第6章參數(shù)估計

第六章參數(shù)估計抽樣分布點估計與估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)簡單隨機(jī)抽樣的區(qū)間估計（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件第一節(jié)抽樣分布抽樣的基本概念抽樣分布（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件一、抽樣的基本概念抽樣的基本概念涉及有：總體與樣本、樣本容量與樣本個數(shù)、總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量、回置抽樣與無回置抽樣?？傮w與樣本的概念在第一章已經(jīng)介紹，這里只就其它概念進(jìn)行介紹。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（一）樣本容量與樣本個數(shù)1．樣本容量。樣本是從總體中抽出的部分單位的集合，這個集合的大小稱為樣本容量，一般用n表示，它是指一個樣本中所包含的單位數(shù)。樣本容量大，抽樣誤差會較?。环粗?，樣本容量過小，將導(dǎo)致抽樣誤差增大，甚至失去抽樣推斷的價值。因此，在抽樣設(shè)計中應(yīng)該根據(jù)調(diào)查目的認(rèn)真考慮合適的樣本容量。2．樣本個數(shù)。樣本個數(shù)又稱為樣本可能數(shù)目，它是指從一個總體中可能抽取多少個樣本。樣本個數(shù)的多少與抽樣方法有關(guān)。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（二）總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量1．總體參數(shù)。總體分布的數(shù)量特征就是總體參數(shù)，也是抽樣統(tǒng)計推斷的對象。常見的總體參數(shù)有：總體的平均數(shù)指標(biāo)，總體成數(shù)（比重）指標(biāo)，總體分布的方差、標(biāo)準(zhǔn)差等等。它們都是反映總體分布特征的重要指標(biāo)。其詳細(xì)的描述已經(jīng)在第三章中介紹。本書中，總體參數(shù)一般用希臘字母來表示。2．樣本統(tǒng)計量。樣本是從總體中隨機(jī)地抽出來的，而樣本統(tǒng)計量是樣本的一個函數(shù)，因此，它是隨機(jī)變量。我們利用樣本統(tǒng)計量來估計和推斷總體的有關(guān)參數(shù)。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件常見的統(tǒng)計量有：樣本均值樣本成數(shù)

樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差

以上式中，X1,X2,...Xn為樣本，n是樣本容量，n1是樣本中具有某種特征的單位數(shù)目。這里應(yīng)該注意，本書中，樣本統(tǒng)計量一般用大寫英文字母來表示。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（三）回置抽樣與無回置抽樣簡單抽樣的方式可分為回置抽樣和無回置抽樣。1．回置抽樣?；刂贸闃邮侵笍目傮w中抽出一個樣本單位，記錄其標(biāo)志值后，又將其放回總體中繼續(xù)參加下一輪樣本單位的抽取?；刂贸闃拥奶攸c是：第一，有n個樣本單位的樣本是由n次試驗的結(jié)果構(gòu)成的。第二，每次試驗是獨立的，即其試驗結(jié)果與前次、后次的結(jié)果無關(guān)。第三，每次試驗是在相同條件下進(jìn)行的，每個單位在多次試驗中選中的概率是相同的。在重復(fù)試驗中，樣本可能的個數(shù)是Nn，N為總體單位數(shù)，n為樣本容量。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件2．無回置抽樣。無回置抽樣是指從總體抽出一個單位，登記后不放回原總體，即不參加下一輪抽樣，下一次繼續(xù)從總體中余下的單位抽取樣本。其特點是：第一，包含n個樣本單位的樣本是由n次試驗的結(jié)果構(gòu)成，但由于每次抽取后不放回，所以實質(zhì)上相當(dāng)于從總體中同時抽取n個樣本單位。第二，每次試驗結(jié)果不是獨立的，上次中選情況影響下一次抽選結(jié)果。第三，每個單位在多次試驗中選中的概率是不等的。在無回置抽樣中，如果是考慮順序，其樣本可能數(shù)為；如果不考慮順序，其樣本可能個數(shù)為。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件二、抽樣分布（一）樣本平均數(shù)的抽樣分布在回置抽樣的情形下，設(shè)從總體中抽出的樣本為X1,X2,...Xn，它們之間是相互獨立的，且與總體同分布。我們設(shè)總體的平均數(shù)為μ，方差為σ2，則樣本平均數(shù)的期望值與方差分別為：

