2020年上海新高一新教材數(shù)學(xué)講義-18 函數(shù)的應(yīng)用一教師版

專題18函數(shù)的應(yīng)用(1)

知識(shí)梳理

-：函數(shù)的零點(diǎn)

1.函數(shù)的零點(diǎn)

(1)一般地，如果函數(shù)y=/(x)在實(shí)數(shù)。處的值等于零，即/(a)=0,則。叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

要點(diǎn)詮釋：

①函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；

②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

③函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根.

④零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)(函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)穿過(guò)x軸，則稱這樣的零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)).

歸納：方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的零點(diǎn)

二次函數(shù)y=ar2+bx+c的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程ax2+bx+c=0的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.

判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)

△>0兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)

△=0兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)

A<0無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)

(3)二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)

①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)(不是二重零點(diǎn))，函數(shù)值變號(hào).

②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).

引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.

2.函數(shù)零點(diǎn)的判定

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理

如果函數(shù)y=/(x)在一個(gè)區(qū)間［。，句上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即

則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)/w(a,b),使/(/)=0,

這個(gè)％也就是方程/(x)=0的根.

要點(diǎn)詮釋：

①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但不能確定有幾個(gè).若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一

個(gè)；若不單調(diào)，則個(gè)數(shù)不確定.

②若函數(shù)/(尤)在區(qū)間［。,可上有/(力/(加>0,/(尤)在(“㈤內(nèi)也可能有零點(diǎn)，例如/食)=/在

［-1,1］±,/(x)=f—2x—3在區(qū)間卜2,可上就是這樣的.故/(x)在(a1)內(nèi)有零點(diǎn)，不一定有

③若函數(shù)/(x)在區(qū)間［。,以上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，/(x)在(a/)內(nèi)也可能是有零點(diǎn)，例如函

數(shù)/(x)=J+1在［-2,2］上就是這樣的.

(2)利用方程求解法

求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，先考慮解方程/(x)=0,方程/(x)=0無(wú)實(shí)根則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，方程/(x)=0有實(shí)根

則函數(shù)有零點(diǎn).

(3)利用數(shù)形結(jié)合法

函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x：的零點(diǎn)就是方程/(x)=g(x)的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與

y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

二：一元二次方程根的分布與方程系數(shù)的關(guān)系

(1)設(shè)xi、X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩實(shí)根，則X］、x2的分布范圍與一元二次方程的

系數(shù)之間的關(guān)系是：

A>0

①當(dāng)xt<x2<k時(shí),相<f(k)>0；

A>0

②當(dāng)k<Xi<X2時(shí)，有<m>o；

b

------>k

.2a

③當(dāng)Xl〈k<X2時(shí)，/（幻<0；

A>0

/(勺)>0

￡

④當(dāng)Xi，X2（A，④時(shí)，有，/(42)〉0

k,<-------<ky

2a-

⑤當(dāng)Xi、X2有且僅有一個(gè)在（ki，kz）H寸，有/*）/（左2）<0.

要點(diǎn)詮釋：

討論二次函數(shù)的根在區(qū)間的分布情況一般需從三方面考慮：①判別式；②區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)；

③對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置.當(dāng)匕0時(shí)，也就是一元二次方程根的零分布.

（2）所謂一元二次方程根的零分布，是指方程的根相對(duì)于零的關(guān)系.比如一元二次方程有一正根，有

一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說(shuō)這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè).

設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（”0）的兩個(gè)實(shí)根為h,x2,且看我Z.

A=/?2-4QC20

b八

①%>0,x2〉0o?Xj+%2=--->U；

a

c

=—>0

~a

A=/?2-4ac>0

h八

②玉<0,々<0<Xj+%2=---<0；

a

=—>0

-a

③玉<0<xo—<0；

2a

bh

④Xi=0,X2>0<=^C=0,且一<0；Xi<0,X2=0<=>c=0,且一>0.

aa

三：二分法

1.二分法

所謂二分法就是通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)

而得到零點(diǎn)近似值的方法.

2.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：

已知函數(shù)>=/(可定義在區(qū)間。上，求它在。上的一個(gè)零點(diǎn)X。的近似值X,使它滿足給定的精確度.

第一步：在。內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間使/(%)與/(d)異號(hào)，即/(%)?/(%)<(),零點(diǎn)位

于區(qū)間［4,4］中.

第二步：取區(qū)間［4,d］的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為

x()-4+g(4一q))=g(4+%)?

計(jì)算/W和/(4)，并判斷：

①如果/(題)=0,則%就是〃x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；

②如果則零點(diǎn)位于區(qū)間［%,?。葜校?。［=/，4=%0；

③如果/(%)?/(%o)>o，則零點(diǎn)位于區(qū)間［無(wú)o,%］中，令4=%,白=為

第三步：取區(qū)間［q，4］的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為

玉=6+；(4一4)=《(4+4)-

計(jì)算/a)和44),并判斷:

①如果〃玉)=0,則天就是/(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止;

②如果則零點(diǎn)位于區(qū)間［4,百］中，令%=4，4=%；

③如果>0,則零點(diǎn)位于區(qū)間［七,4］中，令4=不也=4；

繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間［a,,,。,』上，當(dāng)風(fēng)和々按照給定的精確

度所取的近似值相同時(shí),這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)y=.f(x)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止.這時(shí)函數(shù)y=/(x)的

近似零點(diǎn)滿足給定的精確度.

要點(diǎn)詮釋：

(1)第一步中要使：①區(qū)間長(zhǎng)度盡量??；②/3)、/(b)的值比較容易計(jì)算且/(a)/S)<0.

(2)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)和求相應(yīng)方程的根式等價(jià)的.對(duì)于求方程

/(x)=g(x)的根，可以構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-g(jc),函數(shù)F(x)的零點(diǎn)即為方程f(x)=g(x)的根.

例題解析

一、求函數(shù)的零點(diǎn)

例1.已知函數(shù)/(x)=(x+3)(x+l)(x—2).

(1)解方程(x+3)(x+D(x-2)=0；

(2)1B1出函數(shù)/(x)=(x+3)(x+l)(x—2)的圖象(簡(jiǎn)圖)，并求出函數(shù)/(x)=(x+3)(x+l)(x—2)的

零點(diǎn)；

(3)討論函數(shù)/@)=。+3)(尤+1)。一2)在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值的正負(fù).I

【解析】(1)方程有三個(gè)根X1=—3,X2=—1，X3=2.Q/AII

2;

(2)函數(shù)f(x)=(x+3)(x+I)(x—2)的圖象如右圖，零點(diǎn)為一3,—1,2./-V\

(3)由函數(shù)的圖象可以直觀地看出，在函數(shù)/(x)=(x+3)(x+l)(x—2)的零點(diǎn)一3左側(cè)的

函數(shù)值為負(fù)，在零點(diǎn)一3的右側(cè)與零點(diǎn)一1的左側(cè)的函數(shù)值為正，零點(diǎn)一1的右側(cè)與零點(diǎn)2的左側(cè)的函數(shù)值

為負(fù)，零點(diǎn)2右側(cè)的函數(shù)值為正.

【總結(jié)升華】(1)方程(x+3”+D(x—2)=0左邊是三個(gè)因式的積的形式，只要有一個(gè)因式為0,方程就成

立，所以x+3=0或x+l=0或x-2=0,所以x=-3或x=-l或x=2；

(2)可以用描點(diǎn)的方法畫(huà)出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖；

(3)在x軸的上方，縱坐標(biāo)為正，相應(yīng)的函數(shù)值就為正；在x軸的下方，縱坐標(biāo)為負(fù)，相應(yīng)的函數(shù)值

就為負(fù).

舉一反三：

【變式1]已知函數(shù)/(x)=(x-a)(x-〃)+l(a<Z?),且m,"是方程/(x)=0的兩個(gè)根則

實(shí)數(shù)a、b、m、"的大小關(guān)系可能是()

A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.m<a<n<bD.a<m<b<ny]

【答案"

I、也-/l

【解析】由函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+\,我們可以看到a、b為g(x)=(x-。)(％-。)的叩\「￡

零點(diǎn)，且/(〃)=/(〃)=1>0=/(〃)=)(加)，如右圖，則應(yīng)有aVmVaVb,故選B.:

例2.若一次函數(shù)/(%)二依+方有一個(gè)零點(diǎn)2,那么函數(shù)g(x)=ar+&2的零點(diǎn)是.

【思路點(diǎn)撥】由題意可知，2a+h=0,即氏一2〃；代入并令g(x)=0解得戈=0或1=；.

【答案】0,L

2

【解析】??,一次函數(shù)/(X)=以+方有一個(gè)零點(diǎn)2,

2a+b=0,即b=~2a；

???令g(x)=ax+Zzr2=ax-2ax1=ar(l-2x)=0,

解得，x=0或x=L

2

故答案為：0,—.

2

【總結(jié)升華】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系.

舉一反三：

【變式1】求函數(shù)：(l)y=-%2-2%+3；(2)y=d-7x+6的零點(diǎn).

【答案】(1)-3,1；(2)-3,1,2.

【解析】(1)由求根公式解得%=1,/=-3.

⑵方程丁一7》+6=0可化為

x3_6x-x+6=x(d-l)-6(x-l)=x(x+l)(x-l)-6(x-l)

=+x-6)=(%-l)(x-2)(%+3)=0

由(x-l)(x-2)(x+3)=0知％=-3,X2=1,毛=2.

所以函數(shù)y=-d—2x+3的零點(diǎn)為-3,1；函數(shù)y=-7x+6的零點(diǎn)為-3,1,2.

【總結(jié)升華】三次因式分解的關(guān)鍵是，裂項(xiàng)后的兩組分別要有公因式可提取，函數(shù)求零點(diǎn)的題目和解

方程的題目可相互轉(zhuǎn)化.

二、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理

例3.己知函數(shù)/(x)=3*-d,問(wèn)：方程/(x)=0在區(qū)間［—1,0］內(nèi)有沒(méi)有實(shí)數(shù)根？為什么？

【答案】沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【解析】先求出了(一1)及/(0)的值，進(jìn)而確定了(—I)和/(0)的符號(hào)，當(dāng)它們其中一個(gè)值小于零另一

個(gè)值大于零時(shí)，便可確定/(x)在［—1,0］匕有實(shí)數(shù)根.

2

/(-1)=3-'-(-1)2=--<0,

/?(0)=3°-()2=1>0,

且函數(shù)F(x)=3'—V的圖象是連續(xù)曲線，

/(x)在區(qū)間［一1,0］內(nèi)有實(shí)數(shù)根

【總結(jié)升華】利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可以判斷方程/(x)=0在某區(qū)間內(nèi)是否有實(shí)數(shù)根，是利用計(jì)

算機(jī)求方程近似根的重要依據(jù)，因此必須熟練掌握這個(gè)定理.需要注意的是，方程/(x)=0在區(qū)間司內(nèi)

有實(shí)數(shù)根,不一定有_/(a>/S)<0.

舉一反三：

【變式11判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)：

(1)/(x)=x2—3x—18,XG［1,8］;

(2)/(x)=x3—x—1,XG［—1,2］；

(3)/(x)=log2(x+2)—x,xe［1,3］.

【答案】(1)存在；(2)存在；(3)存在.

【解析】(1)/(1)=-20<0,/(8)=22>0,

故/(x)=%2-3x78在［1,8］上存在零點(diǎn).

⑵/(-1)=-1<0,A2)=5>0,

故/(幻=/7_1在區(qū)間［T,2］上存在零點(diǎn).

(3)/(1)=log,3-1>log22-l=0,/(3)=log25-3<Iog28-3=0.

y(i)-/(3)<o.

故/(x)=log2(x+2)—X在區(qū)間［1,3］上存在零點(diǎn).

【變式2】若函數(shù)/(x)=V+3x—l,xe［—1,1］,則下列判斷正確的是()

A.方程f(x)=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)一定有解

B.方程/(x)=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)一定無(wú)解

C.函數(shù)/(x)是奇函數(shù)

D.函數(shù)/(x)是偶函數(shù)

【答案】A

三、一元二次方程根的分布

例4.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+l=0.

（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（一1,0）和（1,2）內(nèi)，求機(jī)的取值范圍.

（2）若方程兩根均在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求利的取值范圍.

【答案】（1）（2）.

622

【解析】（1）條件說(shuō)明函數(shù)丁=/+27噂+2加+1的零點(diǎn)在區(qū)間（-1,0）和（L2）內(nèi)，由圖1可知,

mGR

1

/(-D=2>0m<——

/(0)=2/77+1<02

1?

川)=4機(jī)+2<0m<——

2

,/(2)=6m+5>0

5

m>——

6

62

/（0）>0

（2）???函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（0,1）內(nèi)，由圖2知必有J'"）,。

A>0

0<-m<1

1

m>—

2

m>1+V2或m<1—5/2

-1<m<0

---<77?<1-A/2.

2

【總結(jié)升華】本例兩個(gè)小題均可以用解方程的方法求解，但很繁瑣，而利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象求解就

變得非常直觀簡(jiǎn)捷.“方程與函數(shù)思想""數(shù)形結(jié)合思想”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要思想，解題中要注意應(yīng)用.

舉一反三:

【變式11關(guān)于x的方程ox2-2（a+l）x+o-l=0,求a為何值時(shí):

（1）方程有一根；

（2）方程有一正一負(fù)根；

（3）方程兩根都大于1；

（4）方程有一根大于1,一根小于1.

【答案】（1）。=0或。=一，（2）0<?<1（3）不存在實(shí)數(shù)。（4）a>0

3

【解析】（1）當(dāng)。二0時(shí)，方程變?yōu)?2*—1=0,BPx=--,符合題意；

2

當(dāng)QW0時(shí)，方程為二次方程，因?yàn)榉匠逃幸桓?，所以A=12a+4=0,解得。=-1.綜上可知，當(dāng)。=0

3

或。=一1時(shí)，關(guān)于X的方程ox2—2（a+l）x+a-1=0有一?根.

3

（2）因?yàn)榉匠逃幸徽回?fù)根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得

—<0.又A=12a+4>0,解得0<a<l.

a

（3）方程兩根都大于1,圖象大致如圖

所以必須滿足

①

6F>0,6Z<0,

A>0,A>0,

2(a+l),或，23+1）兩不等式組均無(wú)解

———->1,

2a2a

1/(1)>0../(1)<0.

所以不存在實(shí)數(shù)。，使方程兩根都大于L

（4）因?yàn)榉匠逃幸桓笥?,一根小于1,圖象大致如圖

a>0,

所以必須滿足《或解得”>0.

1/（1）<01/(1)>0

類型四、用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值

例5.（2016河南許昌月考）已知函數(shù)/（x）=2x3—x2—3x+l.

（1）求證：/（%）在區(qū)間（1,2）上存在零點(diǎn)；

（2）若/（x）的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)近似值如表格所示，請(qǐng)用二分法計(jì)算f（x）=0的一個(gè)近似解

（精確到0.1）.

f<1)-1f<1.5)-1f(1.25)-0.40625

f(1.375)-0.18359f(1.3125)--0.1381Sf(1.34375)-0.01581

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可判斷.

（2）由二分法的定義進(jìn)行判斷，根據(jù)其原理一一零點(diǎn)存在的區(qū)間逐步縮小，區(qū)間端點(diǎn)與零點(diǎn)的值

越接近的特征選擇正確答案.

【答案】（1）略；（2）1.3

【解析】(1)證明：???/(x)=2x3—》2-3%+1,

：.f(1)=-1<0,f(2)=7>0,

⑴?/⑵=-7<0

且/(%)=2/一%2一31+1在(1,2)內(nèi)連續(xù)，

所以/G）在區(qū)間（1,2）上存在零點(diǎn):

(2)由(1)知/(幻=2/一d-3x+l在(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，

由表知，/(1)=-1>/(1.5)=1,

/./(I)?/(1.5)<0,.V(x)的零點(diǎn)在(1,1.5)上，

V/(1.25)=-0.40625,，/(1.25)?/(1.5)<0,：.f(x)的零點(diǎn)在(1.25,1.5)上，

V/(1.375)=0.18359,.*./(1.25)?/(1.375)<0,：.f(x)的零點(diǎn)在(1.25,1.375)上;

V/(1.3125)=-0.31818,/./(1.3125)?/(1.375)<0,：.f(x)的零點(diǎn)在(1.3125,1.375)上，

V/(1.34375)=0.01581,(1.3125)(1.34375)<0,：.f(x)的零點(diǎn)在(1.3125,1.34375)上,

由于I1.34375-1.3125I=0.03125<0,且1.3125=1.3,1,34375十1.3,

所以/(x)=0的一個(gè)精確到0.1的近似解是1.3.

【總結(jié)升華】本題考查二分法求方程的近似解，求解關(guān)鍵是正確理解掌握二分法的原理與求解步驟，

根據(jù)其原理得出零點(diǎn)存在的區(qū)間，找出其近似解，屬于基本概念的運(yùn)用題.

舉一反三：

【變式1】若函數(shù)/(幻=尤3+%2-2%—2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值

用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：

f(1)=-2f(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

/(1.375)=-0.260/(1.4375)=0.162f(1.40625)=一

0.054

那么方程/+了2-2%—2=0的一個(gè)近似根(精確至U0.1)為()

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【答案】C

【變式2】設(shè)/(x)=3'+3x—8,用二.分法求方程3、+3x—8在xe(1,2)內(nèi)近似解的過(guò)程中得/(1)

<0,/(1.5)>0,/(1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能確定

【思路點(diǎn)撥】由已知“方程3*+3%—8=0在xG(1,2)內(nèi)近似解“，且具體的函數(shù)值的符號(hào)也已確定，

由/(1.5)>0,/(1.25)<0,它們異號(hào).

【答案】B

【解析】V/(1.5)?/(1.25)<0,

由零點(diǎn)存在定理，得，

方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5).

故選B.

【總結(jié)升華】二分法是求方程根的一種算法，其理論依據(jù)是零點(diǎn)存在定理：

一般地，若函數(shù)尸/(x)在區(qū)間口，句上的圖象是一條不間斷的曲線，月J(“)f3<0,則函數(shù)產(chǎn)于

(x)在區(qū)間(。，b)上有零點(diǎn).

類型五、用二分法解決實(shí)際問(wèn)題

例6.某電腦公司生產(chǎn)A種型號(hào)的筆記本電腦，2006年平均每臺(tái)電腦生產(chǎn)成本5000元，并以純利潤(rùn)20%

標(biāo)定出廠價(jià).從2007年開(kāi)始，公司更新設(shè)備，加強(qiáng)管理，逐步推行股份制，從而使生產(chǎn)成本逐年降低，2010

年平均每臺(tái)A種型號(hào)的筆記本電腦盡管出廠價(jià)僅是2006年出廠價(jià)的80%,但卻實(shí)現(xiàn)了純利潤(rùn)50%的高效益.

(1)求2010年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本；

(2)以2006年的生產(chǎn)成本為基數(shù)，用二分法求2006?2010年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分率(精確

到0.01)

【答案】(1)3200；(2)11%

【解析】(1)設(shè)2010年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為P元,根據(jù)題意，得P(l+50%)=5000x(l+20%)x80%,解

得P=3200(元).

故2010年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為3200元.

(2)設(shè)2006?2010年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分率為X,根據(jù)題意，得5000(1-X)4=3200(0<X<1),

令/(x)=5000(l—xf-3200,作出x,f(x)的對(duì)應(yīng)值表：

X00.10.150.20.30.45

180080.5—590-1153-2000-2742

觀察上表，可知說(shuō)明此函數(shù)在區(qū)間(0.1,0.5)內(nèi)有零點(diǎn)xO.取區(qū)間(0.1,0.15)的

中點(diǎn)Xi=0.125,可得/(0.125)=-269.因?yàn)?(0.125”(0.1)VO,所以%w(0.1,0.125).再取(0.1,0.125)

的中點(diǎn)X2=0.1125,可得〃0.1125)=-98.因?yàn)?(0.1>/(0.1125)<0,所以刈『0.1,0.1125).

同理可得,e

xoe(O.l,0.10625),%o(0.103125,0.10625),x0G(0.104687,0.10625),x0G(0.10546875,

0.10625),由于［0.10546875—0.10625|<0.01,所以原方程的近似解為0.11.故2006?2010生產(chǎn)成本平均

每年降低的百分率為11%.

舉一反三:

【變式1】如右圖所示，有一塊邊長(zhǎng)為15cm的正方形鐵皮，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的小

正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子.

(1)求出盒子的體積y(cm3)以x(cm)為自變量的函數(shù)解析式，并討論這個(gè)函數(shù)的定義域;

(2)如果要做成一個(gè)容積是150cm3的無(wú)蓋盒子，那么截去的小正方形的邊長(zhǎng)x是多少？(精確到0.1

cm)

【答案】(1)y=x(15-2x)20<x<7.5(2)0.8cm或4.7cm

【解析】(1)由題意，盒子的體積y以x為自變量的函數(shù)解析式片x(15—2x「，其

x>0

定義域?yàn)?,即0<x<7.5.

15-2x>0

(2)原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)y=150時(shí)，求方程x(15-2x尸=150的近似解.

設(shè)g(x)=x(15-2x)2-150,由于g(0>g6<0且g⑷g⑸<0.所以方程在(0,1),(4,5)內(nèi)各有一根，

在區(qū)間(0,1)內(nèi)的近似解為0.8,其逼近區(qū)間為(0.8125,0.875),S.10.8125-0.8751=0.0625<0.1；在區(qū)

間(4,5)內(nèi)的近似解為4.7,其逼近區(qū)間為(4.625,4.6875),且［4.626—4.6875|=0.0625<0.1.所以截去

的小正方形的邊長(zhǎng)是0.8cm或4.7cm.

【鞏固練習(xí)】

1.已知函數(shù)/(》)=/一》一1僅有唯一個(gè)正零點(diǎn)，則此零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

2.有兩個(gè)互為相反數(shù)的零點(diǎn)的函數(shù)()

A.只能是偶函數(shù)B.可以是奇函數(shù)C.可以是增函數(shù)D.可以是減函數(shù)

3.若不等式0?+2以—4<2/+4x對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(-2,2]C.(-8,-2)U[2,°°)D.(°°,2J

4.設(shè)函數(shù)/(同=k+法+c是卜1,1］上的增函數(shù)，且/1―則方程f(x)=O在卜1,

1］內(nèi)()

A.可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根B.可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根C.有唯一的實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

5.關(guān)于"二分法”求方程的近似解，說(shuō)法正確的是()

A."二分法"求方程的近似解一定可將y=/(x)在［a,句內(nèi)的所有零點(diǎn)得到；

B."二分法”求方程的近似解有可能得不到y(tǒng)=f(x)在［a,b］內(nèi)的零點(diǎn)；

C.應(yīng)用"二分法"求方程的近似解，y4(x)在［a,b］內(nèi)有可能無(wú)零點(diǎn)；

D."二分法"求方程的近似解可能得到/(x)=0在［a,b］內(nèi)的精確解.

6.若函數(shù)/(x)=Y+x2—2%一2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下:

/(1)=-2/(I.5)=0.625f(1.25)=-

0.984

/(1.375)=-/(1.4375)f(1.40625)=

0.260=0.162-0.054

那么方程了3+/一2%一2=0的一個(gè)近似根(精確到0.1)為()

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

7.如圖，下列函數(shù)圖象與X軸均有交點(diǎn)，但不宜用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是()

ABCD

8.設(shè)內(nèi)是方程/一（左―2）x+（3+3左+5）=0的兩個(gè)根，則玉2+92的最大值等于（）

A.19B.18C.17D.16

2-|x|,X<2,

9.已知函數(shù)={,函數(shù)g(9=6/2—>,其中beR,若函數(shù)

(x-2)~,x>2,

y=f(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則}的取值范圍是

A.6,+8）B.（VC.D.與2）

10.已知函數(shù)/（幻=［"一°""1有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

ln（l-x）,x<1

II.若方程_?+了一。=0在（1,2）內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

12.關(guān)于x的方程x+lgx=3,x+10*=3的根分別為王,%，則為+工2的值為.

13.設(shè)函數(shù)g（x）=-6J?—13f—12x—3.

（1）證明：g（x）在區(qū)間（-1,0）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）借助計(jì)算器，求出g（X）在區(qū)間（-1,0）內(nèi)零點(diǎn)的近似解.（精確到0.1）

14.已知函數(shù)/'（x）=/+以+1,其中“GR,且“W0

（I）設(shè)/?（x）=（2x-3?（x）,若函數(shù)產(chǎn)〃（x）圖象與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試求a的取值集合;

（H）求函數(shù)產(chǎn)"（x）I在［0,1］上最大值.

15.設(shè)二次函數(shù)/（幻=分2+陵+。滿足/（—1）=（）,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有/（x）—x20,并且當(dāng)x

e(0,2)時(shí),f(x)<(----)2.

（1）求/（1）的值;

(2)求證：a>0,c>0；

(3)當(dāng)xG(―1,1)時(shí)，函數(shù)g(x)-f(%)—mx,mWR是單調(diào)的，求力的取值范圍.

1.【答案】C

【解析】由題意，可知f(0)=-l<0,f(l)=-l<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0,故選C.

2.【答案】B

【解析】增函數(shù)與減函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，而奇函數(shù)和偶函數(shù)都可能有兩個(gè)互為相反數(shù)的零點(diǎn)，故

選B.

3.【答案】B

分析：將原不等式整理成關(guān)于x的二次不等式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決即可，注意對(duì)二次項(xiàng)

系數(shù)分類討論

【解析】不等式6a2+2,優(yōu)一4<2d+4x,可化為(a—2)》2+2(a—2)x—4<0,

當(dāng)。-2=0,即”=2時(shí)，恒成立，合題意.

fa-2<0

當(dāng)。一270時(shí)，耍使不等式恒成立，需《，解得一2<。<2.

A<0

所以”的取值范圍為(-2,2］.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.

4.【答案】C

【解析】/(X)在卜1,1］上是增函數(shù)且/(g)<0

.?"(x)=0在上有唯一實(shí)根

二/(￡)=0在1：1,1］上有唯一實(shí)根.故選c.

5.【答案】D.

【解析】由二分法的概念知D正確.

6.【答案】C

【解析】由/⑴力1.5)<0，則又，(1片巨盧1)/.(/)(匕，則

xe(l.25,),又/(1.?/A,?=7,5)?/(1，則xe(l.3力，又

/(1?-3)5j7卜7-5)?/(1.，又

/(--——鼻~~1—f'.=，則xe(1.40625,1.4375),故選C.

7.【答案】B

【解析】用二分法只能求變號(hào)零點(diǎn)，選項(xiàng)B中的零點(diǎn)為不變號(hào)零點(diǎn)，不宜用二分法求解.故選B.

8.【答案】B

【解析】由須,9是方程爐一也-2)x+(k2+3%+5)=0的兩個(gè)根，

,4

.-.A=-3fc2-16)t-16>0,解得一4《女<一一

3

%|~+/2=(5+w)2—2%巧=(k—2)2—2(k~+3k+5)=—(k+5)?+19,

當(dāng)％=—4時(shí)，內(nèi)2+々2取得最大值18.

9.【答案】D

【解析】先畫(huà)出f(x)圖象，。=0時(shí)，函數(shù)g(x)=-/(2—x)與/(x)的圖象的關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心

對(duì)稱，如圖所示：

7

由題意，將g(x)=-/(2-x)向上平移與/(x)相交，容易求出：當(dāng)6=工時(shí)一，曲線y=g(x)的4G段

與/(x)的DE段相切，0國(guó)ED,此時(shí)/(x)與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)；g(x)繼續(xù)向上平移，/(x)與g(x)有

四個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)6=2時(shí)，圖中g(shù)(x)的4a段與/(X)的DF段重合，此時(shí)/3)與g(x)有無(wú)窮多

個(gè)公共點(diǎn).

綜上，滿足條件的范圍是.

故選：D.

20.【答案】口，+8)

【解析】當(dāng)x<l時(shí)，令I(lǐng)n(x-1)=0解得x=0,故/(x)在(一8,1)上有1個(gè)零點(diǎn),

：.f(x)在口，+8)上有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x》l?時(shí)，令6-。=0得。.

實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,+8).

故答案為［1,+°°).

1L【答案】(2,10)

…一”0,所

【解析】設(shè)函數(shù)/(x)=V+x—a.易證明/(x)是R上的增函數(shù)，依題意，得<

[/⑵=10-a>0.

以2<。<10.

12.【答案】3

【解析】在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出/(x)=10',g(x)=lgx,/x)=3—x的圖象，觀察可得.

13.【答案】-0.4

0(-1)=2>0

【解析】解：(1)設(shè)g(見(jiàn))=0，由(；；())[3<0,推出/e(T，0)'

所以g(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).

>(-0.5)>0g(-0.25)<0

(2)由<x0G(-0.5,0)：xoe(―0.5,—0.25)；

方(0)=-3<0g(-0.5)>0

g(—0.375)<0

=>x0G(-0.5,-0.375)；

g(—0-5)>0

g(—0.4375)>0

由《=>xe(-0.4375,-0.375),所以與。-0.4.

g(—0.375)<0o

a+2,-l<a<?；騛>0

13

14.【答案】(I){——,—2,2)；(H)=<1,—3<cz<—1

6

—CL—2,Q<一3

【解析】(I)(1)若/(x)=0恰有一解，且解不為g,

即。2—4=0,解得a=±2；

3

(2)若/a)=o有兩個(gè)不同的解，且其中一個(gè)解為彳，

93

代入得一+—。+1=0，

42

解得CL=..-,檢驗(yàn)滿足/>0；

6

綜上所述，〃的了取值集合為{--,-2,2).

6

(II)(1)若一即時(shí)，

2

函數(shù)y="(x)I在[0,1]上單調(diào)遞增，

故Nn1ax=/(l)=2+a；

(2)若0<—@<1,即一2<aV0時(shí)，

2

此時(shí)△=/一4<0,且/(x)的圖象的對(duì)稱軸在(0,1)上，且開(kāi)口向上；

Q+2,Q2—1

故Wax=max"(0),./1⑴}=max{l,a+2}={.

(3)若一區(qū)21,即aW—2時(shí)，

2

此時(shí)/⑴=2+〃W0,=max{/(0),-/(I)}=max{1,-2)=J1，^-3，

-a-2,a<-3

。+2,-1<Q<0或。>0

綜上所述，,max=<L-3<6f<-l

—u—2,Q<-3

X+1

15.分析：(1)由可得/(1)Wl,由J(x)—x20可得/(1)21,故有(1)=1.

(2)/(x)-x20恒成立，可得媒>0,且f(0)—020恒成立，從而得到c20.

m—n—ctn—CL-C

(3)由題意得，g(x)的對(duì)稱軸在區(qū)間(一1,1)的左邊或右邊，即4—1,或21,

2a2a

解出的取值范圍.

【答案】(案1；(2)證明詳見(jiàn)解析；(3)(—8,c-a]U[3a+c,+~)

【解析】(1)?二次函數(shù)/(%)=。1?+加+。滿足/(一1)=0函數(shù)/(x)=4ZX2+(?+c)x+c.

x+I

?..當(dāng)XG(0,2)時(shí)，f(x)<(^-)2-'/(I)Wl.

又對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有/G)-x^o,/./(I)-120,/(I)21,故/(I)=1.

(2)由題意得，/(%)—%=以2+(a+c—l)x+cNO恒成立，.*.?>0,且/(0)—020恒成立,

???。20.

綜上，a>0,c20.

(3)^(x)=f(x)—mx=ax2+(a+c—tn)x+c,當(dāng)無(wú)￡(—1,1)時(shí)，g(x)是單調(diào)的，

m-a-c,、、m—a—c、，__、

<-1,或>1?,"zWc—4,或1N加23〃+c,

2a------------2a

故機(jī)的取值范圍為(-8,c—a]U[3a+Ci+°°).

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解分式不等式，正確使用題中條件是解題的關(guān)鍵.

課后練習(xí)

1.函數(shù)/(%)=-%2-3%+4的零點(diǎn)是().

1

A.1,4B.-4,1C.--,1D.一,-1

44

函數(shù)y='A2"-/的定義域是(

2.)

x—2

A.{x|-l<x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|-l<x<3}D.{x|-l<x<3,JSx^2}

3.若方程(Z—l)f—2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

4444

A.k<—B.k>—C.k<—，且kwlD.k>一，且kwl

3333

4.已知函數(shù)/(x)=d一2爐+2有唯一零點(diǎn)，則下列區(qū)間必存在零點(diǎn)的是()

D

A-12，-|)B-H，-0C-GV)-〔同

5.關(guān)于“二分法"求方程的近似解，說(shuō)法正確的是()

A."二分法"求方程的近似解一定可將y=/(x)在[。，句內(nèi)的所有零點(diǎn)得到；

8."二分法”求方程的近似解有可能得不到片f(x)在[a,句內(nèi)的零點(diǎn)；

C.應(yīng)用"二分法”求方程的近似解，y=/(x)在9，句內(nèi)有可能無(wú)零點(diǎn)；

D."二分法”求方程的近似解可能得到/(x)=0在[a,團(tuán)內(nèi)的精確解.

6.關(guān)于x的方程3*="+2。在(-8,I]上有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[-2,-1)U(0,1]B.[-3,-2)U[0,I]

C.[-3,-2)U(0,1]D.L-2,-1)U[0,1]

7.設(shè)函數(shù)/(xh/+fex+c是卜I,1]上的增函數(shù)，且則方程〃x)=o在卜1,

1]內(nèi)()

A.可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根B.可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根C.有唯一的實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

8.若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若/(a)f(b)>