2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章函數(shù)應(yīng)用5.2.1實際問題的函數(shù)刻畫練測評含解析北師大版必修第一冊

PAGE2.1實際問題的函數(shù)刻畫必備學(xué)問基礎(chǔ)練進階訓(xùn)練第一層學(xué)問點一由已知變量關(guān)系刻畫函數(shù)1.據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中電動車存車費是每輛一次0.3元，自行車存車費是每輛一次0.2元．若自行車存車量為x輛次，存車總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)2．目前我國一些高耗能產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)能過剩，嚴峻影響生態(tài)文明建設(shè)，“去產(chǎn)能”將是一項重大任務(wù)．某行業(yè)安排從2024年起先，每年的年產(chǎn)能比上一年的年產(chǎn)能削減的百分比為x(0＜x＜1)．(1)設(shè)第n(n∈N*)年(2024年記為第1年)的年產(chǎn)能為2024年的a倍，請用a，n表示x；(2)若x＝10%，則至少要到哪一年才能使年產(chǎn)能不超過2024年的年產(chǎn)能的25%?參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477學(xué)問點二由圖表信息刻畫函數(shù)3.向一杯子中勻速注水時，杯中水面高度h隨時間t改變的函數(shù)h＝f(t)的大致圖象如圖所示，則杯子的形態(tài)可能是()4．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高/cm體重/kg606.13707.90809.999012.1510015.0211017.5012020.9213026.8614031.1115038.8516047.2517055.05(1)依據(jù)表中供應(yīng)的數(shù)據(jù)，能否建立恰當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的關(guān)系？試寫出這個函數(shù)的解析式；(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？關(guān)鍵實力綜合練進階訓(xùn)練其次層1．某公司市場營銷人員的個人月收入y(元)與其每月的銷售量x(萬件)成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的月收入是()A．3100元B．3000元C．2900元D．2800元2．下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的是()A．豎直向上放射的信號彈，從放射到落回地面，信號彈的高度與時間的關(guān)系(不計空氣阻力)B．我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數(shù)隨年份的改變關(guān)系C．假如某人ts內(nèi)騎車行進了1km，那么此人騎車的平均速度v與時間t的函數(shù)關(guān)系D．信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系3．下表是某次測量中兩個變量x，y的一組數(shù)據(jù)，若將y表示為關(guān)于x的函數(shù)，則最可能的函數(shù)關(guān)系是()x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函數(shù)關(guān)系B．二次函數(shù)關(guān)系C．指數(shù)函數(shù)關(guān)系D．對數(shù)函數(shù)關(guān)系4．某公司生產(chǎn)一批產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則利潤取最大值時，產(chǎn)量x為()A．55臺B．120臺C．150臺D．180臺5．小明的父親飯后出去漫步，從家中走20分鐘到一個離家900米的報亭看10分鐘報紙后，用20分鐘返回家里，下面圖形中能表示小明的父親離開家的時間與距離之間的關(guān)系的是()6．如圖，起先時桶(1)中有a升水，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1＝ae－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－ae－nt，假設(shè)過5分鐘時桶(1)和桶(2)中的水相等，則再過________桶(1)中的水只有eq\f(a,8).()A．7分鐘B．8分鐘C．9分鐘D．10分鐘7．某化工廠2024年的年產(chǎn)量是2024年年產(chǎn)量的n倍，則該化工廠這幾年的年平均增長率是________．8．已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿意關(guān)系y＝a·(0.5)x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件．則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為________萬件．9．(探究題)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后，李明會得到支付款的80%.(1)當x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，須要支付________元；(2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為________．10．某地上年度電的價格為0.8元/度，年用電量為1億度．本年度安排將電的價格調(diào)至0.55元/度～0.75元/度(包含0.55元/度和0.75元/度)，經(jīng)測算，若電的價格調(diào)至x元/度，則本年度新增用電量y(億度)與(x－0.4)(元/度)成反比，且當x＝0.65時，y＝0.8.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若電的成本價為0.3元/度，則電的價格調(diào)至多少時，電力部門本年度的收益將比上一年增加20%?(收益＝用電量×(實際電的價格－成本價))學(xué)科素養(yǎng)升級練進階訓(xùn)練第三層1．(多選題)如圖，下面的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對應(yīng)的圖象顯示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系，其中正確的有()2．已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以每小時60千米的速度由A地到達B地，在B地停留一小時后再以每小時50千米的速度返回A地，把汽車離開A地的距離x表示為時間t的函數(shù)，表達式是______________．3．(情境命題—生活情境)某種商品進價為每個80元，零售價為每個100元，為了促銷，采納買一個這種商品贈送一個小禮品的方法．實踐表明：禮品的價格為1元時，銷售量增加10%，且在肯定范圍內(nèi)，禮品價格為(n＋1)元時，比禮品價格為n(n∈N＋)元時的銷售量增加10%.設(shè)未贈送禮品時的銷售量為m件．(1)寫出禮品價格為n元時，利潤yn(單位：元)與n(單位：元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)請你設(shè)計禮品的價格，以使商店獲得最大利潤．§2實際問題中的函數(shù)模型2．1實際問題的函數(shù)刻畫必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：依據(jù)題意可知，存車總收入y(元)與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)，故選D.