南京市秦淮區(qū)四校2025屆數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

南京市秦淮區(qū)四校2025屆數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值是()A． B． C． D．2．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．對(duì)角線互相平分B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線相等D．對(duì)角線互相垂直且相等3．下列各命題是真命題的是（）A．如果，那么B．0.3，0.4，0.5是一組勾股數(shù)C．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等D．三角形的任意兩邊之和大于第三邊4．把分式中的a和b都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，那么該分式的值（）A．變?yōu)樵瓉?lái)的2倍 B．變?yōu)樵瓉?lái)的4倍 C．不變 D．變?yōu)樵瓉?lái)的8倍5．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．6．如圖，等邊邊長(zhǎng)為，將沿向右平移，得到，則四邊形的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．對(duì)于函數(shù)y＝2x﹣1，下列說(shuō)法正確的是（）A．它的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0） B．y值隨著x值增大而減小C．它的圖象經(jīng)過(guò)第二象限 D．當(dāng)x＞1時(shí)，y＞08．使分式有意義的x的取值范圍是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣29．某班學(xué)生到距學(xué)校12km的烈士陵園掃墓，一部分同學(xué)騎自行車(chē)先行，經(jīng)h后，其余同學(xué)乘汽車(chē)出發(fā)，由于□□□□□□，設(shè)自行車(chē)的速度為xkm/h，則可得方程為，根據(jù)此情境和所列方程，上題中□□□□□□表示被墨水污損部分的內(nèi)容，其內(nèi)容應(yīng)該是（）A．汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的3倍，結(jié)果同時(shí)到達(dá)B．汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的3倍，后部分同學(xué)比前部分同學(xué)遲到hC．汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的3倍，前部分同學(xué)比后部分同學(xué)遲到hD．汽車(chē)速度比自行車(chē)速度每小時(shí)多3km，結(jié)果同時(shí)到達(dá)10．甲、乙兩名同學(xué)的5次射擊訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán)）如下表：甲78988乙610978比較甲、乙這5次射擊成績(jī)的方差，結(jié)果為：甲的方差（）乙的方差.A．大于 B．小于 C．等于 D．無(wú)法確定二、填空題(每小題3分,共24分)11．若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是30°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于__________度．12．若5x-3y-2=0，則105x÷103y=_______；13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，將△AEF沿直線EF翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，且點(diǎn)P在直線BC上．則線段CP長(zhǎng)的取值范圍是____.14．不等式組的解集為_(kāi)_________15．如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是20，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝2，△ABC的面積是_____．16．如圖，已知在銳角△ABC中，AB．AC的中垂線交于點(diǎn)O，則∠ABO+∠ACB=________．17．利用分式的基本性質(zhì)填空：（1）=，（a≠0）（2）=．18．已知與是同類(lèi)二次根式，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的的正整數(shù)的值為_(kāi)_________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖所示，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，CD＝8，AD＝1．求：（1）BD的長(zhǎng)；（2）△ABC的面積．20．（6分）某中學(xué)開(kāi)展“數(shù)學(xué)史”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，八年級(jí)（1）、（2）班根據(jù)初賽成績(jī)，各選出5名選手參加復(fù)賽，兩個(gè)班各選出的5名選手的復(fù)賽成績(jī)（滿(mǎn)分為100分）如圖所示．（1）請(qǐng)計(jì)算八（1）班、八（2）班兩個(gè)班選出的5名選手復(fù)賽的平均成績(jī)；（2）請(qǐng)判斷哪個(gè)班選出的5名選手的復(fù)賽成績(jī)比較穩(wěn)定，并說(shuō)明理由？21．（6分）（1）計(jì)算：；（2）因式分解：．22．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(4,1)與正比例函數(shù)()的圖象相交于點(diǎn)B(,3)，與軸相交于點(diǎn)C.（1）求一次函數(shù)和正比例函數(shù)的表達(dá)式;（2）若點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)D的直線DE∥AC交BO于E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使.若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.23．