2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第6章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.1 導(dǎo)數(shù) 6.1.3 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教案 新人教B版選擇性必修第三冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1導(dǎo)數(shù)6.1.3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教案新人教B版選擇性必修第三冊學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1導(dǎo)數(shù)6.1.3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，新人教B版選擇性必修第三冊。內(nèi)容包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及其應(yīng)用。這部分內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生已掌握了初等函數(shù)的基本概念、性質(zhì)及其圖像，理解了導(dǎo)數(shù)的定義及計算規(guī)則，為本節(jié)課學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)奠定了基礎(chǔ)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠熟練運用導(dǎo)數(shù)公式，解決實際問題，進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生以下能力：一是邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象，通過導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，提高學(xué)生邏輯思維及抽象思維能力；二是模型構(gòu)建與問題解決，使學(xué)生能夠運用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，培養(yǎng)模型構(gòu)建與問題解決的能力；三是數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析，培養(yǎng)學(xué)生熟練運用導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行運算，并能對運算結(jié)果進(jìn)行分析；四是從數(shù)學(xué)角度審視現(xiàn)實世界，增強學(xué)生對導(dǎo)數(shù)在自然科學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用的認(rèn)識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。這些目標(biāo)與新教材要求相符合，有助于全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

-掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

-理解導(dǎo)數(shù)公式背后的數(shù)學(xué)原理和推導(dǎo)過程。

-能夠運用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，如運動物體的瞬時速度、曲線的切線斜率等。

-通過具體實例，體會導(dǎo)數(shù)在描述函數(shù)變化率中的作用。

2.教學(xué)難點

-對導(dǎo)數(shù)公式的記憶和靈活運用，特別是對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

-理解并掌握導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)過程，特別是鏈?zhǔn)椒▌t在復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)計算中的應(yīng)用。

-在實際問題中，如何建立數(shù)學(xué)模型，并運用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行有效求解。

-對于導(dǎo)數(shù)在圖形分析中的應(yīng)用，如切線、拐點、極值等概念的理解和識別。

舉例說明：

-教學(xué)重點中，例如對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式\(\fraccrkjiaz{dx}(\lnx)=\frac{1}{x}\)，要求學(xué)生理解其對數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算，并在實際問題中應(yīng)用。

-教學(xué)難點中，如復(fù)合函數(shù)\(f(g(x))\)的導(dǎo)數(shù)計算，需要學(xué)生掌握鏈?zhǔn)椒▌t\(\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}\)，并能夠應(yīng)用于具體的函數(shù)，如\(f(x)=\ln(g(x))\)的導(dǎo)數(shù)計算。教學(xué)方法與策略1.選擇適合教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)者特點的教學(xué)方法，采用講授與討論相結(jié)合的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作探究基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及其應(yīng)用。針對學(xué)生的不同理解層次，適時進(jìn)行案例研究，以加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解。

2.設(shè)計具體的教學(xué)活動，如通過數(shù)學(xué)問題求解的角色扮演，讓學(xué)生在實際情境中運用導(dǎo)數(shù)；組織小組間的競賽游戲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高其運用導(dǎo)數(shù)公式解決問題的能力。

3.確定教學(xué)媒體使用，運用多媒體課件展示函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)公式及其推導(dǎo)過程，輔助學(xué)生形象理解；同時，利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實驗操作，讓學(xué)生直觀感受導(dǎo)數(shù)在描述函數(shù)變化中的作用，增強教學(xué)互動與實踐操作。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道導(dǎo)數(shù)是什么嗎？它在我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的圖片或視頻片段，如物體運動軌跡、優(yōu)化問題等，讓學(xué)生初步感受導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實世界中的應(yīng)用。

簡短介紹導(dǎo)數(shù)的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解導(dǎo)數(shù)的定義，包括導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義。

詳細(xì)介紹導(dǎo)數(shù)的計算規(guī)則，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系。

通過實例或案例，如求直線斜率、曲線切線等，讓學(xué)生更好地理解導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用。

3.導(dǎo)數(shù)案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解導(dǎo)數(shù)的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的導(dǎo)數(shù)案例進(jìn)行分析，如運動物體的瞬時速度、函數(shù)極值等。

