2025屆湖南省株洲市名校數(shù)學(xué)八上期末考試試題含解析

2025屆湖南省株洲市名校數(shù)學(xué)八上期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，則AB的長是（）A．4 B．6 C．8 D．102．下列坐標(biāo)系表示的點(diǎn)在第四象限的是（）A． B． C． D．3．下列圖形選自歷屆世博會(huì)會(huì)徽，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．4．二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x≥﹣1 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠25．如圖，OP是∠AOB的平分線，點(diǎn)P到OA的距離為3，點(diǎn)N是OB上的任意一點(diǎn)，則線段PN的取值范圍為（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤36．等于（）A．2 B．-2 C．1 D．07．如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，則點(diǎn)D到AB的距離是()A．4 B．5 C．6 D．78．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()A．＝﹣3 B．(﹣)2＝2 C．÷＝2 D．＝±49．有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝∠C＝α，按下列方案用剪刀沿著箭頭方向剪開，所剪下的三角形紙片不一定是全等圖形的是（）A． B．C． D．10．下列各式中，計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=10°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：1．A．1 B．2 C．1 D．412．多多班長統(tǒng)計(jì)去年1～8月“書香校園”活動(dòng)中全班同學(xué)的課外閱讀數(shù)量（單位：本），繪制了如圖折線統(tǒng)計(jì)圖，下列說法正確的是（）A．極差是47 B．眾數(shù)是42C．中位數(shù)是58 D．每月閱讀數(shù)量超過40的有4個(gè)月二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，六邊形是軸對(duì)稱圖形，所在的直線是它的對(duì)稱軸，若，則的大小是__________．14．若分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以M、N為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線AO交BC于點(diǎn)D，若CD＝3，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PD的最小值為_____．16．已知a+b=3，ab=1，則a2+b2=____________．17．某童裝店銷售一種童鞋，每雙售價(jià)80元．后來，童鞋的進(jìn)價(jià)降低了4%，但售價(jià)未變，從而使童裝店銷售這種童鞋的利潤提高了5%．這種童鞋原來每雙進(jìn)價(jià)是多少元？（利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤率=）若設(shè)這種童鞋原來每雙進(jìn)價(jià)是x元，根據(jù)題意，可列方程為_________________________________________．18．把命題“三角形內(nèi)角和等于180°”改寫成如果，那么．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象為直線1．（1）觀察與探究已知點(diǎn)與，點(diǎn)與分別關(guān)于直線對(duì)稱，其位置和坐標(biāo)如圖所示．請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)的位置，并寫出的坐標(biāo)______．（2）歸納與發(fā)現(xiàn)觀察以上三組對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．（3）運(yùn)用與拓展已知兩點(diǎn)、，試在直線上作出點(diǎn)，使點(diǎn)到、點(diǎn)的距離之和最小，并求出相應(yīng)的最小值．20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=1．（1）求證：不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根．（2）若等腰△ABC的一邊長為2，另兩邊長恰好是方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長．21．（8分）如圖是由25個(gè)邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出以為斜邊的2個(gè)面積不同的直角三角形.（要求：所畫三角形頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）22．（10分）問題背景：（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：DE＝BD＋CE．拓展延伸：（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．請(qǐng)寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）實(shí)際應(yīng)用：（3）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－6，3)，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．23．（10分）（1）（2）解方程組：24．（10分）歡歡與樂樂兩人共同計(jì)算，歡歡抄錯(cuò)為，得到的結(jié)果為；樂樂抄錯(cuò)為，得到的結(jié)果為．式子中的a、b的值各是多少？請(qǐng)計(jì)算出原題的正確答案．25．（12分）如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，交于點(diǎn)．（1）如圖1，求證；（2）點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，．①如圖2，若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則與的數(shù)量關(guān)系是；②若點(diǎn)，，三點(diǎn)不共線，如圖3，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．26．是等邊三角形，作直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，直線交直線于點(diǎn)，連接．