2022-2023學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)通關(guān)練第十三章 軸對稱(提高卷)(含詳解)

2022-2023學(xué)年人教版八年級上冊期末真題單元沖關(guān)測卷（提高卷）

第十三章軸對稱

試卷滿分：100分考試時間：120分鐘

姓名：班級：學(xué)號：

題號—?二三總分

得分

第I卷（選擇題）

評卷人得分

選擇題（共7小題，滿分14分，每小題2分）

1.（2分）（2020春?廣饒縣期末）已知三個城鎮(zhèn)中心A、B、C恰好位于等邊三角形的三個頂點處，在A、

3、C鋪設(shè)光纜，四種方案中光纜最短的是（）

2.（2分）（2019秋?瓊山區(qū)校級期末）如圖，在A4SC中，點A、B、C的坐標(biāo)分別為（皿0）、（0,1）和（3,2）,

則當(dāng)A45c的周長最小時，的值為（）

A.0B.1C.2D.3

3.（2分）（2019秋?海倫市期末）如圖，分別以AABC的邊43,AC所在直線為對稱軸作AABC的對稱圖

形AA皮）和AACE,ZfiAC=150°,線段3。與CE相交于點O,連接BE、ED、DC、OA,有如下結(jié)論:

①N￡AD=90。；②ZBOE=60°;③。4平分ZBOC；其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

4.（2分）（2020春?黃陂區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4（1,5）,8（4,1）,,D（m-3,-m+4）,

當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時，則機(jī)的值為（）

A.y/2B.-C.2D.3

2

5.（2分）（2019秋?吳興區(qū)期末）線段45上有一動點C（不與A,3重合），分別以AC,3c為邊向上作

等邊A4cM和等邊ABC7V,點。是MN的中點，連結(jié)BD,在點C的運(yùn)動過程中，有下列結(jié)論：①

△48?？赡転橹苯侨切?；②A43D可能為等腰三角形；③△CM7V可能為等邊三角形；④若48=6,則

AQ+%）的最小值為3".其中正確的是（）

C.①③④D.②③④

6.（2分）（2018秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點例、N,使N/W8V=30。.若

AM=m,MN=x,CN=n,則以x,m,"為邊長的三角形的形狀為（

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨x,加，〃的值而定

7.（2分）（2018春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，NABC=30。，點。、E分別在射線8C、54上，且瓦）=2,

BE=4,點、M、N分別是射線84、8c上的動點，當(dāng)+MV+NE最小時，（ZW+MN+NE）?的值

A.20B.26C.32D.36

第n卷（非選擇題）

評卷人得分

填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

8.（2019秋?拱墅區(qū)校級期末）如圖，AD,8E是等邊A48C的兩條高線，AD,BE交于點O,則N4O8=

9.（2020春?渭濱區(qū)期末）如圖，四邊形/W8中，ZB=ZD=90°,ZC=50°,在8C、8邊上分別找到

點、M、N,當(dāng)AAMN周長最小時，NAMN+N/VW的度數(shù)為.

10.（2020春?包頭期末）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊4?為邊作等邊AMD,連接8,以DC為

邊作等邊

△DCE,B,E在C￡＞的同側(cè)，若AB=4員,龐:的長為.

11.（2020春?鄲都區(qū)期末）如圖，在AABC中，AB=AC,BC=6cm,AO是AABC的中線，且相＞=5。??,

則MBC的面積為

BD

12.(2018秋?越秀區(qū)期末)如圖，在邊長為2的等邊AAfiC中，。是的中點，點E在線段AO上，連結(jié)

BE,在BE的下方作等邊AfiEF,連結(jié)￡)F.當(dāng)AZ?尸的周長最小時，的度數(shù)是.

13.(2016秋?羅湖區(qū)校級期末)如圖，己知平面直角坐標(biāo)系中，A,3兩點的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-l).

(1)若。是x軸上的一個動點，則AftW的最小周長為—;

(2)若C(a,0),。(〃+3,0)是x軸上的兩個動點，則當(dāng)。=時，四邊形A3OC的周長最小.

