高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習(xí)：28 二項式定理（學(xué)生版+解析版）

專題28二項式定理

一、單選題

1.（2020?北京高三一模）在（2x—工）的展開式中，常數(shù)項是（）

A.-160B.-20C.20D.160

2.（2020?江蘇省祁江中學(xué)高二期中）在的二項展開式中，含x"的項的系數(shù)是（）

A.10B.15C.20D.25

1］的展開式的常數(shù)項是（）

3.（2020?北京大峪中學(xué)高二期中）（一+1）

A.-3B.-4C.3D.4

4.（2020.江蘇省祁江中學(xué)高二期中）已知（工一1）9（1一力=%+4%+。2/+.“+40"°，則。8=（）

A.-45B.27C.-27D.45

5.（2020.北京市魯迅中學(xué)高二月考）（1一2x）7的展開式中系數(shù)最大的項為（）

A.第4項B.第5項C.第7項D.第8項

6.（2020?陽江市第三中學(xué)高二期中）（1-域3的展開式中，系數(shù)最小的項為（）

A.第6項B.第7項C.第8項D.第9項

7.（2020?遼寧省高三其他（理））已知二項式（2妙+L）"的展開式中，二項式系數(shù)之和等于64,則展開式

x

中常數(shù)項等于（）

A.240B.120C.48D.36

8.（2020?揚州市江都區(qū)大橋高級中學(xué)高二期中）在（x+），）”的展開式中第4項與第8項的系數(shù)相等，則展

開式中系數(shù)最大的項是（）

A.第6項B.第5項C.第5、6項D.第6、7項

二、多選題

9.（2020.江蘇省揚州中學(xué)高二期中）已知（々+人）〃的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則〃的值可以為

()

A.7B.8C.9D.10

10.（2020?南京市江寧高級中學(xué)高二期中）若。+!）〃的展開式中第3項與第8項的系數(shù)相等，則展開式中

X

二項式系數(shù)最大的項為（）

A.第3項B.第4項C.第5項D.第6項

11.（2020?福建省南安市僑光中學(xué)高二月考）關(guān)于[無一的展開式，下列結(jié)論正確的是（

)

A.所有項的二項式系數(shù)和為32B.所有項的系數(shù)和為0

C.常數(shù)項為-20D.二項式系數(shù)最大的項為第3項

12.（2020?江蘇省高二期中）下列組合數(shù)公式中恒成立的有（）

A.J〃J〃

B.mC'=nCy.

「wt+1_.「tn

c.—十L〃+[

D.?y+(cj+(c"+…+(c；)2=G,

三、填空題

13.（2020?上海復(fù)旦附中高二期中）若（1+X）6=%+4X+/X2+…+%■?,貝!]%??,??2H/=.

14.（2020.上海交大附中高三期中）計算：C：+3C：+9C；+L+3"C：=.

15.（2020?山東省高二期中）二項式（Y—2）5的展開式中工4的系數(shù)是

X

16.（2020?浙江省高三三模）二項式（x+2）的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是，含x的項

的系數(shù)是.

四、解答題

17.（2020.延安市第一中學(xué)高二期中（理））已知（1—2x）7=4+4/+々/+…+%/，求

（1）%+q+.??+%的值；

（2）。（）+。2+。4+。6的值.

18.（2020?北京大峪中學(xué)高二期中）已知（_L+x|展開式中的第三項的系數(shù)為45,求:

X

（1）含力的項；

（2）二項式系數(shù)最大的項.

19.（2020.湖北省高二期中）已知（?一2）的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等.

（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；

（2）求展開式中系數(shù)最大的項.

1

20.（202。懷仁市第一中學(xué)校高二月考（理））已知（x+雙）"的展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等.

（1）求”的值；

（2）求展開式中所有的有理項.

21.（2020?江西省上高二中高二月考（理））在二項式（?+r=）"的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差

數(shù)列.

（1）求展開式中的所有有理項;

（2）求系數(shù)最大的項.

