2022高3統(tǒng)考數(shù)學(xué)文北師大版1輪教師文檔：第5章 含答案

第五章

DIWUZHANG

數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

^■回顧教材-夯實(shí)基礎(chǔ)課本溫故追根求理

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第88頁(yè)

［基礎(chǔ)梳理1

I.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照?定順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)

數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列｛，，〃｝的第〃項(xiàng)an

數(shù)列｛m｝的第〃項(xiàng)小與〃之間的關(guān)系能用公式如三儂表示，這個(gè)

通項(xiàng)公式

公式叫作數(shù)列的通項(xiàng)公式

前〃項(xiàng)和數(shù)列｛〃〃｝中，Sn=41+。2~1-----叫作數(shù)列的前〃項(xiàng)和

2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示〃與0〃的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖像法把點(diǎn)5,3畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中

公通項(xiàng)

把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法

式公式

法遞推使用初始值41和3+1=次?！ǎ┗?1，。2和?！?1=人小,?！耙?）等表示數(shù)列

公式的方法

3.%與S”的關(guān)系

若數(shù)列｛〃”｝的前n項(xiàng)和為

S],n=1,

貝Ia,i

$—S〃二],〃22.

4.數(shù)列的分類

L知識(shí)拓展提升思維能力

1.與函數(shù)的關(guān)系:

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義域?yàn)镹.或其有限子集數(shù)列的圖像是一群孤立的點(diǎn).

2.周期性:若如+*=%（〃￡N+,左為非零正整數(shù)）,則｛詞為周期數(shù)列,左為｛〃〃｝

的一個(gè)周期.

［四基自測(cè)］

1.（基礎(chǔ)點(diǎn)：數(shù)列的項(xiàng)）已知數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為?！?9+12%則在下列各數(shù)中，

不是｛〃”｝的項(xiàng)的是（）

A.21B.33

C.152D.153

答案：C

2.（基礎(chǔ)點(diǎn)：數(shù)列遞推關(guān)系）在數(shù)列｛〃”｝中，=1,Cln=1+（〃22）,則d4=（）

Cln-1

A3「5

A，2B.g

C4D?5

答案：B

3.（基礎(chǔ)點(diǎn)：數(shù)列的前〃項(xiàng)和）設(shè)S”為數(shù)列SJ的前〃項(xiàng)和，已知$4=0,45=5,

則S5為.

答案：5

4.（易錯(cuò)點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式）數(shù)列1,黑23,4氣5,…的一個(gè)通項(xiàng)公式小=.

答案:

2/1—1

考點(diǎn)分類-深度剖析名，市導(dǎo)悟以例示法

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第89頁(yè)

考點(diǎn)一數(shù)列的項(xiàng)與通項(xiàng)公式

挖掘1判斷通項(xiàng)公式/自主練透

［例1］（1）下列公式可作為數(shù)列｛m｝：1，2,1,2,1,2,…，的通項(xiàng)公式的是（）

（一1）”+1

A.1B.2

.，械（-1）1+3

C.。”=2-sin2D.cin=

［解析］由々”=2—sin詈可得。1=1,“2=2,。3=1,的=2,….故選C.

［答案］Q

（2）根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

①一1,7,-13,19,…；

②0.8,0.88,0.888,…；

「15132961

?2f4*一乖正~329641…；

岐L1卷…；

⑤0,1,0,1,???.

［解析］①符號(hào)問(wèn)題可通過(guò)（一1）〃或（一l）〃+i表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律

為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6,故通項(xiàng)公式為〃〃=（—1）〃（6〃一

5).

888

②將數(shù)列變形為§x(l—0.1),^X(l-O.Ol),5X(l-O.OOl),

③各項(xiàng)的分母分別為2122,23,24,易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分

2—321一32~-32,—3

母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)橐环揭?，原?shù)列可化為一下L,下一，一下二，

24-3

24，…,

2〃一3

??〃〃=（-1）”?一yi~?

3579

④將數(shù)列統(tǒng)一為受，子正而…，對(duì)于分子3,5,7,9,…，是序號(hào)的2倍

加1,可得分子的通項(xiàng)公式為包=2〃+1,對(duì)于分母2,5,10,17,…，聯(lián)想到

數(shù)列1,4,9,16,…，即數(shù)列｛/｝,可得分母的通項(xiàng)公式為外=層+1,因此可

得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為小=京仃.

_/0,（〃為奇數(shù)），

⑤“產(chǎn)卜（〃為偶數(shù)）,

［破題技法］1.已知數(shù)列的前〃項(xiàng)寫出一個(gè)通項(xiàng)公式，主要考查的是邏輯推理與

歸納.

常用方法：觀察（觀察規(guī)律）、2較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列）、

聯(lián)想（聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列）等方法.

由于只給出了部分規(guī)律，符合這幾個(gè)特殊項(xiàng)的通項(xiàng)公式并不唯一.