（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件從以上的式子我們知道，樣本平均數(shù)分布的中心與總體的分布中心完全相同，方差是總體分布方差的1/n。因此，樣本平均數(shù)分布集中趨勢優(yōu)于總體分布自身的集中趨勢。由于樣本平均數(shù)能“集中”分布于總體平均數(shù)附近，因此可以考慮用樣本平均數(shù)來估計總體平均數(shù)。用樣本統(tǒng)計量去估計總體參數(shù)難免有誤差，樣本變量的離散程度越大，產(chǎn)生誤差的可能性也越大。我們用抽樣平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來反映抽樣平均數(shù)與總體平均數(shù)的平均誤差程度，稱其為抽樣平均誤差，記為：(6.1)抽樣平均誤差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的，通常比總體標(biāo)準(zhǔn)差小的多。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件【例6-1】

某個車間的工作班組有5個工人，他們的單位公式工資分別為4、6、8、10、12元，現(xiàn)用回置抽樣方式從5個工人中抽取2人，計算樣本的平均工時工資的抽樣平均誤差。解：總體分布的平均數(shù)與方差分別是：（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件那么，抽樣平均誤差為

在無回置抽樣的情形下，以例6-1的資料，所有樣本平均數(shù)如表6-1所示。從表6-1中可以整理出樣本平均數(shù)的分布如表6-2所示。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件表6-1樣本工時平均工資

樣本變量

468

10124——567

865——78

9867——9

1010789——1112891011——（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件表6-2樣本工時平均工資分布平均工資頻數(shù)頻率522/20622/20744/20844/20944/201022/201122/20合計201（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件根據(jù)表6-2分布數(shù)據(jù)，可計算樣本平均工資與其標(biāo)準(zhǔn)差：計算結(jié)果表明，在無回置抽樣情形下，樣本平均數(shù)分布的中心還是總體的中心，而抽樣平均誤差比回置抽樣要小。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件無回置抽樣的平均誤差比回置抽樣小的原因是很直觀的，無回置抽樣排除了“每次抽出的都是極端值”的可能，這顯然對降低抽樣誤差有利。數(shù)學(xué)上可以證明，在無回置抽樣條件下，（6.2）無回置抽樣與回置抽樣相比多了一個系數(shù)

這個系數(shù)稱為無回置抽樣的修正系數(shù)。由于該系數(shù)在0～1之間，因此，無回置抽樣平均誤差比回置抽樣小。當(dāng)N遠(yuǎn)大于n時，修正系數(shù)近似1，修正與否對平均誤差幾乎沒有影響，這時可以不考慮抽樣方式差異，都按回置抽樣處理。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（二）樣本成數(shù)的抽樣分布總體成數(shù)ρ是指具有某種特征的單位在總體中所占的比重。成數(shù)是一種特殊平均數(shù)。設(shè)總體單位總數(shù)目是N，總體中有某種特征的單位數(shù)是N1。設(shè)X是0，1變量，即總體單位有該特征，則X取1，否則取0，于是有現(xiàn)在從總體中抽出n個單位，如果其中有相應(yīng)特征的單位數(shù)是n1，則樣本成數(shù)是（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件P也是一個隨機(jī)變量，利用樣本平均數(shù)分布的性質(zhì)，針對回置抽樣方式，有

E(P)=ρ(6.3)

(6.4)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件【例6-2】

已知一批產(chǎn)品的合格率為90%，現(xiàn)采用回置抽樣方式從中取出400件，求樣本合格率的抽樣平均誤差。解：根據(jù)上面的結(jié)論，有

由于樣本容量大，樣本成數(shù)的平均誤差就大大減小。在無回置抽樣條件下，則用修正系數(shù)加以修正，即

E(P)=ρ(6.5)(6.6)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件這里應(yīng)該注意到，對于無限總體進(jìn)行無回置抽樣時，可以按照回置抽樣來處理。此時樣本成數(shù)的方差仍可以按（6.4）式計算。對于有限總體，當(dāng)N很大，而抽樣比n/N≤5%時，其修正系數(shù)趨于1，這時樣本成數(shù)的方差也可以用