（8分）在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠ABC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．請(qǐng)證明AB=AC+CD；（2）①如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當(dāng)∠C≠90°，AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明．24．（8分）（問(wèn)題）在中，，，點(diǎn)在直線上（除外），分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作和的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系.（探究發(fā)現(xiàn)）某數(shù)學(xué)興趣小組在探究，的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，只需要取邊的中點(diǎn)（如圖1），通過(guò)推理證明就可以得到和的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你按照這種思路直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系；（數(shù)學(xué)思考）那么點(diǎn)在直線上（除外）（其他條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？請(qǐng)你從“點(diǎn)在線段上”“點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上”“點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫(huà)出圖形，并證明你的結(jié)論.25．（10分）如圖，AC和BD相交于點(diǎn)0，OA=OC,OB=OD，求證：DC//AB26．（10分）精準(zhǔn)扶貧，助力蘋(píng)果產(chǎn)業(yè)大發(fā)展．甲、乙兩超市為響應(yīng)黨中央將消除貧困和實(shí)現(xiàn)共同富裕作為重要的奮斗目標(biāo)，到種植蘋(píng)果的貧困山區(qū)分別用元以相同的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)質(zhì)量相同的蘋(píng)果．甲超市的銷(xiāo)售方案：將蘋(píng)果按大小分類(lèi)包裝銷(xiāo)售，其中大蘋(píng)果千克，以進(jìn)價(jià)的倍價(jià)格銷(xiāo)售，剩下的小蘋(píng)果以高于進(jìn)價(jià)的銷(xiāo)售．乙超市的銷(xiāo)售方案：不將蘋(píng)果按大小分類(lèi)，直接包裝銷(xiāo)售，價(jià)格按甲超市大、小兩種蘋(píng)果售價(jià)的平均數(shù)定價(jià)．若兩超市將蘋(píng)果全部售完，其中甲超市獲利元（包含人工工資和運(yùn)費(fèi)）．（1）蘋(píng)果進(jìn)價(jià)為每千克多少元？（2）乙超市獲利多少元？并比較哪種銷(xiāo)售方式更合算．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將x=1代入計(jì)算即可求出m的值．【詳解】解：分式方程去分母得：，將x=1代入的：m=-2，故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．2、A【解析】試題分析：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，而對(duì)角線相等、平分一組對(duì)角、互相垂直不一定成立．故平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相平分．故選A．考點(diǎn)：特殊四邊形的性質(zhì)3、D【分析】逐一判定各項(xiàng)，正確則為真命題，錯(cuò)誤則為假命題.【詳解】A選項(xiàng)，如果，那么不一定等于，假命題；B選項(xiàng)，，不是勾股數(shù)，假命題；C選項(xiàng)，兩條平行的直線被第三條直線所截，同位角相等，假命題；D選項(xiàng)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，真命題；故選：D.【點(diǎn)睛】此題主要考查真命題的判斷，熟練掌握，即可解題.4、C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．即可判斷．【詳解】解：分式中的a和b都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍可得，則該分式的值不變．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握分式的基本性質(zhì)．5、D【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】A、，故錯(cuò)誤；B、，故錯(cuò)誤；C、，故錯(cuò)誤；D、，故正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查合并同類(lèi)項(xiàng)及同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算，熟練掌握合并同類(lèi)項(xiàng)及同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．6、B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)易得AD=CF=BE=1，那么四邊形ABFD的周長(zhǎng)即可求得．【詳解】解：∵將邊長(zhǎng)為1cm的等邊△ABC沿邊AC向右平移1cm得到△DEF，∴AD=BE=CF=1，各等邊三角形的邊長(zhǎng)均為1．∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)=AD+AB+BE+FE+DF=17cm．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，找出對(duì)應(yīng)邊，求出四邊形各邊的長(zhǎng)度，相加即可．7、D【解析】畫(huà)函數(shù)的圖象，選項(xiàng)A,點(diǎn)（1，0）代入函數(shù)，，錯(cuò)誤.由圖可知，B，C錯(cuò)誤，D,正確.選D.8、D【分析】先根據(jù)分式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【詳解】∵分式有意義，∴x+1≠0，即x≠﹣1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解答此題的關(guān)鍵．