22.（2020?廣西壯族自治區(qū)欽州一中高二月考（理））已知卜+上］展開式前三項的二項式系數(shù)和為22.

（1）求”的值；

（2）求展開式中的常數(shù)項；

（3）求展開式中二項式系數(shù)最大的項.

專題28二項式定理

一、單選題

1.（2020?北京高三一模）在（2x—工］的展開式中，常數(shù)項是（）

IX）

A.-160B.-20C.20D.160

【答案】A

【解析】

\x-^\展開式的通項公式為4+1=C；-（2x）6-r-（-l）r-=（-l）r-26-r-C；-x6-2r,

Ix）

令6—2r=0,可得r=3,故（2x—工）展開式的常數(shù)項為—8-C；=-160,

故選：A.

2.（2020?江蘇省祁江中學(xué)高二期中）在/+」_的二項展開式中，含x"的項的系數(shù)是（）

I2xJ

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】

2O3r

卜2+2］的二項展開式的通項為*=GW（3=（；）qox-.

令20-3r=ll,解得r=3.

含力的項的系數(shù)是（gjc；0=15.

故選：B

3.（2020.北京大峪中學(xué)高二期中）（/+1）（4一1）的展開式的常數(shù)項是（）

A.-3B.-4C.3D.4

【答案】D

【解析】

（4一1）展開式中的第左+1項為G（―=（-1）七打21。，

當(dāng)2Z—10=—2，即A=4時，此時（一1）4C；=5：

當(dāng)2Z—10=0,即&=5時，此時（—if以=—1.則5—1=4.

故選:D.

4.（2020?江蘇省邛江中學(xué)高二期中）己知（X—I）9?！?/+。/+4/+...+%，°，則6=（）

A.-45B.27C.-27D.45

【答案】A

【解析】

當(dāng)（1-X）取1時，（x—1）9取8個X,則ag=-1X以，

當(dāng)（1一x）取一x時，（x-l）9取7個x,則ag=-1xC；x（―I,,

所以”=—1xC；x（-1）2—1x1=-45.

故選：A

5.（2020?北京市魯迅中學(xué)高二月考）（1一2x）7的展開式中系數(shù)最大的項為（）

A.第4項B.第5項C.第7項D.第8項

【答案】B

【解析】

（-2x）7的展開式的通項公式為:Tr+]=C；（—2x）'=C；（—2）'*，

要使系數(shù)最大，則「為偶數(shù)，且r只可能從2,4,6中選，

故3（-2丫>CF（-2廠2,且C；（-2）r>C；+2（-2）r+2,

7!7!7!7!

“以4*r!-（7-r）!"（r-2）!-（9-r）!，1Lr!-（7-r）!-4><（r+2）!-（5-r）!，

4_〉]1>4

所以r（r-l）一（9-r）（8-r）,（7_祖6-，）一（r+2）（r+l），

經(jīng)驗證：當(dāng)/'=4時，符合，

所以（1-2x）7的展開式中系數(shù)最大的項為第五項，

故選：B

6.（2020.陽江市第三中學(xué)高二期中）的展開式中，系數(shù)最小的項為（）

A.第6項B.第7項C.第8項D.第9項

【答案】C

【解析】

由題設(shè)可知展開式中的通項公式為=G；（-X）'=（-1）'C'3X'，其系數(shù)為（―D'C；，當(dāng)「為奇數(shù)時展開式

中項的系數(shù)（-l）'G；最小，則r=7,即第8項的系數(shù)最小，應(yīng)選答案C.

7.（2020?遼寧省高三其他（理））已知二項式（2/+L）”的展開式中，二項式系數(shù)之和等于64,則展開式

x

中常數(shù)項等于（）

A.240B.120C.48D.36

【答案】A

【解析】

由題意2"=64,解得〃=6,則（2/+3"=（2"+1）6,

XX

則二項式（2%+-）6的展開式的通項公式為J=C；（2M?=26-r-C；.「告，

XV）\Xj

3

令3—5r=0即r=2，則26-JQ=2、c；=240.

故選：A.