2.具體策略：

⑴分式中分子、分母的特征；

（2）相鄰項(xiàng)的變化特征；

（3）各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；

（4）對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系;

（5）對(duì)于正負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用（一及或（一1產(chǎn)1MN）處理.

挖掘2判斷數(shù)列的項(xiàng)/自主練透

［例2］（1）己知數(shù)列啦，小，2叵…，則2小是這個(gè)數(shù)列的（）

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第19項(xiàng)D.第11項(xiàng)_____

［解析］數(shù)列即:戲，小,小,…，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為：-1,

由、3幾一1=2小,解得：〃=7,即2小是這個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng).

［答案］B

（2）如果一個(gè)數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式〃“=/+2〃+3.

①求410；

②83是否為該數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是數(shù)列的第幾項(xiàng).

［解析］①當(dāng)〃=10,6［|0=100+2X10+3=123.

②如果川+2〃+3=83,即n2+2H-80=0.

.?.（鹿+10）3—8）=0,???〃=8（〃=一10舍），

故83是這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng).

考點(diǎn)二已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

挖掘求通項(xiàng)公式/互動(dòng)探究

［例］根據(jù)下列己知條件，求數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式:

累加法：（1）0=2,a〃+i=a〃+ln（l+：）；

、1n—1

累乘法：（2）。1=/,Cln=??dn-1（772）；

構(gòu)造法：（3）〃1=La〃+i=2a〃+3；

輔助數(shù)列法：（4）ai=|,4"+1=*+（號(hào)；

取倒數(shù)：(5)。|=1,dn=~zTV*

3。11+1

取對(duì)數(shù)：(6)〃|=3,ClnI1=Qn.

［解析］(1)因?yàn)椤ā?i=a“+ln(l+;),

n~\~1

1-

所以alJ+=Inn(n21),

n

所以an-a,i-i=InAn22),

n—r

n—12、

所以小一1-…，42-〃1=1町(〃22),

U

所以an-a\=\n~+1n_~~~\-----FlnT=ln

n~\n~21

所以a”=ln〃+m(〃22),又〃i=2,所以〃”=ln〃+2.

(2)因?yàn)榧?：+］小_1(〃22),

ann—\

所以當(dāng)時(shí)

an-\〃+1

ru、，如1432421

所以---=-TT,…，—=7,—=7,

an-\n+1ai4'a\3'

個(gè)式子相乘得言公ain~1n—221

以上n—1

aia\n+1n.,了亨

即賓=17：X2X1,所以'（缶）?當(dāng)〃=1時(shí)，^,=7x2=i也與已知

41=3相符,

所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為av=

n(/i+l)

（3）設(shè)遞推公式a〃+i=2a〃+3可以轉(zhuǎn)化為a〃+i—f=2（a〃一。，即?！?1=2?！ㄒ唬?，解

得f=-3,故遞推公式為a“+i+3=2（a〃+3）.

治+1a〃+i+3

令瓦=々〃+3,則氏=防+3=4,且

bna〃+3

所以｛為｝是以6=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

所以d=4X2〃—i=2"+i,即小=2〃+1—3.

1/i\n+l2

(4)在所1=.+(可兩邊分別乘以2叫得2〃+［十1=?(2凡4”)+1.

2

n

令bn=2-an,則bn+1=/?+1,

2

根據(jù)待定系數(shù)法，得及+］—3=，(瓦一3).

542

所以數(shù)列｛氏一3｝是首項(xiàng)為6-3=2X不一3=一丞公比為］的等比數(shù)列.

4,2甲一1/2Y2

所以d一3=一7團(tuán),即。〃=3—2團(tuán).

于是,小=*=3(；)"-2停)"

(5)取倒數(shù)，得%受F=3+￡.?.尚是等差數(shù)列,2=t+3("—1)=1+

3(〃-1)=>〃“=3〃二.

(6)由題意知。。0,將4〃+i=癥兩邊取常用對(duì)數(shù)得到Ig〃〃+i=21g。〃，即、：丁=2,

lg

所以數(shù)列｛lga〃｝是以Igm=lg3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以lga〃=(lg3>

所以?！?32"一］.

［破題技法］常見(jiàn)求通項(xiàng)公式的方法

方法轉(zhuǎn)化過(guò)程適合題型

Q—。1)+(。3-。2)+…+(〃”

累加法an+l—01=或〃)(/(〃)可求和)

一4〃-1)=4"一

累乘法—X—X…X—X—=—

an一八〃)，犬〃)可求積

a\aian-2an-\

由an+1=pan+q化為an+1+m

構(gòu)造法=p(an+m)9構(gòu)造｛。〃+加｝為cin+i=pa“+q

等比數(shù)列

由m+i—化為〃+i—

修+也放入輔助數(shù)列｛瓦｝,n

輔助數(shù)列法an+\=pan-\-rq

為+i=/〃+1,再構(gòu)造數(shù)列

取倒數(shù)得

k\an\~vb)ma*i

取倒數(shù)法a

1妨1女人］1"k

anman-\man

對(duì)化為1g0=Hg

取對(duì)數(shù)an-\+\gpan=pa；i-i(n22,p>0)

令bn=lgGn

考點(diǎn)三S〃與?！ǖ年P(guān)系的應(yīng)用

挖掘1已知S〃求外/自主練透

［1501］(1)已知數(shù)列｛。”｝的前拉項(xiàng)和5〃=2〃-1,則。2闈6=()

A-L

八64

C.16D.64

2655

［解析］6F2=S2-SI=(2-1)-(2'-1)=2,4Z6=S6-S5=(2-1)-(2-1)=2=

32,a2-a6=()4.

