哈爾濱市第六十九中學2025屆數學八年級第一學期期末調研試題含解析

哈爾濱市第六十九中學2025屆數學八年級第一學期期末調研試題題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．要使有意義，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分別是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3等于A．90° B．180° C．210° D．270°3．如圖，，是角平分線上一點，，垂足為，點是的中點，且，如果點是射線上一個動點，則的最小值是（）A．１ B． C．2 D．4．如圖，有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一個蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部B恰好碰到岸邊的B′．則這根蘆葦的長度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺5．如圖，AD∥BC，∠ABC的平分線BP與∠BAD的平分線AP相交于點P，作PE⊥AB于點E，若PE=3，則點P到AD與BC的距離之和為（）．A．3 B．4 C．5 D．66．七年級一班同學根據興趣分成五個小組，并制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖，若制成扇形統(tǒng)計圖，第1小組對應扇形圓心角的度數為（）A． B． C． D．7．某班共有學生40人，其中10月份生日的學生人數為8人，則10月份生日學生的頻數和頻率分別為（）A．10和25% B．25%和10 C．8和20% D．20%和88．下列命題是真命題的是（）A．在一個三角形中，至多有兩個內角是鈍角B．三角形的兩邊之和小于第三邊C．在一個三角形中，至多有兩個內角是銳角D．在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線平行9．一等腰三角形的兩邊長x、y滿足方程組則此等腰三角形的周長為

(）A．5 B．4 C．3 D．5或410．一次函數上有兩點和，則與的大小關系是（）A． B． C． D．無法比較11．如圖，直線，∠1=40°，∠2=75°，則∠3等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°12．人數相同的八年級一、二兩班同學在同一次數學單元測試，班級平均分和方差如下：，，則成績較為穩(wěn)定的班級是（）A．一班 B．二班 C．兩班成績一樣穩(wěn)定 D．無法確定二、填空題（每題4分，共24分）13．汽車開始行駛時，油箱中有油30升，如果每小時耗油4升，那么油箱中的剩余油量y(升)和工作時間x（時）之間的函數關系式是____________；14．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D，AD=3，則BC=________．15．分解因式2m2﹣32＝_____．16．根據某商場2018年四個季度的營業(yè)額繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖，其中二季度的營業(yè)額為1000萬元，則該商場全年的營業(yè)額為_____萬元．17．如果點P在第二象限內，點P到x軸的距離是4，到y(tǒng)軸的距離是3，那么點P的坐標為______．18．空調安裝在墻上時，一般都采用如圖所示的方法固定．這種方法應用的幾何原理是：三角形具有______．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，小巷左石兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7米，梯子頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離A′D為1.5米，求小巷有多寬．20．（8分）計算（1）解方程：（2）21．（8分）已知函數y＝，且當x＝1時y＝2；請對該函數及其圖象進行如下探究：（1）根據給定的條件，可以確定出該函數的解析式為；（2）根據解折式，求出如表的m，n的值；x…﹣101234567…y…32.521.50mn2.53…m＝，n＝．（3）根據表中數據．在如圖所示的平面直角坐標系中描點并畫出函數圖象；（4）寫出函數圖象一條性質；（5）請根據函數圖象寫出當＞x+1時，x的取值范圍．22．（10分）如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？23．（10分）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB分別交y軸、x軸于點A（1，a），點B（b，1），且a、b滿足a2-4a+4+＝1．（1）求a，b的值；（2）以AB為邊作Rt△ABC，點C在直線AB的右側，且∠ACB＝45°，求點C的坐標；（3）若（2）的點C在第四象限（如圖2），AC與x軸交于點D，BC與y軸交于點E，連接DE，過點C作CF⊥BC交x軸于點F．①求證：CF=BC；②直接寫出點C到DE的距離．24．（10分）某社區(qū)準備五一組織社區(qū)內老年人去到縣參加采摘節(jié)，現有甲、乙兩家旅行社表示對老年人優(yōu)惠，甲旅行社的優(yōu)惠方式為：在原來每人100元的基礎上，每人按照原價的60%收取費用;乙旅行社的優(yōu)惠方式為：在收取一個600元固定團費的基礎上，再額外收取每人40元.設參加采摘節(jié)的老年人有x人，甲、乙兩家旅行社實際收費為元、元.（Ⅰ）根據題意，填寫下表：老年人數量（人）51020甲旅行社收費（元）300乙旅行社收費）（元）800（Ⅱ）求、關于x的函數關系式（不用寫出自變量的取值范圍）？（Ⅲ）如果，選擇哪家旅行社合算？25．（12分）某青春黨支部在精準扶貧活動中，給結對幫扶的貧困家庭贈送甲、乙兩種樹苗讓其栽種．已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元，用480元購買乙種樹苗的棵數恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數相同．（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元？（2）在實際幫扶中，他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵，此時，甲種樹苗的售價比第一次購買時降低了10%，乙種樹苗的售價不變，如果再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元，那么他們最多可購買多少棵乙種樹苗？26．甲、乙兩車從A地出發(fā)，沿同一路線駛向B地，甲車先出發(fā)勻速駛向B地，40min后，乙車出發(fā)，勻速行駛一段時間后，在途中的貨站裝貨耗時半小時．由于滿載貨物，為了行駛安全，速度減少了50km/h，結果與甲車同時到達B地，甲乙兩車距A地的路程y（km）與乙車行駛時間x（h）之間的函數圖象如圖所示（1）a＝，甲的速度是km/h；（2）求線段CF對應的函數表達式，并求乙剛到達貨站時，甲距B地還有多遠？（3）乙車出發(fā)min追上甲車？（4）直接寫出甲出發(fā)多長時間，甲乙兩車相距40km．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據二次根式有意義的條件可得，求解即可．【詳解】由題意得：，

