專(zhuān)題13 全等三角形重難點(diǎn)模型（五大模型）（原卷版）

專(zhuān)題13全等三角形重難點(diǎn)模型（五大模型）模型歸納模型歸納模型一：一線(xiàn)三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：對(duì)角互補(bǔ)模型模型五：平行+線(xiàn)段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型【典例分析】【模型一：一線(xiàn)三等角型】如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一線(xiàn)三等角全等模型如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA圖一圖二應(yīng)用：①通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題；②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點(diǎn)的坐標(biāo)的求解?！镜淅?】如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（﹣1，0）和y軸上一動(dòng)點(diǎn)B（0，a），其中a＞0，以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，d）．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）動(dòng)點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試判斷c+d的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如圖一，若點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣3），連接AC、OD．①求證：AC＝OD；②求D點(diǎn)坐標(biāo)．（2）如圖二，連接CD，與y軸交于點(diǎn)E，試求BE長(zhǎng)度．【典例2】（1）猜想：如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，垂足分別為點(diǎn)D、E．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出；（2）探究：如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α為任意銳角或鈍角）如果成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，F(xiàn)是角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，D、E分別是直線(xiàn)m上A點(diǎn)左右兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，D、E、A互不重合，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度始終為n，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由．【變式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線(xiàn)段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點(diǎn)A在線(xiàn)段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線(xiàn)段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【模型二：手拉手模型】應(yīng)用：①利用手拉手模型證明三角形全等，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題；②作輔助線(xiàn)構(gòu)造手拉手模型，難度比較大?！绢?lèi)型一：等邊三角形中的手拉手模型】【典例3】閱讀與理解：如圖1，等邊△BDE按如圖所示方式設(shè)置．操作與證明：（1）操作：固定等邊△ABC，將△BDE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，連接AD，CE，如圖2；在圖2中，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系．（2）操作：若將圖1中的△BDE，繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意一個(gè)角度α（60°＜α＜180°），連接AD，CE，AD與CE相交于點(diǎn)M，連BM，如圖3；在圖3中線(xiàn)段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？∠EMD的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．猜想與發(fā)現(xiàn)：（3）根據(jù)上面的操作過(guò)程，請(qǐng)你猜想在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠DMB的度數(shù)大小是否會(huì)隨著變化而變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【變式3-1】如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，且B，C，D三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，連接AD，BE相交于點(diǎn)P．（1）求證：BE＝AD．（2）求∠APB的度數(shù)．【變式3-2】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上，連接AE．①∠AEC的度數(shù)為；②線(xiàn)段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上，CM為△EDC中DE邊上的高，連接AE，試求∠AEB的度數(shù)及判斷線(xiàn)段CM、AE、BM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，點(diǎn)B、D，E在同一條直線(xiàn)上，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAB+∠ECB的度數(shù)．【類(lèi)型二：等腰三角形的手拉手模型】【典例4】在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在A(yíng)D的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，∠BAC＝90°，①求證：BD＝CE；②∠BCE＝；（2）設(shè)∠BCE＝a，∠BAC＝β，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上移動(dòng)，求證α+β＝180°；②當(dāng)點(diǎn)D在射線(xiàn)BC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上移動(dòng)，則a、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．【變式4-1】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE與BD相交于點(diǎn)M，BD交AC于點(diǎn)N．證明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE．【變式4-2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊作等腰直角三角形ADF．（1）如圖1，若當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（不與點(diǎn)B、C重合），證明：△ACF≌△ABD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，試猜想CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【類(lèi)型三：直角三角形中的手拉手模型】【典例5】△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如圖1，當(dāng)D，B，C在同一直線(xiàn)時(shí)，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)與AD交于點(diǎn)F．求證：∠CFA＝90°；（2）當(dāng)△ABC與△BDE的位置如圖2時(shí)，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)與AD交于點(diǎn)F，猜想∠CFA的大小并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)A，E，D在同一直線(xiàn)時(shí)（A，D在點(diǎn)E的異側(cè)），CE與AB交于點(diǎn)G，∠BAD＝∠ACE，求證：BG+AB＝AC．【變式5-1】如圖：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，連接CE．發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，（1）請(qǐng)寫(xiě)出BD和CE之間的位置關(guān)系為BD⊥CE，并猜想BC和CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上且其他條件不變時(shí)，（1）中BD和CE之間的位置關(guān)系；BC和CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出新的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；【類(lèi)型四：作輔助線(xiàn)構(gòu)造手拉手模型】【典例6】在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于射線(xiàn)AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E．作直線(xiàn)BE交射線(xiàn)AD于點(diǎn)F．連接CF．（1）如圖1，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，補(bǔ)全圖形，求∠AFB的大小（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如果∠α＝60°，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，用等式表示線(xiàn)段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AF、BF、CF之間的數(shù)量關(guān)系．【變式6】如圖1，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)．（1）以AD為邊構(gòu)造等邊△ADE（其中點(diǎn)D、E在直線(xiàn)AC兩側(cè)），連接CE，猜想CE與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，在CM上取一點(diǎn)F，連AF、DF，使得AF＝DF，試猜想△ADF的形狀，并證明你的結(jié)論．