［答案］D

(2)(2020?廣東化州第二次模擬)已知S〃為數(shù)列｛〃〃)的前n項(xiàng)和，且log2(S〃+l)="

+1,則數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式為.

［解析］由log2(S〃+l)=〃+l,得S〃+l=2”+i,

n

當(dāng)〃=1時(shí)，a\=S\=3;當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn—Sn-\=2f

3,72=1,

所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為小=

.2",〃22.

3,n=\

［答案］an=

2”，

挖掘2已知S〃與?！ǖ年P(guān)系/互動(dòng)探究

［例2］(1)(2018?高考全國(guó)卷I)記S”為數(shù)列｛?。那皀項(xiàng)和.若Sn=2an+\f則

§6=.

［解析］???S〃=2〃〃+1,當(dāng)“22時(shí)，S〃—I=2Q〃_I+1,

??Cln~~Sn—Sn-1=2,Cln-2?！?1,

=

即a〃=2a〃-it當(dāng)〃=1時(shí)，u\S\=2in+1,得ci\~~—1.

???數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)的為一1,公比q為2的等比數(shù)列,

(1一/)-1(l-2n)

：.Sn=—--------------

i—q

AS6=l-26=-63.

［答案］—63

(2)(2020?廣東江門模擬)記數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S“，若任意〃￡N+,2s“=m+1,

則42020=.

［解析］???2S=a〃+l,

25〃-1=斯-1+1(〃32),

/.2Sn—2Sn-1=2a,t=a”—〃1(九N2),

即a〃=-a”_i(〃22),又2si=2ai=m+1,

41=1,?.42020=42=-41

［答案］—1

［破題技法］S“與關(guān)系問(wèn)題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用?！?5〃一*一1(〃22)轉(zhuǎn)化為只含8,S”」的關(guān)系式，再求解.

(2)利用5“一5"_|=〃”(〃22)轉(zhuǎn)化為只含々〃，的關(guān)系式，再求解.

L變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力

1.在例2(2)中，｛如｝的通項(xiàng)公式。尸

答案：(―l)w+1

2.在例1(1)中，可否求通項(xiàng)公式

解析：當(dāng)〃=1時(shí)，di=5i=l,

當(dāng)時(shí)，5?-1=(2,7—l)—(2/,-|—l)=2n~1,

41=1適合。〃=2"一|,

n［

故an=2~.

考點(diǎn)四數(shù)列的性質(zhì)

［例］已知數(shù)列｛〃“｝滿足也尸=2,山=20,則管的最小值為()

A.4^5B.4^5-1

C.8D.9

［解析］由々“+I—0?=2〃知：02—01=2X1,43-42=2X2,an—an-1=2

(〃一1),〃22,

以上各式相加得〃“一ai=〃2—〃，〃22,所以m=〃2—〃+20,〃22,當(dāng)〃=1B寸，

0=20符合上式，所以〃〃=??—〃+20,〃￡N+,所以管=〃+吊"―1，〃￡N+,

所以后4時(shí)僅單調(diào)遞減，心5時(shí)管單調(diào)遞增，因?yàn)轭?母，所以管的最小值為詈

=y=8,故選C.

［答案］c

［破題技法］1.類比周期函數(shù)的概念，我們可以定義：對(duì)于數(shù)列｛〃〃｝,如果存在

一個(gè)常數(shù)7(TEN)使得對(duì)亍任意的正整數(shù)〃,〃o,恒有斯+丁=〃〃成立，那么稱

數(shù)列僅〃｝是從第〃。項(xiàng)起的周期為7的周期數(shù)列.若m=1,則稱數(shù)列伍”｝為純周

期數(shù)列；若加22,則稱數(shù)列｛〃“｝為混周期數(shù)列.丁的最小值稱為最小正周期，

簡(jiǎn)稱周期.

2.解決數(shù)列周期性問(wèn)題時(shí)，可先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，當(dāng)出現(xiàn)各項(xiàng)

重復(fù)性地出現(xiàn)后，便可由此磔定該數(shù)列的最小正周期7,再根據(jù)公式?！?7=?！▽?/p>

所求項(xiàng)轉(zhuǎn)化為較小的項(xiàng)，從而求得該項(xiàng)的值.

3.求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的常見(jiàn)方法

(1)利用“兩邊夾”思想

設(shè)小為數(shù)列｛〃〃｝中的最大項(xiàng)，則有彳、(〃22).

?！比?”_1

解出適合上述不等式組的，值，從而確定數(shù)列的最大項(xiàng).

a〃&an+1,

類似地，設(shè)?！閿?shù)列｛〃〃｝中的最小項(xiàng)，則有J”(〃22).

an^an-\

解出適合上述不等式組的〃值，便能確定數(shù)列的最小項(xiàng).

⑵利用函數(shù)思想

①數(shù)列是特殊函數(shù)，具有函數(shù)的一些特性，求數(shù)列項(xiàng)的最值完全可以依據(jù)研究函

數(shù)最值的方法解決，但特別要注意數(shù)列的項(xiàng)數(shù)〃只能是正整數(shù).

②根據(jù)條件構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，通過(guò)配方、作差、作商等方法來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，

進(jìn)而確定數(shù)列的單調(diào)性，再求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).

③給出一個(gè)數(shù)列｛?！ǎ?若能夠判斷數(shù)列｛〃〃｝為遞增數(shù)列，則該數(shù)列具有以下性質(zhì)：

防V。2V…Va〃V…，故(〃〃)mh=ai.

反之，若該數(shù)列為遞減數(shù)列，則有41>42>…故(〃〃)max=4l.

L同源異考重在觸類旁通

1.在數(shù)列｛〃〃｝中，41=—彳，an=1—(〃22,〃￡N+),則。2020的值為()

4(In-1

A.一；B.5

J一5

C,5D4

解析：在數(shù)列｛〃〃｝中，ai=—7,o〃=l一」一(“22,〃WN+),所以。2=1—'T=

4Qn-1__￡

-4

411

5-----

a3=15y4中

-

5

所以｛〃〃｝是以3為周期的周期數(shù)列，所以。2020=4673x3+1=0=一

答案：A

x+1,

2.（2020?江西宜春期末測(cè)試）己知函數(shù)/（x）=52x~1,^<x<l,歹J｛｝兩

3—1,工21,

7

0--

3a〃+lwN-),則。2019=()

7

-

A.3

51

c--

6D.3

解析：由題意,a（）=灼)

不…，故數(shù)列｛〃〃｝從第三項(xiàng)起構(gòu)成周期數(shù)列，且周期為3,故

019=43=］.故選D.

答案：D

第二節(jié)等差數(shù)列及其前〃項(xiàng)和

^^回顧教材-夯實(shí)基礎(chǔ)課本溫故追根來(lái)源

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第92頁(yè)

［基礎(chǔ)梳理］

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

⑴定義：

①文字語(yǔ)言：從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于圓一個(gè)常數(shù).

②符號(hào)語(yǔ)言：an+\—an=d（nGN-,d為常數(shù)）.

(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是A=亍，其中蟲(chóng)叫作出

〃的等差中項(xiàng).

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項(xiàng)公式：an=a\-\-(n—\｝d.

乂?-L、~，八(〃-1),n(川+〃“)

(2)IJUn項(xiàng)和么式：Sn—ncii+d=3.

3.等差數(shù)列的性質(zhì)一

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=a,n-F(n—m)d(n,機(jī)￡N+).

⑵若｛〃“｝為等差數(shù)列，且2+/=〃z+〃(火，/,m,則次

(3)若｛〃”｝是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+mfak+2mf???(k,m6N+)是公差為

md的等差數(shù)列.

(4)若S為等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和,則數(shù)列S〃，S2nLsm,S3加一S加，…也是等

差數(shù)列.

R知識(shí)拓展提升思維能力

1.兩個(gè)重要技巧

(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間三項(xiàng)為。一d,a,a+d.

(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a-d,a+d,其余各項(xiàng)再依據(jù)等差

數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元.

2.三個(gè)必備結(jié)論

(1)若等差數(shù)列｛m｝的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃，則①S2”=n(a1+。2〃)=…=n[an+1);

②S/—5升=〃d,興=-^~.

OiwUn+\

s,1]

(2)若等差數(shù)列｛m｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃+l,則①S2”+i=(2〃+l)a”+i;磅

Clin.0,

(3)在等差數(shù)列｛?。?，若0>0,d<0則滿足一八的項(xiàng)數(shù)機(jī)使得S“取得最

f如+iW0

W0,

大值S”；若aiVO,40,則滿足，、八的項(xiàng)數(shù)帽使得S取得最小值%.

3.兩個(gè)函數(shù)

等差數(shù)列｛a〃｝,當(dāng)dWO時(shí)，an=dn+(a\-d)f是關(guān)于〃的一次函數(shù)；

S〃=，/2+(0一務(wù)?是無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).

