建筑制圖與識(shí)圖教學(xué)課件：第三章 立體的投影

第三章立體的投影第一節(jié)平面立體的投影如圖3-1所示，這些建筑物及其配件的形狀雖然復(fù)雜多樣，但一般都是由一些簡單的幾何體經(jīng)過疊加、切割或相交等形式組成的。我們把這些簡單的幾何體稱為基本幾何體或基本體，把建筑物及其構(gòu)配件的形體稱為建筑形體。導(dǎo)言圖3-1建筑形體的組成由此可見，要想很好地了解建筑形體的投影，必須先掌握基本形體的投影。那么，這些基本形體的三面投影圖該如何繪制呢？如果這些基本形體被不同位置的平面所截切，截切后形體的三面投影圖又該如何畫呢？前言一、棱柱

棱柱是由兩個(gè)底面和若干棱面圍成的平面立體。若棱柱的棱線與底面傾斜，則該棱柱稱為斜棱柱；若棱柱的棱線與底面垂直，則該棱柱稱為直棱柱；若一個(gè)直棱柱的上、下底面均為正多邊形，則該直棱柱稱為正棱柱。棱柱是由兩個(gè)底面和若干棱面圍成的平面立體，立體上相鄰表面的交線稱為棱線。不同棱柱的三面投影圖，其畫法大致相同。下面以圖3-2所示的正六棱柱為例，來講解棱柱三面投影圖的投影特性及畫法。一、棱柱（一）形體特征正六棱柱是由上、下兩底面和6個(gè)矩形側(cè)面組成的。其中，上、下兩底面相互平行；6個(gè)側(cè)面均為全等的矩形，且與底面垂直；6條棱線相互平行，長度相等且與上、下兩底面垂直。（二）擺放位置

擺放形體時(shí)應(yīng)考慮兩個(gè)因素：一要使形體處于穩(wěn)定狀態(tài)，二要考慮形體的工作狀況。為了作圖方便，應(yīng)盡量使形體的表面平行或垂直于投影圖。對(duì)圖3-2所示的正六棱柱，應(yīng)將上下底面平行于H面、前后側(cè)面平行于V面放置。圖3-2正六棱柱的投影一、棱柱（三）投影分析H面投影V面投影W面影投影為正六邊形，它是上、下底面的投影，且反映兩底面實(shí)形；六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)是6條棱邊（鉛垂線）的積聚投影。為3個(gè)矩形線框。其中，中間的矩形線框?yàn)榍啊⒑髠?cè)面的重合投影，且反映前、后側(cè)面的實(shí)形；左側(cè)矩形為左側(cè)前、后側(cè)面的重合投影，右側(cè)矩形為右側(cè)前、后側(cè)面的重合投影，它們均為類似形；上、下兩底面的投影積聚為直線段。為兩個(gè)矩形線框，分別是左、右4個(gè)鉛垂側(cè)面的重合投影（不反映實(shí)形）。通過上述分析可以總結(jié)出棱柱體的投影特性：①反映底面實(shí)形的投影為多邊形；②另外兩面投影均為矩形，或矩形的組合圖形。一、棱柱提示由圖3-2所示投影圖可以看出，基本體中柱體的投影特征可歸納為“矩矩為柱”。這句話的含義是：只要是柱體（包括圓柱和棱柱），則必有兩面投影的外線框?yàn)榫匦?；反之，若某一形體的兩面投影的外線框?yàn)榫匦?，則該形體一定是柱體，這時(shí)，可利用第三面投影來判別具體是何種柱體。一、棱柱（1）畫出正六棱柱的對(duì)稱中心線、底面基線及45°輔助線，以確定各投影圖的位置，如圖3-3（a）所示。（2）先畫出反映主要形狀特征的投影圖，即畫H面投影圖中的正六邊形，然后按照“長對(duì)正”的投影規(guī)律及正六棱柱的高度畫出V面投影。正六邊形可采用等分圓周的方法繪制，結(jié)果如圖3-3（b）所示。（3）根據(jù)“高平齊、寬相等”的投影規(guī)律畫出W面投影，最后擦去多余的圖線并加深，結(jié)果如圖3-3（c）所示。（四）正六棱柱的作圖步驟一、棱柱圖3-3正六棱柱投影圖的作圖步驟abc二、棱錐棱錐是由一個(gè)多邊形底面和若干個(gè)具有公共頂點(diǎn)（錐頂）的三角形棱面圍成的平面體。若一個(gè)棱錐的底面為正多邊形，且錐頂在底面的投影位于正多邊形的中心，則該棱錐稱為正棱錐。圖3-4正三棱錐的投影二、棱錐正三棱錐又稱四面體，由一個(gè)底面和3個(gè)棱面組成。其中，底面為正三角形；3個(gè)棱面為3個(gè)全等的等腰三角形。（一）形體特征下面以圖3-4所示的正三棱柱為例，來講解棱錐三面投影圖的投影特性及畫法。二、棱錐（二）投影分析將三棱錐的底面平行于H面、某一側(cè)面處于側(cè)垂面位置放置在三投影面體系中，其投影特性如下。H面投影V面投影W面投影為等邊三角形，它反映正三棱錐的底面實(shí)形，3個(gè)側(cè)面的投影表現(xiàn)為類似形，頂點(diǎn)投影重合于等邊三角形的垂心。為兩個(gè)三角形，即左、右兩個(gè)側(cè)棱面的類似形。為一個(gè)三角形。其中，后側(cè)棱面積聚為最后方的一直線段，左、右側(cè)棱面的投影仍為三角形，且相互重合。二、棱錐通過上述分析可以得出以下結(jié)論：①反映底面實(shí)形的投影為多邊形或三角形的組合圖形；②另外兩面投影為并列的三角形（內(nèi)含反映側(cè)表面的幾個(gè)三角形）。提示：基本體中錐體的投影特征可歸納為“三三為錐”，即若形體有兩面投影的外線框均為三角形，則該形體一定是錐體（包括棱錐和圓錐）；反之，凡是錐體，則必有兩面投影的外線框?yàn)槿切?，這時(shí)，可利用第三面投影來判別具體是何種錐體。二、棱錐（a）四棱錐（b）五棱錐（c）六棱錐圖3-5幾種常見棱錐的投影三、平面立體表面上點(diǎn)和線的投影（三）正三棱錐的作圖步驟確定各投影圖的位置，然后在H面上畫出反映底面實(shí)形的正三角形，該三角形可利用丁字尺和三角板繪制，如圖3-6（a）所示。（1）在H面投影中作正三角形的垂心，以確定三棱錐頂點(diǎn)S在俯視圖中的投影S，然后過該點(diǎn)連接H面投影中三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，如圖3-6（b）所示。（2）根據(jù)“長對(duì)正”的投影規(guī)律和正三棱錐的高，確定錐頂?shù)腣面投影，然后畫出正三棱錐的V面投影和W面投影并加深圖線，如圖3-6（b）所示。（3）二、棱錐（a）（b）圖3-6正三棱錐投影圖的作圖步驟三、平面立體表面上點(diǎn)和線的投影平面立體的表面都是平面多邊形，在其表面上取點(diǎn)、線的作圖問題，實(shí)質(zhì)上就是平面上取點(diǎn)、線作圖的應(yīng)用。由于平面立體的各表面存在著相對(duì)位置的差異，必然會(huì)出現(xiàn)投影的相互重疊，從而產(chǎn)生各表面投影的可見與不可見問題。因此，對(duì)于表面上點(diǎn)和線的投影，還應(yīng)考慮其投影的可見性。判斷立體表面上點(diǎn)和線可見性的原則是：如果點(diǎn)、線所在表面的投影可見，則點(diǎn)、線的同面投影可見；否則，不可見。三、平面立體表面上點(diǎn)和線的投影當(dāng)點(diǎn)位于立體表面的某條棱邊上時(shí)，該點(diǎn)的投影必定在棱線的投影上。此時(shí)，可利用線上點(diǎn)的“從屬性”求出該點(diǎn)的投影。從屬性法當(dāng)點(diǎn)所在的立體表面對(duì)某投影面的投影具有積聚性時(shí)，該點(diǎn)的投影必在該表面的積聚投影線上。此時(shí)，可利用平面的積聚性求出該點(diǎn)的投影。積聚性法（一）利用“從屬性法”和“積聚性法”作圖三、平面立體表面上點(diǎn)和線的投影【例3-1】立體表面上直線MN的正面投影m′n′如圖3-7（a）所示，試作該直線的其他兩面投影。分析：分析圖3-7（a）所示的形體，可知其為四棱臺(tái)（梯梯為臺(tái)）。由于正面投影中的m′n′可見，因此可判定該直線位于四棱臺(tái)的前棱面上。由于M點(diǎn)在棱邊上，故可利用“從屬性法”求出其他兩面投影；N點(diǎn)所在的表面為側(cè)垂面，其側(cè)面投影具有積聚性，因此可先利用表面的積聚性求出n''點(diǎn)，然后再利用n''點(diǎn)和n′點(diǎn)求出n點(diǎn)。圖3-7利用“從屬性法”和“積聚性法”求立體表面上點(diǎn)的投影三、平面立體表面上點(diǎn)和線的投影作圖步驟［參見圖3-7（b）］：（1）利用“從屬性法”過m′點(diǎn)作水平直線和鉛垂線，分別交四棱臺(tái)的另外兩面投影于m''和m。（2）利用“積聚性法”過n′點(diǎn)作水平直線交四棱臺(tái)的側(cè)面投影于n''點(diǎn)，然后利用n''點(diǎn)和n′點(diǎn)求出水平投影n點(diǎn)。（3）用直線依次連接水平投影和側(cè)面投影中M點(diǎn)和N點(diǎn)的同面投影。由于側(cè)面投影中的m''點(diǎn)和n''點(diǎn)位于前側(cè)面的積聚投影線上，其投影與該積聚線重合，故可不用直線連接。