七年級數(shù)學上冊經(jīng)典難題培優(yōu)練習

七年級數(shù)學上冊經(jīng)典難題培優(yōu)練習匯總

第一講數(shù)系擴張-有理數(shù)（一）

一、【問題引入與歸納】

1、正負數(shù)，數(shù)軸，相反數(shù)，有理數(shù)等概念。

2、有理數(shù)的兩種分類：

3、有理數(shù)的本質定義，能表成‘（〃70,加，〃互質）。

n

4、性質：①順序性（可比較大?。?；

②四則運算的封閉性（0不作除數(shù)）；

③稠密性：任意兩個有理數(shù)間都存在無數(shù)個有理數(shù)。

5、絕對值的意義與性質：

①②非負性（|a|>0,a2>0）

-a（a<0）

③非負數(shù)的性質：i）非負數(shù)的和仍為非負數(shù)。

ii）幾個非負數(shù)的和為3則他們都為0。

二、【典型例題解析】：

1、若必0,則⑷+學-絆的值等于多少？

abab

2.如果帆是大于1的有理數(shù)，那么加一定小于它的（）

A.相反數(shù)B.倒數(shù)C.絕對值D.平方

3、已知兩數(shù)。、分互為相反數(shù)，c、”互為倒數(shù)，x的絕對值是2,求

f—（a+。+cj丘（公及°°6+（—*2。的值?！?--------J-_尸

（2Ob

4、如果在數(shù)軸上表示a、8兩上實數(shù)點的位置，如下圖所示，那么|。-。|+|。+6|

化簡的結果等于（

A.2aB.-2aC.OD.2b

5、已知（a—3）2+g—21=0,求a”的值是（）

A.2B.3C.9D.6

6、有3個有理數(shù)a,b,c,兩兩不等，那么譬，三,Y中有幾個負數(shù)？

b-cc-aa-b

7、設三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1,的形式式，又可表示為

0,b的形式，求〃㈱+〃助。

a

8、三個有理數(shù)a,b,c的積為負數(shù)，和為正數(shù)，且

x畸+方言*+*+*則*W的值是多少?

9、若a,b,c為整數(shù)，且|a—力產(chǎn)+|.創(chuàng)維耍1,試求|c—。|+用一切+|0-0|的值。

三、課堂備用練習題。

1、計算：1+2-3-4+5+6-7-8+...+2005+20062.計算：1'2+2'3+3、4+…+n(n+l)

.59173365129

3、計算：一+—+—+—+—+----13

248163264

4、已知。力為非負整數(shù)，且滿足|。-。|+"=1,求。力的所有可能值。5、若三

個有理數(shù)a,0,c滿足回+亨+回=1,求空的值。

abcabc

第二講數(shù)系擴張-有理數(shù)(二)

一、【能力訓練點】：

1、絕對值的幾何意義

①表示數(shù)a對應的點到原點的距離。

②1。-。1表示數(shù)。、分對應的兩點間的距離。

2、利用絕對值的代數(shù)、幾何意義化簡絕對值。

二、【典型例題解析】：

1、(1)若—2Ka?0,化簡|a+2|+|a—2|

°，化簡昌號

(2)若x

a

2、設。0,且，試化簡|x+l|—1"-2|

\a\

3、a、〃是有理數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件?

(1)\a+h\=\a\+\h\-(2)|而Hall”；

(3)\a-b\=\b-a\;(4)若|a|=Z?則a=6

(5)若|a||勿，則ab(6)若ab,則|a|\h\

4、若|x+5|+|x-2|=7,求x的取值范圍。

5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上的對應點分別為A、B、C,如果

\a-b\+\b-c\=\a-c\,那么B點在A、C的什么位置？

6、設abed,求|x-a|+|尤一切+|x-c|+|x-d|的最小值。

7^abede是一個五位數(shù),abcde,求|a-。|+|0-c|+|c-d|+|d-e|的

最大值。

8、設4,4,%,。2006都是有理數(shù)，令知=(4+4+/++。2005)

(a2+4+%++①006)，N=(4+a,+q++)(4+%+%++02005)，I式匕匕

較M、N的大小。

三、【課堂備用練習題】：

1、已知/(x)=|x-l|+|x—2|+|x-3|++|x-2002|求/(幻的最小值。

2、若|a+b+l|與(a-6+1)2互為相反數(shù),求3a+2力-1的值。

3、如果a%H(),求^~+也的值。

abc

4、x是什么樣的有理數(shù)時，下列等式成立？

(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|(2)|(7x+6)(3x—5)|=(7x+6)(3x—5)

|x-|x||

5、化簡下式:

x

第三講數(shù)系擴張-有理數(shù)(三)

一、【能力訓練點】：

1、運算的分級與運算順序；

2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運算的法則。

(1)加法法則：同號相加取同號，并把絕對值相加；異號相加取絕對值較

大數(shù)的符號，并用較大絕對值減較小絕對值；一個數(shù)同零相加得原數(shù)。

(2)減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

(3)乘法法則：幾個有理數(shù)相乘，奇負得負，偶負得正，并把絕對值相乘。

(4)除法法則：除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

3、準確運用各種法則及運算順序解題，養(yǎng)成良好思維習慣及解題習慣。

二、【典型例題解析】：

1、計算：0.75+2+(+0.125)+1―12亍+—4—

2、計算：(1)、6噢■—G)

(2)、(-18.75)+(+6.25)+(-3.25)+18.25

⑶、(-42|)+區(qū)卜［+6撲112；1

324

3、計算:①卜一(+L75)

⑵3.75一(LM一與+4|卜0.125

(3)0+1-(-l)-f-1\(+5)---+H

757

(5)-4.035xl2+7.535xl2-36x(——-+—)

9618

5、計算：⑴(-2)3+3X(-1)2-(-1)4

⑵-l^_(l-0.5)xlx[3-{-3)2]

⑶ONI卜到嚀-0-2,

7、計算：(---)x[0.253+(--)3]-(5--1.25-4-)^[(0.45)2+(2-^―)3]+(-1)2002

81634242001

第四講數(shù)系擴張-有理數(shù)（四）

一、【能力訓練點】：

1、運算的分級與運算順序；

2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運算的法則。

3、巧算的一般性技巧：

①湊整（湊0）；②巧用分配律

③去、添括號法則；④裂項法

4、綜合運用有理數(shù)的知識解有關問題。

二、【典型例題解析】：

23797

1、計算：0.7x1一一6.6x——2.2+—+0.7x3+33+—

1173118

111

+-+—++

341996

3、計算：@-22+(-2)2-13.14-^|--1-3.141

②5-3x{-2+4x[-3X(-2)2-(-4)+(-1)']-7}

4、化簡：(x+y)+(2x+I^y)+(3x+七y)+(9x+￡y)并求當x=2,y=9時

的值。

,、-n22+l32+l42+ln2+1

5、計算：S“=F—+--+——++2

n22-132-l42-lH-1

6、比較5“=梟12+63+44++n(與2的大小。

Z4o10Z

1Q471114

7、計算：(上——)x10.253+(——)3]_(5——1.25-4—)+[(0.45)2+(2——)3]+(-1)2002

81634242001

8、已知。、b是有理數(shù)，且。b,含c=土等，》=詈￡,y=請將

a,b,c,x,y按從小到大的順序排列。

三、【備用練習題】:

222_

1、計算(1)-+——+——+——+---⑵+++99xl01

42870130208M3^5

2、計算：20071—20061+20052004，+1---

232323

3、計算：(-J)x(-J)x(—J)xx(—l」一)

2342006

4、如果=求代數(shù)式臉簽篝的值。

5、若。、〃互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，根的絕對值為2,求

a2-Z?2+—4-(1-2/舟病的值。

cd

第五講、代數(shù)式(一)

一、【能力訓練點】：

(1)列代數(shù)式；(2)代數(shù)式的意義；

(3)代數(shù)式的求值(整體代入法)

二、【典型例題解析】：

1、用代數(shù)式表示：

(1)比x與)，的和的平方小龍的數(shù)。

(2)比。與人的積的2倍大5的數(shù)。

(3)甲乙兩數(shù)平方的和(差)。

(4)甲數(shù)與乙數(shù)的差的平方。

(5)甲、乙兩數(shù)和的平方與甲乙兩數(shù)平方和的商。

(6)甲、乙兩數(shù)和的2倍與甲乙兩數(shù)積的一半的差。

(7)比。的平方的2倍小1的數(shù)。

(8)任意一個偶數(shù)(奇數(shù))

(9)能被5整除的數(shù)。

(10)任意一個三位數(shù)。

2、代數(shù)式的求值：

/八一.-2。一〃「4八、皿_^2(2。一力)3(。+/?)”,‘

(1)已知一1=5,求代數(shù)式~—+T—"的值。

a+ba+b2a-b

(2)已知X+2V+5的值是7,求代數(shù)式3X+6V+4的值。

(3)已知a=2)；c=5a,求6"+二”'的值匕=。)

a-4b+c

(4)已知:-1=3,求網(wǎng)若?的值。

baa-b+2ab

(5)已知：當x=l時，代數(shù)式PY+qx+l的值為2007,求當x=T時,

代數(shù)式分+/+1的值。

(6)已知等式(24-78口+(34-88)=8*+10對一切彳都成立，求A、B

的值。

(7)已知(l+x)2(l-x)=a+fex+cx2+公3,求a+人+c+d的值。

(8)當多項式療+加-1=0時,求多項式〃+2療+2006的值。

3、找規(guī)律：

I.(1)(l+2)2—F=4(l+l);(2)(2+2>—22=4(2+1)

(3)(3+2)2—32=4(3+1)(4)(4+2)2-42=4(4+1)

第N個式子呢？_________________________________

II.已知2+-=22X-；3+-=32X-；

3388

4+—=42X—；若10+@=1（）2'0

1515bb

（a、6為正整數(shù)），求a+3=?

III.13=12；F+23=32；13+23+33=62;『+23+33+43=1（）2；猜想:

3333

I+2+3+4+濟3;

三、【備用練習題】:

1、若⑺+〃)個人完成一項工程需要加天，則〃個人完成這項工程需要多少

天？

3

2、已知代數(shù)式3y2-2)，+6的值為8,求代數(shù)式2y?一y+i的值。

3、某同學到集貿(mào)市場買蘋果，買每千克3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，

而余下的錢都買了每千克2元的蘋果，則該同學所買的蘋果的平均價格是每千克

多少元？

4、已知<2?+,=—Lj-(〃=1,2,.求當a,=1時,

1+—

凡

隼%+/+%?

第六講代數(shù)式(二)

一、【能力訓練點】：

(1)同類項的合并法則；

(2)代數(shù)式的整體代入求值。

二、【典型例題解析】：

1、已知多項式2y+5d-9孫2f3%+3叼2-陽+7經(jīng)合并后，不含有y的項,

求2〃?+〃的值。

2、當50-(2a+3加2達到最大值時，求1+4〃_9/的值。

3、已知多項式2a3-a2+a-5與多項式N的2倍之和是4/—2/+2a—4,求N?

4、若a,。,c互異，且-7=丁匚=工，求x+y+Z的值。

a-bb-cc-a

5、已知加2+加一1=0,求加3+2加2+2(X)5的值。

6、已知nr-mn=\5,mn-rr二一6,求3〃，一加九一2r的值。

nh

7、已知均為正整數(shù)，且?guī)?1,求一；+廠二的值。

a+1b+\

8、求證11112222等于兩個連續(xù)自然數(shù)的積。

2006個12006個2

9、已知"c=l,求—J的值。

10、一堆蘋果，若干個人分，每人分4個，剩下9個，若每人分6個，最后一個

人分到的少于3個，問多少人分蘋果？

三、【備用練習題】：

1、已知必=1,比較M、N的大小。

一117ab

M=-----+------,N=-----------+------------o

1+。1+。1+a1+/?

2、已知x—1=0,求d—2x+l的值。

3、已知上="-=^」=K,求K的值。

y+zx+zx+y

4、a=3",/?=4",c=533,比較a,。,c的大小。

5^已知2a2-3a-5=0,求4公一3+96-10的值。

第七講發(fā)現(xiàn)規(guī)律

一、【問題引入與歸納】

我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來，再從理論

上來證明這一規(guī)律的一般性，這是人們認識客觀法則的方法之一”。這種以退為進，尋找規(guī)

律的方法，對我們解某些數(shù)學問題有重要指導作用，下面舉例說明。

能力訓練點：觀察、分析、猜想、歸納、抽象、驗證的思維能力。

二、【典型例題解析】

1、觀察算式：

(l+3)x2.,_(l+5)x3.7(1+7*4IO_(1+9)X5

1+3=-------------,1+3+3$=--------------,1+3+3+/---------------,1++3++S3+7/+4-O9=--------------,

2222

按規(guī)律填空：1+3+5+...+99=?,

1+3+5+7+...+(2/7-1)=?

2、如圖是某同學在沙灘上用石子擺成的小

房子。觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第〃個小?????

????????

房子用了多少塊石子？：?:Y:：：：：：：：:：

3、用黑、白兩種顏色的正六邊形地面磚(如圖

第3個

所示)的規(guī)律，拼成若干個圖案：(1)第3個圖第1個第2個

案中有白色地面磚多少塊？(2)第〃個圖案中有白色地面磚多少塊?

4、觀察下列一組圖形，如圖，根據(jù)其變化規(guī)律，可得第1。個圖形中三角形的

個數(shù)為多少？第〃個圖形中三角形的個數(shù)為多

第I個訪4個

5、觀察右圖，回答下列問題:①②

(1)圖中的點被線段隔開分成四層，則第一層有1個點，第二層有

3個點，第三層有多少個點，第四層有多少個點?

??@?

(2)如果要你繼續(xù)畫下去，那第五層應該畫多少個點，第n層有多少個點?

(3)某一層上有77個點，這是第幾層？

(4)第一層與第二層的和是多少？前三層的和呢？前4層的和呢？你有沒

有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？根據(jù)你的推測，前12層的和是多少？

6、讀一讀：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的

和，由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可將

100

“1+2+3+4+5+…+100”表示為、＞，這里"Z”是求和符號，例如

M=1

“1+3+5+7+9+...+99”(即從1開始的100以內的連續(xù)奇數(shù)的和)可表示為

Z50(2〃一l)；又如“F+23+33+43+53+63+73+83+93+103''可表示為1X0”,同學

?=]n=l

們，通過以上材料的閱讀，請解答下列問題：

(1)2+4+6+8+10+…+100(即從2開始的100以內的連續(xù)偶數(shù)的和)用求

和符號可表示為；

(2)計算：fW-l)=(填寫最后的計算結果)。

/!=1

7、觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

3x5=15,而15=42/5x7=35,而35=62-1.......

11x13=143,而143=122-1.....

將你猜想的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來o

I3—?1|234

8、請你從右表歸納出計算a+23+33+…+1?的分式，并算出?一2468

33—?36912

13+2，+33+...+10()3的值。43—?481216

三、【跟蹤訓練題】1

1、有一歹|」數(shù)4,02,?3,4a”,其中：q=6x2+1,a2=6x3+2,q=6x4+3,?4=6x5+4;...

貝I」第〃個數(shù)4,=,當《,=2001時，n=

2、將正偶數(shù)按下表排成5列

第1列第2列第3列第4列第5列

第一行2468

第二行16141210

第三行18202224

......2826

根據(jù)上面的規(guī)律，則2006應在_____行列。

3、已知一個數(shù)列2,5,9,14,20,x,35…則x的值應為：（）

4、在以下兩個數(shù)串中:

1,3,5,7,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,1990,

1993,1996,1999,同時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有（）個。A.333

B.334C.335D.336

5、學校閱覽室有能坐4人的方桌，如果△△

多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌A||AA|||A

拼成一行能坐6人（如右圖所示）按照這△△△

種規(guī)定填寫下表的空格:

拼成一行的桌子數(shù)123n

人數(shù)46

6、給出下列算式：

32-I2=8x1

52-32=8x2

72-52=8x3

92-72=8x4

觀察上面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，用代數(shù)式表示這個規(guī)律：

7、通過計算探索規(guī)律：

152=225可寫成100x1x(1+1)+25

252=625可寫成100x2x(2+1)+25

352=1225可寫成100x3x(3+1)+25

452=2025可寫成100x4x(4+1)+25

752=5625可寫成__________________

歸納、猜想得：(10n+5)2=________________________

根據(jù)猜想計算：19952=_________________________

8、已知『+22+3?+—F"?=’〃(〃+1)(2〃+1),計算：

6

112+122+132+...+192=;

9、從古到今，所有數(shù)學家總希望找到一個能表示所有質數(shù)的公式，有位學者

提出：當n是自然數(shù)時，代數(shù)式d+n+41所表示的是質數(shù)。請驗證一下，當n=40

時，d+n+41的值是什么？這位學者結論正確嗎？

第八講綜合練習(一)

1、若0=5,求盧?+是號的值。

x+y2x+2y3x-3y

2、已知|x+y-9|與(2x-y+3>互為相反數(shù)，求

3、已知|x-2|+x-2=0,求x的范圍。

4、判斷代數(shù)式區(qū)口工的正負。

X

<Iabed|^.\a\\b\\c\\d\._

5、右求一+丁+——+—r的值。

abedabed

6^若|曲—21+3—1)2=0,^―+-------1-------+--------1-------+

ab(a+l)(Z?+l)(a+2)(6+2)

________1________

(a+2007)(/?+2007)

7、已知一2x3,化簡|x+2|—|x—3|

8、已知。力互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，機的絕對值等于2,P是數(shù)軸上的表示

原點的數(shù)，求尸.-加的值。

abed

9、問口中應填入什么數(shù)時，才能使|2006x-20061=2006

10、a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，---1--------1_i-----------..------?

6Q0C1X

化簡：|a+^|+|Zj-l|-|a-c|-|l-c|-|2^-3|

11、若a0,h0,求使|x-a|+|x-Z7|=|a-Z?|成立的x的取值范圍。

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

12、計算:

2^

小2004x2004-2004b_2005x2005-2005

13已］a=________________

2003x2003+2003--2004x2004+2004

2006x2006-2006.,

?CluCo

2005x2005+2005

999]i9

14、已知尸=訶,q=/，求尸、。的大小關系。

15、有理數(shù)仇c均不為0,且a+gc=0。設尢,刈+里+上求代數(shù)

b+cc+aa+b

式"9一99%+2008的值。

第九講一元一次方程(一)

一、知識點歸納：

1、等式的性質。2、一元一次方程的定義及求解步驟。

3、一元一次方程的解的理解與應用。4、一元一次方程解的情況討論。

二、典型例題解析：

1、解下列方程：⑴亨=平—1(2)|=x+2;

32155

(3)0.7+0-X-0-=-~<

0.20.5

2、能否從(a-2)x=h+3;得到x="|,為什么？反之，能否從得

a-2a-2

至!J(a-2)x=b+3,為什么？

3、若關于x的方程誓'=2+目攻，無論K為何值時，它的解總是x=l,

3o

求加、〃的值。

4、若(31+1)5=火爐+。4/++。4工+。0。求。5—%+%—%+4—。0的值。

5、已知％=1是方程g〃?x=3x-g的解，求代數(shù)式(m2—7加+9嚴7的值。

6、關于x的方程(2Z-l)x=6的解是正整數(shù)，求整數(shù)K的值。

7、若方程28—^_^=4-6工與方程2如一^^=2-^^同解，求機的值。

546

8、關于工的一元一次方程(m2-l)x2-(m+l)x+8=0求代數(shù)式

20?*x吊(小的值。

YXxx

9、解方程法H---------4--------H----------------------=2006

2x33x42006x2007

10、已知方程2(x+1)=3(%-1)的解為a+2,求方程2[2(x+3)-3。-a)]=3。的解。

11、當a滿足什么條件時，關于x的方程|x-2|-|x-5|=a,①有一解；②有無

數(shù)解；③無解。

第十講一元一次方程(2)

一、能力訓練點：

1、列方程應用題的一般步驟。

2、利用一元一次方程解決社會關注的熱點問題(如經(jīng)濟問題、利潤問題、增

長率問題)

二、典型例題解析。

1、要配制濃度為20%的硫酸溶液100千克，今有98%的濃硫酸和10%的硫

酸，問這兩種硫酸分別應各取多少千克?