【模型三：半角模型】等角=要三角形中得半角模型【典例7】旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中一種重要的思想方法，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問(wèn)題．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D、E在邊BC上，且．（1）如圖a，當(dāng)α＝60°時(shí)，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AFB的位置，連結(jié)DF．①∠DAF＝；②求證：DF＝DE；（2）如圖b，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想BD、DE、CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式7】已知∠MBN＝60°，等邊△BEF與∠MBN頂點(diǎn)B重合，將等邊△BEF繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊EF所在直線(xiàn)與∠MBN的BN邊相交于點(diǎn)C，并在BM邊上截取AB＝BC，連接AE．（1）將等邊△BEF旋轉(zhuǎn)至如圖①所示位置時(shí)，求證：CE＝BE+AE；（2）將等邊△BEF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖②、圖③位置時(shí)，請(qǐng)分別直接寫(xiě)出AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）和（2）的條件下，若BF＝4，AE＝1，則CE＝．【典例8】等邊△ABC，D為△ABC外一點(diǎn)，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射線(xiàn)DM與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)M，射線(xiàn)DN與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)N，①當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，直接寫(xiě)出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．②當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM≠DN時(shí)，猜想①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明．③當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．【模型四：對(duì)角互補(bǔ)模型】應(yīng)用：通過(guò)做垂線(xiàn)或者利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題?！镜淅?】（1）如圖（1），在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．若∠A＝90°，探索線(xiàn)段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖（2），在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線(xiàn)段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【變式9】（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線(xiàn)段AE的取值范圍是；則中線(xiàn)AD的取值范圍是；（2）問(wèn)題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，此時(shí)：BE+CFEF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點(diǎn)作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，此時(shí)：BE+DFEF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結(jié)論仍然成立，則∠BCD＝（用含α的代數(shù)式表示）.【典例10】（1）如圖1，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5cm的正方形，E，F(xiàn)分別在A(yíng)D，CD邊上，∠EBF＝45°．為了求出△DEF的周長(zhǎng)．小南同學(xué)的探究方法是：如圖2，延長(zhǎng)EA到H，使AH＝CF，連接BH，先證△ABH≌△CBF，再證△EBH≌△EBF，得EF＝EH，從而得到△DEF的周長(zhǎng)＝cm；（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線(xiàn)段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在CB、DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且2∠EAF＝∠BAD，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出線(xiàn)段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【變式10-1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+FD．【變式10-2】“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”證明線(xiàn)段的和差問(wèn)題：先閱讀背景材料，猜想結(jié)論并填空，然后做問(wèn)題探究．背景材料：（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線(xiàn)段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．探究的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出的結(jié)論是．探索問(wèn)題：（2）如圖2，若四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？成立的話(huà)，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程．【模型五：平行+線(xiàn)段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型】【結(jié)論】如圖，AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在直線(xiàn)AB、CD上，點(diǎn)O為EF中點(diǎn)，則△POE≌△QOF口訣：有中點(diǎn)，有平行，輕輕延長(zhǎng)就能行【典例11】已知：AD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，BD＝DE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F在邊AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖①易證AF+EF＝AB；當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上，如圖②；當(dāng)點(diǎn)F在邊AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AD是△ABC的外角平分線(xiàn)時(shí)，如圖③．寫(xiě)出AF、EF與AB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖②進(jìn)行證明．【變式11-1】如圖，四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且OA⊥OC．（1）求證：CO平分∠ACD；（2）求證：AB+CD＝AC．【變式11-2】如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A(yíng)，AD＝5，BC＝10．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求證AD和BC的關(guān)系?！竞粚?shí)基礎(chǔ)】1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長(zhǎng)．2．如圖，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點(diǎn)C放置在水平直線(xiàn)MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，試回答下列問(wèn)題：（1）若把三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)AB∥MN時(shí)，∠2＝度；（2）在三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，分別作AM⊥MN于M，BN⊥MN與N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蚶^續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N．求證：（1）AD＝BE；（2）∠BMC＝∠ANC；（3）△CMN是等邊三角形．4．已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AD、BE的中點(diǎn)．（1）求∠DOE的度數(shù)；（2）求證：△MNC是等邊三角形．5．如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求證：∠ABE＝∠CAD；（2）求BP和AD的長(zhǎng)．6．如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，且BD＝CF．（1）如圖①，若DE⊥BC，則∠DFC＝度；（2）如圖②，D是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），求證：BE＝CD；（3）如圖③，若D是邊BC的中點(diǎn)，且AB＝2，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)為．7.如圖1，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，△BDC是等腰三角形且BD＝CD，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN＝60°，交邊AB，AC于M，N兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使得CE＝BM，連接MN、DE．（1）試說(shuō)明：①△MBD≌△ECD；②MN＝BM+NC；（2）如圖2，若點(diǎn)M是AB的延長(zhǎng)線(xiàn)的一點(diǎn)，N是CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，其他條件不變，探究線(xiàn)段BM，MN，NC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．8．閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方