41-第四章第一節(jié)(概率統(tǒng)計(jì))

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望內(nèi)容摘要:利用與算術(shù)平均類比的方法,我們提出了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念,研究了數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì),探討了隨機(jī)變量函數(shù)的期望計(jì)算問(wèn)題,并對(duì)期望概念、期望性質(zhì)、隨機(jī)變量函數(shù)關(guān)系和實(shí)際問(wèn)題等分別進(jìn)行了應(yīng)用.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

問(wèn)題1：氣象分析中?？疾炷骋粫r(shí)段的雨量、濕度和日照等氣象要素的平均值和極端值以判定氣象情況,而不必掌握每一個(gè)氣象變量的分布函數(shù).在這些用來(lái)作為顯示隨機(jī)變量分布特征的數(shù)字中,最重要的就是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差以及各階矩.4.1.1

提出問(wèn)題算術(shù)平均

考90分成績(jī)的有10人，考80分的有20人，考60分的有13人.問(wèn)：這33人的平均考試成績(jī)是多少分？

4.1.2

預(yù)備知識(shí)4.1.3問(wèn)題分析數(shù)學(xué)期望的概念

引例現(xiàn)考查一批5萬(wàn)只的燈泡.為了評(píng)估燈泡的使用壽命(設(shè)每只燈泡的壽命是一個(gè)隨機(jī)變量X(單位:小時(shí))),現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100只.測(cè)試結(jié)果如下:頻率162632206燈泡數(shù)(頻數(shù))12501200115011001050壽命(小時(shí))可求得這100只燈泡的平均壽命為

可見，這100只燈泡的平均壽命為1163小時(shí).可以認(rèn)為，這5萬(wàn)只燈泡的壽命是1163小時(shí).這里，我們注意取值和取該值頻率的乘積相加求和關(guān)系.

1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

定義1

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=}=,k=1,2,3,…

若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和為離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X).即4.1.4提出概念

在實(shí)際試驗(yàn)中所得到的隨機(jī)變量觀察值的算術(shù)平均與數(shù)學(xué)期望值有密切聯(lián)系.設(shè)在n次獨(dú)立試驗(yàn)中,隨機(jī)變量X

取xk的頻數(shù)為nk

,頻率,則可以計(jì)算出X觀察值的算術(shù)平均值為

此式實(shí)際上是一種加權(quán)算術(shù)平均，把它與(4.1.1)式比較,它與X的理論分布的數(shù)學(xué)期望E(X)的計(jì)算方法是相似的,只是用頻率代替了概率.隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加,頻率fn(xk)會(huì)越來(lái)越接近于概率pk(此性質(zhì)參見第五章伯努利大數(shù)定律),

故的取值也會(huì)愈接近E(X).因此,我們也把數(shù)學(xué)期望E(X)稱為X的均值.2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

類似于(4.1.1)式,我們可以由此給出連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義.

定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x),若積分絕對(duì)收斂,則稱積分的值為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X).即

E(X)=

.(4.1.3)

數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望,又稱為均值.

例4.1.1

某人甲有一筆資金，可投入兩個(gè)項(xiàng)目：房產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān).若把未來(lái)市場(chǎng)劃分為好、中、差三個(gè)等級(jí)，其發(fā)生的概率分別為0.2，0.7和0.1.通過(guò)調(diào)查，該投資者認(rèn)為投資房產(chǎn)的收益X(單位：萬(wàn)元)和投資商業(yè)的收益Y(單位：萬(wàn)元)的分布分別為

4.1.5方法應(yīng)用

X113-3

P

0.20.70.1

Y

64-1

P

0.20.70.1請(qǐng)問(wèn)該投資者如何投資為好

?我們先考察數(shù)學(xué)期望(平均收益)：解E(X)=11×0.2+3×0.7+(-3)×0.1=4.0(萬(wàn)元),

E(Y)=6×0.2+4×0.7+(-1)×0.1=3.9(萬(wàn)元).可見，從平均收益看，投資房產(chǎn)收益大，可比投資商業(yè)多收益0.1萬(wàn)元.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

定理1

設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù)).

(1)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,它的分布律為

P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…,

若絕對(duì)收斂,則有

E(Y)=E[g(X)]=.(4.1.4)

4.1.4′理論研究

(2)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,它的概率密度f(wàn)(x),若絕對(duì)收斂,則有E(Y)=E[g(X)]=.(4.1.5)證明略.

定理的重要意義在于,

當(dāng)我們求隨機(jī)變量函數(shù)的期望E(Y)

時(shí),不必算出Y的分布律或概率密度,

而只需利用X的分布律或概率密度就可以了,定理的證明略.換定義中的x為g(x),得到g(X)的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式.

上述定理還可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量函數(shù)的情況.

講評(píng)

定理2設(shè)Z是二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y),其中g(shù)

是二元連續(xù)函數(shù).(1)設(shè)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量,其分布律為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,3,…,則當(dāng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí),有

(4.1.6)

(2)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為f(x,y),則當(dāng)積分絕對(duì)收斂時(shí),有(4.1.7)

★例4.1.2

繼續(xù)解讀例3.2.2和例3.3.2：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求(1)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望E(X)和E(Y)；

4.1.5′理論應(yīng)用

(2)

(1)

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望解E(X2).由x,y的對(duì)稱性,

知隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=0.（2）★例4.1.3

已知隨機(jī)變量的概率密度為求E(X),E(Y),E(X2)和E(XY).

解因?yàn)樗?，同?由x與y的對(duì)稱性得到

(1)設(shè)C是常數(shù),則有E(C)=C.(2)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有

E(CX)=CE(X).(3)設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有E(X+Y)=E(X)+E(Y).