（6.4）式來計算。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（三）樣本方差的抽樣分布要用樣本方差S2去推斷總體的方差σ2，必須知道樣本方差的抽樣分布。那么，作為估計量的樣本方差是如何分布的呢？統(tǒng)計證明，對于來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，其統(tǒng)計量的抽樣分布服從自由度為(n-1)的分布χ2，即~χ2分布由阿貝（Abbe）于1863年首先給出，后來由海爾默特（Hermert）和卡?皮爾森（.KPearson）分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件第二節(jié)點估計與估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)點估計估計量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件一、點估計點估計就是設(shè)總體隨機(jī)變量X的分布函數(shù)形式為已知，但它的一個和多個參數(shù)未知，若從總體中抽取一個樣本X1,X2,...Xn。用該組數(shù)據(jù)來估計總體的參數(shù)，稱參數(shù)的點估計。點估計的方法有矩估計、順序統(tǒng)計量法、最大似然法、最小二乘法等，我們這里主要介紹矩估計法和順序統(tǒng)計量法，最小二乘法將在相關(guān)與回歸章節(jié)中介紹。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（一）矩估計法對總體參數(shù)進(jìn)行估計，最容易想到的方法就是矩估計法，它是用樣本的矩去估計總體的矩，從而獲得有關(guān)參數(shù)的估計量。在統(tǒng)計學(xué)中，矩是以期望為基礎(chǔ)而定義的數(shù)字特征。例如數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差等。矩可以分為原點矩和中心矩兩種。設(shè)X為隨機(jī)變量，對任意正整數(shù)k，稱E(Xk)為隨機(jī)變量X的k階原點矩，記為(6.7)當(dāng)時k=1時，可見一階原點矩為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件我們把（6.8）稱為以E(X)為中心的k階中心矩。顯然，當(dāng)k=2時，可見二階中心矩為隨機(jī)變量X的方差。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件【例6-3】已知某種燈泡的壽命X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2都是未知的，今隨機(jī)抽取4只燈泡，測得壽命（以小時計）為1502，1453，1367，1650，試估計μ和σ2。解：因為μ是全體燈泡的平均壽命，為樣本的平均壽命，很自然地會想到用μ去估計；同理用s去估計σ。由于（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件s=118.61故μ及σ估計值分別為1493小時和118.61小時。矩估計法簡便、直觀，比較常用。但是也有局限性：首先，它要求總體的k階原點矩存在，若不存在則無法估計；其次，矩估計法不能充分地利用估計時已掌握的有關(guān)總體分布形式的信息。通常設(shè)θ為總體X的待估計參數(shù)，一般用樣本X1,X2,...Xn構(gòu)成一個統(tǒng)計量來估計θ，則為θ的估計量。對應(yīng)于樣本的一組數(shù)值x1,x2,...xn，估計量的值稱為θ的估計值。點估計即為待估計參數(shù)θ尋找一個估計值的問題。必須注意的是，對于不同的樣本，估計值可能是不相同的。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（二）順序統(tǒng)計量法所謂順序統(tǒng)計量法，即用樣本中位數(shù)Me，或樣本極差R來估計總體的數(shù)學(xué)期望μ或總體的均方差σ的方法。樣本中位數(shù)Me：定義為樣本X1,X2,...Xn的函數(shù)。即對樣本中各樣本單位的取值按大小順序排列，位于中間位置的那個數(shù)值（若n為偶數(shù)時，則取位于中間的兩個數(shù)值的平均數(shù)）。記為(6.9)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件樣本極差R：定義為樣本X1,X2,...Xn的函數(shù)。即對樣本中各樣本單位的取值按大小順序排列，取最大值與最小值之差。記為(6.10)由于Me與R都是將樣本的一組數(shù)值按大小次序排列而確定的，所以都叫順序統(tǒng)計量。如以例6-3為例，樣本的一組數(shù)值為：1367，1453，1502，1650，即Me=(1453+1502)/2=1477.5R=1650-1367=283（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件順序統(tǒng)計量的共同特點是計算簡單，其中，Me的數(shù)值還不受樣本中過大或過小的觀測值的影響。例如，設(shè)總體X的一組樣本觀測值按大小排列為：20，70，88，88，88，88，88，88，95，則Me=88。