二項分布與超幾何分布（第1課時+n次獨立重復試驗與二項分布） 高二下學期數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修第二冊

人教B版

數(shù)學

選擇性必修第二冊第四章概率與統(tǒng)計4.2.3二項分布與超幾何分布第1課時n次獨立重復試驗與二項分布課標定位素養(yǎng)闡釋1.通過實例,了解n次獨立重復試驗.2.掌握二項分布及其分布列,并能解決簡單的實際問題.3.體會由實例抽象出二項分布的概念的過程,提升數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).自主預習新知導學一、n次獨立重復試驗1.研究拋均勻硬幣時出現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律,需要在相同的條件下多次重復進行拋硬幣這個伯努利試驗.(1)每次試驗結(jié)果有哪些?提示:正面向上或反面向上.(2)各次試驗的結(jié)果有無影響?提示:無影響.2.在相同條件下重復n次伯努利試驗時,人們總是約定這n次試驗是相互獨立的,此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗.3.獨立重復試驗應滿足的條件是(

)①每次試驗之間是相互獨立的;②每次試驗只有事件發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果;③每次試驗中,事件發(fā)生的機會是均等的;④每次試驗發(fā)生的事件是互斥的.A.①②

B.②③C.①②③ D.①②④答案:C二、二項分布1.射擊比賽中,某射擊運動員連續(xù)射擊3次,每次擊中靶心的概率都是0.8,用Ai(i=1,2,3)表示第i次擊中靶心這個事件,用Bk(k=0,1,2,3)表示擊中k次這個事件.(1)用Ai表示B1,并求P(B1).(2)P(B2)和P(B3)的值是什么?提示:P(B2)=3×0.82×0.2=0.384,P(B3)=0.83=0.512.(3)由以上問題的結(jié)果你能得出什么結(jié)論?2.一般地,如果一次伯努利試驗中,出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=1-p,且n次獨立重復試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是{0,1,…,k,…,n},而因此X的分布列如下表所示.答案:B【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)在n次獨立重復試驗中,各次試驗的結(jié)果相互沒有影響.(√)(2)在n次獨立重復試驗中,各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同.(×)合作探究釋疑解惑探究一求獨立重復試驗的概率【例1】

某射手進行射擊訓練,假設每次射擊擊中目標的概率為,且每次射擊的結(jié)果互不影響.已知射手射擊了5次,求:(1)只在第一、第三、第五次擊中目標的概率;(2)恰有3次擊中目標的概率.解:因為每次射擊擊中目標的概率均相同,且每次射擊的結(jié)果互不影響,所以射擊5次可看作進行了5次獨立重復試驗.(1)只在第一、第三、第五次擊中目標的概率為延伸探究例1的條件不變,求該射手射擊5次,恰有3次連續(xù)擊中目標,而其他兩次沒有擊中目標的概率.求解獨立重復試驗中的概率問題要注意以下幾點:(1)先要判斷問題中所涉及的試驗是否為n次獨立重復試驗,再求事件的概率;(2)要注意分析所求事件的含義,并能根據(jù)題意,將并事件劃分為若干個互斥事件;(3)要注意排列組合知識的應用.反思感悟【變式訓練1】

某安全監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(以下簡稱安檢),若安檢不合格,則必須整改.設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率都是0.5.求:(1)恰有2家煤礦必須整改的概率;(2)至少有2家煤礦必須整改的概率.探究二二項分布的分布列【例2】

袋中有形狀、大小均相同的8個白球、2個黑球,每次從中隨機地抽取1個球后放回,連續(xù)抽取3次,求取到黑球的個數(shù)X的分布列.反思感悟1.當X服從二項分布時,應弄清X~B(n,p)中的試驗次數(shù)n與“成功”概率p.2.解決二項分布問題的兩個關注點(1)對于公式

,必須在滿足“獨立重復試驗”時才能應用,否則不能應用該公式.(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布,關鍵有兩點:一是對立性,即一次試驗中,事件發(fā)生與否兩者必有其一;二是重復性,即試驗是獨立重復地進行了n次.【變式訓練2】

某中學生心理咨詢中心的服務電話接通的概率為

.某班3名同學商定同一天分別就同一問題詢問該咨詢中心,且每人只撥打一次電話,求他們中成功咨詢的人數(shù)X的分布列.探究三獨立重復試驗與二項分布的綜合應用【例3】

一名學生每天騎自行車上學,從家到學校的途中有5個交通崗,假設他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,且概率都是

.(1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列;(2)求這名學生在首次遇到紅燈時或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列;(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.在解含有相互獨立事件的概率題時,首先要把所求的隨機事件拆成若干個互斥事件的和,然后要將拆分后的每個事件拆分為若干個相互獨立事件的乘積.若某些相互獨立事件符合獨立重復試驗模型,則可將這部分用獨立重復試驗的概率計算公式解答.若所求的隨機事件的對立事件易求,則可先求對立事件的概率.反思感悟【變式訓練3】

某潛水器從海底帶回某種生物,甲、乙兩個生物小組分別獨立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進行研究,每次對一個生物進行生物成活,則稱該次試驗成功,若生物不成活,則稱該次試驗失敗.(1)甲小組做了三次試驗,求至少兩次試驗成功的概率;(2)若甲、乙兩個小組各進行2次試驗,求兩個小組試驗至少成功3次的概率.【易錯辨析】

以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:至少有2天預報準確的含義是恰有2天預報準確或3天預報都準確,錯解漏掉了恰有2天預報準確的概率.至少有連續(xù)2天預報準確的含義是第一天和第二天預報準確或第二天和第三天預報準確或三天預報都準確.正解:(1)在未來3天中,至少有2天預報準確的概率為

(2)在未來3天中,至少有連續(xù)2天預報準確的概率為2×0.82×0.2+0.83=0.768.在解題過程中,要注意理解事件中的“至少”“至多”“恰有”等詞語的含義.防范措施【變式訓練】

某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹各2棵.設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為,且各棵大樹是否成活互不影響,求移栽的4棵大樹中,(1)至少有1棵成活的概率;(2)兩種大樹各成活1棵的概率.隨堂練習1.任意拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣,恰有兩枚正面朝上的概率為(

)答案:B2.(多選題)下列說法正確的是(

)A.“依次拋擲四枚質(zhì)地不同的硬幣,3次正面向上”是獨立重復試驗B.某同學投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個隨機變量,且X~B(10,0.6)C.某福利彩票的中獎概率為p,某人一次買了8張,中獎張數(shù)X是一個隨機變量,且X~B(8,p)D.從裝有5個紅球、5個白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球為止,則解析:A中,因為四枚硬幣的質(zhì)地不同,即試驗的條件不同,所以該試驗不是獨立重復試驗,故A錯誤;B,C顯然正確;D中,根據(jù)二項分布的定義可知,X不服從二項分布,故D錯誤.答案:BC3.從次品率為0.1的一批產(chǎn)品中任取4件,恰有兩件次品的概率為

.

解析:所求概率P=