基礎(chǔ)課08 函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性

基礎(chǔ)課08函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性課時評價·提能基礎(chǔ)鞏固練1.[2024·湖南模擬]已知fx=x?2A.?1 B.1 C.?2[解析]因?yàn)閒x=x2+a?2x?2a是偶函數(shù)，所以fx的圖象關(guān)于直線x2.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（B）.A.y=?1x B.y=x?sin[解析]y=?1x是奇函數(shù)，但在整個定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故Ay=x?sinx，因?yàn)閥'=1?cosxy=tanx在定義域上是奇函數(shù)但不是單調(diào)函數(shù)，故Cy=x3?x在R上是奇函數(shù)但不是單調(diào)函數(shù)，故D3.[2024·安康模擬]設(shè)fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f2+x=f?A.?12 B.12 C.?[解析]因?yàn)閒x是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)所以f2+x=f?所以f20252=f4.[2024·貴州測試]已知函數(shù)fx=xA.fxB.fx在0C.fx的圖象關(guān)于直線xD.fx的圖象與x[解析]對于A，fx=∣x?1故fx不是偶函數(shù)，所以A錯誤對于B，fx在0,1上單調(diào)遞減，所以B對于C，fx的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以C對于D，fx的圖象與x軸圍成的三角形的面積為2×12=1，所以D5.[2024·安徽聯(lián)考]已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)gx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx，gx在A.ff2>C.gg2>[解析]因?yàn)閒x，gx在[0,+∞)上均單調(diào)遞減，fx是偶函數(shù)，gx是奇函數(shù)，所以gx在R上單調(diào)遞減對于A，f2>f3，但無法判斷f2,f3的正負(fù)對于B，g2>g3，gx在R上是奇函數(shù)，所以g0=0,又gx在[0,+∞)上單調(diào)遞減，對于C，g2>g3，gx在R上單調(diào)遞減，所以gg對于D，f2>f3，gx在R上單調(diào)遞減，所以gf2<g6.[2024·濰坊模擬]已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+1為偶函數(shù)，A.fx為偶函數(shù) B.C.f12=?[解析]因?yàn)閒x+1為偶函數(shù)，所以fx的圖象關(guān)于直線x=1對稱，又因?yàn)閒x+4=f?x，所以由fx+4=f?x,fx+2=由fx+2=fx,fx+2=f由已知條件不能得到具體的函數(shù)值的信息，所以B,C,D不能確定.故選A.7.[2024·山東模擬]已知函數(shù)fx=x3+a?A.(?2,4] B.(?3,5][解析]因?yàn)楹瘮?shù)fx=x3+a?2x2+2x又f?x=?fx，即?x3+a?所以fx=x因?yàn)楹瘮?shù)y=x3與y=2x在[?5,5]上單調(diào)遞增，所以fx在[?5,5]上單調(diào)遞增，則不等式f2x+1+fa+8.[2024·北京測試]已知函數(shù)fx對任意x∈R都有fx+2=?fxA.函數(shù)y=fxB.函數(shù)y=fxC.當(dāng)x∈[2D.函數(shù)y=[解析]因?yàn)閒x+2=?fx，所以fx的周期為又f?x=?fx，所以f?x=f又當(dāng)x∈(?1,1]時，fx對于A，函數(shù)y=fx的圖象不關(guān)于點(diǎn)1,0中心對稱，對于B，函數(shù)y=fx的圖象不關(guān)于直線x=2對稱，對于C，當(dāng)x∈[2,3]時，x?2∈[0對于D，fx+2=?fx=fx，所以y=綜合提升練9.(多選題)(2024·九省適應(yīng)性測試)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f12≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,則(ABD).A.f-12=0B.f12=-2C.函數(shù)fx-12是偶函數(shù)D.函數(shù)fx+12是減函數(shù)[解析]令x=12,y=0,則f12+f12×f(0)=f12[1+f(0)]=0,因?yàn)閒12≠0,所以1+f(0)=0,即f(0)=-1.令x=12,y=-12,則f12-12+f12f-12=4×12×-12,即f(0)+f12f-12=-1,由f(0)=-1,可得f12f-12=0.又f12≠0,所以f-12=0,故A正確;令y=-12,則fx-12+f(x)f-12=4x·-12,即fx-12=-2x,故函數(shù)fx-12是奇函數(shù),則fx+1-12=-2(x+1)=-2x-2,即fx+12=-2x-2,故函數(shù)fx+12是減函數(shù),令x=0,有f12=-2,故B正確,C錯誤,D正確.故選ABD.10.[2024·曲靖監(jiān)測]（多選題）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”.如圖,太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形，它充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.若定義：圖象能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，則下列說法正確的是（ABC）.A.對于任意一個圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個B.函數(shù)fxC.正弦函數(shù)y=sinD.“函數(shù)y=fx[解析]任意一個圓O是關(guān)于圓心成中心對稱的圖形，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個，故A正確；函數(shù)fx=x3?3x是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，將坐標(biāo)原點(diǎn)作為圓的圓心，則fx=x3將正弦函數(shù)y=sinx圖象的對稱中心作為圓的圓心，則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“太極函數(shù)”，故有無數(shù)個圓成立若函數(shù)y=fx的圖象是中心對稱圖形，則y=fx是“太極函數(shù)”，但當(dāng)函數(shù)y=fx是“太極函數(shù)”時，圖象不一定是中心對稱圖形，如圖11.[2024·上海模擬]若定義在R上的函數(shù)fx為奇函數(shù)，設(shè)Fx=afx?1，且[解析]由F1=3，可得a≠0，因?yàn)閒x為奇函數(shù)，所以fx圖象的對稱中心為點(diǎn)0,0，則Fx12.[2024·溫州模擬]已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+1+f[解析]因?yàn)閒x+1+所以fx+4+所以fx是周期為4的周期函數(shù)所以f2022=f2，所以f又f?所以f2022應(yīng)用情境練13.[2024·長沙模擬]已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且y=fx+1的圖象關(guān)于點(diǎn)?1,[解析]因?yàn)閷=fx+1的圖象向右平移1個單位長度后得到函數(shù)y=fx的圖象，所以y=fx的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，所以y=fx在R14.[2024·河南模擬]已知函數(shù)fx=x3+tx+lg1+x2+x+[解析]因?yàn)閒x=x3設(shè)gx=f因?yàn)楹瘮?shù)gx的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且gx所以gx為奇函數(shù)，由已知可得函數(shù)gx的最大值為M?2所以M?2+m所以?x=4x+因?yàn)棣誸=t+1所以?x的圖象關(guān)于點(diǎn)(14,因?yàn)?42+12=1716<5因?yàn)辄c(diǎn)(14,1)所以所求的最短弦長為25創(chuàng)新拓展練15.寫出一個滿足以下三個條件的函數(shù)：fx=①定義域?yàn)镽；②fx不是周期函數(shù)；③f[解析]fx的解析式形式為ax±bsinx+如：fx=x+sinx定義域?yàn)镽，不是周期函數(shù)，且f16.已知函數(shù)fx對任意實(shí)數(shù)x,y恒有fx+y=fx（1）判斷fx（2）求fx在區(qū)間[?（3）解關(guān)于x的不等式f2[解析]（1）fx的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱令