理解性教學(xué)思想及其數(shù)學(xué)案例解讀

第二節(jié)理解性教學(xué)思想及其數(shù)學(xué)案例解讀

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中規(guī)定：數(shù)學(xué)理解就是對概念和規(guī)律（定律、定理、

公式、法則等）達到理性認識，不僅能夠說出要領(lǐng)和規(guī)律是什么，而且能夠知道

它是怎么樣得出來的，它和其他概念和規(guī)律之間的關(guān)系，有什么用途。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》在教學(xué)建議中指出：“教師應(yīng)幫助學(xué)生理解和掌

握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能”；評價建議中指出：“評價要注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

和思想方法的把握，避免片面強調(diào)機械記憶、模仿以及復(fù)雜技巧”；在教材編寫

建議中談到:“教材編寫要體現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，幫助學(xué)生全面理解和認識數(shù)學(xué)。”

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》也指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，

學(xué)生能夠“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學(xué)的知

識和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識?！?/p>

一、理解的內(nèi)涵

1、行為主義的理解觀

行為主義把學(xué)習(xí)解釋為刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，認為學(xué)習(xí)過程是一種試誤過

程，在不斷的嘗試與錯誤中逐漸形成聯(lián)結(jié)。在行為主義看來，刺激與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)

受到練習(xí)和使用的次數(shù)增多而變得越來越強，反之，變得越弱。因而，行為主義

學(xué)習(xí)觀強調(diào)技能訓(xùn)練，實現(xiàn)技能由“自覺地執(zhí)行”向“自動地執(zhí)行”的轉(zhuǎn)化，于

是，個體對知識的理解就是記憶概念、規(guī)則和方法，并能迅速提取并用于解決問

題。行為主義只關(guān)注人的外部行為，不研究人的內(nèi)部思維過程，因而不可能對“知

識的理解”作深入探討。

2、認知主義的理解觀

格式塔學(xué)派認為，“理解就是“頓悟”，是頭腦中知覺“完形”的出現(xiàn)，理解

就是對事物間的關(guān)系突然貫通與領(lǐng)悟。奧蘇伯爾認為，理解就是將新信息納人原

有認知結(jié)構(gòu)，新舊知識發(fā)生意義同化的過程。

現(xiàn)代認知心理學(xué)認為，理解的實質(zhì)是學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根

據(jù)已有信息建構(gòu)內(nèi)部的心理表征、并進而獲得心理意義的過程。Mayer給出了學(xué)

習(xí)者的理解過程模式，如圖11所示。

圖1理解過程的一般模式

在這一模式中，個體的理解分為3個階段：第一階段，各種信息經(jīng)過注意的

“過濾”，部分信息經(jīng)過感覺登記進入短時記憶。第二階段是編碼階段，進入短

時記憶的信息沒有得到復(fù)述和加工的部分很快消退，得到及時復(fù)述和進一步加工

的信息進入長時記憶。第三階段是表征的重新建構(gòu)和整合階段。當(dāng)信息進入長時

記憶后，一方面，使已有圖式的一些節(jié)點和相應(yīng)的區(qū)域被激活，從而使已經(jīng)得到

編碼的信息獲得了心理意義；另一方面，新信息的納入又使已有的圖式發(fā)生相應(yīng)

的變化，形成新的知識網(wǎng)絡(luò)和認知結(jié)構(gòu)。

3、情境認知理論的理解觀

學(xué)習(xí)理論在90年代后期從強調(diào)個體思維者和其孤立心智的認知建構(gòu)理論轉(zhuǎn)

向強調(diào)認知和意義的社會性本質(zhì)，并進而轉(zhuǎn)向情境理論，這一轉(zhuǎn)向更加豐富了對

理解的認識。情境觀的核心要點是：意義不是與實踐和情境脈絡(luò)相分離的，意義

正是在實踐和情境脈絡(luò)中加以協(xié)商的。從這一意義上說，概念、定理、法則的學(xué)

習(xí)必須既是情境性的，又是通過學(xué)習(xí)者的真實活動和運用而得以不斷發(fā)展的。也

就是說，概念、法則的意義是依托于一定的情境的，在該特定情境中獲得的概念、

法則要比所謂的一般性概念、法則更有力、更有用、更具理解力，在這樣的情境

中所進行的學(xué)習(xí)活動，除了了解了某些確定的規(guī)則外，更重要的是了解了使用這

些規(guī)則的場合和條件。

如果站在這一高度，就可以對現(xiàn)今中學(xué)乃至大學(xué)的微積分教學(xué)做出較為深刻

的分析與批判。應(yīng)當(dāng)說，只教授微積分運算規(guī)則而脫離其產(chǎn)生的深遠背景，剝奪

學(xué)生參與真實活動與理解生活實際的機會，那么留給學(xué)生的只能是惰性的、處于

消極狀態(tài)的知識。這直接造成學(xué)生只會解那些書本上正規(guī)的、良構(gòu)性的求極限、

求導(dǎo)之類的簡單近遷移問題，而對那些需要用到無窮小思想的其他非良構(gòu)的新情

境中的遠遷移問題卻無從下手，也不能運用極限思想、導(dǎo)數(shù)思想去理解其他數(shù)學(xué)

