高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)專題2.1不等式的性質(zhì)及常見不等式解法(講)原卷版+解析

專題2.1不等式的性質(zhì)及常見不等式解法新課程考試要求1.不等關(guān)系：了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實際背景.2.一元二次不等式：(1)會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會解一元二次不等式.3.會解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其應(yīng)用.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算（例2.3.4）、數(shù)學(xué)建模（例1）、邏輯推理（例2.3.4）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測1.不等式的性質(zhì)及應(yīng)用2．一元二次不等式的解法3．一元二次不等式的恒成立問題【知識清單】1．實數(shù)的大小(1)數(shù)軸上的任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.(2)對于任意兩個實數(shù)a和b，如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等關(guān)系與不等式我們用數(shù)學(xué)符號“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些符號的式子，叫做不等式.3．不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)性質(zhì)2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性質(zhì)3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性質(zhì)4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性質(zhì)5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性質(zhì)6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性質(zhì)8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.5.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}?eq\a\vs4\al(?)6．分式不等式的解法定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項式的不等式稱為__分式不等式__.eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)__>__0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)__<__0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)__>__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)__<__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))7．簡單的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次項的次數(shù)高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.解法：穿根法①將f(x)最高次項系數(shù)化為正數(shù)；②將f(x)分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式的積；③將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過)；④觀察曲線顯現(xiàn)出的f(x)的值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集．8.不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).2．含參數(shù)的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.9．絕對值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)絕對值不等式|x|>a與|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．10．絕對值不等式的應(yīng)用如果a，b是實數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立．【常用結(jié)論】1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【考點分類剖析】考點一：用不等式表示不等關(guān)系例1.用一段長為30的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18,要求菜園的面積不小于216,靠墻的一邊長為,其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為________.

【規(guī)律總結(jié)】用不等式(組)表示實際問題中不等關(guān)系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量．找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．【變式探究】某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．根據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？考點二：比較數(shù)或式子的大小例2.已知x＜y＜0，比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大小．【領(lǐng)悟技法】1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論．(3)函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．【變式探究】(1)比較x2＋y2＋1與2(x＋y－1)的大??；(2)設(shè)a∈R且a≠0，比較a與eq\f(1,a)的大?。键c三：不等式性質(zhì)的應(yīng)用例3.【多選題】（2021·河北高三二模）若實數(shù)，滿足，則下列選項中一定成立的有（）A． B． C． D．例4.若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c例5.設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4”，則f(－2)的取值范圍是．【規(guī)律總結(jié)】1．判斷不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．(3)若要判斷某結(jié)論正確，應(yīng)說明理由或進行證明，推理過程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，若要說明某結(jié)論錯誤，只需舉一反例．2．證明不等式(1)要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推證時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．3．求取值范圍(1)建立待求范圍的代數(shù)式與已知范圍的代數(shù)式的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍．4．掌握各性質(zhì)的條件和結(jié)論．在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應(yīng)用最易出錯，即在不等式的兩邊同時乘(除)以一個數(shù)時，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，否則結(jié)論不確定．【變式探究】已知12<a<60,15<b<36，求a－b及eq\f(a,b)的取值范圍．【易錯警示】錯用不等式的性質(zhì)致錯.考點四：一元二次不等式的解法例6.（2020·全國高考真題（文））已知集合則（）A． B．C． D．【規(guī)律方法】1.解一元二次不等式的一般步驟(1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計算對應(yīng)方程的判別式．(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．2．含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進行分類討論．(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對參數(shù)進行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號進行分類討論．(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集．【易錯警示】忽視二次項系數(shù)的符號致誤【變式探究】1．（2021·江西九江市·高三三模（文））已知集合，，則（）A． B． C． D．2.（2021·陜西省漢中中學(xué)高三其他模擬（理））已知集合，，則（）A． B．C． D．考點五：絕對值不等式的解法例7.（2021·浙江高三其他模擬）已知，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例8.