詳細(xì)介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學(xué)生全面了解導(dǎo)數(shù)在解決問題中的作用。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題。

小組討論：讓學(xué)生分組討論導(dǎo)數(shù)在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，并提出創(chuàng)新性的想法或建議。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論，如導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與優(yōu)化問題等。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時加深全班對導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)導(dǎo)數(shù)的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括導(dǎo)數(shù)的基本概念、計算規(guī)則、案例分析等。

強調(diào)導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實生活或?qū)W習(xí)中的價值和作用，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的短文或報告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。同時，安排一些具有挑戰(zhàn)性的問題，供學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步探討。知識點梳理1.導(dǎo)數(shù)的定義

-平均變化率的概念

-瞬時變化率的概念

-導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義

2.導(dǎo)數(shù)的計算規(guī)則

-基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

-冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

-指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

-對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

-三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

-導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

-復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（鏈?zhǔn)椒▌t）

3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像

-函數(shù)的單調(diào)性

-函數(shù)的極值

-函數(shù)的拐點

-切線與法線

4.導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

-物理學(xué)中的速度與加速度

-經(jīng)濟學(xué)中的邊際成本與邊際效用

-函數(shù)優(yōu)化問題

-最大值與最小值問題

5.導(dǎo)數(shù)與圖形分析

-曲線的切線與法線

-函數(shù)圖像的凹凸性

-函數(shù)的極值點

-函數(shù)圖像的繪制

6.高階導(dǎo)數(shù)

-二階導(dǎo)數(shù)的概念

-二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系

-高階導(dǎo)數(shù)的計算與應(yīng)用

7.導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)

-隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

-隱函數(shù)的極值問題

-隱函數(shù)圖像的分析

8.導(dǎo)數(shù)與參數(shù)方程

-參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

-參數(shù)方程表示的曲線的切線與法線

-參數(shù)方程的極值問題

9.導(dǎo)數(shù)的概念拓展

-導(dǎo)數(shù)的概念在多元函數(shù)中的應(yīng)用

-偏導(dǎo)數(shù)的概念

-多元函數(shù)的極值問題課后作業(yè)1.計算題：

求函數(shù)\(f(x)=3x^2-2x+1\)在\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)值。

2.應(yīng)用題：

一物體從靜止開始做直線運動，其加速度\(a(t)=4t\)（其中\(zhòng)(t\)為時間，單位為秒）。求物體在\(t=3\)秒時的瞬時速度。

3.極值題：

求函數(shù)\(g(x)=x^3-6x^2+9x-1\)的極大值和極小值。

4.切線題：

給定函數(shù)\(h(x)=\ln(x)\)，求曲線\(y=h(x)\)在\(x=e\)處的切線方程。

5.隱函數(shù)題：

已知\(y\)與\(x\)之間的關(guān)系式為\(y^2=4x+3\)，求\(y\)關(guān)于\(x\)的導(dǎo)數(shù)。

補充和說明：

1.計算題：

解答：\(f'(x)=6x-2\)

\(f'(2)=6\cdot2-2=10\)

函數(shù)\(f(x)\)在\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)值為10。

2.應(yīng)用題：

解答：由\(v(t)=\inta(t)\,dt\)得\(v(t)=2t^2\)

\(v(3)=2\cdot3^2=18\)

物體在\(t=3\)秒時的瞬時速度為18m/s。

3.極值題：

解答：\(g'(x)=3x^2-12x+9\)

令\(g'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)

\(g(1)=3\)，\(g(3)=-1\)

函數(shù)\(g(x)\)的極大值為3，極小值為-1。

4.切線題：

解答：\(h'(x)=\frac{1}{x}\)

\(h'(e)=\frac{1}{e}\)

切線方程為\(y-\ln(e)=\frac{1}{e}(x-e)\)

化簡得\(y=\frac{1}{e}x\)

5.隱函數(shù)題：

解答：對\(y^2=4x+3\)求導(dǎo)，得\(2y\cdot\frac{dy}{dx}=4\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{4}{2y}=\frac{2}{y}\)