8.（2020?揚州市江都區(qū)大橋高級中學(xué)高二期中）在（x+y）”的展開式中第4項與第8項的系數(shù)相等，則展

開式中系數(shù)最大的項是（）

A.第6項B.第5項C.第5、6項D.第6、7項

【答案】A

【解析】

因為（x+y）"的展開式中每一項的系數(shù)和二項式系數(shù)相等，第4項與第8項的系數(shù)相等

所以C；=C；,所以〃=10

所以展開式里系數(shù)最大的項是第6項

故選：A

二、多選題

9.（2020?江蘇省揚州中學(xué)高二期中）己知（〃+與”的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則〃的值可以為

（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】ABC

【解析】

???已知（a+的展開式中第5項的二項式系數(shù)C：最大，則〃=7或〃=8或”=9

故選：ABC.

10.（2020?南京市江寧高級中學(xué)高二期中）若（x+工）”的展開式中第3項與第8項的系數(shù)相等，則展開式中

x

二項式系數(shù)最大的項為（）

A.第3項B.第4項C.第5項D.第6項

【答案】CD

【解析】

由題可知，該二項展開式中的項的系數(shù)于二項式系數(shù)相等，且展開式中第3項與第8項的系數(shù)為，

又因為其相等，則"=9

9-19+1

所以該展開式中二項式系數(shù)最大的項為J+1=5與^—+1=6項

22

即為第5項；第6項.

故選：CD

11.（2020?福建省南安市僑光中學(xué)高二月考）關(guān)于的展開式，下列結(jié)論正確的是（）

A.所有項的二項式系數(shù)和為32B.所有項的系數(shù)和為。

C.常數(shù)項為-20D.二項式系數(shù)最大的項為第3項

【答案】BC

【解析】

解：二項式（％_工）展開式的通項為=c；x6-r（__L）=q%6-2r（-i）r

令6—2廠=0,解得r=3,則常數(shù)項為7；=C；（—1）3=—20，故C正確；

且二項式系數(shù)最大的項為第4項，故D錯誤；

二項式系數(shù)和+C：+C；+C：=2,=64；

令x=l，得所有項的系數(shù)和為0,故A錯誤，B正確；

故選：BC

12.（2020?江蘇省高二期中）下列組合數(shù)公式中恒成立的有（）

A.C，"_C"T"

B.仁=E

c.C〃+]—十〃+]

D.(*+(Cj+(Q)2+???+?)、&.

【答案】ABD

【解析】

n\n\

對于A'因為*菽f，所以c："=c；'",即A正

(〃一加)！[〃一(〃一/〃)]!m\(n—ni)\

確;

n\n-(n-l)!

對于8,〃C：=m-------=m-------------------=n-(?-D!=〃仁：,故5止

m-(m-l)!?(〃-“)！(m-1)!-[(n-1)—(m—1)]!

確;

對于C,當(dāng)根=〃=1時，左邊=C；=1,右邊=C：+C；=l+2=3,等式不成立，故C不正確;

對于O，因為（l+x）”-（l+x）”=（l+x）2",

等式左邊x"的系數(shù)為：

《?C'；+c：Ci+G：c12+...+c；c>=《C>+c：C+c3c：+-+C；-G：=

（Cy+c）2+（c：）2+...+（c：）2,

等式右邊x"的系數(shù)為：q?,

所以（c：）2+（c：）2+（c；）2+…+?f=G“，故。正確.

故選：ABD

三、填空題

13.(2020?上海復(fù)旦附中高二期中)若(l+x)6=%+qx+/x2+…+%1,貝IJ%也/=.

【答案】64

【解析】

66

在(l+x)6=4)+研+//+…+4X中，令x=l可得，(1+1)=<70+a,+?,+-??+.

6

所以4+4+/T--1-<z6=2=64

故答案為：64.

14.（2020?上海交大附中高三期中）計算：C；+3C：+9C；+L+3"第=.

【答案】4"

【解析】

由題得原式=3°+31C；+32C；+L+3"C；=（1+3）"=4".