14.(2016春?金堂縣期末)如圖，在五邊形中，已知Nfi4E=120。，Zfi=Z￡=90°,AB=BC=2,

AE=DE=4,在BC、DE上分別找一點M、N,則AAAW的最小周長為.

15.(2020春?武昌區(qū)期末)如圖，在等邊AA8c和等邊AZ)所中，AD在直線4c上，BC=3DE=3,連接

BD,BE,則比＞+BE的最小值是.

DE

16.（2020春?成華區(qū)期末）如圖，AD,3E在43的同側(cè)，4）=2,BE=2,AB=4,點C為4?的中點,

若ZDCE=120。，則DE的最大值是.

17.（2017秋?江北區(qū)期末）如圖，ZAOB=45°,點N在邊04上，OM=x,QV=x+4,點P是邊

03上的點，若使點P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點尸恰好有兩個，則x的值是—.

評卷人得分

三.解答題（共10小題，滿分56分）

18.（4分）（2020春?寧德期末）如圖，已知等腰AABC中，AB=AC,ZA<90。，CZ）是AABC的高，BE

是AABC的角平分線，CD與BE交于點P.當(dāng)NA的大小變化時，ASPC的形狀也隨之改變.

（1）當(dāng)/4=44。時，求NBPD的度數(shù)；

（2）設(shè)NA=x°,NEPC=y。,求變量y與x的關(guān)系式；

（3）當(dāng)AEPC是等腰三角形時，請直接寫出N4的度數(shù).

E

Dt

19.(4分)(2020春?競秀區(qū)期末)如圖，點2在44。3的內(nèi)部，點C和點P關(guān)于Q4對稱，點P關(guān)于。8

對稱點是。，連接C￡＞交。4于交OB于N.

(1)①若Z4OB=60°,則ZCOD=°；

②若ZAOB=a,求NCOO的度數(shù).

(2)若CD=4,則APMN的周長為___.

B

20.(4分)(2020春?敘州區(qū)期末)如圖，在AABC中，ZABC=ZACB,E為BC邊上一點,以E為頂點作

ZAEF,NAEF的一邊交AC于點尸，使=

(1)如果44BC=40。，則NBAC=；

(2)判斷NS4E與NCM的大小關(guān)系，并說明理由；

(3)當(dāng)AAEF為直角三角形時，求Z4ER與N/ME的數(shù)量關(guān)系.

21.(5分)(2019秋?建水縣期末)如圖，已知A(—2,4),8(4,2),C(2,-l)

(1)作AABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A/Ci，寫出點C關(guān)于x軸的對稱點G的坐標(biāo)；

(2)P為x軸上一點，請在圖中找出使的周長最小時的點P并直接寫出此時點尸的坐標(biāo)(保留作圖

22.（6分）（2019秋?清江浦區(qū)期末）如圖，A4BC中，AB=AC=5,43的垂直平分線交43、%（7于

E、D.

（1）若兇8的周長為8,求3c的長;

（2）若NA=40。，求NO8C的度數(shù).

23.（6分）（2019秋?博白縣期末）如圖，A48c中，ZACfi=90°,AO平分N8AC,

（1）若NB4C=50。，求NE2M的度數(shù)；

（2）求證：直線4）是線段CE的垂直平分線.

E.

BD

24.（6分）（2018春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）已知如圖，點P在NAQB內(nèi)，請按要求完成以下問題.

（1）分別作P關(guān)于。4、的對稱點M、N,連結(jié)MN分別交OA、OB于E、F；

（2）若APEF的周長為20,求MN的長.

25.（6分）（2018春?黃島區(qū)期末）已知：如圖，在AA8C中，AB=AC^4cm,將AABC沿C4方向平

移4c機(jī)得到AEEA,連接BE,BF；BE與A/7交于點G

（1）判斷仍與Ab的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若/BEC=15°,求四邊形BC砂的面積.