圖3-7利用“從屬性法”和“積聚性法”求立體表面上點(diǎn)的投影三、平面立體表面上點(diǎn)和線的投影（二）利用“輔助線法”作圖當(dāng)點(diǎn)所在的立體表面無積聚投影時(shí)，該點(diǎn)的投影必須利用作輔助線的方法求出，即先過已知點(diǎn)在立體表面上作一輔助直線（輔助線可以是一般位置直線或特殊位置直線），求出該直線的另外兩面投影，然后依據(jù)點(diǎn)的“從屬性”求出點(diǎn)的各面投影。三、平面立體表面上點(diǎn)和線的投影【例3-2】立體表面上M點(diǎn)和N點(diǎn)的投影m′和n如圖3-8（a）所示，求作這兩個(gè)點(diǎn)的其他兩面投影。分析：m′點(diǎn)為可見點(diǎn)，故M點(diǎn)位于SAB平面上。由于SAB平面為一般位置平面，故M點(diǎn)的其他兩面投影需通過作輔助線求出。n點(diǎn)為可見點(diǎn)，故N點(diǎn)位于SBC平面上。由于SBC平面也為一般位置平面，故N點(diǎn)的其他兩面投影也需要通過作輔助線求出。圖3-8利用“輔助線法”求立體表面上點(diǎn)的投影三、平面立體表面上點(diǎn)和線的投影（1）（2）（3）（4）過m′點(diǎn)作一條平行于底面的輔助線，該輔助線的投影交s′a′于點(diǎn)1′。由于點(diǎn)1′位于直線s′a′上，故可直接求出水平投影點(diǎn)1。過1點(diǎn)作直線ab的平行線，則M點(diǎn)的水平投影一定在該平行線上。因此，過m′點(diǎn)作垂線交平行輔助線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為m點(diǎn)。連接s點(diǎn)和n點(diǎn)并延長，交直線bc于點(diǎn)2；由于點(diǎn)2在底面ABC上，故可直接求出其正面投影點(diǎn)2′。（4）連接s′和2′，則N點(diǎn)的正面投影一定在s′2′上。因此，過n點(diǎn)作垂線交s′2′于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為n′點(diǎn)。作圖步驟［參見圖3-8（b）］：三、平面立體表面上點(diǎn)和線的投影圖3-8利用“輔助線法”求立體表面上點(diǎn)的投影(b)做圖方法第二節(jié)曲面立體的投影表面由平面和曲面，或均由曲面圍成的立體稱為曲面立體。圓柱、圓錐和球是工程中常見的曲面立體，這些曲面立體多為回轉(zhuǎn)體?；剞D(zhuǎn)體的曲面可以看作是由一條直線或曲線（母線）繞另一固定直線（軸線）旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖3-9所示。導(dǎo)言（a）圓柱體（b）圓錐體（c）球圖3-9曲同立體其中，母線上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都是垂直于軸線的圓，稱為緯圓；處于曲面上任意位置的母線稱為素線；回轉(zhuǎn)面的可見部分與不可見部分的分界素線稱為轉(zhuǎn)向輪廓線。畫回轉(zhuǎn)體的投影就是畫回轉(zhuǎn)面的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影、底面的投影和軸線的投影。導(dǎo)言一、圓柱圓柱是由圓柱面和上、下兩個(gè)圓形底面圍成的，其圓柱面可以看作是由母線繞與其平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成的。圓柱面上任意一條平行于軸線的直線稱為素線。（一）投影分析將圓柱體的軸線垂直于H面放置在三投影面體系中，如圖3-10所示，其三面投影圖的投影特性如下。一、圓柱H面投影：反映上、下底面實(shí)形的圓。此時(shí)，圓柱體的側(cè)面投影積聚在圓周上。W面投影：為一個(gè)矩形。其中，上、下兩邊線分別是圓柱上、下底面的積聚投影，左、右兩邊線分別是圓柱最后、最前處素線的投影。V面投影：為一個(gè)矩形。其中，上、下兩邊線分別是圓柱上、下底面的積聚投影，左、右兩邊線分別是圓柱最左、最右處素線的投影。一、圓柱通過上述分析可總結(jié)出圓柱的投影特性為：①反映底面實(shí)形的投影為圓；②另兩面投影均為矩形。由圖3-10所示投影圖可以看出，圓柱的投影特征與柱體的投影特征相同，均為“矩矩為柱”。一、圓柱圖3-10圓柱的三面投影一、圓柱畫出圓柱體的對(duì)稱中心線、底面基線及45°輔助線，然后畫出反映底面實(shí)形的H面投影，結(jié)果如圖3-11（a）所示。根據(jù)圓柱體的高和投影關(guān)系畫出圓柱的V面和W面投影，最后加深圖線，如圖3-11（b）和（c）所示。(1)(2)（二）作圖步驟一、圓柱（a）（b）（c）圖3-11圓柱投影圖的作圖步驟二、圓錐圓錐是由圓錐面和圓底面所圍成的回轉(zhuǎn)體。其中，圓錐面是由母線繞與其相交并且成一定角度的軸線回轉(zhuǎn)而成的。母線與軸線的交點(diǎn)稱為錐頂。圓錐面的所有素線都交于錐頂，并且對(duì)底面的傾角相等。母線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成的圓稱為緯圓。（一）投影分析將圓錐的軸線垂直于H面放置在三投影面體系中，如圖3-12所示，其三面投影特性如下。圖3-12圓錐的三面投影二、圓錐通過上述分析可總結(jié)出圓錐的投影特性為：①反映底面實(shí)形的投影為圓；②另外兩面投影均為等腰三角形，符合“三三為錐”的投影特征。H面投影為一水平圓，反映圓錐底面的實(shí)形，同時(shí)也是圓錐面的投影。V面和W面投影均為等腰三角形，且三角形的底邊為圓錐底面的積聚投影。V面投影中，三角形的左、右兩邊分別是圓錐面最左、最右素線（素線也是轉(zhuǎn)向輪廓線）的投影；W面投影中，三角形的左、右兩邊分別是圓錐面最前、最后素線的投影。二、圓錐（二）作圖步驟畫出圓錐體的對(duì)稱中心線、底面基線及45°輔助線，然后畫出反映底面實(shí)形的H面投影，結(jié)果如圖3-13（a）所示。（1）根據(jù)“長對(duì)正”的投影規(guī)律和圓錐體的高作出V面投影，再根據(jù)“高平齊、寬相等”的投影規(guī)律作出W面投影，最后加深圖線，如圖3-13（b）和（c）所示。（2）二、圓錐（a）（b）（c）圖3-13圓錐投影圖的作圖步驟三、球圓球是以一圓周為母線繞其自身一直徑旋轉(zhuǎn)一周形成的。母線上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都為圓。球體的三面投影均為與該圓球直徑相等的圓。其中，正面投影圓是可見的前半球面和不可見的后半球面的重影；水平投影圓是可見的上半球面與不可見的下半球面的重影；側(cè)面投影圓是可見的左半球面和不可見的右半球面的重影，如圖3-14所示。三、球圖3-14球的三面投影四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影與平面立體相同，求作曲面立體表面上點(diǎn)和直線的投影也有從屬性法、積聚性法和輔助線法3種方法。

作曲面立體上點(diǎn)的投影，可按如下步驟進(jìn)行：判斷點(diǎn)所在的位置；①②③④判斷點(diǎn)所在面的投影特性；在具有積聚性的平面上標(biāo)出點(diǎn)的投影；根據(jù)點(diǎn)的兩面投影，求出其第三面投影四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影（一）圓柱表面上點(diǎn)和線的投影因?yàn)閳A柱面具有積聚性，因此圓柱表面上點(diǎn)或線的投影可利用從屬性法和積聚性法求出。

【例3-3】已知圓柱面上點(diǎn)M和點(diǎn)N的正面投影m'和（n'），如圖3-15（a）所示，試求作這兩個(gè)點(diǎn)的另外兩面投影。四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影（a）已知條件（b）作圖方法圖3-15利用“輔助線法”求圓柱表面上點(diǎn)的投影四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影分析：M點(diǎn)的正面投影可見，且在點(diǎn)畫線的左側(cè)，由此可判定M點(diǎn)在左、前半圓柱面上，其水平投影和側(cè)面投影均可見；N點(diǎn)的正面投影不可見，且在點(diǎn)畫線的右側(cè)，由此可判定N點(diǎn)在右、后半圓柱面上，其水平投影可見，側(cè)面投影不可見。作圖步驟：（1）過m′點(diǎn)作素線的正立面投影（可只作一部分），即過m′點(diǎn)向下作鉛垂線交圓周的前半部分于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即為m點(diǎn)；由m′點(diǎn)和m點(diǎn)，即可求出m''點(diǎn)，m''點(diǎn)為可見點(diǎn)。（2）采用同樣的方法，先求出N點(diǎn)的水平投影n，再求出側(cè)面投影n''。由于側(cè)面投影不可見，故為（n''）。四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影

【例3-4】已知圓柱面上線段AB的正面投影a′b′，如圖3-16（a）所示，求其另外兩面投影。分析：由題意及圖3-16（a）可知，線段AB是一段位于前半個(gè)圓柱面上的橢圓弧，且該段曲線在水平投影面上的投影為一段曲線。由于該圓柱面的側(cè)面投影積聚為圓，故線段AB的側(cè)面投影就是該圓上的一段圓弧。求作曲線的投影，需先求出曲線上一系列特殊位置點(diǎn)和中間位置點(diǎn)的投影，然后順次連接成曲線。圖3-16利用“輔助線法”求圓柱表面上線的投影四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影作圖步驟（1）先在圓柱的正面投影圖上標(biāo)出特殊點(diǎn)a′，b′，c′和中間點(diǎn)d′和e′，然后根據(jù)直線AB所在圓柱面的積聚性，分別過正面投影中的這5個(gè)點(diǎn)作水平線，并與圓柱的側(cè)面投影交于a''，b''，c''，d''和e''點(diǎn)。（2）根據(jù)“長對(duì)正、寬相等”的投影規(guī)律作了這5個(gè)點(diǎn)的水平投影a，b，c，d，e。（3）用曲線依次光滑地連接a，d，c，e，b點(diǎn)并判別其可見性（以C點(diǎn)為界，ADC段在圓柱面的前、上方，故可見，應(yīng)畫成實(shí)線；CEB段在圓柱面的前、下方，故不可見，應(yīng)畫成虛線），即可得曲線弧AB的水平投影。圖3-16利用“輔助線法”求圓柱表面上線的投影四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影（二）圓錐表面上點(diǎn)的投影圓錐底面具有積聚性，其上的點(diǎn)可以直接求出；圓錐面沒有積聚性，其上的點(diǎn)需要用輔助線法才能求出。按輔助線的類型不同，輔助線法可分為輔助素線法和輔助緯圓法兩種。四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影【例3-5】已知圓錐面上點(diǎn)A的正面投影a′，如圖3-17（a）所示，求其另外兩面投影。圖3-17利用“輔助素線法”求圓錐表面上點(diǎn)的投影素線法就是過給定點(diǎn)和錐頂在錐面上作一條素線為輔助線，利用點(diǎn)、線的從屬關(guān)系，得出點(diǎn)的三面投影圖的方法，即過A點(diǎn)作輔助素線SB，如圖3-17（b）所示，先求出該素線的投影，再利用線上點(diǎn)的投影關(guān)系求出圓錐表面上點(diǎn)的投影。四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影分析：根據(jù)a′點(diǎn)可判定A點(diǎn)位于圓錐左前方的圓錐面上。由于圓錐面無積聚性，因此圓錐面上點(diǎn)的投影可利用素線法或緯圓法求出。方法一：輔助素線法圖3-17利用“輔助素線法”求圓錐表面上點(diǎn)的投影（1）連接s′點(diǎn)與a′點(diǎn)并延長，使其與底圓的V面投影交于點(diǎn)b′，從而得到素線SB的V面投影s′b′。（2）由s′b′可求出sb。（3）因A點(diǎn)在素線SB上，故過a′點(diǎn)向下作垂線交sb于a點(diǎn)，由a′點(diǎn)和a點(diǎn)可求得點(diǎn)A的側(cè)面投影a″點(diǎn)，如圖3-17（c）所示。四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影具體作圖步驟如下：圖3-17利用“輔助素線法”求圓錐表面上點(diǎn)的投影四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影方法二：緯圓法假想過圓錐面上任一點(diǎn)作一個(gè)與圓錐底面平行的平面，該平面與圓錐面的交線為圓，則該點(diǎn)的三面投影必在交線圓的投影上。