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基本不等式會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車,代表中國(guó)人民熱情好客。情境導(dǎo)入國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(InternationalCongressof
Mathematicians,ICM)觀察:這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形?思考:你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系?新課引入正方形和直角三角形探究1ab2、四個(gè)直角三角形的面積和S′=3、S與S′有什么
樣的不等關(guān)系?S>S′問(wèn):那么它們有相等的情況嗎?何時(shí)相等?新課引入1、正方形ABCD的面積S=______探究1ADBCEFGHba對(duì)于a、b都大于0,
我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。ABCDE(FGH)ab新課引入探究1E(FGH)ab重要不等式思考:當(dāng)a、b為實(shí)數(shù),你能證明重要不等式
嗎?證明:(作差法)新課引入對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b,總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立
a、b∈R文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍:新課引入重要不等式學(xué)習(xí)新知替換后得到:即:即:你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎?探究2證明:要證只要證①要證①,只要證②要證②,只要證③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),③中的等號(hào)成立.分析法證明不等式:學(xué)習(xí)新知探究2若a>0,b>0,則通常我們把上式寫作:在數(shù)學(xué)中,我們把
叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),
叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)。文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍:a>0,b>0學(xué)習(xí)新知基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。均值不等式學(xué)習(xí)新知
長(zhǎng)度為的線段是(
)長(zhǎng)度為的線段是(
)
半徑半弦將點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng),發(fā)現(xiàn)半徑OD和半弦CD大小關(guān)系如何?探究3射影定理圓的半弦不大于半徑,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合,即a=b時(shí)取等號(hào)。適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較:注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式學(xué)習(xí)新知
學(xué)習(xí)新知基本不等式的推廣:
你能用今天學(xué)習(xí)的方法給出以下不等式的證明嗎?基本不等式鏈①②分析法基本不等式的運(yùn)用例1.已知x>0,求的最小值和此時(shí)x的值.典型例題變式1:已知x<0,求的最大值.
變式3:當(dāng)x>1時(shí),求的最小值.典型例題基本不等式的運(yùn)用例2.已知
x,y
都是正數(shù),P,S
是常數(shù),求證:(1)xy=P
x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)
x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S
xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)
x=y時(shí),取“=”號(hào)).14鞏固練習(xí)
(1)設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為A.80B.77C.81 D.82√(2)若m>0,n>0,mn=81,則m+n的最小值是A.4
B.
C.9
D.18√①各項(xiàng)皆為正數(shù);②和或積為定值;③注意等號(hào)成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時(shí),要注意已知
x,y
都是正數(shù),P,S
是常數(shù).(1)xy=P
x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)
x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S
xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)
x=y時(shí),取“=”號(hào)).14歸納總結(jié)提高練習(xí)
提高練習(xí)
作差法提高練習(xí)
提高練習(xí)
提高練習(xí)
提高練習(xí)
注意把握“一正,二定,三相等”3.利用基本不等式求最值1.重要不等式課堂小結(jié)2.基本不等式4.數(shù)學(xué)證明方法作差法、分析法當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。當(dāng)
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