云南省云南師大附中2025屆高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性月考試題二理含解析

PAGE23-云南省云南師大附中2025屆高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性月考試題（二）理（含解析）一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A,再求交集.【詳解】由題意知，，所以，故選:D.【點睛】本題考查求分式不等式和集合求交集，屬于基礎(chǔ)題.2.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1748年得到復(fù)數(shù)的三角方程：（i為虛數(shù)單位），依據(jù)此公式可知，若，則的一個可能值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條件由可得，即且，可得答案.【詳解】依據(jù)條件由則，所以且所以故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的相等，考查新定義，屬于基礎(chǔ)題.3.（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由兩角差的余弦函數(shù)，可得，故選．4.已知雙曲線的方程為，雙曲線右焦點F到雙曲線漸近線的距離為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的方程求得右焦點的坐標(biāo)和漸近線方程，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意知，雙曲線的右焦點為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以點到漸近線的距離，故選：C.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡潔的幾何性質(zhì)，以及點到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計算實力，屬于基礎(chǔ)題.5.我國古代數(shù)學(xué)名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“一個公公九個兒，若問生年總不知，知長排來爭三歲，其年二百七歲期借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推”大致意思是：一個公公九個兒子，若問他們的生年是不知道的，但從老大的起先排列，后面兒子比前面兒子小3歲，九個兒子共207歲，問老大是多少歲?（）A.38 B.35 C.32 D.29【答案】B【解析】【分析】由題意，將九個兒子的年齡可以看成以老大的年齡為首項，公差為的等差數(shù)列，依據(jù)等差數(shù)列的求和公式列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，九個兒子的年齡可以看成以老大的年齡為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，解得，故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的簡潔應(yīng)用，考查等差數(shù)列前項和公式的基本量運算，屬于基礎(chǔ)題型.6.為了更好地協(xié)作我市“文明城市”的創(chuàng)建工作，我校開展了”文明行為進(jìn)班級”的評比活動，現(xiàn)對甲.乙兩個年級進(jìn)行評比，從甲.乙兩個年級中隨機選出10個班級進(jìn)行評比打分，每個班級成果滿分為100分，評分后得到如圖所示的莖葉圖，通過基葉圖比較甲、乙兩個年級成果的平均數(shù)及方差大?。ǎ〢.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)可分別計算求得平均數(shù)，依據(jù)數(shù)據(jù)分散程度可確定方差大小.【詳解】，，；由莖葉圖可知，甲年級的成果集中在多分，即集中在平均分旁邊，而乙年級的成果比較分散，所以.故選：.【點睛】本題考查依據(jù)莖葉圖比較平均數(shù)和方差的大小關(guān)系問題；比較方差大小的關(guān)鍵是明確數(shù)據(jù)越集中，則方差越小，屬于基礎(chǔ)題.7.若是以O(shè)為圓心，半徑為1圓的直徑，C為圓外一點，且.則（）A.3 B.C.0 D.不確定，隨著直徑的改變而改變【答案】A【解析】【分析】將通過向量加法的三角形法則用表示出來即可.【詳解】如圖，，故選：A.