9、A【分析】根據(jù)方程的等量關(guān)系為：騎自行車(chē)的時(shí)間-乘汽車(chē)的時(shí)間=h，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度可知被墨水污損部分的內(nèi)容.【詳解】解：由方程可知汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的3倍，結(jié)果同時(shí)到達(dá)．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分式方程找已知條件的能力以及路程問(wèn)題，有一定的難度，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系：騎自行車(chē)的時(shí)間-乘汽車(chē)的時(shí)間=h10、B【分析】先利用表中的數(shù)據(jù)分別計(jì)算出甲、乙的方差，再進(jìn)行比較即可．【詳解】故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)和方差，掌握平均數(shù)和方差的求法是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1800【詳解】多邊形的外角和等于360°，則正多邊形的邊數(shù)是360°÷30°=12，所以正多邊形的內(nèi)角和為.12、100【分析】由同底數(shù)冪除法運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：∵，∴，∴；故答案為100.【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，掌握同底數(shù)冪除法法則是解題的關(guān)鍵.13、【解析】根據(jù)點(diǎn)E、F在邊AB、AC上，可知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，CP有最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)CP有最大值，根據(jù)分析畫(huà)出符合條件的圖形即可得.【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，CP的值最小，此時(shí)BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如圖，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，CP的值最大，此時(shí)CP=AC，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根據(jù)勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值為5，所以線段CP長(zhǎng)的取值范圍是1≤CP≤5，故答案為1≤CP≤5.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，能根據(jù)點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上，點(diǎn)P在直線BC上確定出點(diǎn)E、F位于什么位置時(shí)PC有最大（?。┲凳墙忸}的關(guān)鍵.14、【分析】由題意分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解，確定不等式組的解集即可．【詳解】解：，解得，所以不等式組的解集為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)以及熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.15、1．【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離都相等（即OE＝OD＝OF），從而可得到的面積等于周長(zhǎng)的一半乘以2，代入求出即可．【詳解】如下圖，連接OA，過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝2，∵的周長(zhǎng)是1，OD⊥BC于D，且OD＝2，∴＝1，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及三角形面積的求法，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.16、90°．【分析】由中垂線的性質(zhì)和定義，得BA=BC，BE⊥AC，從而得∠ACB=∠A，再根據(jù)直角三角形的銳角互余，即可求解．【詳解】∵BE是AC的垂直平分線，∴BA=BC，BE⊥AC，∴∠ACB=∠A．∵∠ABO+∠A=90°，∴∠ABO+∠ACB=90°．故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)定理，掌握垂直平分線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．17、6a；a﹣2【解析】試題解析：第一個(gè)中，由前面分式的分母變成后面分式的分母乘以，因而分母應(yīng)填：第二個(gè)式子，分子由第一個(gè)式子到第二個(gè)式子除以則第二個(gè)空應(yīng)是：故答案為點(diǎn)睛：分式的基本性質(zhì)是：在分式的分子、分母上同時(shí)乘以或除以同一個(gè)非0的數(shù)或式子，分式的值不變．18、22【分析】根據(jù)同類(lèi)二次根式定義可得化為最簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)為3，進(jìn)而可得x的值．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，和是同類(lèi)二次根式故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同類(lèi)二次根式，關(guān)鍵是掌握把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．三、解答題(共66分)19、（1）BD=15；（2）S△ABC=2．【分析】（1）由AC＝10，CD＝8，AD＝1，利用勾股定理的逆定理可判斷∠ACD＝９０°，在利用勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)；（2）由三角形的面積公式即可求得．【詳解】解：（1）在△ABC中，∵AC2=102=100，AD2+CD2=12+82=100，∴AC2=AD2+CD2，∴∠ADC=90°，∵∠BDC=90°，在Rt△BCD中，BD==15；（2）S△ABC=×（1+15）×8=4×21=2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度不大．