數(shù)值或者參數(shù)范圍?！镜淅?-1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．(1)若曲線有兩條過點的切線，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若當時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值集合．【典例1-2】（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若對任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.【變式1-1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)證明：曲線在處的切線經(jīng)過坐標原點；(2)記的導函數(shù)為，設(shè)，求使恒成立的的取值范圍.【變式1-2】（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對，恒成立，求的取值范圍.高考練場1.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在上恒成立，求的取值范圍．2.（2023上·湖北荊州·高三沙市中學?？茧A段練習）設(shè)函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若在上恒成立，求的取值范圍.3.（2023·山東德州·三模）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若存在兩個極值點的取值范圍為，求的取值范圍．4.（2023下·陜西渭南·高二合陽縣合陽中學?？计谀┮阎瘮?shù)(1)若，討論的單調(diào)性.(2)當時，都有成立，求整數(shù)的最大值.5.（2023·