解得：，

故選：D．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握被開方數必須是非負數．2、B【詳解】試題分析：如圖，如圖，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1=∠4，∠3=∠5，∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°，故選B3、C【分析】根據角平分線的定義可得∠AOP=∠AOB=30°，再根據直角三角形的性質求得PD=OP=1，然后根據角平分線的性質和垂線段最短得到結果．【詳解】∵P是∠AOB角平分線上的一點，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中點，DM=1，∴OP=1DM=4，∴PD=OP=1，∵點C是OB上一個動點，∴PC的最小值為P到OB距離，∴PC的最小值=PD=1．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，直角三角形的性質，熟記性質并作出輔助線構造成直角三角形是解題的關鍵．4、D【分析】我們可以將其轉化為數學幾何圖形，可知邊長為10尺的正方形，則B'C＝5尺，設出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根據勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到蘆葦的長.【詳解】解：設蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深AC＝（x﹣1）尺，因為邊長為10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即蘆葦長13尺．故選D．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，熟練運用數形結合的解題思想是解題關鍵.5、D【解析】過點P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PF=PE，PG=PE，再根據平行線之間的距離的定義判斷出EG的長即為AD、BC間的距離．【詳解】過P作PM⊥AD，PN⊥BC，由題意知AP平分∠BAD，∴PM=PE=3，同理PN=PE=3，∴PM+PN=6．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，平行線間的距離的定義，熟記性質并作輔助線構造出AD、BC間的距離的線段是解題的關鍵．6、C【分析】根據扇形圓心角的度數為本組人數與總人數之比，再乘以360°進行計算即可.【詳解】由題意可得，第1小組對應扇形圓心角的度數為，故選C.【點睛】本題考查條形圖和扇形圖的相關計算，解題的關鍵是理解扇形圓心角與條形圖中人數的關系.7、C【分析】直接利用頻數與頻率的定義分析得出答案．【詳解】解：∵某班共有學生40人，其中10月份生日的學生人數為8人，∴10月份生日學生的頻數和頻率分別為：8、＝0.2.故選：C.【點睛】此題考查了頻數與頻率，正確掌握相關定義是解題關鍵．8、D【分析】正確的命題是真命題，根據定義依次判斷即可.【詳解】在一個三角形中，至多有一個內角是鈍角，故A不是真命題；三角形的兩邊之和大于第三邊，故B不是真命題；在一個三角形中，至多有三個內角是銳角，故C不是真命題；在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線平行，故D是真命題，故選：D.【點睛】此題考查真命題的定義，正確理解真命題的定義及會判斷事情的正確與否是解題的關鍵.9、A【分析】先解二元一次方程組，然后討論腰長的大小，再根據三角形三邊關系即可得出答案．【詳解】解：解方程組，得，所以等腰三角形的兩邊長為2，1．若腰長為1，底邊長為2，由知，這樣的三角形不存在．若腰長為2，底邊長為1，則三角形的周長為2．所以，這個等腰三角形的周長為2．故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及解二元一次方程組，難度一般，關鍵是掌握分類討論的思想解題．10、B【分析】由點兩點（-1，y1）和（1，y1）的橫坐標利用一次函數圖象上點的坐標特征，可求出y1、y1的值，比較后即可得出結論．【詳解】∵一次函數y=-1x+3上有兩點（1，y1）和（-1019，y1），∴y1=-1×1+3=1，y1=-1×（-1019）+3=4041，∴y1<y1．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，利用一次函數圖象上點的坐標特征，求出y1、y1的值是解題的關鍵．11、C【解析】試題分析：如圖：∵直線l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，∴∠3=65°．故選C．考點：1．三角形內角和定理；2．對頂角、鄰補角；3．平行線的性質12、B【分析】根據方差的意義判斷．方差越小，波動越小，越穩(wěn)定．【詳解】解：∵，