這個(gè)交線圓稱為緯圓，用緯圓作輔助圓來確定曲面上點(diǎn)的投影位置的方法稱為緯圓法，如圖3-18所示，（1）過a′點(diǎn)作一條水平線1′2′，1′2′即為過A點(diǎn)的水平緯圓的V面投影。（2）以1′2′為直徑，在H面上畫出緯圓的水平投影。（3）過a′點(diǎn)作垂直投影線交緯圓的左前方的圓錐面于a點(diǎn)，再由a′點(diǎn)和a點(diǎn)求得a″點(diǎn)。四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影具體作圖步驟如下：圖3-18利用“緯圓法”求圓錐表面上點(diǎn)的投影球面均無積聚性，因此除了轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)可直接求出外，球面上的其他點(diǎn)均需用輔助緯圓法才能求出。四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影（三）球面上點(diǎn)的投影【例3-6】已知球面上M點(diǎn)的V面投影m′，如圖3-19（a）所示，求其另外兩面投影。分析：由m′點(diǎn)可知M點(diǎn)位于前半球的左下部位，它的另外兩面投影可利用緯圓法求出。圖3-19利用“輔助線法”求球面上點(diǎn)的投影四、曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影作圖步驟（1）過m′點(diǎn)作水平緯圓的正立投影（為一直線），交圓于b′，c′兩點(diǎn)。（2）求出緯圓的水平投影圓，其直徑為bc，則M點(diǎn)的水平投影必在該緯圓的左前側(cè)，且該點(diǎn)的水平投影不可見。（3）根據(jù)m′和m，求出其側(cè)面投影m''。圖3-19利用“輔助線法”求球面上點(diǎn)的投影第三節(jié)建筑形體的表面交線經(jīng)過切割或相交而構(gòu)成的建筑形體的表面上，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些交線，這些交線有些是平面與形體相交產(chǎn)生的，有些則是兩個(gè)形體相交而形成的，如圖3-20所示。導(dǎo)言圖3-20希臘某房屋建筑那么，當(dāng)平面切割平面立體或圓柱、圓錐和球等曲面立體時(shí)，其截交線的形狀各有什么不同？這些截交線的投影該怎樣畫出？當(dāng)平面立體和曲面立體兩兩相交時(shí)，其交線的形狀會(huì)相同嗎？這些交線的投影該怎樣畫出？導(dǎo)言一、切割型建筑形體基本體被平面截切后的形體，稱為截切體，如圖3-21所示。其中，截切形體的平面稱為截平面；截平面與形體表面的交線稱為截交線；截交線所圍成的平面圖形稱為截面。圖3-21形體的截切一、切割型建筑形體若立體的形狀，或截平面與立體表面的相對(duì)位置不相同，則產(chǎn)生的截交線形狀也千差萬別，但所有的截交線都具有以下兩個(gè)基本性質(zhì)。封閉性因?yàn)槿魏位倔w表面都是封閉的，而截交線又是截平面和基本體表面的交線，所以截交線所圍成的圖形一定是封閉的。共有性因?yàn)榻亟痪€既屬于截平面，又屬于基本體表面，所以截交線是截平面和基本體表面的共有線。由此可見，求作截交線的實(shí)質(zhì)，就是求出截平面與立體表面公共點(diǎn)的集合。一、切割型建筑形體（一）平面立體截交線的畫法

平面立體的表面由若干個(gè)平面圍成，因此平面立體的截交線是由直線段圍成的封閉多邊形，該多邊形的各邊是截平面與各平面的交線，頂點(diǎn)是棱邊的投影或截平面與各棱邊的交點(diǎn)。平面立體上截交線的作圖方法可歸納為以下兩種。即先求出平面立體的各棱線與截平面的交點(diǎn)，然后將各點(diǎn)依次連接起來即得截交線。連接各交點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意：①只有兩點(diǎn)在同一投影面上時(shí)才能連接；②可見棱面上的兩點(diǎn)用實(shí)線連接，不可見棱面上的兩點(diǎn)用虛線連接。交點(diǎn)法一、切割型建筑形體即求出平面立體的棱面、底面與截平面的交線。交線法交點(diǎn)法和交線法不分先后，可配合使用，但一般情況下常用交點(diǎn)法求截交線的投影。