答案：D2．解析：(1)依題意得(1－x)n＝a，則1－x＝eq\r(n,a)，所以x＝1－eq\r(n,a)(n∈N*)．(2)設(shè)第n年的年產(chǎn)能不超過2024年的年產(chǎn)能的25%，則(1－10%)n≤25%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n≤eq\f(1,4)，nlgeq\f(9,10)≤lgeq\f(1,4)，n(2lg3－1)≤－2lg2，n≥eq\f(2lg2,1－2lg3).因為eq\f(2lg2,1－2lg3)≈eq\f(2×0.301,1－2×0.477)＝eq\f(301,23)，所以n≥eq\f(301,23).因為13＜eq\f(301,23)＜14，且n∈N*，所以n的最小值為14.所以至少要到2032年才能使年產(chǎn)能不超過2024年的年產(chǎn)能的25%.3．解析：從題圖看出，在時間段[0，t1]，[t1，t2]內(nèi)水面高度是勻速上升的，因此幾何體應(yīng)為兩柱體組合，在[0，t1]時間段內(nèi)上升慢，在[t1，t2]時間段內(nèi)上升快，所以得下面的柱體橫截面面積大，上面的柱體橫截面面積小，故選A.答案：A4．解析：(1)以身高為橫坐標，體重為縱坐標，畫出已知數(shù)據(jù)對應(yīng)的點，依據(jù)點的分布特征，可考慮以y＝a·bx刻畫這個地區(qū)未成年男性的體重與身高關(guān)系．不妨取其中的兩組數(shù)據(jù)(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用計算器算得a≈2，b≈1.02.這樣，我們就得到一個函數(shù)模型：y＝2×1.02x.將其他數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式，或作出上述函數(shù)的圖象，可以發(fā)覺，這個函數(shù)模型能較好地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系．(2)將x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，由計算器算得y≈63.98，由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，這個男生偏胖．關(guān)鍵實力綜合練1．解析：設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0)，∵函數(shù)圖象過點(1,8000)，(2,13000)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝8000，,2k＋b＝13000，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝5000，,b＝3000，))∴y＝5000x＋3000，當x＝0時，y＝3000，∴營銷人員沒有銷售量時的月收入是3000元．答案：B2．解析：A：豎直向上放射的信號彈，從放射到落回地面，信號彈的高度與時間的關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系；B：我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數(shù)隨年份的改變關(guān)系是指數(shù)型函數(shù)關(guān)系；C：假如某人ts內(nèi)騎車行進了1km，那么此人騎車的平均速度v與時間t的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；D：信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系．故選B.答案：B3．解析：視察圖表中函數(shù)值y隨自變量x改變的規(guī)律可知，隨著自變量x增大，函數(shù)值也在增大，但是增加的幅度越來越小，因此它最可能的函數(shù)模型為對數(shù)函數(shù)．故選D.答案：D4．解析：設(shè)利潤為z萬元，則z＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)＝－0.1x2＋36x－3000＝－0.1·(x－180)2＋240.當x＝180時，利潤z取最大值，選D.答案：D5．解析：20至30分鐘時距離沒有改變，故選D.答案：D6．解析：由題意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).設(shè)再經(jīng)過t分鐘，桶(1)中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n(t＋5)＝eq\f(a,8)，則eq\f(t＋5,5)＝3，解得t＝10.答案：D7．解析：設(shè)2024年年產(chǎn)量是a，則2024年年產(chǎn)量是na，設(shè)年平均增長率為x，則na＝a(1＋x)3，解得x＝eq\r(3,n)－1.答案：eq\r(3,n)－18．解析：∵y＝a·(0.5)x＋b，且當x＝1時，y＝1，當x＝2時，y＝1.5，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2.))∴y＝－2×(0.5)x＋2.當x＝3時，y＝－2×0.125＋2＝1.75(萬件)．答案：1.759．解析：(1)顧客一次購買草莓和西瓜各1盒時，總價為60＋80＝140(元)，達到120元，又∵x＝10，∴顧客須要支付140－10＝130(元)．(2)解法一：當單筆訂單的總價達不到120元時，顧客不少付，則李明得到總價的80%；當單筆訂單的總價達到120元時，顧客少付x元，設(shè)總價為a元(a≥120)，則李明每筆訂單得到的金額與總價的比為eq\f(0.8a－x,a)＝0.8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,a)))，∴當a越小時，此比值越?。謅最小為120元(即買兩盒草莓)，∴0.8(120－x)≥120×0.7，解得x≤15.∴x的最大值為15.解法二：購買水果總價剛好達到120元時，顧客少付x元，這時x占全部付款的比例最高，此時假如滿意李明所得金額是促銷前總價的70%，那么其x值最大．由此列式得(120－x)×0.8＝120×0.7，解得x＝15.∴x的最大值為15.答案：(1)130(2)1510．解析：(1)因為y與(x－0.4)成反比，所以可設(shè)y＝eq\f(k,x－0.4)(k≠0)，把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝eq\f(k,0.65－0.4)，解得k＝0.2，所以y＝eq\f(0.2,x－0.4)＝eq\f(1,5x－2)，所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(1,5x－2)(0.55≤x≤0.75)．(2)依據(jù)題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5x－2)))(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，整理得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5(舍去)或x2＝0.6，所以當電的價格調(diào)至0.6元/度時，電力部門本年度的收益將比上一年增加20%.學(xué)科素養(yǎng)升級練1．解析：因為正方體的底面積是定值，故水面高度的增加是勻稱的，即圖象是直線型的．故A錯誤；因幾何體下面窄上面寬，且相同的時間內(nèi)注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面的高度增加得慢，即圖象應(yīng)越來越緩．故B正確；球是對稱的幾何體，下半球因下面窄上面寬，所以水的高度增加得越來越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越來越快，即圖象先平緩再變陡．故C正確；圖中幾何體兩頭寬，中間窄，所以水的高度增加，下半體越來越快，上半體越來越慢，即圖象先變陡再變