[四基自測(cè)]

1.(基礎(chǔ)點(diǎn):求項(xiàng)數(shù))已知數(shù)列｛跖｝中,?！?3〃+4,若〃〃=13,則〃等于()

A.3B.4

C.5D.6

答案：A

2.(基礎(chǔ)點(diǎn)：求公差)已知等差數(shù)列｛〃“｝滿足：43=13,413=33,則數(shù)列｛“〃｝的公

差為()

A.1B.2

C.3D.4

答案：B

3.(基礎(chǔ)點(diǎn)：求通項(xiàng))己知數(shù)列｛如｝中，0=1,?！?1=小一1,則4〃等于.

答案：一〃+2

4.(基礎(chǔ)點(diǎn)：求等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和)已知等差數(shù)列5,4y,3y,則前〃項(xiàng)和

Sn=.

答案：得(15〃一〃2)

^■考點(diǎn)分類?深度剖析名帥導(dǎo)悟以例示法

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第92頁(yè)

考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算及性質(zhì)

挖掘1用等差數(shù)列的基本量⑶和d進(jìn)行計(jì)算/自主練透

［例1］(1)(2018.高考全國(guó)卷］)記5〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，若3s3=&+S4,

41=2,則45=()

A.-12B.-10

C.10D.12

［解析］設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為d,由3s3=S2+S4,

山=2代入上式，解得4=-3,

故。5=m+(5—l)d=2+4X(—3)=-10.故選B.

［答案］B

(2)(2019?高考全國(guó)卷I)記S為等差數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和.已知S4=0,3=5,

則()

=

A.an=2n—5B.an3n—\0

C.S〃=2〃2—8〃D.S〃=；〃2—2〃

［解析］設(shè)首項(xiàng)為s,公差為d.

m+4d=5,

由S4=0,“5=5可得，

4m+6d=0,

解得

所以a“=-3+2(〃-1)=2〃-5,

.n(〃-1)c

S〃=〃X(-3)+----z----X2=n2-4n.

故選A.

［答案］A

(3)已知等差數(shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)都為整數(shù)，且的=-5,GO4=—1,則⑸|+|。2|+…

+?。1=()

A.70B.58

C.51D.40

［解析］設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為d,

由各項(xiàng)都為整數(shù)得

因?yàn)椤?=—5,所以。3。4=(—5+2J)(—5+3J)=—1,化簡(jiǎn)得6〃-25d+26=0,

解得d=2或4=x（舍去），所以a〃=2n—7,

7X（［+［3）

所以|。1|+|。2|+…+|mo|=5+3+1+1+3+…+13=9+=58.故選

B.

［答案］B

挖掘2用等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算/互動(dòng)探究

［1502］（1）記S〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.若以+。5=24,S6=48,則｛〃“｝的

公差為（）

A.1B.2

C.4D.8

［解析］設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為d,

m+3d+m+4d=24,

A］,6X5

d=48,

，d=4,故選C.

［答案］C

（2）已知｛如｝為等差數(shù)列，41+43+45=105,42+04+。6=99,則420等于（）

A.7B.3

C.-1D.1

［解析］由｛。“｝是等差數(shù)列及m+。3+4=105,

得343=105,即43=35,

由｛〃〃｝是等差數(shù)列及々2+04+^6=99,得3的=99,即々4=33,則公差d=?4—。3

=-2,

則?20=?3+（20-3）6/=35-34=1,故選D.

［答案］D

（3）（2020?廣東第一次模擬）等差數(shù)列l(wèi)og3（2x）,log3（3x）,log3（4x+次，…的第四項(xiàng)

等于（）

A.3B.4

C.log318D.log324

［解析］?.」og3（2x）,Iog3（3x）,log3（4*+2）成等差數(shù)列,

Iog3（2x）+log3（4x+2）=21og3（3x）,

Iog3［2x（4x+2）］=log3（3x）2,

C2x（4x+2）=（3x）2,

2x>0,

???<解得x=4.

4x+2>0,

l3x>0,

???等差數(shù)列的前三項(xiàng)為log38,log312,log318,

3

公差d=logs12-loga8=logs^,

3

數(shù)列的第四項(xiàng)為log318+Iog32=log327=3.

［答案］A

［破題技法］等差數(shù)列的計(jì)算技巧

方法解讀適合題型

基本用小和d表示條件和所求，用方程五個(gè)基本量，aifd,Sn,n,a〃中知

量法思想求出ai和4三求二

性質(zhì)用等差數(shù)列的性質(zhì)將已知和所求聯(lián)

當(dāng)已知中有式的表達(dá)式

法系起來(lái)，用性質(zhì)表示〃〃和S”

L同源異考重在觸類旁通

(2020?河北石家莊一模)已知函數(shù)7U)在(-1,+8)上單調(diào)，且函數(shù))，=//一2)的

圖像關(guān)于直線X=1對(duì)稱，若數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，且正。50)=/351),

則｛。〃｝的前100項(xiàng)的和為()

A.-200B.-100

C.0D.-50

解析：由2)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

可得y=/(x)的圖像關(guān)于直線工=-1對(duì)稱，由數(shù)列｛〃〃｝是公差不為0的等差數(shù)列，

且貝〃50)=人。51),函數(shù)7U)在(-1,+8)上單調(diào)，可得。5。+公1=—2,

又由等差數(shù)列的性質(zhì)得a\+ai(x)=tZ5o+?5i=-2,

100(ai+moo)

100,故選B.