值得注意的是，求平面立體截交線的投影時(shí)，要先分析平面立體在未切割前的形狀、它是怎樣被切割的，以及截交線有何特別等問題，然后再進(jìn)行作圖。一、切割型建筑形體【例3-7】如圖3-22所示為一正六棱柱被一正垂面P斜截時(shí)的立體示意圖，畫出六棱柱被截?cái)嗪蟮南掳氩糠值娜嫱队?。分析：?dāng)正六棱柱被正垂面P斜切時(shí)，正垂面P與正六棱柱的6個(gè)側(cè)面相交，其截交線在H面上的投影與棱柱的水平投影重合，在V面上的投影積聚為一直線，在W面上的投影是一個(gè)六邊形。圖3-22正六棱柱被斜截示意圖一、切割型建筑形體（1）畫切割體的H面和V面投影。先畫出投影特征最明顯的H面投影，即正六邊形，然后畫未切割前的V面投影，接著畫截平面，即一條斜線，最后擦去被截掉部分的輪廓線，如圖3-23（a）所示。（2）畫截交線的W面投影。先在V面和H面上分別找出正垂面與六棱柱截交線的各個(gè)交點(diǎn)，并用相應(yīng)的數(shù)字或字母標(biāo)注，然后根據(jù)點(diǎn)的兩面投影，在W投影面上分別找出交點(diǎn)在該平面中的投影點(diǎn)1″，2″，3″，4″，5″，6″，如圖3-23（b）所示，最后用直線依次連接這些投影點(diǎn)。（3）在W投影面上補(bǔ)畫切割體的其他棱線，然后對(duì)照立體示意圖檢查投影圖，最后加深圖線，結(jié)果如圖3-23（c）所示。其中，最右側(cè)的棱線被切割面擋住，其W面的投影不可見，因此該棱線用虛線畫出或省略不畫。作圖步驟：一、切割型建筑形體圖3-23正六棱柱切割體的畫法（a）（b）（c）一、切割型建筑形體

【例3-8】已知正三棱錐被一正垂面斜切，且正面投影和水平投影的輪廓已知，如圖3-24（a）所示，試補(bǔ)全該截?cái)囿w的水平投影。分析：由于截平面與三棱錐的3個(gè)棱面相交，故截交線是一個(gè)三角形。由于截平面是正垂面，因此其正面投影積聚成一條直線，且該直線與三棱錐各側(cè)棱投影的交點(diǎn)即為截交線各頂點(diǎn)的正面投影。在水平投影中找出這幾個(gè)頂點(diǎn)的水平投影，然后用直接連接即為截交線的水平投影。圖3-24正三棱錐截交線的作圖步驟一、切割型建筑形體（1）在正面投影圖上找到截交線各頂點(diǎn)的正面投影1'，2'，3'，然后在水平投影中對(duì)應(yīng)棱線的投影上找出點(diǎn)Ⅰ和點(diǎn)Ⅲ的水平投影點(diǎn)1和點(diǎn)3，如圖3-24（b）所示。（2）由于點(diǎn)Ⅱ在側(cè)平線SB上，故點(diǎn)Ⅱ的水平投影需借助輔助線求出，其作圖方法如圖3-24（c）所示。（3）用直線連接水平投影中的點(diǎn)1、點(diǎn)2和點(diǎn)3，可得截交線的水平投影，然后用直線連接這3個(gè)點(diǎn)與三棱錐底面各頂點(diǎn)，最后擦去多余的線條并加深，結(jié)果如圖3-24（d）所示。作圖步驟：圖3-24正三棱錐截交線的作圖步驟一、切割型建筑形體（二）曲面立體截交線的畫法用平面切割曲面立體時(shí)，截交線的形狀取決于被截形體的表面形狀及截平面與曲面立體的相對(duì)位置。截交線的形狀一般是封閉的平面曲線，或平面曲線與直線段相連的平面圖形，特殊情況下也可能是平面多邊形。1．圓柱的截交線當(dāng)截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置不同時(shí)，其截交線有表3-1中的3種情況。一、切割型建筑形體表3-1圓柱體的截交線一、切割型建筑形體

【例3-9】已知圓柱體被正垂面P所截，如圖3-25（a）所示，求作該切割體的三面投影。分析由于截平面P與圓柱軸線傾斜，故截交線是橢圓。該橢圓在正面投影中積聚為一條直線，其H面投影落在圓柱面的同面投影上，在側(cè)面投影中為橢圓的類似形，故在確定截交線的正面投影后，只需求出其側(cè)面投影即可。圖3-25圓柱截切體的三面投影一、切割型建筑形體作圖步驟：（1）根據(jù)圓柱體的投影規(guī)律，先畫出未切割前圓柱體的三面投影，然后畫正面投影中的截交線（一條斜線段）。（2）求特殊點(diǎn)的投影。分別取橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)Ⅰ，Ⅲ和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)Ⅱ，Ⅳ。