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況.4.1.4″

研究性質(zhì)

(4)設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有

E(XY)=E(X)E(Y).

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情況.證

結(jié)論(1)和(2)由讀者自己證明.

我們以連續(xù)型隨機(jī)變量為例來(lái)證(3)和(4).

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),其邊緣概率密度為fX(x),fY(y).由(4.1.7)式所以結(jié)論(3)得證.

所以結(jié)論(4)得證.

因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立,

(2)X

與Y不獨(dú)立時(shí),有關(guān)系式

E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)=E(X)E(Y)+E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.關(guān)于X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)將在4.3節(jié)講到.講評(píng)(1)對(duì)于線性關(guān)系有

E(aX+b)=aE(X)+b,

E(aX+BY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.

例4.1.4

一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,旅客有10個(gè)車站可以下車.如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù),求E(X)(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立).解引入隨機(jī)變量

4.1.5″理論應(yīng)用

P{Xi=0}=,P{Xi=1}=1-,i=1,2,…,10.

E(Xi)=0·P{Xi=0}+1·P{Xi=1}=1-

,i=1,2,…,10.

易知停車次數(shù)滿足

X=X1+X2+…+X10.現(xiàn)在來(lái)求E(X).

依題意,任一旅客在第i站不下車的概率為,利用獨(dú)立性得到20位旅客都不在第i站下車的概率為,而在第i站有人下車的概率為1-,也就是由此得到數(shù)學(xué)期望：

E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)

+E(X2)+…+E(X10)

=10[1-]=8.784(次).講評(píng)本題是將X分解成若干個(gè)獨(dú)立同服從

0-1分布的隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來(lái)求數(shù)學(xué)期望的,這種處理方法具有一定的普遍意義.

4.1.4

數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題

例4.1.5

工程隊(duì)完成某項(xiàng)工程的時(shí)間X~N(100,16)(單位:天).甲方規(guī)定:若該工程在100天內(nèi)完成,發(fā)獎(jiǎng)金10000元;若在100天至112天內(nèi)完成,只發(fā)獎(jiǎng)金1000元;若完工時(shí)間超過(guò)112天,則罰款5000元.求該工程隊(duì)完成此項(xiàng)工程時(shí)獲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)期望.解得獎(jiǎng)金10000元的概率為

得獎(jiǎng)金1000元的概率為

被罰款5000元的概率為故工程隊(duì)獲得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為

10000×0.5+1000×0.4987-5000×0.00135

≈5492(元).

★例4.1.6

市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年的需求量為X(噸),它服從[2000,4000]上的均勻分布.已知每出售1噸產(chǎn)品可賺3萬(wàn)元;若售不出去,則每噸需付倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元.試問(wèn)每年應(yīng)生產(chǎn)該產(chǎn)品多少噸,才能使平均收益最大?并求最大平均收益.于是有

解設(shè)每年應(yīng)生產(chǎn)該商品y

噸.依據(jù)題意，有2000≤y≤4000，則每年的收益已知

得到每年的平均收益

對(duì)E(R)=(-y2+7000y-4×106)求導(dǎo),

令,知,當(dāng)y=3500噸時(shí)最大平均收益

講評(píng)

(1)

此題型可以稱為“獲利問(wèn)題”；(2)

解題關(guān)鍵在于建立分段函數(shù)關(guān)系式；(3)

解題難點(diǎn)在于計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(R)的表達(dá)式并求導(dǎo).

例4.1.7

某汽車起點(diǎn)站分別于每小時(shí)10分、30分和55分鐘發(fā)車.若乘客不知發(fā)車的時(shí)間,在每小時(shí)內(nèi)的任一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)車站,求乘客等車的平均時(shí)間.

分析發(fā)車時(shí)間是確定的.汽車到站是隨機(jī)的.乘客不知發(fā)車的具體時(shí)間,也是隨機(jī)到達(dá)車站.求乘客等待發(fā)車的數(shù)學(xué)期望.

解設(shè)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻為X(單位:分).則X~U[0,60].設(shè)乘客等候時(shí)間為Y,依題意得所以，

(1)此題型可以稱為“等候問(wèn)題”；

(2)解題關(guān)鍵在于建立分段函數(shù)關(guān)系式；

(3)解題難點(diǎn)在于計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(Y).講評(píng)

例4.1.8

據(jù)統(tǒng)計(jì):65歲的人在30年內(nèi)正常死亡的概率為0.98,因意外死亡的概率為0.02.保險(xiǎn)公司開辦老人意外事故死亡保險(xiǎn),參保者僅需交納保險(xiǎn)費(fèi)1000元.若30年內(nèi)因意外事故死亡,公司賠償a元.問(wèn)：

(1)如何確定賠償額度a,才能使保險(xiǎn)公司期望獲得收益?

(2)若有10000人投保,公司期望總獲收益是多少?

解設(shè)Xi表示公司從第i個(gè)投保人處獲得的收益,i=1,2,…,10000,則的分布律為0.020.98P1000-a1000Xi

(1)由于公司不能虧本,故應(yīng)有

從而得到賠償額度滿足1000<a<50000(顯然,若a<1000,則無(wú)人投保),即公司每筆賠償小于50000元才能使公司獲益.

(2)

公司期望總收益為若公司每筆賠償40000元，則公司總收益的期望值為200萬(wàn)元.講評(píng)

(1)此題型可以稱為“保險(xiǎn)問(wèn)題”;(2)解題關(guān)鍵在于建立含有參數(shù)的分布律.4.1.6

內(nèi)容小結(jié)

1.數(shù)學(xué)期望E(X)描述隨機(jī)變量X取值的平均大小,