當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，且概率密度函數(shù)對稱時，為方便起見，常用樣本中位數(shù)Me來估計總體數(shù)學(xué)期望μ，即(6.11)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件樣本極差R本身就是衡量總體離散程度的一個尺度，由于其計算很簡單，所以可以用來估計正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。和R有下列關(guān)系(6.12)dn的數(shù)值見表6-3（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件表6-3系數(shù)dn表ndn1/dn21.1280.88631.6930.59142.0590.48652.3260.42962.5340.39572.7040.36982.8470.35192.9700.337103.0780.325（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件用樣本極差R來估計σ，其缺點是不如用s可靠（當(dāng)n>2時），n愈大，兩者可靠程度差別就愈大。當(dāng)n>10時，如果要用R來估計σ，可將數(shù)據(jù)分成若干個數(shù)相等的組（比如5個一組）求出各組數(shù)據(jù)的極差，然后用這些樣本極差的平均值作為（6.12）式中的R（此時dn為d5），即得σ的估計。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件二、估計量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)前面，我們介紹了總體參數(shù)的兩種常見的估計方法，即矩估計法和順序統(tǒng)計量法。對于同一參數(shù)，用不同的方法來估計，可能得到不同的估計量。但究竟采用哪種方法為好呢？這就涉及到用什么標(biāo)準(zhǔn)來評價估計量的問題。判別點估計優(yōu)良性包括三條標(biāo)準(zhǔn)：無偏性、有效性和一致性。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（一）無偏性若估計量的數(shù)學(xué)期望等于未知參數(shù)的真值，即 （6.13）則稱為θ的滿足無偏性準(zhǔn)則的估計量。【例6-4】樣本均值是總體均值μ的一個無偏估計量。但樣本方差Sn2不是總體方差的無偏估計量。解：因為X1,X2,...Xn表示n次觀測結(jié)果的n個獨立隨機(jī)變量，且這n個獨立隨機(jī)變量是來自同一總體，因而有相同的分布律，從而有相同的期望值和方差。故（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件因此所以，樣本均值是總體均值μ的一個無偏估計量。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件又因為（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件又因為所以Sn2不是σ2的無偏估計量通常我們用來計算樣本方差，這是因為是σ2的無偏估計量。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（二）有效性無偏性只考慮估計值的平均結(jié)果是否等于待估參數(shù)的真值，而不考慮每個估計值與待估參數(shù)真值之間偏差的大小和離散程度。我們在解決實際問題時，不僅希望估計是無偏的，更希望這些估計值的偏差盡可能地小。通常我們用偏差的平方的期望值來衡量估計量偏差的大小，稱之為均方誤差，并記為（6.14）若為θ的無偏估計量，其均方誤差等于其方差（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件設(shè)、為θ的兩個無偏估計量，若的方差小于的方差，即（6.15）則稱是較有效的估計量。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（三）一致性設(shè)是未知參數(shù)θ的估計量，當(dāng)n→∞時，要求按概率收斂于θ。即（6.16）其中，ε為任意小正數(shù)。則稱為θ的滿足一致性標(biāo)準(zhǔn)要求的估計量。一致性標(biāo)準(zhǔn)說明：當(dāng)樣本單位數(shù)（或樣本容量）n越來越大時，估計量接近于被估計量θ的概率也越來越大。樣本平均數(shù)作為總體數(shù)學(xué)期望μ的一個估計量就滿足一致性準(zhǔn)則要求。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件這里應(yīng)該注意到，一致性準(zhǔn)則要求是從極限性質(zhì)來說的，這個性質(zhì)只對于樣本容量較大時才起作用。以上兩段所講參數(shù)的點估計，可以說是單純用樣本平均數(shù)作為總體數(shù)學(xué)期望μ的估計值，或用樣本修正方差作為總體方差σ2的估計值。注意，即使或是無偏有效的估計量，但由于一次只能隨機(jī)抽取一個樣本，而不同的樣本可能會有不同的估計值，所以一次隨機(jī)抽樣所得估計值，要完全準(zhǔn)確地估計出總體參數(shù)幾乎不可能。點估計的主要缺點是沒有解決參數(shù)估計的可靠問題。而區(qū)間估計能解決參數(shù)估計的可靠性問題。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件第三節(jié)簡單隨機(jī)抽樣的區(qū)間估計總體均值的置信區(qū)間總體成數(shù)的置信區(qū)間兩個總體均值及兩個總體成數(shù)之差的置信區(qū)間樣本容量的確定（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件第三節(jié)簡單隨機(jī)抽樣的區(qū)間估計所謂區(qū)間估計，就是估計總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計成立的概率值。