則｛〃“｝的前100項(xiàng)的和為2

答案：B

考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明

挖掘1用等差數(shù)列定義證明/自主練透

［例11(2020?南京模擬)已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S〃且滿足外+25”-5〃-1=

0(〃22),￡7i=1.

(D求證：是等差數(shù)列;

⑵求小的表達(dá)式.

［解析］(1)證明：因?yàn)閍”=S“一S“」(〃22),

11

=

又Cln-2Sn，Sn-lf所以Sn-1—Sn=2S,「Sn-1,S〃W0.因此，=2(〃22),故由

等差數(shù)列的定義知&■］是以卷='=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

dlCl\

(2)由(1)知三=［+?！?)d=2+(〃-1)X2=2〃，

ono\

即S產(chǎn)去

由于當(dāng)〃22時(shí)'有。“=—2&$」=一2〃(二一1)，

又因?yàn)閍i=1,不適合上式.

R(〃=i),

所以a=

n1

(心2).

、2n(M—1)

挖掘2用等差中項(xiàng)法證明/互動(dòng)探究

［例2］己知等比數(shù)列｛m｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為S”.

⑴若S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證：S,。8,45成等差數(shù)列；

(2)若加+2是。n+1和m的等差中項(xiàng)，則S“，S〃+2,S〃+l成等差數(shù)列嗎？

［解析］(1)證明：由S3,59,S6成等差數(shù)列，得S3+S6=2S9.

若q=l,則3m+6m=18勿，解得m=0,這與｛〃〃｝是等比數(shù)列矛盾，所以夕W1,

于是有,—4)?一力=2內(nèi),—q9)整理得夕3+/=2/

1—q1~q1—qn1

因?yàn)橄O且qWl,所以寸=-3，tZ8=^6=^a2,〃5=a2g3=—%2,

所以2〃8=。2+。5,即〃8—Q2=Q5—48,故〃2,〃8,45成等差教列.

(2)依題意，得2小1+2=麗+1+。小，則2。1/|"=。1/"+04〃廠1.在等比數(shù)列｛。〃｝中，

6n=0,qRO,所以2夕2=q+］,解得夕=1或q=一~z.

當(dāng)4=1時(shí)，5,〃+5加+1="以1+(6+1)小=(26+1)。|,S〃1+2=(〃z+2)ai.

因?yàn)閰n工0,所以2SMRSM+Si此時(shí)S”，S〃+2,S〃+i不成等差數(shù)列.

當(dāng)g=_g時(shí)，

=爭(zhēng)[1一(一％+l-(-1)w,+l]

所以2S〃J+2=Sin4Sm+1.

故當(dāng)(］=1時(shí)，Sin,Sm+2fSm+l不成寺差數(shù)列；當(dāng)q=—1時(shí)，Sm,Sm+2fSm+1成

等差數(shù)列.

［破題技法］判定數(shù)列｛如｝是等差數(shù)列的常用方法

(1)定義法：對(duì)任意〃￡N+,小+i—小是同一個(gè)常數(shù).(證明用)

(2)等差中項(xiàng)法:對(duì)任意〃22,〃EN+,滿足2〃〃=〃升|+〃〃i.(證明用)

(3)通項(xiàng)公式法：數(shù)列的通項(xiàng)公式如是〃的一次函數(shù).

(4)前〃項(xiàng)和公式法：數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式S”是〃的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.

提醒：判斷是否為等差數(shù)列，最終一般都要轉(zhuǎn)化為定義法判斷.

［拓展1判斷數(shù)列為等差數(shù)列，也可以利用圖像特點(diǎn)：如果數(shù)列的圖像(孤立的點(diǎn))

分布在一條直線上，則該數(shù)列為等差數(shù)列，否則不是等差數(shù)列.

L同源異考重在觸類旁通

如果小兒C,成等差數(shù)列且不全相等，!，:能構(gòu)成等差數(shù)列嗎？用函數(shù)圖像

解釋一下.

解析：a,b,C成等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為)，=p〃+g的形式，且出b,C位于同一

直線上，

而,，4，，的通項(xiàng)公式為丁=一二的形式.

abc?pn+q

其圖像不是直線，故*:不是等差數(shù)列.

考點(diǎn)三等差數(shù)列前〃項(xiàng)和及綜合問(wèn)題

挖掘1等差數(shù)列的求和及最值/互動(dòng)探究

［例1］(1)(2018.高考全國(guó)卷H)記S”為等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，已知m=-7,

S3=-15.