26.（7分）（2017秋?西華縣期末）如圖，己知AABC是邊長為3c〃?的等邊三角形，動點尸、Q同時從A、

6兩點出發(fā)，分別沿A3、方向勻速移動，它們的速度都是lan/s,當(dāng)點尸到達(dá)點6時，P、Q

兩點停止運(yùn)動，設(shè)點P的運(yùn)動時間為f（s）,則

（1）BP=cm,BQ=cm.（用含f的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)f為何值時，APBQ是直角三角形？

27.（8分）（2016秋?鄒平縣期末）已知：如圖，AABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點、P、。同時從A、

8兩點出發(fā)，分別沿口、方向勻速移動，它們的速度都是k僧/s,當(dāng)點P到達(dá)點3時，P、。兩點

停止運(yùn)動，設(shè)點尸的運(yùn)動時間r（s）,當(dāng)/為何值時，APBQ是直角三角形?

2022-2023學(xué)年人教版八年級上冊期末真題單元沖關(guān)測卷（提高卷）

第十三章軸對稱

選擇題（共7小題，滿分14分，每小題2分）

1.（2分）（2020春?廣饒縣期末）己知三個城鎮(zhèn)中心A、B、C恰好位于等邊三角形的三個頂點處，在A、

B.C鋪設(shè)光纜，四種方案中光纜最短的是（）

/\，爽、

C.B^~----°---D.

【解答】解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長為“，

A、鋪設(shè)的電纜長為a+a=〃；

C、如圖為等邊三角形，ADA.BC,

為3c的中點，

:.BD=DC=-BC=-a,

22

在RtAABD中，根據(jù)勾股定理得：AD=-JAB2-BD2=^a2-a）2若

則鋪設(shè)的電纜長為a+且。=馬芭a；

22

8、由垂線段最短得：方案5中光纜比方案C中長；

D、如圖2所示，:AABC為等邊二角形，且O為二角形三條高的交點,

.?.設(shè)OO=x,貝l」3O=2x,BD=~,

2

故犬2+（殳2=（2幻2,

解得：x=-^-a,則8。='^〃，

63

則鋪設(shè)的電纜長為AO+O3+OC=3X1〃=G。，

3

/T2+x/3c

,/\J3a<-------a<2a,

2

.??方案。中光纜最短；

故選：D.

A

//、、

多,

B__13-c

D

圖2

2.（2分）（2019秋?瓊山區(qū)校級期末）如圖，在A4BC中，點A、B、C的坐標(biāo)分別為（加,0）、（0,1）和（3,2）,

則當(dāng)AABC的周長最小時，加的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：如圖所示，做出區(qū)關(guān)于X軸對稱點為夕，連接8C,交x軸于點4,此時AA8C周長最小

過點。作CH，x軸，過點8,作B'HLy軸，交CH于”,

???3(0,1),

???C(3⑵，

；.CH=BH=3,

:.ZCB'H=45°,

.-.ZBB'A=45°,

ZOffA'=ZOA'ff=45°,

.-.OB'=OA'=l,

則此時4坐標(biāo)為（1,0）.

m的值為1.

故選：B.

3.（2分）（2019秋?海倫市期末）如圖，分別以AABC的邊43,AC所在直線為對稱軸作AABC的對稱圖

形A4BD和AACE,Zfi4C=150°,線段與CE相交于點O,連接BE、ED、DC、OA,有如下結(jié)論：

①NE4O=90。；②NBOE=60°；③。4平分N8OC；其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

【解答】解：和AACE是A4BC的軸對稱圖形，

/.ABAD=ZCAE=ABAC,AB=AE,AC=AD,

.?.ZEW=3ZfiAC-360°=3x1500-360°=90°,故①正確.

ZBAE=ZCAD=-(360°-90°-l50°)=60°，

2

山翻折的性質(zhì)得，ZAEC=ZABD=ZABC,

又?.?ZEPO=NBPA,

ABOE=ZBAE=60°,故②正確.

?.?/IB平分NO8C，AC平分N8CO,

平分N3OC，故③正確.

故選：B.