∴成績較為穩(wěn)定的班級是乙班．

故選：B．【點睛】本題考查方差的意義，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．二、填空題（每題4分，共24分）13、y=30-4x【解析】試題解析：∵每小時耗油4升，

∵工作x小時內耗油量為4x，

∵油箱中有油30升，

∴剩余油量y=30-4x.14、9【分析】根據勾股定理求出AB，再利用相似即可求解.【詳解】∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠C=30°，又∵AD⊥AC，AD=3∴∠DAC=90°，CD=6勾股定理得AC=AB=3，由圖可知△ABD∽△BCA，∴BC=9【點睛】本題考查了勾股定理和相似三角形，屬于簡單題．證明相似是解題關鍵.15、2（m+4）（m﹣4）【解析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【詳解】原式＝2(m2﹣16)＝2(m+4)(m﹣4)，故答案為2(m+4)(m﹣4).【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．16、1【分析】用二季度的營業(yè)額÷二季度所占的百分比即可得到結論．【詳解】由扇形圖可以看出二季度所占的百分比為，所以該商場全年的營業(yè)額為萬元，答：該商場全年的營業(yè)額為1萬元.故答案為1．【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖，正確的理解扇形統(tǒng)計圖中的信息是解題的關鍵．17、【解析】試題分析：由點P在第二象限內，可知橫坐標為負，縱坐標為正，又因為點P到x軸的距離是4，到y(tǒng)軸的距離是3，可知橫坐標為-3，縱坐標為4，所以點P的坐標為（-3，4）．考點：象限內點的坐標特征．18、穩(wěn)定性【分析】釘在墻上的方法是構造三角形支架，因而應用了三角形的穩(wěn)定性．【詳解】這種方法應用的數學知識是：三角形的穩(wěn)定性，故答案為：穩(wěn)定性．【點睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，正確掌握三角形的這一性質是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、2.7米．【解析】先根據勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進而可得出結論．【詳解】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.2米，∴AB2＝0.72+2.22＝6.1．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝1.5米，BD2+A′D2＝A′B′2，∴BD2+1.52＝6.1，∴BD2＝2．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7米．答：小巷的寬度CD為2.7米．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．20、（1）；（2）．【分析】（1）兩邊同時乘最簡公分母可把分式方程化為整式方程來解答；（2）利用零指數冪、算術平方根的知識化簡，再根據實數的運算法則計算即可．【詳解】解：（1）去分母，得．去括號，得解得，經檢驗，是原方程的解；（2）【點睛】本題考查了實數的混合運算和解分式方程，熟悉相關性質，并對分式方程進行檢驗是解題的關鍵，．21、（1）y＝；（2），2；（3）見解析；（4）當x＜3時，y隨x的增大而減小，當x＞3時，y隨x的增大而增大；（5）x＜1．【分析】（1）把x＝1，y＝2代入y＝，即可得到結論；（2）求當x＝4時，當x＝5時的函數值即可得到結論；（3）根據題意畫出函數的圖象即可；（4）根據函數的圖象即可得到結論；（5）根據函數的圖象即可得到結論．【詳解】解：（1）把x＝1，y＝2代入y＝得：2＝，解得：k＝2，∴函數的解析式為：，故答案為：y＝；（2）當x＝4時，m＝＝，當x＝5時，n＝＝2；故答案為：，2；（3）如圖所示；描點并作圖，同時在同一坐標系內畫的圖像，（4）當x＜3時，y隨x的增大而減小，當x＞3時，y隨x的增大而增大；故答案為：當x＜3時，y隨x的增大而減小，當x＞3時，y隨x的增大而增大；（5）由圖象知，當＞x+1時，x＜1．【點睛】本題考查的是畫函數的圖像，以及根據圖像確定函數的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．22、（1）①全等，理由見解析；②cm/s；（2）經過s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．【分析】（1）①根據時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據SAS判定兩個三角形全等．②根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程＝速度×時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；（2）根據題意結合圖形分析發(fā)現：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應該比點P多走等腰三角形的兩個腰長．【詳解】（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm．∵AB=10cm，點D為AB的中點，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP(SAS)．②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴點P，點Q運動的時間s，∴cm/s；（2）設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，由題意，得x=3x+2×10，解得：，∴點P共運動了×3=80cm．△ABC周長為：10+10+8=28cm，若是運動了三圈即為：28×3=84cm．∵84﹣80=4cm＜AB的長度，∴點P、點Q在AB邊上相遇，∴經過s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．【點睛】此題主要是運用了路程＝速度×時間的公式．熟練運用全等三角形的判定和性質，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關系．23、（2）a＝2，b＝-2；（2）滿足條件的點C（2，2）或（2，-2）；（3）①證明見解析；②2．【分析】（2）可得(a?2)2+＝2，由非負數的性質可得出答案；