其中，點(diǎn)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分別是截交線上的最低、最左、最高和最右點(diǎn)。這些點(diǎn)都是轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，可利用積聚性先在正面投影中標(biāo)出這些點(diǎn)，然后求出它們?cè)趥?cè)面投影圖中的投影1″，2″，3″，4″。圖3-25圓柱截切體的三面投影一、切割型建筑形體（3）求一般點(diǎn)的投影。為了使側(cè)面投影中的曲線更加精確，可在截交線上取一些一般位置點(diǎn)，如水平投影中的點(diǎn)5，6，7，8，然后求出這些點(diǎn)在正面投影中的投影5′，6′，7′，8′，最后求出它們的側(cè)面投影5″，6″，7″，8″，如圖3-25（b）所示。（4）用光滑的曲線順次連接側(cè)面投影中的各投影點(diǎn)，然后擦去被切割部分的圖線并加深，即可得到該圓柱截?cái)囿w的投影圖，結(jié)果如圖3-25（c）所示。圖3-25圓柱截切體的三面投影一、切割型建筑形體圓錐體被平面切割時(shí)，錐面與截平面的交線可分為表3-2所示的5種情況。2．圓錐的截交線表3-2圓錐體的截交線一、切割型建筑形體

【例3-10】已知圓錐被一正平面截切后的水平投影和側(cè)面投影如圖3-26（a）所示，補(bǔ)畫該投影圖中漏畫的圖線。分析：由于截平面為正平面，且與圓錐的軸線平行，所以截交線的空間形狀為雙曲線。該截交線的水平投影和側(cè)面投影分別積聚為一直線，因此只需求出截交線的正面投影。圖3-26補(bǔ)畫第三面投影一、切割型建筑形體作圖步驟：(1)(2)(3)求特殊點(diǎn)的投影。在水平投影和側(cè)面投影上分別找出截交線的最上C、最下點(diǎn)A和B的投影，然后求出這3個(gè)特殊點(diǎn)的正面投影c′，a′和b′。利用輔助圓法（也可用輔助素線法）求一般點(diǎn)的投影。在正面投影c′與a′，b′之間畫一條與圓錐軸線垂直的水平線（即平面M在正面中的投影m′），該水平線與圓錐最左和最右素線的正面投影交于點(diǎn)3′和點(diǎn)4′；以3′4′為直徑在水平投影中畫一圓，它與截交線的積聚投影交于點(diǎn)1和點(diǎn)2；過點(diǎn)1和點(diǎn)2作垂線，與正面投影中的輔助水平投影線的交點(diǎn)即為1′和2′。依次將點(diǎn)a′，1′，c′，2′，b′連接成光滑的曲線，最后描深該曲線即可。一、切割型建筑形體圖3-26補(bǔ)畫第三面投影一、切割型建筑形體球體被平面切割，不論截平面處于什么位置，其空間交線總為圓。當(dāng)截平面為投影面平行面時(shí)，截交線的投影為圓；當(dāng)截平面為一般位置平面時(shí)，截交線的投影為橢圓，如表3-3所示。3．球的截交線一、切割型建筑形體表3-3圓球的截交線一、切割型建筑形體球體與圓柱和圓錐表面上截交線的畫法相同，都是先根據(jù)截平面的數(shù)量、截平面與軸線的相對(duì)位置，確定截交線的形狀，然后確定截交線在各投影面上的投影，最后作出截交線上的特殊點(diǎn)和一般位置點(diǎn)的投影并連線。如圖3-27（a）所示為半球體被切割后的立體示意圖，其截交線的畫法如圖3-27（b）所示。一、切割型建筑形體圖3-27球截交線畫法（a）（b）二、相交型建筑形體建筑形體多是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本形體相交組成的。兩相交形體稱為相貫體，它們的表面交線稱為相貫線。相貫線是兩形體表面的共有線。相貫線上的點(diǎn)即為兩形體表面的共有點(diǎn)，同時(shí)也是兩形體表面的分界點(diǎn)。（一）相貫線的形狀立體相交可分為3種情況：平面立體與平面立體相交，平面立體與曲面立體相交，曲面立體與曲面立體相交，如圖3-28所示。二、相交型建筑形體圖3-283種類型的相貫體（a）兩平面立體相貫（b）平面立體與曲面立體相貫（c）兩曲面立體相貫二、相交型建筑形體相貫線一般為空間折線，特殊情況下為平面折線，每段折線都是兩立體棱面的交線，每個(gè)折點(diǎn)都是一立體棱線與另一個(gè)立體的貫穿點(diǎn)，如圖3-28（a）所示。兩平面立體相貫平面立體與曲面立體相貫相貫線一般是由若干平面曲線所組成的空間閉合曲線，每條平面曲線都是平面立體上某一棱面與曲