【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的運算，關(guān)鍵是將用知道模的向量來表示，是基礎(chǔ)題.8.已知圓M的方程為，過點的直線l與圓M相交的全部弦中，弦長最短的弦為，弦長最長的弦為，則四邊形的面積為（）A.30 B.40 C.60 D.80【答案】B【解析】【分析】由題可知點在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點的弦，過最長的弦為直徑，求出后即可求出四邊形面積.【詳解】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓是以為圓心，5為半徑的圓，且由，即點在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點的弦，所以，所以，過最長的弦為直徑，所以，且，故而.故選：B.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題.9.正四面體的俯視圖為邊長為1的正方形，則正四面體的外接球的表面積為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，該正四面體可以看成邊長為1的正方體六個面對角線組成的正四面體，則正四面體的外接球，即為邊長為1的正方體的外接球，從而可求出球的半徑，得出球的表面積.【詳解】如圖，該正四面體可以看成棱長為1的正方體六個面對角線組成的正四面體，所以正四面體的外接球，即為邊長為1的正方體的外接球，所以外接球的半徑為，則該外接球的表面積為，故選：C.【點睛】本題主要考查求幾何體外接球的表面積，屬于?？碱}型.10.已知，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.即是奇函數(shù)也是周期函數(shù) B.的最大值為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義及判定，可判定A是正確的；依據(jù)函數(shù)的對稱性，可判定C、D是正確的；由，令，利用求導(dǎo)方法求函數(shù)的最值，即可判定B選項錯誤.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，又由，所以是奇函數(shù)；且，所以又是周期函數(shù)，所以A是正確的；由，即，所以關(guān)于直線對稱，所以C是正確的；由，所以關(guān)于點對稱，所以D是正確的；由，令，，令，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是，的極大值為，所以的最大值為，即函數(shù)的最大值為，故B選項錯誤.故選：B【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的函數(shù)的基本性質(zhì)的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的周期性、對稱性，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算實力.11.已知拋物線C：，為的焦點，過焦點且傾斜角為的直線與交于、兩點，則下面陳述不正確的為（）A. B.C. D.記原點為，則【答案】D【解析】【分析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，代入選項中進(jìn)行整理可知正確；，知錯誤.【詳解】設(shè)直線，，，由得：，，，，，故正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，經(jīng)檢驗亦成立，故正確；，故正確；當(dāng)時，,當(dāng)時，經(jīng)檢驗亦成立，故錯誤.故選：.【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到拋物線焦半徑公式的應(yīng)用、拋物線中三角形面積問題的求解等學(xué)問；本題中的各個選項屬于拋物線問題中與過焦點的直線有關(guān)的常用結(jié)論，熟記結(jié)論可削減計算證明時間.12.下列四個命題：①②③④，其中真命題為（）A.①②③個 B.①③個 C.①②④個 D.③④個【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算和性質(zhì)比較①③④即可，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可推斷②的正誤.【詳解】由，故①正確；由，考察函數(shù)，，所以當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，故②錯誤；令，，所以，所以，即，故③正確；由，所以，由，所以，即，故④錯誤，故選：B.【點睛】本題考查對數(shù)的運算和對數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析推理實力和計算實力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若x，y滿意約束條件，則的最大值為______【答案】【解析】【分析】先由約束條件，畫出可行域，依據(jù)表示平面區(qū)域內(nèi)的點與坐標(biāo)原點的連線斜率，結(jié)合圖形，即可得出結(jié)果.【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域如下，由表示平面區(qū)域中的點與原點的連線斜率，由圖像可得，的斜率即為的最大值，由，解得則的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查求分式型目標(biāo)函數(shù)的最值，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.14.二項式綻開式的二項式系數(shù)之和為64，則二項式綻開式中的常數(shù)項為______【答案】【解析】【分析】依據(jù)二項式系數(shù)之和，求出，由二項綻開式的通項公式寫出綻開式的通項，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由綻開式的二項式系數(shù)之和為，可得，解得，則二項式為，其綻開式的第項為，令，則故綻開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【點睛】本題主要考查求二項綻開式中的常數(shù)項，考查由二項式系數(shù)之和求參數(shù)，屬于?？碱}型.15.邊長為1的正方體，點P為面對角線上一點，則的最小值為______【答案】【解析】【分析】將對角面與平面放到同一個平面，化曲為直，連接，取的中點I，在利用勾股定理即得．【詳解】如圖甲，將等邊沿向后旋轉(zhuǎn)到與面共面，得到等邊，則的最小值即為圖乙中線段的長，取的中點I，由題意知：等邊的邊長為，四邊形是以，的矩形，所以.【點睛】本題考查空間距離的最小問題，考查轉(zhuǎn)化思想，計算實力，空間想象實力，屬于基礎(chǔ)題．16.中，，則的最大值為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)數(shù)量積的概念代入可得，由余弦定理和基本不等式結(jié)合可得的最小值，由三角恒等式即可得結(jié)果.