D

4.（2分）（2020春?黃陂區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（l,5）,8（4,1）,,D（in-3,-m+4）,

當(dāng)四邊形AfiCZ）的周長最小時，則機(jī)的值為（）

【解答】解：?.?A(l,5),8(4,1),,D(m-3,-m+4),

AB=>/32+42=5,CD=7[(/n-3)-mf+[(-m+4)-(-w)]2=5,

AB=CD=5，

?.?點8向左平移3個單位，再向上平移4個單位得到A,點C向左平移3個單位，再向上平移4個單位得

到。，

:,ABMCD，AB=CD,

四邊形ABC。是平行四邊形，

:.BC=AD,

.?.當(dāng)8C_LC0時,，8c的值最小，

?點C在直線y=-x上運(yùn)動，3cl,直線y=-x,

/.直線BC的解析式為y=x-3,

3

X=—

2

由仁A解得3

33

???eg,一萬），

3

"7二一，

2

5.（2分）（2019秋?吳興區(qū)期末）線段他上有一動點C（不與4,8重合），分別以AC,3c為邊向上作

等邊AACM和等邊ABCV,點。是MN的中點，連結(jié)4）,BD,在點C的運(yùn)動過程中，有下列結(jié)論：①

zVLBD可能為直角三角形；②可能為等腰三角形；③△CWN可能為等邊三角形；④若4}=6,則

4）+8。的最小值為3幣.其中正確的是（）

A.②③B.①②③④C.①③④D.②③④

【解答】解：當(dāng)C為的中點時，如圖，設(shè)AD,CM交于E,BD,CN交于尸，連接EF,

?/AACM和ABC7V是等邊.三角形,

:.AM=AC=MC=BC=NB<

?.?點。是MN的中點，

.-.MD=ND,

vZMGV=60°,

ZCMN=NCNM=60°.

.-.ACMN是等邊三角形,故③正確;

???ZAMD=ABND=120。，

:2MD三bBND(SAS),

；,AD=BD,

.?.A4BD是等腰二角形，故②正確；

當(dāng)點。為A5的中點時，4>+班>的值最小,

???點。是MN的中點，

:.CD為MN的垂直平分線，

4

\-AB=6,

3

:.MD=—,

?.AD=BD，

過M作于P，過。作?！阓L4?丁石，過N作NQ_LA8「Q,

:.PM//DE//NQ,

?.?MD=DN,

:.PE=EQ,

設(shè)AP=PC=a,BQ=CQ=b,

:.PM=氐,NQ=?,

.PE=QE=3,

22

a-\-b3a+ba-\-2b

AE=。+BE=

222

.協(xié)=(34+與2+3(a+b)2BD?=5+36)2+通+次

44'-44

Afi2=(2a+2b)2,

AD2+B?豐AB2,

r.AABZ）不是直角三角形，故①錯誤;

故選：D.

6.（2分）（2018秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點用、N,使ZMBN=30°.若

AM=m>MN=x，CN=n?則以x,m,"為邊長的三角形的形狀為（）

B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨X,“7,”的值而定

［解答］解：將MBM繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60°得到ACBH.連接HN.

一T

H

???AABC是等邊二角形,

:.ZABC=ZACB=ZA=6O°,

,;AMBN=3（f,

??.ZABM+NCHN=30。，

??.ZNBH=/CBH+4CBN=30°，

:./NBM=4NBH，

???BM=BH,BN=BN,

:.MBM三MBH,

:.MN=NH=x,

???ZBC7/=ZA=60。，CH=AM=n,

:.ZNCH=120°，

.0.x,tn,〃為邊長的二:角形A/VC7/是鈍角三角形，

故選：C.

7.（2分）（2018春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，ZABC=30°,點。、石分別在射線3。、84上，且9=2,

BE=4,點M、N分別是射線B4、8C上的動點，當(dāng)DM+MN+NE最小時，（DM+MN+NE）2的值

A.20B.26C.32D.36

【解答】解：如圖，作點。關(guān)于3A的對稱點G,作點E關(guān)于3C的對稱點H,連接G"交有"，交BC

有N,連接DW、EN,此時DW+MV+NE的值最小.

根據(jù)對稱的性質(zhì)可知：BD=BG=2,BE=BH=4,DM=GM,EN=NH,

.-.DM+MN+NE的最小值為線段GH的長,

ZABC=NGBM=AHBC=30°，

;.ZHBG=90。,

GH2=BG2+BH2=20,

.?.當(dāng)ZW+MN+NE最小時，（DM+MN+NE）2的值為20,

故選：A.