（廣東高考真題（理））不等式的解集為.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應(yīng)的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【變式探究】1.（2017天津，文2）設(shè)，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件2.不等式|x?3|?|x+1|<1的解集為_______________．考點六：絕對值不等式的應(yīng)用如果a，b是實數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立．例9.（2020·陜西省西安中學(xué)高二期中（文））若關(guān)于x的不等式有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．或 B． C． D．【總結(jié)提升】1.兩類含絕對值不等式的證明問題一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當(dāng)?shù)奶?、拆項證明；另一類是綜合性較強的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．2.含絕對值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想(1)利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三種方法(1)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)利用絕對值三角不等式進行“求解”，但要注意兩數(shù)的“差”還是“和”的絕對值為定值.(3)利用絕對值的幾何意義.【變式探究】1.（2020·廣東省高三其他（理））已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.考點七：不等式恒成立問題例10.（2020·浙江高考真題）已知a，bR且ab≠0，對于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．b<0 D．b>0例11.（2020·江蘇省太湖高級中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）求關(guān)于的不等式的解集；（3）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【規(guī)律方法】(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.【變式探究】函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當(dāng)x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)x∈[－2,2]時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【總結(jié)提升】解決不等式恒成立問題的兩種思路(1)轉(zhuǎn)化成含有參數(shù)的不等式,借助對應(yīng)函數(shù)圖象,找到滿足題目要求的條件,構(gòu)造含參數(shù)的不等式(組),求得參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù),通過求函數(shù)的最值,進而確定參數(shù)的范圍.專題2.1不等式的性質(zhì)及常見不等式解法新課程考試要求1.不等關(guān)系：了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實際背景.2.一元二次不等式：(1)會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會解一元二次不等式.3.會解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其應(yīng)用.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算（例2.3.4）、數(shù)學(xué)建模（例1）、邏輯推理（例2.3.4）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測1.不等式的性質(zhì)及應(yīng)用2．一元二次不等式的解法3．一元二次不等式的恒成立問題【知識清單】1．實數(shù)的大小(1)數(shù)軸上的任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.(2)對于任意兩個實數(shù)a和b，如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等關(guān)系與不等式我們用數(shù)學(xué)符號“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些符號的式子，叫做不等式.3．不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)性質(zhì)2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性質(zhì)3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性質(zhì)4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性質(zhì)5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性質(zhì)6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性質(zhì)8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.5.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}?eq\a\vs4\al(?)6．分式不等式的解法定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項式的不等式稱為__分式不等式__.eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)__>__0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)__<__0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)__>__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)__<__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))7．簡單的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次項的次數(shù)高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.解法：穿根法①將f(x)最高次項系數(shù)化為正數(shù)；②將f(x)分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式的積；③將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過)；④觀察曲線顯現(xiàn)出的f(x)的值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集．8.不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).2．含參數(shù)的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.9．絕對值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)絕對值不等式|x|>a與|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．10．絕對值不等式的應(yīng)用如果a，b是實數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立．【常用結(jié)論】1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【考點分類剖析】考點一：用不等式表示不等關(guān)系例1.用一段長為30的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18,要求菜園的面積不小于216,靠墻的一邊長為,其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為________.

