經濟數(shù)學基礎（第六版）（上冊）課件 第8講2.2導數(shù)基本公式與運算法則

經濟數(shù)學基礎輔導第8講顧靜相2.2導數(shù)基本公式與運算法則教學要求

掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則．四則運算法則

設函數(shù)

u(x)，v(x)在點

x

處可導，C

是常數(shù)，那么1．加減求導法則：

；即兩個函數(shù)代數(shù)和的導數(shù)等于它們導數(shù)的代數(shù)和．四則運算法則

設函數(shù)

u(x)，v(x)在點

x

處可導，C

是常數(shù)，那么1．加減求導法則：

，即兩個函數(shù)代數(shù)和的導數(shù)等于它們導數(shù)的代數(shù)和．2．乘法求導法則：

，即兩個函數(shù)乘積的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)，加上第二個函數(shù)的導數(shù)乘第一個函數(shù)．四則運算法則

設函數(shù)

u(x)，v(x)在點

x

處可導，C

是常數(shù)，那么1．加減求導法則：

．2．乘法求導法則：

．特別地，如果

v(x)=C，則

；

函數(shù)的加減、乘法求導法則也可以推廣到有限多個函數(shù)的加減、乘積求導的情形．如四則運算法則

設函數(shù)

u(x)，v(x)在點

x

處可導，C

是常數(shù)，那么3．除法求導法則：

；其中v(x)≠0．即兩個函數(shù)之商的導數(shù)等于分子的導數(shù)乘分母，減去分母的導數(shù)乘分子，再除以分母的平方．四則運算法則

設函數(shù)

u(x)，v(x)在點

x

處可導，C

是常數(shù)，那么3．除法求導法則：

；其中v(x)≠0．即兩個函數(shù)之商的導數(shù)等于分子的導數(shù)乘分母，減去分母的導數(shù)乘分子，再除以分母的平方．特別地，如果

u(x)=C，則

．復合函數(shù)求導法則4．復合函數(shù)求導法則

定理2.2設函數(shù)

在點

x處有導數(shù)

，函數(shù)

在點

u處有導數(shù)

，則復合函數(shù)

在該點

x也有導數(shù)，且或或．復合函數(shù)求導法則

復合函數(shù)的求導等于復合函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)．例1

求函數(shù)

的導數(shù)．四則運算法則例1

求函數(shù)

的導數(shù)．解：因為，即所以乘法求導法則四則運算法則例2

求函數(shù)

的導數(shù)．

t

為常數(shù)四則運算法則例2

求函數(shù)

的導數(shù)．

t

為常數(shù)解：等號右邊第一項是兩個函數(shù)的商，用除法求導法則求之；也可以寫成

，用乘法求導法則求之．第二項是常數(shù)

與對數(shù)函數(shù)

的乘積，用公式

求之．因為

減法求導法則四則運算法則而除法求導法則四則運算法則而除法求導法則四則運算法則所以例3

求函數(shù)

的導數(shù)．復合函數(shù)求導法則例3

求函數(shù)

的導數(shù)．解：令

，

，

，則復合函數(shù)求導法則例3

求函數(shù)

的導數(shù)．解：令

，

，

，則利用復合函數(shù)求導法則對

u、v、t

求導，最后進行復合．因為，，，復合函數(shù)求導法則解：令

，

，

，則

．因為，，，，所以，由復合函數(shù)求導公式，得復合函數(shù)求導法則例3

求函數(shù)

的導數(shù)．解：熟練后可直接用復合函數(shù)求導法則求之．復合函數(shù)求導法則例4

求函數(shù)

的導數(shù)．復合函數(shù)求導法則例4

求函數(shù)

的導數(shù)．復合函數(shù)求導法則解利用對數(shù)性質先化簡再求導，即

，則

．隱函數(shù)求導方法

稱由未解出因變量的方程

F(x,y)=0所確定的

y與

x之間的關系為隱函數(shù)．例如：，，

．隱函數(shù)求導方法

稱由未解出因變量的方程

F(x,y)=0所確定的

y與

x之間的關系為隱函數(shù)．例如：，，

．

隱函數(shù)求導數(shù)的方法：方程兩端同時對

x

求導，遇到含有

y

的項，先對

y求導，再乘以

y對

x的導數(shù)

，得到一個含有

y

的方程式，然后從中解出

y

即可．隱函數(shù)求導方法例5求隱函數(shù)

的導數(shù)．隱函數(shù)求導方法例5求隱函數(shù)

的導數(shù)．隱函數(shù)求導法：在該方程兩端同時對自變量

x求導，得到一個含有函數(shù)

y

的一次方程，再解出

y

．解

因為導數(shù)加減運算法則隱函數(shù)求導方法隱函數(shù)求導法：在該方程兩端同時對自變量

x求導，得到一個含有函數(shù)

y

的一次方程，再解出

y

．解

因為導數(shù)加減運算法則復合、乘法運算法則例5求隱函數(shù)

的導數(shù)．隱函數(shù)求導方法解

因為所以導數(shù)加減運算法則復合、乘法運算法則例5求隱函數(shù)

的導數(shù)．隱函數(shù)求導方法例6求曲線

在點

處的切線方程．隱函數(shù)求導方法例6求曲線

在點

處的切線方程．解先求由

所確定的隱函數(shù)的導數(shù)．即在方程等號兩邊同時對

x求導，得，即，解出

y

，得

．隱函數(shù)求導方法解出

y

，得

．在點

M(1,1)處，

．于是，在點

M(1,1)處的切線方程為，即．反函數(shù)的求導法則

定理2.3設函數(shù)

x=

(y)在某區(qū)間內單調、可導且

(y)≠0，則其反函數(shù)

y=f(x)在相應區(qū)間內也可導，且

，或記作

．即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)的導數(shù)的倒數(shù)．反函數(shù)的求導法則例7求函數(shù)

的導數(shù)．反函數(shù)的求導法則例7求函數(shù)

的導數(shù)．解

因為

是

的反函數(shù)，且

，

，即．反函數(shù)的求導法則例7求函數(shù)

的導數(shù)．解

因為

是

的反函數(shù)，且

，

，即．由導數(shù)除法運算法則反函數(shù)的求導法則例7求函數(shù)

的導數(shù)．由導數(shù)除法運算法則反函數(shù)的求導法則例7求函數(shù)

的導數(shù)．由導數(shù)除法運算法則反函數(shù)的求導法則例7求函數(shù)

的導數(shù)．由得其中，對數(shù)求導方法

形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)．

冪指函數(shù)如何求導數(shù)呢？

一般先對函數(shù)的兩邊取對數(shù)，得到一個隱函數(shù)，然后在等式兩邊同時對自變量

x求導，最后解出

y

x．這種方法稱為對數(shù)求導法．對數(shù)求導方法

形如