【詳解】由題意知，，同理，，故由已知，，即，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值是.故答案為：.【點睛】本題考查了平面對量數(shù)量積的概念、余弦定理的應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的以值求值，屬于中檔題.三、解答題（共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.為了調(diào)查中學(xué)生文理科偏向狀況是否與性別有關(guān)，設(shè)計了“更擅長理科，理科文科無差異，更擅長文科三個選項的調(diào)查問卷"，并從我校隨機選擇了55名男生，45名女生進(jìn)行問卷調(diào)查.問卷調(diào)查的統(tǒng)計狀況為：男生選擇更擅長理科的人數(shù)占，選擇文科理科無顯著差異的人數(shù)占，選擇更擅長文科的人數(shù)占：女生選擇更擅長理科的人數(shù)占，選擇文科理科無顯著差異的人數(shù)占，選擇更擅長文科的人數(shù)占.依據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下列聯(lián)表.更擅長理科其他合計男生女生合計附：，其中.P（）0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828（1）請將的列聯(lián)表補充完整，并推斷能否有的把握認(rèn)為文理科偏向與性別有關(guān)；（2）從55名男生中，依據(jù)問卷答題結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，實行分層抽樣的方法隨機抽取5人，再從這5人中隨機選取2人，若所選的2人中更擅長理科的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及期望.【答案】（1）表格見解析，有的把握；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）由題意列出的列聯(lián)表，計算出，結(jié)合臨界值得出結(jié)論；（2）由題意可知，選取的5人中，有2人更擅長理科，3人不更擅長理科，所以X的可能取值為0，1，2，利用古典概型概率公式計算，并列出分布列求出期望．【詳解】（1）補充的列聯(lián)表如下：更擅長理科其他合計男生223355女生93645合計3169100所以，所以有的把握認(rèn)為文理科偏向與性別有關(guān).（2）由題意可知，選取的5人中，有2人更擅長理科，3人不更擅長理科，所以X的可能取值為0，1，2，故，，，所以X的分布列為X012P所以.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查離散型分布列和期望的應(yīng)用，考查古典概型，屬于中檔題．18.如圖，在等腰梯形中，，，將沿著翻折，使得點D到點P，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過證明和可證平面，即可得證；（2）取的中點E，連接，，，以，，為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出.【詳解】（1）證明：由等腰梯形，則，又，所以，又，，則，所以，又，所以平面，所以平面平面.（2）如圖，取的中點E，連接，，，則為菱形，且，則，記垂足為O，由（1）知，平面平面，又，所以平面，同理，平面，所以，，兩兩垂直，如圖，建立分別以，，為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以即，令，得所以平面的一個法向量為；設(shè)平面的法向量為，所以即令，得所以平面的一個法向量為；令二面角為，由題意知為鈍角，所以，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查向量法求二面角，屬于中檔題.19.設(shè)數(shù)列滿意，，當(dāng).（1）計算，，猜想的通項公式，并加以證明.（2）求證：.【答案】（1），，，證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系可干脆計算出，，依據(jù)前幾項的規(guī)律可猜想出通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）依據(jù)，再利用裂項相消求和即可證明.【詳解】（1）解：由，，所以，.猜想：，證明：當(dāng)時，由，，故成立；假設(shè)（）時成立，即，所以，即當(dāng)時成立，綜上所述，.（2）證明：由（1）知，，所以，證畢.點睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法求通項公式，考查裂項相消法求和，屬于中檔題.20.已知點，，點P滿意：直線的斜率為，直線的斜率為，且（1）求點的軌跡C的方程；（2）過點的直線l交曲線C于A，B兩點，問在x軸上是否存在點Q，使得為定值?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）由點，運用直線的斜率公式，結(jié)合，化簡可得軌跡C的方程；（2）假設(shè)在x軸上存在點，使得為定值，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，令，，表示出，代入韋達(dá)定理計算可得定值，并檢驗斜率不存在時也成立．【詳解】（1）由題意知：，，由，即，整理得點的軌跡C的方程為：.（2）假設(shè)在x軸上存在點，使得為定值.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程消去y得，令，，則，，由，，所以，將看成常數(shù)，要使得上式為定值，需滿意，即，此時；當(dāng)直線l的斜率不存在時，可得，，，所以，，，綜上所述，存在，使得為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查定值問題的應(yīng)用，考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．21.已知，（1）若，求的最大值；（2）若恒成立，求b的取值范圍【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)并依據(jù)其正負(fù)推斷函數(shù)單調(diào)性，求其最值即可；（2）先化簡原不等式即，再對求導(dǎo)探討其單調(diào)性，得到最值即得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意知，，，所以，，易見在上遞增，且，所以，當(dāng)，，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，，即在上單調(diào)遞增，故，所以的最小值為0；（2）原不等式等價于，即，在上恒成立等價于，在上恒成立.令，，所以，令，則為上的增函數(shù)，又當(dāng)，，所以在存在唯一的零點，即，由，又有函數(shù)在上單調(diào)遞增，上式即所以，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，屬于難題.22.在平面直