填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

8.（2019秋?拱墅區(qū)校級期末）如圖，AD,BE是等邊AAfiC的兩條高線，AD.BE交于點O1則ZAOB=

120度.

【解答】解：?.?A4BC是等邊三角形，

/.AB=AC=BC，ZC4B=Z4BC=6O°,

-.AD,3E是等邊AABC的兩條高線，

:"BAD」NBAC=30°,ZABE=-ZABC=30°,

22

/.ZAOB=180°-ABAD-ZABE=180°-30°-30°=l20°,

故答案為：120.

9.（2020春?渭濱區(qū)期末）如圖，四邊形A8C。中，Zfi=ZD=90°,ZC=50°,在8C、8邊上分別找到

點、M、N,當(dāng)A/WW周長最小時，NAAW+NAMW的度數(shù)為__100。_.

【解答】解：如圖，作點A關(guān)于BC的對稱點W,關(guān)于CD的對稱點A”,

連接AA”與3C、CD的交點即為所求的點M、N,

?/ZC=50°,ZB=ZD=9O0■

ZBAD=\30°

.?.ZA，+ZA，，=180。-130。=50°,

由軸對稱的性質(zhì)得：ZA=ZAAM,NA〃=ZA〃A/V,

?..ZAMN+ZANM=2(ZA'+ZA〃)=2x50°=100°.

故答案為100。.

10.（2020春?包頭期末）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊A4B。，連接。C,以DC為

邊作等邊

△DCE,B,E在C￡＞的同側(cè)，若AB=4應(yīng),8E的長為4.

【解答】解：?/A/LBD和ADCE是等邊二角形,

:.BD=AD,ED=CD,

?.?AABC是等腰直角三角形，

AC=BC=—AB=4

29

AC=BC

在A4CD和ABC。中，\AD=BD,

CD=CD

:.MCD=KBCD(SSS)，

ZADC=ZBDC=30°，

ZBr)E=60°-30°=30°，

BD=AD

在AB￡Z>和AACO中，\ZBDE=ZADC,

ED=CD

.\ABED=AACD(SAS),

.,.BE=AC=4,

故答案為：4.

11.(2020春?鄲都區(qū)期末)如圖，在AABC中，AB=AC,BC=6an,AD是AABC的中線，且4)=5c優(yōu)，

則AABC的面積為—15cm2

【解答】解：???在AABC中，AB=AC,BC=6cm,AD是AABC1的中線，

二AD±BC,

.?.AABC的面積=L8C?AO=Lx6x5=15a/,

22

故答案為：15c/.

12.（2018秋?越秀區(qū)期末）如圖，在邊長為2的等邊A4BC中，。是的中點，點石在線段49上，連結(jié)

BE,在BE?的下方作等邊Afi￡F,連結(jié)小.當(dāng)?shù)闹荛L最小時，N/出廠的度數(shù)是_30。_.

【解答】解：如圖，連接C尸，

,/AABC、AB￡F都是等邊三角形，

;.AB=BC=AC,BE=EF=BF,ZBAC=ZABC=ZACB=ZEBF=ZBEF=ZBFE=60°,

/.ZABC-AEBD=ZEBF-4EBD,

.\ZABE=ZCBF,

在ARAE和ABC/中,

AB=BC

,ZABE=ZCBF,

BE=BF

:.ABAE=ABCF(SAS),

:.ZBCF=ZBAD=30°^

如圖，作點。關(guān)于CF的對稱點G,連接CG,DG,則F￡>=FG,

.?.當(dāng)8,F,G在同一直線上時，。尸+M的最小值等于線段3G長，且8G_LCG時，下的周長最小,

由軸對稱的性質(zhì)，可得NDCG=2N3Cr=60。，CD=CG,

AZ)CG是等邊三角形，

?.DG=DC=DB，

/DBG=ZDGB=-ZCDG=30°,

2

故答案為：30°.

13.(2016秋?羅湖區(qū)校級期末)如圖,已知平面直角坐標(biāo)系中，A,B兩點的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-l).

(1)若。是x軸上的一個動點，則的最小周長為_+2&-

(2)若C(a,0),。(〃+3,0)是x軸上的兩個動點，則當(dāng)。=時，四邊形ABDC的周長最小.