【答案】【解析】矩形菜園靠墻的一邊長為,則另一邊長為,即,根據(jù)已知得【規(guī)律總結(jié)】用不等式(組)表示實際問題中不等關(guān)系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量．找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．【變式探究】某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．根據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？【答案】見解析【解析】提價后雜志的定價為x元，則銷售的總收入為(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x萬元，那么不等關(guān)系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20.考點二：比較數(shù)或式子的大小例2.已知x＜y＜0，比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大小．【答案】見解析【解析】∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．【領(lǐng)悟技法】1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論．(3)函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．【變式探究】(1)比較x2＋y2＋1與2(x＋y－1)的大?。?2)設(shè)a∈R且a≠0，比較a與eq\f(1,a)的大?。敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥?1)x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．(2)由a－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)當(dāng)a＝±1時，a＝eq\f(1,a)；當(dāng)－1＜a＜0或a＞1時，a＞eq\f(1,a)；當(dāng)a＜－1或0＜a＜1時，a＜eq\f(1,a).考點三：不等式性質(zhì)的應(yīng)用例3.【多選題】（2021·河北高三二模）若實數(shù)，滿足，則下列選項中一定成立的有（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)條件，可得或，逐一分析四個選項，即可得答案.【詳解】因為，所以，所以或，所以或，所以，故A正確；若，則，故B錯誤；若，則，所以，故C錯誤；因為或，所以，所以，故D正確.故選：AD例4.若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c【答案】B【解析】方法一易知a，b，c都是正數(shù)，eq\f(b,a)＝eq\f(3ln4,4ln3)＝log8164＜1，所以a＞b；eq\f(b,c)＝eq\f(5ln4,4ln5)＝log6251024＞1，所以b＞c.即c＜b＜a.方法二對于函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(lnx,x)，y′＝eq\f(1－lnx,x2)，易知當(dāng)x＞e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．因為e＜3＜4＜5，所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即c＜b＜a.例5.設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4”，則f(－2)的取值范圍是．【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系數(shù)法)設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又因為1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.方法二(解方程組法)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝a－b，,f1＝a＋b，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1]，,b＝\f(1,2)[f1－f－1].))所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又因為1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.【規(guī)律總結(jié)】1．判斷不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．(3)若要判斷某結(jié)論正確，應(yīng)說明理由或進行證明，推理過程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，若要說明某結(jié)論錯誤，只需舉一反例．2．證明不等式(1)要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推證時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．3．求取值范圍(1)建立待求范圍的代數(shù)式與已知范圍的代數(shù)式的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍．4．掌握各性質(zhì)的條件和結(jié)論．在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應(yīng)用最易出錯，即在不等式的兩邊同時乘(除)以一個數(shù)時，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，否則結(jié)論不確定．【變式探究】已知12<a<60,15<b<36，求a－b及eq\f(a,b)的取值范圍．【錯解】∵12<a<60,15<b<36，∴12－15<a－b<60－36，eq\f(12,15)<eq\f(a,b)<eq\f(60,36)，∴－3<a－b<24，eq\f(4,5)<eq\f(a,b)<eq\f(5,3).【辨析】錯解中直接將12<a<60,15<b<36相減得a－b的取值范圍，相除得eq\f(a,b)的取值范圍而致錯．【正解】∵15<b<36，∴－36<－b<－15.∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.又15<b<36，∴eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15).又12<a<60，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.綜上，－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.【易錯警示】錯用不等式的性質(zhì)致錯.考點四：一元二次不等式的解法例6.（2020·全國高考真題（文））已知集合則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到結(jié)果.【詳解】由解得，所以，又因為，所以，故選：D.【規(guī)律方法】1.解一元二次不等式的一般步驟(1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計算對應(yīng)方程的判別式．(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．2．含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進行分類討論．(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對參數(shù)進行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號進行分類討論．(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集．【易錯警示】忽視二次項系數(shù)的符號致誤【變式探究】1．（2021·江西九江市·高三三模（文））已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以或，所以，．故選：B．2.（2021·陜西省漢中中學(xué)高三其他模擬（理））已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，因此，.故選：A.考點五：絕對值不等式的解法例7.（2021·浙江高三其他模擬）已知，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】先化簡得，即得解.【詳解】由得，所以.反之，也成立.所以“”是“”的充分必要條件.故選：C例8.（廣東高考真題（理））不等式的解集為.【答案】.【解析】令，則，（1）當(dāng)時，由得，解得，此時有；（2）當(dāng)時，，此時不等式無解；（3）當(dāng)時，由得，解得，此時有；綜上所述，不等式的解集為.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應(yīng)的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【變式探究】1.（2017天津，文2）設(shè)，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】【解析】，則，，則，，據(jù)此可知：“”是“”的的必要的必要不充分條件，本題選擇B選項.2.不等式|x?3|?|x+1|<1的解集為_______________．【答案】{x|x>1【解析】當(dāng)x<?1時，原不等式可化為?(x?3)+(x+1)<1，無解；當(dāng)?1≤x<3時，原不等式可化為?(x?3)?(x+1)<1，即x>12，所以12<x<3；當(dāng)x≥3時，原不等式可化為(x?3)?(x+1)<1，即?4<1，所以考點六：絕對值不等式的應(yīng)用如果a，b是實數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立．例9.（2020·陜西省西安中學(xué)高二期中（文））若關(guān)于x的不等式有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．或 B． C． D．【答案】A【解析】分析：利用絕對值的幾何意義求得最小值為，再由不等式有解可得實數(shù)的取值范圍．詳解：由于表示數(shù)軸上的對應(yīng)點到和對應(yīng)點的距離之差，其最小值為，最大值為，因為關(guān)于的不等式有實數(shù)解，可得，即，解得或.故選：A.【總結(jié)提升】1.兩類含絕對值不等式的證明問題一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通