①求｛m｝的通項(xiàng)公式；

②求S”，并求S“的最小值.

［解析］①設(shè)｛m｝的公差為d,由題意得3山+3d=-15.

由u\——7得d=2.

所以｛。〃｝的通項(xiàng)公式為?！?41+(〃-l)d=2〃-9.

②由①得S”=曳留8〃=(〃-4/一16.

所以當(dāng)〃=4時(shí)，，取得最小值，最小值為一16.

(2)已知數(shù)列■〃｝滿足m=2,“(斯+i—〃一l)=(〃+l>(z+〃)5￡N+).

①求證數(shù)列|答｝是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

②設(shè)為=病;-15,求數(shù)列｛|5|｝的前〃項(xiàng)和Tn.

［解析］①證明：〃-1)=(〃+1)(〃“+〃)(〃WN+),

/.nan+1-(〃+1=2n(n+1),?，?黑;-詈=2,

???數(shù)列愕是等差數(shù)列，其公差為2,首項(xiàng)為2,

.'.~=2+2(w—1)=2〃.

②由①知Cln=2〃2,bn-15=2〃-15,

e…，f,,工一”(-13+2〃-15)1

貝數(shù)列｛。〃｝的前n項(xiàng)和Sn=2=n2-14M.

令瓦=2〃-15W0,解得"W7.

:.〃W7時(shí)，數(shù)列｛|b〃|｝的前/項(xiàng)和

T,t=-b\—bl------bn=—Sn=-"2+14〃

時(shí)，數(shù)列｛|?！眧｝的前n項(xiàng)和Tn=~b\—bi?一加+加+…+b〃=—2S7+S”

=-2X(72—14X7)+〃2—14”=序一14〃+98.

14n—M2,.W7,

?T=?

n［?2—14/7+98,〃28.

［破題技法］等差數(shù)列優(yōu)〃｝的前〃項(xiàng)和S“存在最值的情況：

如果6Z|>0,J<0時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)先正(或0)后負(fù)，將所有正項(xiàng)(或0)相加，則Sn

最大，或者5〃=%+3一9表示開(kāi)口向下的拋物線，S〃存在最大.

如果mVO,J>0,數(shù)列的項(xiàng)先負(fù)(或0)后正，將所有的負(fù)項(xiàng)(或0)相加，則S〃最

小，或者5"=夕2+(4］一多〃表示開(kāi)口向上的拋物線，SA存在最小.

挖掘2等差數(shù)列求和的綜合應(yīng)用/互動(dòng)探究

［例2］(1)(2019.高考全國(guó)卷【)記S〃為等差數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和.已知S9=一〃5.

①若43=4,求｛〃｝的通項(xiàng)公式；

②若0>0,求使得的〃的取值范圍.

［解析］①設(shè)｛如｝的公差為d.

由59=_。5得0+44=0.

由43=4得41+21=4.

于是41=8,d=-2.

因此｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為a〃=10—2幾

②由①得4i=-4d,故a〃=(〃-5)d,

n(/?—9)d

S尸2,

由m>0知d<0,故&等價(jià)于/—15+10W0,解得1W〃W1O,所以〃的取

值范圍是｛W〃W10,

(2)已知等差數(shù)列伍〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，0=-2,公差為d(d￡N+).

①若45=30,求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

②是否存在%〃使S“=10成立？若存在，試找出所有滿足條件的d,〃的值，

并求出數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

［解析］①當(dāng)w=30時(shí)，由〃5=m+4d,

得30=—2+4乩解得d=8.

所以4］=。1+(〃-1)d=8//—10.

所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為必=8〃-10.

②由S〃=10,得一2九+“-)=］(),

即一4〃+加一血=20,

所以飆2-(d+4)〃-20=0.

n=\時(shí)，得一24=0不存在；

〃=2時(shí)，得d=14符合，

此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a-\-(n—\)d=14/?—16;

〃=3時(shí)，得1=竽不符合；

〃=4時(shí)，得d=3符合，

此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為。“=4：+(〃-l)d=3〃-5;

當(dāng)〃=5時(shí)，d=2符合，

此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為m=a+(〃-l)d=2〃-4；

99Q

〃=6時(shí)，得4=正不符合：〃=7時(shí)，得d=,不符合；

13

〃=8時(shí)，得4=逋不符合；〃29時(shí)，dVl均不符合，

所以存在3組滿足題意，其解與相應(yīng)的通項(xiàng)公式分別為

d=14,n=2,a〃=14〃-16;

d=3,〃=4,a〃=3〃-5;

d=2fn=5,an=2n—4.

［破題技法］有關(guān)S”的處理方法

關(guān)于等差數(shù)列前〃項(xiàng)和問(wèn)題，主要是求和方法及性質(zhì)的應(yīng)用，其關(guān)鍵點(diǎn)為：

（1）定性質(zhì)，根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列具有哪些特性.