【解答】解:(1)如圖1,先作出5關(guān)于x軸的對稱點方,連接交x軸于點尸,則就點坐標(biāo)為(4』)，

4(2,-3),8(4,-1),

/.AB=7(2-4)2+(-3+1)2=272,AB1=7(2-4)2+(-3-1)2=2加；

由兩點之間線段最短可知，AB'的長即為\PAB的最短周長，

設(shè)過AB'兩點的-一次函數(shù)解析式為y=H+仇4*0),

_.{^k+b=\

則《，解得&=2,h=-l,

[2k+b=-3

故此一次函數(shù)的解析式為y=2x-7,

當(dāng)y=0時，2x-7=0.解得x=3.5.

故當(dāng)x=3.5時，AE45的周長最短，此時P(3.5,0),

，兇4B的周長的最小值=A4+P8+A8=2行+2及.

故答案為26+2夜.

(2)作點A關(guān)于x軸的對稱點則次的坐標(biāo)為(2,3),把4響右平移3個單位得到點"(5,3),連接即,

與x軸交于點。，如圖，

/.CA'=CA,

又?.?C(a,0),￡>(a+3,0),

.-.CD=3,

.-.AH'//CD,

四邊形A310c為平行四邊形，

CK=DB,

：.CA=DB'，

:.AC+BD=BB,此時AC+B￡＞最小,

而8與A3的長一定，

此時四邊形ABDC的周長最短.

設(shè)直線的解析式為y=kx+h,

把B（4,-1）,*（5,3）分別代入得，

4k+b=—\?54+Z?=3,

解得％=4,6=-17,

/.直線BR的解析式為），=4x-17,

令y=0,貝i]4x—17=0,

解得X=1Z,.?.0點坐標(biāo)為（?，0）,

c17

「.〃+3=—，

4

5

/.u=-?

4

故答案為3.

14.（2016春?金堂縣期末）如圖，在五邊形A8CDE中，已知NS4E=120。，ZB=ZE=90°,AB=BC=2,

AE=DE=4,在BC、￡織上分別找一點M、N,則AAAW的最小周長為_4/

（解答］解：作A關(guān)于BC和ED的對稱點A,A",連接A'A"，交BC卜M，交EDFN,則AA”即為AAAW

的周長最小值.

過4作E4延長線的垂線，垂足為“，

,/AB=BC=2，AE=DE=4,

,\AA=2BA=4,A4"=2A￡=8,

則中，?.?NE4B=120。，

:.ZHAA=60°,

:.ZAAH=30°,

:.AH=-AA'=2<

2

AH=a2-2,=2瓜

A,,W=2+8=10,

A/“=y/A'H2+A"H2=477.

故答案為4近.

15.（2020春?武昌區(qū)期末）如圖，在等邊AA3C和等邊ADEF中，AD在直線AC上，BC=3DE=3,連接

BD,BE,則%）+3E的最小值是_炳_.

DE

【解答】解：如圖，延長CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點5關(guān)了直線AC的對?稱點W,連接7W,

DW,過點W作WK_L3c交BC的延長線于K.

-,-AABC,ADE"都是等邊三角形，BC=3DE=3,

.-.BC=AB=3,DE=\,ZACB=ZEDF=O)°,

:.DE//TC,

.DE=BT=\,

：.四邊形DEBT是平行四邊形，

；.BE=DT，

:.BD+BE=BD+AD,

<B,￡關(guān)于直線AC對稱，

.-.C8=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW.

NWCK=60。，

\-WKLCK,

.?.NK=90。，ZCW^=30°,

:.CK=-CW=-,WK=>/3CK=—,

222

311

/.7X=l+3+-=—,

22

:.DB+BE=DB+DT=DW+DT..TW,

BD+BE..J37,

.?.BD+BE的最小值為由.

故答案為歷.

16.（2020春?成華區(qū)期末）如圖，AD,仍在的同側(cè)，AD=2,BE=2,AB=4,點C為他的中點,

若NDCE=120。，則DE的最大值是6.

