矩陣初等變換在圖像處理中的簡單應(yīng)用

矩陣初等變換在圖像處理中的簡單應(yīng)用劉鑫天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院08級03班[內(nèi)容摘要]:矩陣作為研究數(shù)學(xué)問題中的一項基礎(chǔ)工具，有著自身特有的性質(zhì)和運算方法，而其初等變換則為矩陣理論中的重要方法，利用這一特點可針對問題本身進行簡化，也可快速看到問題本質(zhì)并加以解決。數(shù)字圖像是計算機對圖像信息進行處理顯示的基礎(chǔ)，而數(shù)字圖像的本質(zhì)是m×n（每行m個像素，總共n行）的矩陣，每個元素aij對應(yīng)著（i，j）位置的圖像信息。本文討論了矩陣的初等變換在數(shù)字圖像的平移、旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用，從而說明矩陣變換在數(shù)字圖像變換和處理的理論指導(dǎo)地位。[關(guān)鍵詞]:矩陣初等變換數(shù)字圖像鏡像平移旋轉(zhuǎn)[引言]：矩陣的初等變換起源于線性方程組的三類通解變換。我們知道，線性方程組和它的增廣矩陣是唯一對應(yīng)的，因此當(dāng)矩陣的初等變換這一概念提出后，解線性方程組就等價與利用矩陣的初等變換來化簡一個增廣矩陣，而這一轉(zhuǎn)化過程無疑對解線性方程組會帶來方便。隨著矩陣理論的發(fā)展，新概念的不斷產(chǎn)生，新的問題也隨之產(chǎn)生，例如求矩陣的秩、求矩陣的特征值以及求標準正交基等，這些問題也可利用矩陣的初等變換來簡化其求解過程。20世紀60年代中期，隨電子計算機的發(fā)展得到普遍應(yīng)用，計算機對圖像的處理和顯示日益成熟圖像。利用數(shù)字圖像處理主要是為了修改圖形，改善圖像質(zhì)量，或是從圖像中提起有效信息，還有利用數(shù)字圖像處理可以對圖像進行體積壓縮，便于傳輸和保存。數(shù)字圖像的本質(zhì)是m×n（每行m個像素，總共n行）的矩陣，每個元素aij對應(yīng)著（i，j）位置的圖像信息。1、矩陣的初等變換矩陣的行及列的初等變換在線性代數(shù)中充當(dāng)十分重要的角色，它有三種類型：(1)互換第i行（列）和第j行（列），稱為對矩陣實行了一次初等行（列）變換，其對應(yīng)的初等矩陣極為P（i，j）；(2)行（列）乘以非零常數(shù)c，稱為對矩陣實行了一次初等行（列）變換，其對應(yīng)的等矩陣記為P（i（c））；(3)第j行（i列）的k倍加到第i行（j列），稱為對矩陣實行了一次初等行（列）變換，其對應(yīng)的矩陣記為P（i，j（k））。2、數(shù)字圖像的矩陣表述數(shù)字圖像的本質(zhì)是m×n（每行m個像素，總共n行）的矩陣，每個元素aij對應(yīng)著（i，j）位置的圖像信息。如圖1所示，圖像為一幅69×56的256色圖像，即圖像的每行有69個像素，共56行，我們可以用矩陣[aij]表示圖像的信息，aij表示第i行第j列的圖像信息。圖1原始數(shù)字圖像如圖1所示，原始數(shù)字圖像的矩陣信息為：2、數(shù)字圖像的鏡像圖像鏡像是指圖像在平面鏡中成像，形成一個和鏡面對稱的圖像，對于一個m×n的數(shù)字圖像，進行鏡像變換后依然為m×n的矩陣，如果用[aij]表示原始數(shù)字圖像的矩陣，[bij]表示鏡像變換的數(shù)字圖像矩陣，則水平鏡像為：垂直鏡像為：圖1所示的原始數(shù)字圖像，經(jīng)過鏡像變換后為：圖2水平鏡像圖像和垂直鏡像圖像3、數(shù)字圖像的平移圖像平移是指在同一平面內(nèi)，將圖像沿著某個方向移動一定的距離，移動時，圖像上的每一個像素都沿該方向移動同一距離，因而平移不改變物體的形狀和大小。