問題的解決方法。其實，此時學(xué)生的思維中并沒有建立起對“究竟什么是微積分？

它是如何得來的？它有什么用處？”等一些情境化指向非常強的問題的深刻理

解。

4、什么是數(shù)學(xué)理解

何謂數(shù)學(xué)理解？有人認為，能夠用自己的語言來敘述一個概念或原理就叫理

解；有人認為，能夠運用自己所學(xué)的知識才叫理解；還有人認為，理解是一系列

水平的層次，比如了解、領(lǐng)會、掌握、熟練應(yīng)用等。不錯，這些都能用來描述理

解的外在表現(xiàn)或結(jié)果，但是卻沒有真正從心理層面給理解下一個定義。

陳瓊等人認為：“數(shù)學(xué)理解是學(xué)習(xí)者先認識數(shù)學(xué)對象的外部表征，構(gòu)建相應(yīng)

的心理表象，然后在建立新舊知識聯(lián)系的動態(tài)過程中，打破原有的認識平衡，將

數(shù)學(xué)對象的心理表象進行改造、整理、重組，重新達到新的平衡，以便抽取數(shù)學(xué)

對象的本質(zhì)特征及規(guī)律，從而達到對數(shù)學(xué)對象的理解?！盵11

事實上，理解是一個心理過程，是對學(xué)習(xí)對象或內(nèi)容積極建構(gòu)其心理意義的

過程。因此，數(shù)學(xué)理解就是指學(xué)生在已有數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，建立新知識

的個人心理表征，建構(gòu)新知識的個人心理意義，不斷完善和發(fā)展頭腦中的知識網(wǎng)

絡(luò)，并能將納入知識網(wǎng)絡(luò)中的新知識靈活地加以提取和應(yīng)用。

數(shù)學(xué)理解是一個建構(gòu)知識意義的過程，在這個過程中，主要涉及三個方面的

工作：首先，必須將原始信息改造成適應(yīng)個人認知結(jié)構(gòu)特點、便于存入和提取的

形式，因此，建立的概念表象對自己越熟悉、越細致、越準確，就越記得住，也

越容易提??；其次，新知識結(jié)點與其它結(jié)點的連線越多，該結(jié)點的入口就越多，

經(jīng)由這些通道進入該結(jié)點的機會也就增多；再次，在新、舊知識的節(jié)點的聯(lián)系中，

本質(zhì)性的聯(lián)系越多，準確性越強，這些聯(lián)系就越緊密和牢固，甚至可以大大減少

中間聯(lián)線的數(shù)量，這樣，經(jīng)由其它結(jié)點激活該節(jié)點的可能性越大，回憶必然越方

便越迅速。

二、理解的意義

1、理解有助于個體知識結(jié)構(gòu)的完善

數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀

一再強調(diào)⑵：“要對知識形成深刻的、真正的理解，這意味著學(xué)習(xí)者所獲得的知

識是結(jié)構(gòu)化的、整合的，而不是零碎的、只言片語的。”而希伯特教授則用信息

的內(nèi)部表示和構(gòu)成方式來描述理解⑶，“我們認為一個數(shù)學(xué)的概念、方法或事實

是理解了，是指它成了內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個部分。更確切地說，數(shù)學(xué)是理解了，是指

它的智力表示成了表示網(wǎng)絡(luò)的一個部分。理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確

定的?！?/p>

2、理解能夠減輕學(xué)習(xí)者的記憶負擔(dān)

記憶的基本單位未必是一個一個單獨的“項”，而可能是由若干相關(guān)的項組

成的組塊。由于所說的組塊是用單一的符號或語言文字來代表的，因此，這就給

信息的記憶帶來很大的好處。如果某一個知識點沒有得到理解，那么，它就會單

獨地、孤立地存入記憶中的某個位置，占用一個記憶單位。由于工作記憶容量的

有限與狹小，顯然這會不利于以后的學(xué)習(xí)。而當(dāng)一個知識點獲得理解以后，它就

會與其它知識有著緊密的聯(lián)系，并與它們形成知識網(wǎng)絡(luò)（組塊），網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)越強,