【解答】解：如圖，作點A關(guān)于直線CD的對稱點作點6關(guān)于直線CE的對稱點N,連接DW,CM,

ZACD=ZADC,ZBCE=ZBEC,

???ZDC￡=120。，

ZACD+ZBCE=60°,

\ZDCA=ZDCM,ZBCE=ZECN,

/.ZACM+ZBCN=120°,

/.ZA7C7V=6O°,

?；CM=CN=2,

「.△CMN是等邊三角形，

:.MN=2,

?.?D&,DM+MN+EN,

DE?6,

.?.當(dāng)O,M,N,E共線時，DE的值最大，最大值為6,

故答案為：6.

17.（2017秋?江北區(qū)期末）如圖，NAOB=45。，點M,N在邊OA上，OM=x,QV=x+4,點P是邊

OB上的點，若使點P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好有兩個，則丈的值是_4g-4<%,4或x=4&

或x=2>/3—2_.

【解答】解：如圖1中，當(dāng)是等邊三角形時滿足條件，作2H_1_。4于H.

在中，P?H=￡NH=20,

NO=NH與O=45°,

OH=HP,=2y/3,

,-.x=OM=OH-MH=2y/3-2.

如圖2中，當(dāng)G)M與08相切于6，M?=MN=4時，x=OM=4近,此時滿足條件;

圖2

如圖3中，如圖當(dāng)O”經(jīng)過點O時，x=O"=4,此時滿足條件的點P有3個.

圖4

觀察圖3和圖4可知：當(dāng)4夜-4<%,4時，滿足條件，

綜上所述，滿足條件的x的值為：40-4<%,4或x=4五或x=20—2,

故答案為4亞-4<*,4或》=40或》=26-2.

三.解答題（共10小題，滿分56分）

18.（4分）（2020春?寧德期末）如圖，已知等腰AABC中，AB=AC,Z4<90°,。￡>是4鉆。的高，BE

是A48c的角平分線，CD與BE交于點、P.當(dāng)NA的大小變化時，AEPC的形狀也隨之改變.

（1）當(dāng)24=44。時，求N3PD的度數(shù)；

（2）設(shè)44=H,ZEPC=y°,求變量y與x的關(guān)系式；

（3）當(dāng)A￡P(guān)C是等腰三角形時，請直接寫出Z4的度數(shù).

【解答】解：(1)-,-AB=AC,Z4=44°,

ZABC=ZACB=(180-44)°+2=68°,

■.CD±AB,

NBDC=90。,

?.?BE平分NABC，

/.ZABE=ZCBE=34°,

/.ZBPD=90°-34°=56°；

(2)-.■ZA=x0,

x

.?.ZABC=(180-l)。+2=(90--)°,

1y

由(1)可得：ZABP=-ZABC=(45--)°.ZBDC=9Q0，

xx

??.ZEPC=y°=/BPD=90°-(45一一)0=(45+—)°,

44

即y與x的關(guān)系式為y=45+2，

(3)設(shè)ZA=%。，ZEPC=y°,

①若EP=EC,

則ZECP=ZEPC=y°,

v

而ZA3C=ZL4c8=(90-2)。，ZABC+ZBCD=90°,

則有：(90-^)°+(90--y)°=90°,又)>=45+(,代入，

xxx

.-.(90--)°+(90--)°-(45+—)°=90°，

224

解得：％=36；

②若PC=PE,

則NPCE=APEC=(180-y)。+2=(90-鄉(xiāng)。,

由①得：ZABC+ZBCD=90P,

(90--)0+[(90--)°-(90-2)。]=90°,

222

Xy=45+-,代入，

4

解得：》=型^:

7

③若CP=CE,

則NEPC=NPEC=y°,NPCE=180°-2y°,

由①得：ZABC+ZBCD=90P,

(90-1)°+(90-^)°-(180-2y)0=90°，又y=45+(,代入，

解得：x=0,不符合，

綜上：當(dāng)AEPC是等腰三角形時，Z4的度數(shù)為36?；?岸)。.

19.(4分)(2020春?競秀區(qū)期末)如圖，點P在NAO8的內(nèi)部，點C和點尸關(guān)于。4對稱，點尸關(guān)于08

對稱點是。，連接CD交。4于M,交08于N.

