黑龍江省大慶市鐵人中學2025屆高三數(shù)學上學期期中試題理含解析

PAGE20-黑龍江省大慶市鐵人中學2025屆高三數(shù)學上學期期中試題理（含解析）試題說明：1.本試題滿分150分，答題時間120分鐘.2.請將答案填寫在答題卡上，考試結束后只交答題卡.第Ⅰ卷選擇題部分一、選擇題（每小題只有一個選項正確，每小題5分，共60分.）1.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：依據(jù)復數(shù)除法法則化簡復數(shù)，即得結果.詳解：選D.點睛：本題考查復數(shù)除法法則，考查學生基本運算實力.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，所以.故選擇B.3.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()A.－ B.－ C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值，由已知直線的斜率得到tanθ的值，然后依據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關系求出cosθ的平方，然后依據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式把所求的式子化簡后，把cosθ的平方代入即可求出值．【詳解】解：依據(jù)題意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，則cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故選：B．【點睛】此題考查學生駕馭直線的斜率與傾斜角之間的關系，敏捷運用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求值，是一道中檔題．4.曲線在點處切線的斜率為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)求導公式求出y′，由導數(shù)的幾何意義求出在點（1，1）處的切線的斜率k．【詳解】解：由題意知，，則，∴在點（1，1）處的切線的斜率k＝2，故選：B【點睛】本題考查求導公式和法則，以及導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．5.下列敘述正確的是（）A.命題“p且q”為真，則恰有一個為真命題B.命題“已知，則“”是“”的充分不必要條件”C.命題都有，則，使得D.假如函數(shù)在區(qū)間上是連綿不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點【答案】C【解析】【分析】由p且q的真值表，可推斷正誤；由充分必要條件的定義和特值法，可推斷正誤；由全稱命題的否定為特稱命題，可推斷正誤；由函數(shù)零點存在定理可推斷正誤.【詳解】解：對于A，命題“P且q為真，則P，q均為真命題”，故錯誤；對于B，“a＞b”推不出“a2＞b2”，比如a＝1，b＝﹣1；反之也推不出，比如a＝﹣2，b＝0，“a＞b”是“a2＞b2”的不充分不必要條件，故錯誤；對于C，命題都有，則，使得，故正確；對于D，假如函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上是連綿不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，由零點存在定理可得函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，故錯誤．其中真命題的個數(shù)為1，故選：C．【點睛】本題考查命題的真假推斷，考查命題的否定和充分必要條件的推斷，以及函數(shù)零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性的推斷，考查推斷實力和運算實力，屬于中檔題．6.若，滿意約束條件，則的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】作出可行域,,比較斜率的大小找到最優(yōu)解,依據(jù)最優(yōu)解求得最大值.【詳解】作出可行域,如圖所示:將目標函數(shù)化為斜截式可得:,依據(jù)圖象,比較斜率的大小可知,最優(yōu)解為點,聯(lián)立,解得,所以,將代入目標函數(shù)可得的最大值為6.故選:C.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最大值,屬于中檔題.7.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：用特別值法，令，，得，選項A錯誤，，選項B錯誤，，選項D錯誤，因為選項C正確，故選C．【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.8.在中，,為的中點，則=()A.2 B.-2 C. D.【答案】B【解析】∵為的中點∴，∵∴故選B.9.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當時，，所以去掉A,B;因為，所以，因此去掉C，選D.點睛：有關函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的推斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，推斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，推斷圖象的循環(huán)往復．(2)由實際情景探究函數(shù)圖象．關鍵是將問題轉(zhuǎn)化為熟識的數(shù)學問題求解，要留意實際問題中的定義域問題．10.《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】幾何體如圖，球心為O，半徑為，表面積為，選B.點睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特別點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何學問找尋幾何體中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.11.不等式的解集為,且,則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：即不等式在是上恒成立，即，令，則，列表分析可得時取最小值，從而的取值范圍是，選A.考點：不等式恒成立【方法點睛】利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法（1）分別參數(shù)法：將原不等式分別參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值，依據(jù)要求得所求范圍.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的極值（最值），然后構建不等式求解.12.已知定義在上的函數(shù)的導數(shù)為，且，若對隨意恒成立，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0．x∈（0，+∞）．xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．可得函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)性，即可解出．【詳解】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞）．∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．∴函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．由lnx，可得，即又∴g（x）＞0=g（e），∴x＞e．即不等式lnx的解集為{x|x＞e}．故選：C．【點睛】本題考查了構造法、利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．二.填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）13.已知向量，若與反向則_________【答案】【解析】【分析】利用向量共線的坐標公式即可得到結果.