需要單獨記憶的東西就越少，相對而言組塊數(shù)量就越少。隨著理解的不斷深入，

網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部可能得到簡化，網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)之間的外部聯(lián)系又得以加強，一些網(wǎng)絡(luò)能進

一步組成新的整體，使整體結(jié)構(gòu)獲得簡化。這樣一來，記憶負擔(dān)得以減輕，信息

的提取也更加方便

3、理解有助于知識的靈活遷移和應(yīng)用

沃特海梅爾曾做過這樣的研究⑷，讓兩組學(xué)生對平行四邊行面積公式分別

展開理解法學(xué)習(xí)和死記法學(xué)習(xí)。前者學(xué)生通過三角形割補關(guān)系理解了平行四邊形

可以重新組合成長方形，所以他們很容易內(nèi)化平行四邊形面積公式的內(nèi)在意義以

及平行四邊形本身的結(jié)構(gòu)關(guān)系。后者學(xué)生則要求死記平行四邊形面積公式。在隨

后的遷移測試中，在一些解決平行四邊形面積的典型問題上，兩者都表現(xiàn)出色。

但對一些非常規(guī)問題（如豎置的平行四邊形、帶有不規(guī)則割補的平行四邊形），

前者表現(xiàn)出色，而后者卻無能為力。所以，遷移與應(yīng)用受理解性學(xué)習(xí)程度的影響，

而非僅靠記憶事實和墨守成規(guī)。

三、理解的類型

1、工具性理解和關(guān)系性理解

R?斯根普1976年明確提出了事物的理解有兩種模式:工具性理解和關(guān)系性

理解⑸。工具性理解是指一種語義理解，即符號所指代的事物是什么；或者是一

種程序性理解，即一個規(guī)則所指定的每一個步驟是什么，如何操作。關(guān)系性理解

則還需加上對符號意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認識，獲得符號指代物意義的途

徑，以及規(guī)則本身有效性的邏輯依據(jù)等。斯根普認為，學(xué)生在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念

或數(shù)學(xué)公式時，由于對代表學(xué)習(xí)對象的符號形式不熟悉，往往把注意力集中于對

符號本身含義的描述，而不是它的指代物的意義上，即所從事的是促進“工具性

理解”形成的活動。他還指出，關(guān)系性理解本身就是一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目的，有益于

學(xué)習(xí)者解決新的問題，容易記憶，有助于形成高質(zhì)量的知識結(jié)構(gòu)，所以更多的理

解應(yīng)當(dāng)定位于“關(guān)系性理解”。顯然，斯根普關(guān)于理解的兩種模式，實質(zhì)是指數(shù)

學(xué)理解的兩個不同層面，只有從工具性理解達到關(guān)系性理解，個體才能把握數(shù)學(xué)

對象的本質(zhì)。

2、數(shù)學(xué)理解發(fā)展的“超回歸”模型⑹

1994年，英國的S?Pirie和加拿大的T?Kieren提出了一個數(shù)學(xué)理解發(fā)展

的“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型。兩位學(xué)者認為，數(shù)學(xué)理解劃分為八個水平，即原始

認識、產(chǎn)生表象、形成表象、性質(zhì)認知、形式化、觀察評述、構(gòu)造化和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造。

這八種水平的關(guān)系可以用八個嵌套的圓來表示，并依水平的增高所表示的圓的半

徑依次增大，前一個圓包含在后一個圓中，逐步拓廣。這一組圓描述了理解水平

之間的相互關(guān)系，以認知的觀點強調(diào)理解是一個進行中的、動態(tài)的、分水平的、

非線性的發(fā)展，是反反復(fù)復(fù)的建構(gòu)組織過程，是以認知觀點比較全面認識數(shù)學(xué)理

解的一個理論。這個理論將理解表示為人們知識結(jié)構(gòu)的不斷、連續(xù)的組織，是一

個動態(tài)的過程，而不是各種認識的獲得。

3、直接性理解、解釋性理解、推斷性理解和創(chuàng)造性理解

周建華將數(shù)學(xué)理解劃分為直接性理解、解釋性理解、推斷性理解和創(chuàng)造性理

解四個層次⑺。他認為，直接性理解就是對數(shù)學(xué)語言、符號的表面理解，即能識

別語言描述中的錯誤或不妥之處，能直接找出肯定的實例或否定的反例。解釋性

理解就是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系的理解，即能理解概念的上位、下位、同位關(guān)系，