如果將圖像上的點P(x,y)平移到P’(x’,y’)，也可用一下以下式子表示：這個矩陣計算給出了二維像素平移變換的關(guān)系。對于一個m×n的數(shù)字圖像，進行(p,q)平移變換后變?yōu)闉?p+m)×（q+n）的矩陣，如果用[aij]表示原始數(shù)字圖像的矩陣，[bij]表示平移變換的數(shù)字圖像矩陣，則變換后的元素當(dāng)i>p且j>q時為：當(dāng)i和j為其他值時，圖像元素為空白，我們將其顏色設(shè)為黑色，即：圖1所示的原始數(shù)字圖像，經(jīng)過向左平移10個像素，向下平移10個像素后得到的圖像為：圖3平移（10，10）后的圖像4、圖像的旋轉(zhuǎn)圖像的旋轉(zhuǎn)是指在同一平面內(nèi)，將圖像繞著某個點旋轉(zhuǎn)一定的角度，旋轉(zhuǎn)時，圖像上的每一個像素都繞該點向旋轉(zhuǎn)同一角度，因而平移不改變物體的形狀和大小。如圖4所示，如果將圖像上的點P(x,y)繞原點旋轉(zhuǎn)到P’(x’,y’)，旋轉(zhuǎn)的角度為θ，此時，P和P’到原圖4像素的旋轉(zhuǎn)距離不變，均為r，此時：可以表示為：對于一個m×n的數(shù)字圖像，繞（0，0）點像素進行進行θ度旋轉(zhuǎn)后，得到旋轉(zhuǎn)矩陣，其行列數(shù)目不等于m×n，和θ有關(guān)。如果用[aij]表示原始數(shù)字圖像的矩陣，[bpq]表示平移變換的數(shù)字圖像矩陣，則變換后的元素滿足以下條件時：有 因為一個整數(shù)和正弦余弦值相乘時，得到的是浮點數(shù)，即為整數(shù)，因而確定腳標pq的值時，需要對其取整，這需要近似計算和插值，和矩陣的基本變換關(guān)系不大，在這里就不討論了。圖1所示的原始數(shù)字圖像，經(jīng)過順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖像為：圖4旋轉(zhuǎn)π/4、π/2、3π/4、π后的圖像[結(jié)論]：矩陣的出現(xiàn)不但簡化了方程求解的過程，而且對現(xiàn)實生活有理論指導(dǎo)意義。通過矩陣的變換，我們可以實現(xiàn)對數(shù)字圖像的變換和處理，能夠滿足計算機圖像圖像的要求。同時，通過這些變換，讓我們更清楚的知道，科學(xué)的理論是科學(xué)實踐的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，為其他應(yīng)用科學(xué)提供堅實的理論基礎(chǔ)。這里，我們只簡單地列舉了幾個矩陣在數(shù)字圖像變換中的應(yīng)用，更復(fù)雜變換需要的數(shù)學(xué)知識更多，應(yīng)該需要更堅實的數(shù)理基礎(chǔ)。參考文獻[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，1987．[2]王成，饒從軍．矩陣初等變換的應(yīng)用研究[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(4)：76—78．[3]宋玉霞，王文?。镁仃嚨某醯茸儞Q求商和余式[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21(1)：76—78．[4]黃朝軍．矩陣的初等變換的一個應(yīng)用[J]．黔東南民族師范高等專科學(xué)校學(xué)報[J]．2004，22(6)：l一2．[5]朱秀昌，劉峰，胡棟．?dāng)?shù)字圖像處理與圖像通信[M]．北京：北京郵電大學(xué)出版社，2002．[6][美]KennethRCastleman．?dāng)?shù)字圖像處理[M]．北京：電子工業(yè)出版社，2002．致謝首先感謝李老師，李老師循循善誘、