設(shè)和是兩個統(tǒng)計量（<），分別作為總體參數(shù)θ區(qū)間估計的下限和上限，則要求有(6.17)式中α(0<α<1)是區(qū)間估計的顯著性水平，其取值大小由實際問題確定，通常人們?nèi)?%、5%和10%，1-α稱為置信度，是置信度為1-α的θ的置信區(qū)間。區(qū)間估計的特點是，給出總體參數(shù)的一個估計區(qū)間，總體參數(shù)恰好在這個區(qū)間內(nèi)的概率不要求達(dá)到1，可放低要求，減去一個小概率的顯著性水平，即達(dá)到1-α就行了。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件置信區(qū)間表達(dá)了區(qū)間估計的準(zhǔn)確性（或精確性），置信度表達(dá)了區(qū)間估計的可靠性，它是區(qū)間估計的可靠概率。而顯著性水平表達(dá)了區(qū)間估計的不可靠概率。例如α=0.01或1%，是說所估計的置信區(qū)間平均每100次有1次會產(chǎn)生錯誤，即所估計的置信區(qū)間并不包含總體參數(shù)。當(dāng)然，這里我們應(yīng)該注意，在進(jìn)行區(qū)間估計時，必須同時考慮置信度和置信區(qū)間兩個方面。置信度定的愈大（即估計的可靠性愈大），則置信區(qū)間相應(yīng)也愈大（即估計準(zhǔn)確性愈小），所以，可靠性和準(zhǔn)確性要結(jié)合具體問題，具體要求來全面考慮。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件一、總體均值的置信區(qū)間（一）σ2已知時總體均值μ的置信區(qū)間當(dāng)X~N(μ,σ2)時，可以證明抽自該總體的簡單隨機(jī)樣本X1,X2,...Xn的樣本均值服從數(shù)學(xué)期望為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布，即~N(μ,σ2/n)當(dāng)總體方差σ2已知時，建立置信區(qū)間所用的統(tǒng)計量是Z統(tǒng)計量 ~N(0,1)（6.18） 根據(jù)前面區(qū)間估計的定義，我們可以構(gòu)造均值μ的置信區(qū)間，對于給定的顯著性水平α，可以令（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件(6.19)從而有(6.20)即在給定顯著性水平α下，總體均值μ在1-α的置信水平下的置信區(qū)間為(6.21)其中，臨界值Zα/2可以查正態(tài)分布表得到。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件【例6-5】某種零件的長度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9件，測得它們的平均長度為21.4毫米。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ＝0.15毫米，試建立該種零件平均長度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。解：已知X~N(μ,0.152) =21.4，n=9，1-α=0.95，Zα/2=1.96其中Zα/2是在α=0.05時，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表所得。當(dāng)α=0.05時，Zα/2=1.96這是一個常用的值，希望讀者記住。根據(jù)（6.21）式，總體均值μ的置信區(qū)間為（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件即（21.302，21.498）。我們可以95％的概率保證該種零件的平均長度在21.302毫米及21.498毫米之間。當(dāng)總體為非正態(tài)總體時，可以證明，當(dāng)樣本容量n足夠大時，樣本均值近似地服從數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n的正態(tài)分布。一般認(rèn)為n>30就是樣本容量足夠大了。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件【例6-6】某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時間為26分鐘。試以95%的置信水平估計該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時間（已知總體方差為36）。解：總體X的分布形式未知，但總體方差已知，σ2=36，且n=100>30，為大樣本。故可以認(rèn)為近似服從N(μ,σ2/n)，1-α=0.95，α=0.05，Zα/2=1.96，=26?？傮w均值μ的置信區(qū)間為（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件即[24.824，27.176]?？梢?5%的概率保證該校全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時間在24.824到27.176分鐘之間。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（二）σ2未知時總體均值μ的置信區(qū)間當(dāng)總體服從正態(tài)分布，但總體方差σ2未知時，要用樣本方差代替σ2來建立置信區(qū)間。