（1）如圖①，求證：；（提示：在BE上截取，連接．）（2）如圖②、圖③，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若，則__________．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】試題解析：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，又CD是高，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4cm，∵∠A=30°，∴AB=2BC=8cm，故選C．2、C【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中各象限點(diǎn)的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.在x軸上，不合題意；B.在第一象限，不合題意；C.在第四象限，符合題意；D.在第二象限，不合題意．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系各象限點(diǎn)的特征，熟練掌握平面直角坐標(biāo)各象限點(diǎn)的符號(hào)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3、B【解析】A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選B．4、B【分析】直接利用二次根式的定義得出x的取值范圍進(jìn)而得出答案．【詳解】解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．5、C【分析】作PM⊥OB于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM=PE，得到答案．【詳解】解：作PM⊥OB于M，∵OP是∠AOB的平分線，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì),屬于簡單題,熟悉角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6、C【解析】根據(jù)任何非0數(shù)的0次冪都等于1即可得出結(jié)論．【詳解】解:故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是零指數(shù)冪的性質(zhì),掌握任何非0數(shù)的0次冪都等于1是解決此題的關(guān)鍵．7、A【分析】作DE⊥AB于E，由角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)D到AB的距離DE=CD，根據(jù)已知求得CD即可．【詳解】解：作DE⊥AB于E．∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC-BD=10-6=1，∴點(diǎn)D到AB的距離DE=1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．8、B【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答得到答案．【詳解】A.，錯(cuò)誤；B.（﹣）2=2，正確；C.，錯(cuò)誤；D.，錯(cuò)誤；故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，仔細(xì)檢查是關(guān)鍵.9、D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、如圖1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝α+∠FEC，∠B＝∠C＝α，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝CE＝3是對(duì)應(yīng)邊，由AAS判定兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；D、如圖2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝α+∠FEC，∠B＝∠C＝α，∴∠FEC＝∠BDE，所以其對(duì)應(yīng)邊應(yīng)該是BE和CF，而已知給的是BD＝FC＝3，所以不能判定兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，注意三角形邊和角的對(duì)應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵．10、C【解析】根據(jù)平方根、立方根的運(yùn)算及性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、，故A錯(cuò)誤；B、，故B錯(cuò)誤；C、，故C正確；D、，故D錯(cuò)誤，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、立方根的運(yùn)算及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記運(yùn)算性質(zhì)．11、D【詳解】①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線.故①正確.②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=10°，∴∠CAB=60°.又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=10°，∴∠1=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正確.③∵∠1=∠B=10°，∴AD=BD.∴點(diǎn)D在AB的中垂線上.故③正確.④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=10°，∴CD=AD.∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD.∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD.∴S△DAC：S△ABC．故④正確.綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，，共有4個(gè)．故選D.12、C【解析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得出最大值和最小值，即可求得極差；出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是眾數(shù)；將這8個(gè)數(shù)按大小順序排列，中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；每月閱讀數(shù)量超過40的有2、3、4、5、7、8，共六個(gè)月．【詳解】A、極差為：83-28=55，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、∵58出現(xiàn)的次數(shù)最多，是2次，

∴眾數(shù)為：58，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、中位數(shù)為：（58+58）÷2=58，故本選項(xiàng)正確；

D、每月閱讀數(shù)量超過40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六個(gè)月，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C．二、填空題（每題4分，共24分）13、300°【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念可得∠AFC=∠EFC，∠BCF=∠DCF，再根據(jù)題目條件∠AFC+∠BCF=150°，可得到∠AFE+∠BCD的度數(shù)．【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是軸對(duì)稱圖形，CF所在的直線是它的對(duì)稱軸，∴∠AFC=∠EFC，∠BCF=∠DCF，∵∠AFC+∠BCF=150°，∴∠AFE+∠BCD=150°×2=300°，故答案為：300°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩邊的圖形能完全重合．14、x≠－2【解析】根據(jù)分式有意義的條件進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得：x+2≠0，解得：x≠-2，故答案為：x≠-2.【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知“分式的分母不為0”時(shí)分式有意義是解題的關(guān)鍵.15、3【解析】根據(jù)角平分線的作法可知，AD是∠BAC的平分線，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即可求解.【詳解】根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，垂線段最短可得PD最小=CD=3.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是基本作圖，解題關(guān)鍵是掌握角平分線的做法和線段垂直平分線的判定定理．16、7【解析】試題解析：故答案為7.17、【分析】由等量關(guān)系為利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤率=%，由題意可知童鞋原先的利潤率+5%=進(jìn)價(jià)降價(jià)后的利潤率．【詳解】解：根據(jù)題意，得；故答案為：．【點(diǎn)睛】列分式方程解應(yīng)用題與所有列方程解應(yīng)用題一樣，重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系，這是列方程的依據(jù)．18、有一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角；它們和等于180°【解析】試題分析：這個(gè)題是考察命題的定義的理解，所以知道題設(shè)和結(jié)論就可以寫出.考點(diǎn)：命題的定義，定理三、解答題（共78分）19、(1)（3，-2）；(2)（n，m）；(3)圖見解析,點(diǎn)到、點(diǎn)的距離之和最小值為【分析】（1）根據(jù)題意和圖形可以寫出的坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖形可以直接寫出點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）作點(diǎn)E關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接F，根據(jù)最短路徑問題解答.【詳解】（1）如圖，的坐標(biāo)為（3，-2），故答案為（3，-2）；（2）平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，m），故答案為（n，m）；（3）點(diǎn)E關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（-3,2），連接F角直線l于一點(diǎn)即為點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)到、點(diǎn)的距離之和最小，即為線段F，∵F，∴點(diǎn)到、點(diǎn)的距離之和最小值為.【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱的知識(shí)，畫關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，最短路徑問題，勾股定理關(guān)鍵是找到點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，由此解決問題.20、（1）證明見解析；（2）8或2．【解析】（1）求出根的判別式，利用偶乘方的非負(fù)數(shù)證明；（2）分△ABC的底邊長為2、△ABC的一腰長為2兩種情況解答.證明：（1）∵△=（k+3）2-12k=（k-3）2≥1，

∴不論k取何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)根；（2）當(dāng)△ABC的底邊長為2時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（k-3）2=1，解得k=3，方程x2-6x+9=1，解得x1=x2=3，故三角形ABC的周長為：2+3+3=8；當(dāng)△ABC的一腰長為2時(shí)，方程有一根為2，方程為x2-5x+6=1，解得x1=2，x2=3，故△ABC的周長為：2+2+3=2.故答案為2或8.“點(diǎn)睛”本題考查的是一元二次方程根的判別式、等腰三角形的性質(zhì)，一元二次方程總有實(shí)數(shù)根應(yīng)根據(jù)判別式來做，兩根互為相反數(shù)應(yīng)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系做，等腰三角形的周長應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．21、見解析【解析】根據(jù)勾股定理逆定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出一個(gè)直角邊分別為2,4的直角三角形或者作出一個(gè)直角邊都為的直角三角形即可【詳解】【點(diǎn)睛】考查勾股定理，在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.22、（1）證明見解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B(1，4)【分析】（1）證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明∠ABD=∠CAE，證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；

（3）根據(jù)△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答．【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD∵在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE即：DE＝BD＋CE（2）解：數(shù)量關(guān)系：DE＝BD＋CE理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，

∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，

∴∠ABD=∠CAE，

在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：如圖，作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，

由（1）可知，△AEC≌△CFB，

∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，

∴OF=CF-OC=1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（1，4）．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23、（1）；（2）【分析】（1）先化簡二次根式，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）利用加減消元法解方程組即可．【詳解】（1）原式=（2）①×2+②×3得，解得將代入①中，得所以方程組的解為【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的加減運(yùn)算及解二元一次方程組，掌握二次根式的化簡和加減消元法是解題的關(guān)鍵．24、（1），；（2）

【分析】根據(jù)由于歡歡抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中的a符號(hào)，得出的結(jié)果為，可知，于是；再根據(jù)樂樂由于漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)，得到的結(jié)果為，可知常數(shù)項(xiàng)是，可知，可得到，解關(guān)于的方程組即可求出a、b的值；把a(bǔ)、b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可知，由于歡歡抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中的a的符號(hào)，得到的結(jié)果為，那么，可得樂樂由于漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)，得到的結(jié)果為，可知即，可得，解關(guān)于的方程組，可得，；正確的式子：【點(diǎn)睛】本題主要是考查多項(xiàng)式的乘法，正確利用法則是正確解決問題的關(guān)鍵．25、（1）證明過程見詳解；（2）①；②結(jié)論成立，證明見詳解【分析】（1）先證明，得出對(duì)應(yīng)角相等，然后利用四邊形的內(nèi)角和和對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論；（2）①；由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件得出AM⊥BC，∠CAP＝30°，可得PB＝PC，由∠BPC＝120°和等腰三角形的性質(zhì)可得∠PCB＝30°，進(jìn)而可得AP＝PC，由30°角的直角三角形的性質(zhì)可得PC＝2PM，于是可得結(jié)論；②延長BP至D，使PD＝PC，連接AD、CD，根據(jù)SAS可證△ACD≌△BCP，得出AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，然后延長PM至N，使MN＝MP，連接CN，易證△CMN≌△BMP（SAS），可得CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，最后再根據(jù)SAS證明△ADP≌△NCP，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∵，∴，∴，在四邊形AEPD中，∵，∴，∴，∴；（2）①如圖2，∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠CAP＝∠BAC＝30°，∴PB＝PC，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，∴AP＝PC，∴AP＝2PM；故答案為：；②AP＝2PM成立，理由如下：延長BP至D，使PD＝PC，連接AD、CD，如圖4所示：則∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，∴△PCD是等邊三角形，∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，∴∠BCP＝∠ACD，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，延長PM至N，使MN＝MP，連接CN，∵點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，∴CM＝BM，∴△CMN≌△BMP（SAS），∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，∴∠NCP＝60°＝∠ADP，在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，∴△ADP≌△NCP（SAS），∴AP＝PN＝2CM；【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．26、（1）見解析；（2）圖②中，CE+BE=AE，圖③中，AE+BE=CE；（3）1.1或4.1【分析】（1）在BE上截取，連接，只要證明△AED≌△AFB，進(jìn)而證出△AFE為等邊三角形，得出CE+AE=BF+FE，即可解決問題；（2）圖②中，CE+BE=AE，延長EB到F，使BF=CE，連接，只要證明△ACE≌△AFB，進(jìn)而證出△AFE為等邊三角形，得出CE+BE=BF+BE，即可解決問題；圖③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，連接，只要證明△AEB≌△AFC，進(jìn)而證出△AFE為等邊三角形，得出AE+BE=CF+EF，即可解決問題；（3）根據(jù)線段，，，BD之間的數(shù)量關(guān)系分別列式計(jì)算即可解決問題．【詳解】（1）證明：在BE上截取，連接，

在等邊△ABC中，

AC=AB，∠BAC=60°

由對(duì)稱可知：AP是CD的垂直平分線，AC=AD，∠EAC=∠EAD，

設(shè)∠EAC=∠DAE=x．

∵AD=AC=AB，

∴∠D=∠ABD=（180°-∠BAC-2x）=60°-x，

∴∠AEB=60-x+x=60°．

∵AC=AB，AC=AD，∴AB=AD，∴∠ABF=∠ADE，∵，∴△AB