⑵定方法，根據(jù)已知條件或具有的性質(zhì)，確定解決問(wèn)題的方法.

①求和：用哪個(gè)公式，需要哪些量.

②求S〃最值：（i）借助S“的二次函數(shù)法；

（ii）借用通項(xiàng)的鄰項(xiàng)變號(hào)法

4/1>0,d<0,滿足11八，S”取得最大值以；

%+1so

忘0

?1<0,辦0,滿足1、八，S”取得最小值Sm.

3+BO

挖掘3等差數(shù)列和的性質(zhì)及創(chuàng)新問(wèn)題/互動(dòng)探究

［例3］（1）（2020.河北唐山第二次模擬）設(shè)｛〃”｝是任意等差數(shù)列，它的前幾項(xiàng)和、

前2〃項(xiàng)和與前4〃項(xiàng)和分別為X,Z,則下列等式中恒成立的是（）

A.2X+Z=3YB.4X+Z=4y

C.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y

［解析］設(shè)數(shù)列｛〃“｝的前3〃項(xiàng)的和為R,則由等差數(shù)列的性質(zhì)得X,y-X,R-Yf

Z-R成等差數(shù)列，

所以2（Y-X）=X+R—匕解之得R=3Y-3X,

又因?yàn)?（R-y）=y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故選D.

［答案］D

（2）（2020.湖北黃岡一模）設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為Sn,等差數(shù)列｛b〃｝的前n項(xiàng)

如小T用S“2018〃一I03_

和為4,右元一3〃+4'則iri|以一（）

A.528B.529

C.530D.531

［解析］根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)；狀=等式得.=,=2??1=531.故選D.

On12n-\"3153X3十4

［答案］D

（3）（2020?江西紅色七校第一次聯(lián)考）已知數(shù)列｛汝｝為等差數(shù)列，若〃2+扇+小0=多

則匕。（。3+。9）的值為（）

A.0B坐

C.1D.小

［解析］??,數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列，〃2+。6+。10=,,

4

3676=2，解得。6=不???。3+。9=2。6=?

?。11（43+々9）=1@吟=小.故選D.

［答案］D

(4)中國(guó)古詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分

八子作盤纏，次笫每人多十七，要將笫八數(shù)來(lái)言”.題意是：把996斤綿分給-8

個(gè)兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17

斤綿，那么第8個(gè)兒子分到的綿是()

A.174斤B.184斤

C.191斤D.201斤

［解析］用0,。2,…，48表示8個(gè)兒子按照年齡從大到小得到的綿數(shù)，由題意

得數(shù)列s,42,…，48是公差為17的等差數(shù)列，且這8項(xiàng)的和為996,/.8tzi+—

X17=996,解得s=65.

.*.678=65+7X17=184,即第8個(gè)兒子分到的綿是184斤，故選B.

［答案］B

?同源異考重在觸類旁通

1.(2020?廣東六校第三次聯(lián)考)等差數(shù)列｛〃“｝中,若〃4+。6+制+。10+〃12=120,

則ag—^aw的值是()

A.14B.15

C.16D.17

解析：依題意，由。4+。6+〃8+。1()+。12=120,得5(78=120,即48=24,所以

49—；au=J(3a9-an)=J(a9+a7+4ii-mi)=/a9+a7)=壬8=924=16,故選

C.

答案：C

2.設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝,｛瓦｝的前〃項(xiàng)和分別為S〃，Tn,若對(duì)任意正整數(shù)〃都有*=

Ln

2〃-349.03也在、1

4〃一3'人與5+歷+加+兒的值為-------,

解析：因?yàn)椋?｝,｛d｝為等差數(shù)列,

49」。349J43。9+。346

所以加十歷十力8十九=赤+赤=2b6=下

r&Siia\-\-aw2ci62X11—319“19

因?yàn)榉?市詬=詼=4*11—3=石.所以/=布.

答案:若19

3.設(shè)等差數(shù)列｛m｝的前n項(xiàng)和為Sn,若53=9,S=36,則幻+制+49=.

解析：S3,S6—S3,S9—S6成等差數(shù)列，

即9,27,S9—S6成等差數(shù)列，

。7+。8+。9=59—§6=2X27—9=45.

答案：45

第三節(jié)等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和

回顧教材-夯實(shí)基礎(chǔ)課本溫故追根求理

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第96頁(yè)

［基礎(chǔ)梳理］

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：

①文字語(yǔ)言：從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).

②符號(hào)語(yǔ)言：答,夕為非零常數(shù)).

⑵等比中項(xiàng)：加果小G,b成等比數(shù)列，那么G叫作a與力的等比中項(xiàng).即：

G是。與b的等比中項(xiàng)oa,G,b成等比數(shù)列oG2=?(a、G、b不為零).

2.等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項(xiàng)公式：an=a\(fx1.

⑵前〃項(xiàng)和公式：

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ai(1—q")m—。心

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