這時，新的統(tǒng)計量不服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從自由度為n-1的t分布，記為~（6.22）t分布是一種連續(xù)型的對稱分布，當(dāng)n<30時，t分布的分散程度比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布大，密度函數(shù)曲線較為平緩。隨著n的增大，t分布逐漸逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t統(tǒng)計量的臨界值，在給定顯著性水平α及自由度時，可查t分布表獲得。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件當(dāng)總體為正態(tài)總體而方差σ2未知時，要用（6.22）式給的t統(tǒng)計量來構(gòu)造總體均值μ的置信區(qū)間。此時，總體均值μ的置信區(qū)間為(6.23)【例6-7】在例6-6中，假定X~N(μ,σ2)，但總體方差未知，已知樣本方差=34，試以95%的置信水平估計全校學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時間。解：已知X~N(μ,σ2)，σ2未知，=34，n=100，=26.在α=0.05時，tα/2(n-1)=t0.025(99)≈1.984總體均值μ的置信區(qū)間為（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件即為[24.84，27.16]。故該校學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時間，可以95%的概率保證在24.84到27.16分鐘之間。當(dāng)總體為非正態(tài)總體且σ2未知時，只要樣本足夠大，一般當(dāng)n>30時，仍可以用（6.23）式來近似地建立總體均值μ的置信區(qū)間。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件二、總體成數(shù)的置信區(qū)間在前面我們已經(jīng)介紹了有關(guān)樣本成數(shù)的抽樣分布，可以證明，大樣本下，若nP>5，n(P-1)>5，則可以把二項分布問題轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布問題近似地去求解，根據(jù)（6.3）式和（6.4）式，因而 P~(6.24)即樣本成數(shù)P服從期望值為ρ，方差為的正態(tài)分布。因而，可以用Z統(tǒng)計量來構(gòu)造總體成數(shù)ρ的置信區(qū)間~N(0,1)(6.25)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件在估計ρ時，由于ρ未知，因此在（6.25）式中用樣本成數(shù)P代替ρ計算估計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差。在的置信水平1-α下，總體成數(shù)ρ的置信區(qū)間為(6.26)【例6-8】某地區(qū)教育部門欲了解高中生視力狀況。隨機(jī)抽查了100名高中生，其中有70人近視。試以95%的置信度估計該地區(qū)高中生近視率的置信區(qū)間。解：已知n=100，P=0.7，nP=70>5，n(P-1)=30>5，當(dāng)α=0.05時，Zα/2=1.96，有（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件故該企業(yè)職工由于同他們的管理人員不能融洽相處而離開的比例為61.0%~79.0%。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件三、兩個總體均值及兩個總體成數(shù)之差的置信區(qū)間（一）兩個總體均值之差的置信區(qū)間在實際中，經(jīng)常遇到需要比較兩個總體均值的問題。例如，某化工廠需要比較兩個供應(yīng)商提供的原材料所帶來的產(chǎn)量；某百貨商店在兩個可供選擇的郊區(qū)設(shè)一個店，為了確定應(yīng)該設(shè)在何處，該商店應(yīng)該根據(jù)兩個郊區(qū)居民的平均收入的比較來確定等等。這通常要對兩個總體的均值之差作出估計。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件1、兩個總體的方差σ12、σ22已知情況下的估計當(dāng)兩個總體服從正態(tài)分布，或兩個總體的分布形式未知但抽自它們的兩個樣本為大樣本，且已知兩個總體的方差σ12、σ22時，可以證明，兩個獨立樣本算出的的抽樣分布服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為(6.28)【例6-9】一個銀行負(fù)責(zé)人想知道儲戶存入兩家銀行的錢數(shù)之差。他從兩家銀行各抽取了一個由25個儲戶組成的隨機(jī)樣本。樣本平均值如下：銀行A為4500元，銀行B為3250元。設(shè)已知兩個總體方差分別為σA2=2500和σB2=3600，且儲戶存入兩家銀行的錢數(shù)均服從正態(tài)分布。試求的區(qū)間估計，（1）置信度95%；（2）置信度99％。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件解：根據(jù)題意知：~N(μA,2500)~N(μB,2500)=4500，=3250，nA=nB=25從而的置信度為95%的置信區(qū)間為