20、（1）八（1）班和八（2）班兩個(gè)班選出的5名選手復(fù)賽的平均成績(jī)均為85分；（2）八（1）班的成績(jī)比較穩(wěn)定，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的概念求解可得；（2）先計(jì)算出兩個(gè)班的方差，再根據(jù)方差的意義求解可得．【詳解】（1）=（75+80+85+85+100）=85（分），=（70+100+100+75+80）=85（分），所以，八（1）班和八（2）班兩個(gè)班選出的5名選手復(fù)賽的平均成績(jī)均為85分．（2）八（1）班的成績(jī)比較穩(wěn)定．理由如下：s2八（1）=[（75-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（85-85）2+（100-85）2]=70，s2八（2）=[（70-85）2+（100-85）2+（100-85）2+（75-85）2+（80-85）2]=160，∵s2八（1）＜s2八（2）∴八（1）班的成績(jī)比較穩(wěn)定．【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)和方差，一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立．21、（1）12xy+10y2；（2）x(x+3)(x-3)．【分析】（1）根據(jù)題意直接利用完全平方和公式以及平方差公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并得出答案；（2）由題意首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：（1）(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)=(4x2+12xy+9y2)-(4x2-y2)=4x2+12xy+9y2-4x2+y2=12xy+10y2（2）x3-9x=x(x2-9)=x(x+3)(x-3)【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的乘法以及提取公因式法、公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．22、（1）一次函數(shù)表達(dá)式為：；正比例函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）E（－2，－3）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）.【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入可求出一次函數(shù)解析式，然后可求點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入即可求出正比例函數(shù)的解析式；（2）首先求出點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)DE∥AC設(shè)直線DE解析式為：，代入點(diǎn)D坐標(biāo)即可求出直線DE解析式，聯(lián)立直線DE解析式和正比例函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）首先求出△ABO的面積，然后分點(diǎn)P在x軸和點(diǎn)P在y軸兩種情況討論，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)列出方程求解即可.【詳解】解：（1）將點(diǎn)A(4，1)代入得，解得：b=5，∴一次函數(shù)解析式為：，當(dāng)y=3時(shí)，即，解得：，∴B(2，3)，將B(2，3)代入得：，解得：，∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）∵一次函數(shù)解析式為：，∴C（0，5），∴D（0，－5），∵DE∥AC，∴設(shè)直線DE解析式為：，將點(diǎn)D代入得：，∴直線DE解析式為：，聯(lián)立，解得：，∴E（－2，－3）；（3）設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)F，令y=0，解得：x=5，∴F（5，0），∵A（4，1），B（2，3），∴，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），由題意得：，解得：，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）；當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），由題意得：，解得：，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，－2），綜上所示：P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用平行直線的系數(shù)k相等求出直線DE解析式；（3）求出△ABO的面積，利用方程思想和分類(lèi)討論思想解答．23、（1）證明見(jiàn)解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案；②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（2）①AB=AC+CD．理由：在AB上截取AE=AC，連接DE，∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由：在射線BA上截取AE=AC，連接DE，∵AD為∠EAC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴設(shè)∠B=x，則∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，利用已知得出△AED≌△ACD是解題關(guān)鍵．24、（1）；（2）；（3）仍然成立..【分析】(1)【探究發(fā)現(xiàn)】取中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形全等的判定即可證明，即可得出和的數(shù)量關(guān)系;(2)【數(shù)學(xué)思考】分三種情況討論:①若點(diǎn)在線段上，在AC上截取，連接;②若點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上，在AC反向延長(zhǎng)線上截取，連接;③若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，在A