【詳解】∵向量，與反向∴，解得，故答案為：【點睛】本題考查實數(shù)值求法，是中檔題，解題時要仔細審題，留意向量共線的性質(zhì)的合理運用．14.函數(shù)最大值為_______【答案】6【解析】【分析】利用二倍角余弦公式，轉(zhuǎn)化為關于t的一元二次函數(shù)，進而可依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來解決．【詳解】解：y＝﹣2sin2x+6sinx+2，設sinx＝t，則﹣1≤t≤1，f（t）＝﹣2t2+6t+2，對稱軸為x，開口方向向下，在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)增，∴f（t）max＝f（1）＝6，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值問題．解題過程中運用了函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想．15.在中，角所對的邊分別為的平分線交于點D，且，則的最小值為_________【答案】【解析】【分析】依據(jù)面積關系建立方程關系，結合基本不等式1的代換進行求解即可．【詳解】解：由題意得acsin60°asin30°csin30°，即ac＝a+c，得，得4a+c＝（4a+c）（）≥＝，當且僅當，即c＝2a時，取等號，故答案為：．【點睛】本題主要考查基本不等式的應用與三角形的面積公式，利用1的代換結合基本不等式是解決本題的關鍵．16.設是定義在實數(shù)集上的周期為2的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，已知當時，，則當時，的解析式為______________【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知中函數(shù)的奇偶性和周期性，結合x∈[2，3]時，f（x）＝x，可得答案．【詳解】解：∵f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，x∈[2，3]時，f（x）＝x，∴x∈[﹣2，﹣1]時，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此時f（x）＝f（4+x）＝4+x，x∈[﹣1，0]時，﹣x∈[0，1]，2﹣x∈[2，3]，此時f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x，綜上可得：x∈[﹣2，0]時，f（x）＝3﹣|x+1|故答案為：點睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．三.解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)）17.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期及對稱中心；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)，對稱中心；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)先通過三角恒等變換把化簡成一角一名一次式即的形式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其最小正周期和對稱中心；(Ⅱ)由求出的范圍，結合圖象找出函數(shù)的最值點，進而求得的最值，得解.試題解析：解：（Ⅰ）∴的最小正周期為，令，則，∴的對稱中心為；（Ⅱ）∵∴∴∴∴當時，的最小值為；當時，的最大值為．考點：二倍角公式、兩角和與差的正弦公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).【易錯點晴】本題涉及到降冪公式，要留意區(qū)分兩個公式，同時要留意兩個特別角的三角函數(shù)值，保證化簡過程正確是得分的前提，否則一旦出錯將會一錯究竟，一分不得，不少考生犯這樣的低級錯誤，實在惋惜；對于給定區(qū)間上的最值問題，在換元的基礎上結合三角函數(shù)的圖象搞清晰其單調(diào)性，找準最值點，再求最值，部分考生不考慮單調(diào)性，干脆代入?yún)^(qū)間兩個端點的值來求最值，說明對函數(shù)單調(diào)性對函數(shù)最值的影響相識膚淺、不到位.18.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列滿意，求數(shù)列前項和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)是等差數(shù)列，設公差為d，由通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；（Ⅱ）求得，由裂項相消求和，化簡運算可得所求和．【詳解】（Ⅰ）公差d不為零的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，

可得，即，解得．則；（Ⅱ），可得前n項和．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式與等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查數(shù)列的裂項相消求和，化簡運算實力，屬于基礎題．19.如圖，直棱柱中，分別是的中點，，（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接AC1，交A1C于點F，則F為AC1的中點，連接DF，則BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1C．（2）以C為坐標原點，CA、CB、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【詳解】（1）如圖，連接交于點F，則點F為的中點，連接.因為D是的中點，所以在中，是中位線，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）因為，所以，即.則以C為坐標原點，分別以，，為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，則，，.設是平面的一個法向量，則，即，取，則，，則.設是平面一個法向量，則，即，取，則，，則.所以，所以，即二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎學問，考查運算求解實力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．20.已知在中，角的對邊分別為,且.（1）求的值；（2）若,求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求的值，所以可以考慮到依據(jù)余弦定理將分別用邊表示，再依據(jù)正弦定理可以將轉(zhuǎn)化為，于是可以求出的值；（2）首先依據(jù)求出角的值，依據(jù)第（1）問得到的值，可以運用正弦定理求出外接圓半徑，于是可以將轉(zhuǎn)化為，又因為角的值已經(jīng)得到，所以將轉(zhuǎn)化為關于的正弦型函數(shù)表達式，這樣就可求出取值范圍；另外本問也可以在求出角的值后，應用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，當然，此時還要留意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件.試題解析：（1）由，應用余弦定理，可得化簡得則（2）即所以法一.,則===又法二因為由余弦定理得，又因為，當且僅當時“”成立.所以又由三邊關系定理可知綜上21.已知數(shù)列中，且．（Ⅰ）求，；并證明是等比數(shù)列；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ），證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)遞推式逐步代入算出和的值，再依據(jù)題意將的遞推式代入進行計算化簡最終會得到和的關系，最終得證數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）先依據(jù)（Ⅰ）求得的通項公式，得到，由通項公式的特點可依據(jù)錯位相減法得到數(shù)列的前項和．【詳解】（Ⅰ）由題意，可知：，．①當時，，②當時，．數(shù)列是以為首