故答案為：4"

15.（2020.山東省高二期中）二項式（丁一2）5的展開式中/的系數(shù)是

x

【答案】40

【解析】

依題意，二項式展開式的通項公式為J=瑪?卜2『'（_2/）'=（_2廣。卜_?°3,當(dāng)10-3r乂,

故/的系數(shù)是（_2?C；=40.

16.（2020?浙江省高三三模）二項式［x+烏）的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是,含x的項

的系數(shù)是.

【答案】12884

【解析】

由題意所有二項式系數(shù)的和為2’=128，

2

題中二項式展開式通項公式為（+1=2'。*73,令7-3r=1,r=2，

X

所以含X的項的系數(shù)是22。；=84.

故答案為：128；84.

四、解答題

17.（2020.延安市第一中學(xué)高二期中（理））已知（1—2x）7++—+%，，求

（1）。0+。］+...+%的值；

(2)%+。2+&+。6的值?

【答案】(1)-1；(2)1093

【解析】

(1)令x=1,則a。+4+...a?=(1—2)=—1；

(2)令x=—1,則4—q+4-…%=2187①

令x=0,則％=1

.=q++%+,,?%=-2②

由①+②得4+2(%+&+%)=2187-2=2185,即％+%+牝=1092

4+生+/+4=1+1092=1093

_門丫

18.(2020?北京大峪中學(xué)高二期中)已知上+x展開式中的第三項的系數(shù)為45,求：

㈠)

(1)含丁的項；

(2)二項式系數(shù)最大的項.

【答案】(I)120x4；(2)252.

【解析】

(1)|-+x|展開式的通項為*+]=C：--￡=C：.一,

x)

由于展開式中第三項的系數(shù)為45,即C；=45,即〃(丁)=45,整理得“2—〃—90=0，

?.?〃eN*，解得〃=10,則展開式通項為I.=Ci?/I。，

令2-10=4,解得r=7,因此，展開式中含爐的項為(=C3X4=120/；

(2)由二項式系數(shù)的對稱性可知，二項式系數(shù)最大的項為7；=C：＞=252.

19.(2020.湖北省高二期中)己知(?一2)的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等.

(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；

(2)求展開式中系數(shù)最大的項.

.55

【答案】(D7；=-280x-,4=560”；(2)4=560”?

【解析】

（1）由題意知c；=C；，〃=7

展開式的通項為:

T(八r7f7-3r

J=G(6)—=(-2)'。；”，(-2)'3丁

\xJ

展開式中共有8項，其中二項式系數(shù)最大的項為第4,第5項

7-97-125

所以n=（―2）3c）T=-280%-',T5=（―2）4C紅亍=560%^

（2）展開式中系數(shù)最大的項必須在正的系數(shù)項中產(chǎn)生，即在r=0.2，416時,

也即在工，T3,T5,T7中產(chǎn)生，

71_5_1_1

而7；=x"7；=84戶，4=560”，7；=448―

5

故系數(shù)最大的項為第5項（=560/5

20.（2020?懷仁市第一中學(xué)校高二月考（理））已知（x+在）”的展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等.

（1）求”的值：

（2）求展開式中所有的有理項.

,5,5

【答案】（1）力=5；（2）T=x,T=—x,T=——.

}32516x

【解析】

二項式。+女）.展開式的通項公式為

等'(r=0,1,2…〃)；

（1）根據(jù)展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等，得

1、2

27

1n(n-\\

B|J-n=----------

242

解得〃=5；

（2）二項式展開式的通項公式為

當(dāng)r=0,2,4時，對應(yīng)項是有理項,

所以展開式中所有的有理項為

\0

?X5=x5,

7

4=C“:|y'la

、

\5-6_5

X---

716x

21.（2020.江西省上高二中高二月考（理））在二項式（?+礪）”的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差

數(shù)列.

（1）求展開式中的所有有理項；

（2）求系數(shù)最大的項.

較礙11幻學(xué)

【答案】（1）皿=足％=守，⑵&=嫡和%=短

【解析】

⑴?.?喘=八%