其中，σA2=2500，σB2=3600

（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（1）當(dāng)置信度為95%時，Zα/2=1.96，故此時的置信區(qū)間為即1250±30.62=(1219.38,1280.62)。（2）當(dāng)置信度為99%時，Zα/2=2.58，故此時的置信區(qū)間為

即1250±40.30=(1209.7,1290.3)。從所得的結(jié)果看出置信度越高，相應(yīng)的估計精度就越差。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件2、兩個總體的方差σ12、σ22未知情況下的估計（1）兩個總體均服從正態(tài)分布，且σ12=σ22

當(dāng)σ12、σ22均未知時，此時的區(qū)間估計中仍有未知參數(shù)需要估計。設(shè)σ12=σ22=σ2，將兩個樣本中關(guān)于σ2的信息聯(lián)合起來估計σ2，這個聯(lián)合估計量為(6.29)這時估計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差為(6.30)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件可以證明(6.31)服從自由度為n1+n2-2的t分布。因此，當(dāng)兩個總體服從正態(tài)分布，它們的方差未知但相等時，兩個總體均值之差的1-α置信水平的置信區(qū)間為(6.32)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件【例6-10】為了比較兩位銀行職員為新顧客辦理個人結(jié)算帳目的平均時間長度，分別給兩位職員隨機(jī)安排了10位顧客，并記錄下了為每位顧客辦理帳單所需要的時間（分鐘）。兩位職員辦理帳單的樣本均值和方差為：=22.2，s12=16.36；=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理帳單所需時間均服從正態(tài)分布，且方差相等。試求兩位職員辦理帳單的服務(wù)時間之差的95%的置信區(qū)間。解：依題意知兩個總體均為正態(tài)分布，方差相等但未知。的置信度為1-α的置信區(qū)間為（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件其中=22.2，s12=16.36；=28.5，s22=18.92tα/2(n1+n2-2)=t0.025(18)=2.1從而所求置信區(qū)間為即-6.3±3.90，從而置信區(qū)間為(-10.2,-2.4)。該結(jié)果顯示在95%的可靠程度下第一個職員辦理帳單的平均時間比第二個職員少2.4分到10.2分之間。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（2）兩個總體均服從正態(tài)分布，且σ12=σ22

當(dāng)σ12、σ22未知且不相等時，自然用s12和s22分別估計σ12和σ22，從而得到的估計為，但此時的抽樣分布不服從自由度為(n1+n2-2)的t分布，而近似服從自由度為f的t分布.f的計算公式為(6.33)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件如f不是整數(shù)，則取與f最接近的整數(shù)作為自由度的取值，也可用插值法求t分布分位數(shù)值。這樣的置信度為1-α的近似區(qū)間估計為(6.34)【例6-11】繼續(xù)考慮例6-10，假定兩個總體的方差不等。此時，為了求出的置信區(qū)間，首先計算出自由度如下（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件

則t0.025(20)=2.086，從而所求的近似的95％區(qū)間估計為

即(-10.2,-2.4)。從計算結(jié)果知所求近似區(qū)間估計與例6-10相同。（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件當(dāng)兩個總體不服從正態(tài)分布，且總體方差不相等時，若n1和n2很大，可運(yùn)用中心極限定理，并將s1和s2分別作為σ1和σ2的估計值，構(gòu)造在1-α置信水平下的近似置信區(qū)間為(6.35)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件（二）兩個總體成數(shù)之差的置信區(qū)間在社會經(jīng)濟(jì)問題的研究中，我們常常需要了解兩個總體成數(shù)之差。例如，對兩大企業(yè)、兩個社會經(jīng)濟(jì)團(tuán)體的某個經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的比例進(jìn)行比較等等。設(shè)兩個總體的成數(shù)分別為ρ1和ρ2，為了估計ρ1-ρ2，分別從兩個總體中各隨機(jī)抽取容量為n1和n2的兩個隨機(jī)樣本，并計算兩個樣本的成數(shù)P1和P2。這樣就可以按通常的方式構(gòu)造一個區(qū)間估計值?？梢宰C明，當(dāng)n1和n2都很大，而且總體成數(shù)不太接近0或1時，P1-P2的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，且μ=ρ1-ρ2(6.36)（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件(6.37)從而ρ1-ρ2的置信度為(1-α)的置信區(qū)間為(6.38)但由于ρ1、ρ2均未知，故上述區(qū)間中的ρ1和ρ2需要用P1和P2代替，此時，ρ1和ρ2的置信度為(1-α)的近似置信區(qū)間為(6.39)

（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件

【例6-12】某飲料公司對其所做的報紙廣告在兩個城市的效果進(jìn)行了比較，他們從兩個城市中分別隨機(jī)地調(diào)查了1000個成年人，其中看過該廣告的成數(shù)分別為p1=0.18和p2=0.14，試求兩個城市成年人中看過該廣告的成數(shù)之差的95%的置信區(qū)間。解：由于樣本容量n1=n2=1000，屬于大樣本容量P1=0.18，1-P1=0.82，1-α=0.95P2=0.14，1-P1=0.86，Zα/2=1.96故置信區(qū)間為（本科）第6章參數(shù)估計ppt課件即(0.0079，0.07