（2）分兩種情況：∠BAC=92°或∠ABC=92°，根據等腰直角三角形的性質及全等三角形的性質可求出點C的坐標；

（3）①如圖3，過點C作CL⊥y軸于點L，則CL=2=BO，根據AAS可證明△BOE≌△CLE，得出BE=CE，根據ASA可證明△ABE≌△BCF，得出BE=CF，則結論得證；

②如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，根據SAS可證明△CDE≌△CDF，可得∠BAE=∠CBF，由角平分線的性質可得CK=CH=2．【詳解】（2）∵a2?4a+4+＝2，

∴(a?2)2+＝2，

∵（a-2）2≥2，≥2，

∴a-2=2，2b+2=2，

∴a=2，b=-2；

（2）由（2）知a=2，b=-2，

∴A（2，2），B（-2，2），

∴OA=2，OB=2，

∵△ABC是直角三角形，且∠ACB=45°，

∴只有∠BAC=92°或∠ABC=92°，

Ⅰ、當∠BAC=92°時，如圖2，

∵∠ACB=∠ABC=45°，

∴AB=CB，

過點C作CG⊥OA于G，

∴∠CAG+∠ACG=92°，

∵∠BAO+∠CAG=92°，

∴∠BAO=∠ACG，

在△AOB和△BCP中，

，

∴△AOB≌△CGA（AAS），

∴CG=OA=2，AG=OB=2，

∴OG=OA-AG=2，

∴C（2，2），

Ⅱ、當∠ABC=92°時，如圖2，

同Ⅰ的方法得，C（2，-2）；

即：滿足條件的點C（2，2）或（2，-2）

（3）①如圖3，由（2）知點C（2，-2），

過點C作CL⊥y軸于點L，則CL=2=BO，

在△BOE和△CLE中，

，

∴△BOE≌△CLE（AAS），

∴BE=CE，

∵∠ABC=92°，

∴∠BAO+∠BEA=92°，

∵∠BOE=92°，

∴∠CBF+∠BEA=92°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BE=CF，

∴CF＝BC；

②點C到DE的距離為2．

如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，

由①知BE=CF，

∵BE=BC，

∴CE=CF，

∵∠ACB=45°，∠BCF=92°，

∴∠ECD=∠DCF，

∵DC=DC，

∴△CDE≌△CDF（SAS），

∴∠BAE=∠CBF，

∴CK=CH=2．【點睛】此題考查三角形綜合題，非負數的性質，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，坐標與圖形的性質，等腰三角形的性質，點到直線的距離，角平分線的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．24、（Ⅰ）甲旅行社：600，1200；乙旅行社：1000，1400；（Ⅱ）；；（Ⅲ）當時，選擇乙旅行社比較合算.【解析】（Ⅰ）根據甲、乙兩旅行社的優(yōu)惠方法填表即可；（Ⅱ）根據甲、乙兩旅行社的優(yōu)惠方法，找出甲旅行社收費y1，乙旅行社收費y2與旅游人數x的函數關系式；（Ⅲ）當時，根據（Ⅱ）的解析式，求出與的差，根據一次函數的增減性得出哪家旅行社合算．【詳解】解：（Ⅰ）老年人數量（人）51020甲旅行社收費（元）3006001200乙旅行社收費）（元）80010001400（Ⅱ）；；（Ⅲ）設與的差為y元.則，即，當時，即，得.∵，∴y隨x的增大而增大.又當時，∴當時，選擇乙旅行社比較合算.【點睛】本題考查一次函數的應用—方案選擇問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質和數形結合的思想解答．25、（1）甲種樹苗每棵的價格是30元，乙種樹苗每棵的價格是40元；（2）他們最多可購買11棵乙種樹苗．【分析】（1）可設甲種樹苗每棵的價格是x元，則乙種樹苗每棵的價格是（x+10）元，根據等量關系：用480元購買乙種樹苗的棵數恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數相同，列出方程求解即可；（2）可設他們可購買y棵乙種樹苗，根據不等關系：再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元，