深刻理解概念的內(nèi)涵與外延，能把握公式的來龍去脈，揭示公式的聯(lián)系等。推斷

性理解就是在充分理解數(shù)學(xué)概念、公式、定理等知識的基礎(chǔ)上，對有關(guān)數(shù)學(xué)對象

作出個人的推斷。創(chuàng)造性理解是指擺脫有關(guān)材料的束縛，對知識內(nèi)容提出創(chuàng)造性

的理解，它建立在創(chuàng)造性思維能力的基礎(chǔ)之上。創(chuàng)造性理解是理解層次的最高級

別。

4、操作性理解、關(guān)系性理解和遷移性理解⑻

(1)操作性理解

操作性理解是指個體懂得數(shù)學(xué)的某個事實、技能與概念，了解某個原理，懂

得某個技能的操作步驟。具體表現(xiàn)為：能夠解決知識點較單一的題目，適合于解

決操作性強，有固定解題模式的問題，不能體會數(shù)學(xué)知識中蘊涵的數(shù)學(xué)方法與數(shù)

學(xué)思想。

(2)關(guān)系性理解

關(guān)系性理解是指個體對數(shù)學(xué)的本質(zhì)與規(guī)律及相關(guān)聯(lián)事物的深刻認識，能夠在

縱橫聯(lián)系中認識數(shù)學(xué)，表現(xiàn)為能夠理順概念間的上位、下位、同位關(guān)系，能夠運

用所學(xué)知識與經(jīng)驗同化新知識，能把握數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，能夠運用所學(xué)

知識解決一些綜合性問題。

(3)遷移性理解

遷移性理解是指個體在關(guān)系性理解的基礎(chǔ)上能夠?qū)?shù)學(xué)思想、方法以及所學(xué)

數(shù)學(xué)知識遷移到別的場合。達到遷移性理解水平的學(xué)生能夠在解決陌生情境問題

時表現(xiàn)出思維的創(chuàng)造性。

5、理解的零層次、常識性層次、邏輯性層次和觀念性層次⑼

(1)零層次

如果把數(shù)學(xué)教學(xué)中那種照本宣科式的教學(xué)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只會背誦定義定

理、模仿做題，這種實際上的不理解，也叫做理解的一個層次的話，就只能叫做

零層次。

(2)常識性層次

常識性層次也叫知識性層次，通常叫做初步理解。相應(yīng)于傳授性的教學(xué)和接

受性的學(xué)習(xí)。特征是能重述定義、定理、公式、法則，知道概念的外延和對象的

初步分類，能讀懂公式的推導(dǎo)和定理的證明過程，解題時能模仿和套用例題的整

個解答過程及符號的使用。知識是零散的，有木無林，缺乏系統(tǒng)性?！岸粫?/p>

是這一層次理解的重要特征。

(3)邏輯性層次

邏輯性層次也叫能力性層次，通常叫做深刻理解。相應(yīng)于講練結(jié)合式的教學(xué)

和能動手做的學(xué)習(xí)。對知識能牢固記憶，對概念能分析其定義、內(nèi)涵、外延；對

定理能分析內(nèi)容、結(jié)構(gòu)，能寫出嚴格完整的證明，至少能深入地理解已有的證明。

對知識，能按邏輯順序，排成網(wǎng)絡(luò)，有木有林。特征是既懂又會。

(4)觀念性層次

觀念性層次也叫思想性層次，通常叫做透徹理解。相應(yīng)于反璞歸真的數(shù)學(xué)教

學(xué)，不教不學(xué)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，講究知識的再發(fā)現(xiàn)，親歷知識的生長過程，了解概念

定義構(gòu)想和定理公式發(fā)現(xiàn)發(fā)明的大致過程，以及相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的脈絡(luò)；對知

識是結(jié)構(gòu)性記憶，有運用合情推理的體驗和演繹推理的基本功，不僅見木見林，

而且對數(shù)學(xué)有整體的認識，對數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)的價值、數(shù)學(xué)的文化教

育功能，有切身感受。

概言之：不知其然者，全無理解，自然是零層次；“知其然”即結(jié)果、結(jié)論,

相當(dāng)于第一層次理解；而“知其所以然”即結(jié)論之因，即上升到理解第二層次；

這還是遠遠不夠的，還要弄明白“何由以知其所以然"，即怎樣想到這樣定義、

這個解法或證明的，這就涉及到思想方法，離不開研究的經(jīng)歷和觀念的指導(dǎo)，從

而達到了理解的觀念性層次。

6、陳述性知識的理解、程序性知識的理解和過程性知識的理解口°]