\(y\)關(guān)于\(x\)的導(dǎo)數(shù)為\(\frac{2}{y}\)，其中\(zhòng)(y\)為\(y^2=4x+3\)的根。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的基本概念、計算規(guī)則及其在實際問題中的應(yīng)用。

2.掌握了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

3.理解了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，如單調(diào)性、極值、拐點等。

4.學(xué)會了利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，如物體的瞬時速度、函數(shù)的優(yōu)化等。

當(dāng)堂檢測：

一、填空題：

1.函數(shù)\(f(x)=x^3-2x^2+x\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)為______。

2.若物體做直線運動，其位移\(s(t)=3t^2-2t\)，則物體在\(t=2\)秒時的瞬時速度為______。

二、解答題：

1.求函數(shù)\(g(x)=\ln(x)\)在\(x=e\)處的切線方程。

2.已知函數(shù)\(h(x)=x^3-6x^2+9x-1\)，求其極大值和極小值。

三、應(yīng)用題：

1.一輛汽車從靜止開始加速，其加速度\(a(t)=2t\)（單位：m/s2），求汽車在\(t=3\)秒時的瞬時速度。

2.某企業(yè)的成本函數(shù)\(C(x)=3x^2+2x+10\)，其中\(zhòng)(x\)為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。求該企業(yè)生產(chǎn)5件產(chǎn)品時的邊際成本。

答案：

一、填空題：

1.\(f'(1)=3\cdot1^2-2\cdot2\cdot1+1=0\)

2.\(v(2)=s'(2)=6\cdot2-2=10\)（m/s）

二、解答題：

1.\(g'(x)=\frac{1}{x}\)，\(g'(e)=\frac{1}{e}\)

切線方程為\(y-\ln(e)=\frac{1}{e}(x-e)\)，化簡得\(y=\frac{1}{e}x\)

2.\(h'(x)=3x^2-12x+9\)

令\(h'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)

\(h(1)=3\)，\(h(3)=-1\)

極大值為3，極小值為-1。

三、應(yīng)用題：

1.\(v(3)=\inta(t)\,dt=\int2t\,dt=t^2\)

\(v(3)=3^2=9\)（m/s）

2.\(C'(x)=6x+2\)

\(C'(5)=6\cdot5+2=32\)（元/件）教學(xué)反思與改進(jìn)在本次教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在掌握導(dǎo)數(shù)基本概念和計算規(guī)則方面表現(xiàn)較好，但在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題方面存在一定困難。為了提高教學(xué)效果，我計劃在未來的教學(xué)中進(jìn)行以下改進(jìn)：

1.增加課堂互動環(huán)節(jié)，鼓勵學(xué)生提問和發(fā)表見解，以增強他們對導(dǎo)數(shù)概念的理解。例如，在講解導(dǎo)數(shù)計算規(guī)則時，可以邀請學(xué)生上臺演示計算過程，并讓其他學(xué)生進(jìn)行點評和討論。

2.設(shè)計更多實際應(yīng)用案例，讓學(xué)生通過解決實際問題來加深對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理解。例如，可以讓學(xué)生分析物體的運動軌跡、企業(yè)的成本函數(shù)等，從而提高他們運用導(dǎo)數(shù)解決問題的能力。

3.加強小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在小組內(nèi)討論和解決導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題。這不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的合作精神，還可以提高他們的問題解決能力。在小組討論過程中，可以設(shè)置一些引導(dǎo)性問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探討。

4.采用多媒體教學(xué)手段，如動畫、圖表等，以直觀展示導(dǎo)數(shù)的概念及其在實際問題中的應(yīng)用。這有助于學(xué)生更好地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，從而提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

5.安排課后作業(yè)和練習(xí)，讓學(xué)生在實際操作中鞏固所學(xué)知識。在布置作業(yè)時，要注意難易程度適中，既能夠鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)，又能夠提高他們的解題能力。

6.定期進(jìn)行教學(xué)反思，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時調(diào)整教學(xué)方法和策略。在教學(xué)過程中，要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，了