(1)①若ZAO8=60。，則NC8=120。:

②若NAO3=a,求NC8的度數(shù).

(2)若CD=4,則APMV的周長為

D

C/\//\

/P\

/5

【解答】解：(1)①?.?點C和點P關(guān)于。4對稱，

..ZAOC=ZAOP.

?.?點P關(guān)于對稱點是O，

:.ZBOD=ZBOP,

NCOD=ZAOC+ZAOP+NBOP+NBOD=2(NAOP+NBOP)=2ZAOB=2x60°=120°,

故答案為：120。.

②?.?點C和點P關(guān)于OA對稱.

.-.ZAOC=ZAOP，

,dP關(guān)于OB對稱點是￡),

:.ABOD=ZBOP，

NCOD=ZAOC+ZAOP+NBOP+ZBOD=2(ZAOP+NBOP)=2ZAOB=2a.

(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可知CM=PM,DN=PN,

所以APMN的周長為：PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4,

故答案為：4

20.(4分)(2020春?敘州區(qū)期末)如圖，在AABC中，ZABC=ZACB,E為BC邊上一點、,以E為頂點作

ZAEF,44EF的一邊交AC于點尸，使ZAEF=NB.

(1)如果NABC=40。，則/54。=_100。_；

(2)判斷〃場與NCE尸的大小關(guān)系，并說明理由；

(3)當(dāng)為直角三角形時，求/4￡F與NS4E的數(shù)量關(guān)系.

A

【解答】解：(1)??,在AABC中，ZABC=ZACB,ZABC=40%

:.ZACB=40°,

ABAC=180。-40。-40。=100。，

故答案為：100。.

(2)ZBAE=/FEC；

理由如下：

-.ZB^-ZBAE=ZAEC,ZAEF=ZB，

：.ZBAE=ZFEC：

(3)如圖1,當(dāng)NA抬=90。時，

?,ZB+ZBAE=ZAEF+ZCEF，

ZB=ZAEF=NC,

..ZBAE=NCEF，

?.-ZC+ZCEF=90°,

ZBAE+ZAEF=90°.

即Z4￡尸與NR4石的數(shù)量關(guān)系是互余；

如圖2,當(dāng)NE4/=90。時，

???ZB+ZBAE=ZAEF+4，

NB=NAEF=NC,

:.ZBAE=Z\,

?/ZC+Z1+ZAEF=90°,

.-.2ZA￡F+Z1=9O°,

即2NAEF與NBAE的數(shù)量關(guān)系是互余.

2

/2X1

BE圖2

已知4一2,4),8(4,2),C(2,-l)

(1)作AA8C關(guān)于x軸的對稱圖形△44G，寫出點C關(guān)于x軸的對稱點C的坐標(biāo);

(2)P為x軸上一點，請在圖中找出使A7%3的周長最小時的點P并直接寫出此時點P的坐標(biāo)(保留作圖

【解答】解：(1)如圖1所示，△ASG即為所求;

(2)如圖所示，連接交x軸于點P，點P的坐標(biāo)為(2,0).

22.（6分）（2019秋?清江浦區(qū)期末）如圖，AABC中，AB=AC=5,/W的垂直平分線。石交回、AC于

E、D.

（1）若的周長為8,求的長;

（2）若NA=40。，求N￡>8C的度數(shù).

【解答】解：（1）???￡＞在碓直平分線上，

.,.AD=BD,

?.?&?C￡）的周長為8,

:.BC+CD+BD=8,

.?.AD+DC+BC=8,

AC+8C=8,

\AB=AC=5f

/.BC=8-5=3:

（2）?.?ZA=4O。，AB=AC,

/.ZABC=ZACB=70°,

又???￡＞石垂直平分AB,

:.DB=AD

/.ZABD=ZA=40°,

.\ZDBC=ZABC-ZABD=10P-400=3（T.

23.（6分）（2019秋?博白縣期末）如圖，A48C中，ZACB=90°,4）平分N84C,于石.

（1）若440=50。，求NEZM的度數(shù)；

（2）求證：直線4）是線段CE