認知心理學(xué)家將知識在學(xué)習(xí)者頭腦中的呈現(xiàn)和表達方式稱為知識的表

征。對知識的理解與知識的表征密切相關(guān)。事實上，對一個事物本質(zhì)的理解，就

是指該事物的性質(zhì)以一定的方式在學(xué)習(xí)者頭腦中呈現(xiàn)并能迅速提取?；诖?，我

們將理解解釋為對知識的正確、完整、合理的表征。

根據(jù)對數(shù)學(xué)知識的分類，數(shù)學(xué)理解應(yīng)涵蓋對陳述性知識、程序性知識及

過程性知識的理解等3個方面。

(1)對陳述性知識的理解

陳述性知識的理解是從知識的基本單元表征，到形成命題網(wǎng)絡(luò)，再到獲得圖

式的過程。以“函數(shù)”概念為例。函數(shù)y=f(x)由自變量、因變量及對應(yīng)關(guān)系3個

部分構(gòu)成，學(xué)習(xí)者首先需在對這3個命題表征的基礎(chǔ)上形成一個概念自身的命題

網(wǎng)絡(luò)。其次，學(xué)習(xí)者需要明晰函數(shù)概念與其它概念的關(guān)系。譬如，從縱向看，函

數(shù)的上位概念是映射，下位概念是各種特殊函數(shù)；從橫向看，還需明辨函數(shù)與方

程、函數(shù)與不等式等概念之間的關(guān)系，從而形成函數(shù)概念與其它概念相互聯(lián)系的

命題網(wǎng)絡(luò)。再次，學(xué)習(xí)者還要理解函數(shù)與圖像的關(guān)系，對一些特殊函數(shù)的圖像，

頭腦中應(yīng)有清晰的印象，即對函數(shù)概念進行表象表征。經(jīng)歷了上述三個步驟，學(xué)

習(xí)者就會獲得函數(shù)概念的圖式。

對一個陳述性數(shù)學(xué)知識的理解，是指學(xué)習(xí)者獲得了該對象的圖式。

(2)對程序性知識的理解

程序性知識是由陳述性知識轉(zhuǎn)化而來的，是陳述性知識的動態(tài)成分。與靜態(tài)

的陳述性知識不同，程序性知識以“產(chǎn)生式”這種動態(tài)形式來表征。所謂產(chǎn)生式

指一條“條件一一行動”規(guī)則，即一個產(chǎn)生式總是對某一或某些特定的條件滿足

時才發(fā)生的某種行為的一種程序。當(dāng)一個產(chǎn)生式的行動成為另一個產(chǎn)生式的條件

時，這2個產(chǎn)生式便建立了相互的聯(lián)系，若一組產(chǎn)生式有這種相互聯(lián)系，便形

成一個產(chǎn)生式系統(tǒng)，產(chǎn)生式系統(tǒng)代表了人從事某一復(fù)雜行為的程序性知識。

對數(shù)學(xué)知識而言，其二重性表現(xiàn)得尤為突出，這種二重性或稱為概念性知識

和方法性知識，或稱為對象和過程，其本質(zhì)就是陳述性知識和程序性知識。一個

數(shù)學(xué)概念既包含結(jié)果也包含過程，如“加法”：a+b,既代表2個集合中的元

素合并或添加起來的過程，又代表合并或添加后的結(jié)果。又如，“函數(shù)”：既代表

定義域中的元素按對應(yīng)法則與值域中元素作對應(yīng)的過程，又代表特定對應(yīng)的關(guān)系

結(jié)構(gòu)。因而，對數(shù)學(xué)知識的理解就不僅包括對靜態(tài)的、結(jié)果的陳述性知識的理解,

而且還包括對動態(tài)的程序性知識的理解。

既然程序性數(shù)學(xué)知識的表征是產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系統(tǒng)，因此，程序性數(shù)學(xué)知識

的理解就應(yīng)解釋為學(xué)習(xí)者對產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系統(tǒng)的獲得。特別地，我們認為對程

序性知識中的策略性知識，其表征是一種雙向產(chǎn)生式。雙向產(chǎn)生式是一種具有雙

重功能的指令，它既能指令在具備什么樣的條件下會有什么動作，又能指令在不

同的情形中選用不同的產(chǎn)生式。換言之，學(xué)習(xí)者不僅知道“如果?那么…”，而且

還應(yīng)知道在什么條件下去使用這個“如果-那么…”。

對程序性數(shù)學(xué)知識的理解，是指他建立了雙向產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系統(tǒng)。

(3)對過程性知識的理解

過程性知識與程序知識的共通之處是兩者都是動態(tài)型知識，但兩者的內(nèi)涵是

不同的。過程性知識是指個體對數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的體驗性知識，當(dāng)然包含

對陳述性知識及程序性知識獲得的體驗。而程序性知識是進行某