2、一項工程由師傅來做需8天完成，由徒弟做需16天完成，現(xiàn)由師徒同時

做了4天，后因師傅有事離開，余下的全由徒弟來做，問徒弟做這項工程共花了

幾天？

3、某市場雞蛋買賣按個數(shù)計價，一商販以每個0.24元購進一批雞蛋，但在

販運途中不慎碰壞了12個，剩下的蛋以每個0.28元售出，結果仍獲利11.2元，

問該商販當初買進多少個雞蛋？

4、某商店將彩電按原價提高40%,然后在廣告上寫“大酬賓，八折優(yōu)惠”，

結果每臺彩電仍可獲利270元，那么每臺彩電原價是多少？

5、一個三位數(shù)，十位上的數(shù)比個位上的數(shù)大4,個位上的數(shù)比百位上的數(shù)小2,

若將此三位數(shù)的個位與百位對調，所得的新數(shù)與原數(shù)之比為7:4,求原來的三位

數(shù)？

6、初一年級三個班，完成甲、乙兩項任務，（一）班有45人，（二）班有50人,

（三）班有43人，現(xiàn)因任務的需要，需將（三）班人數(shù)分配至（一）、（二）兩

個班，且使得分配后（二）班的總人數(shù)是（一）班的總人數(shù)的2倍少36人，問:

應將（三）班各分配多少名學生到（一）、（二）兩班？

7、一個容器內盛滿酒精溶液，第一次倒出它的;后，用水加滿，第二次倒出它

的;后用水加滿，這時容器中的酒精濃度為25%,求原來酒精溶液的濃度。

8、某中學組織初一同學春游，如果租用45座的客車，則有15個人沒有座位；

如果租用同數(shù)量的60座的客車，則除多出一輛外，其余車恰好坐滿，已知租用

45座的客車日租金為每輛車250元，60座的客車日租金為每輛300元，問租用

哪種客車更合算？租幾輛車?

9、1994年底，張先生的年齡是其祖母的一半，他們出生的年之和是3838,問

到2006年底張先生多大？

10、有一滿池水，池底有泉總能均勻地向外涌流，已知用24部A型抽水機，6

天可抽干池水，若用21部A型抽水機13天也可抽干池水，設每部抽水機單位

時間的抽水量相同，要使這一池水永抽不干，則至多只能用多少部A型抽水機

抽水？

11、狗跑5步的時間，馬能跑6步，馬跑4步的距離，狗要跑7步，現(xiàn)在狗已跑

出55米，馬開始追它，問狗再跑多遠馬可以追到它？

12、一名落水小孩抱著木頭在河中漂流，在A處遇到逆水而上的快艇和輪船，

因霧大而未被發(fā)現(xiàn)，1小時快艇和輪船獲悉此事，隨即掉頭追救，求快艇和輪船

從獲悉到追及小孩各需多少時間?

數(shù)形結合談數(shù)軸

一、閱讀與思考

數(shù)學是研究數(shù)和形的學科，在數(shù)學里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的。我們常用代數(shù)的方法來處

理幾何問題；反過來，也借助于幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間

的相互作用叫數(shù)形結合，是一種重要的數(shù)學思想。

運用數(shù)形結合思想解題的關鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結合的有力

工具，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小；

4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關的問題。

二、知識點反饋

1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

例1：已知有理數(shù)。在數(shù)軸上原點的右方，有理數(shù)｝在原點的左方，那么（）

A.ab<bB.ab>bC.a+b>0D.a-b>0

拓廣訓練：

1、如圖a/為數(shù)軸上的兩點表示的有理數(shù)，在a+b,/?—2aM—用母一向中，負數(shù)的個數(shù)

有（）

（“祖沖之杯”邀請賽試題）7b>

A.1B.2C.3D.4

3、把滿足2<同45中的整數(shù)。表示在數(shù)軸上，并用不等號連接。

2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

例2:如果數(shù)軸上點A到原點的距離為3,點B到原點的距離為5,那么A、B兩點的距離

為O

拓廣訓練：

1、在數(shù)軸上表示數(shù)。的點到原點的距離為3,則〃-3=q

2、已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1,點A與原點。的距離為3,那么所有

滿足條件的點B與原點0的距離之和等于。（北京市“迎春杯”競賽題）

3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小；

例3：已知a>0,b<0且a+b<0,那么有理數(shù)a,b,-a,\k\的大小關系

是o（用“〈”號連接）（北京市“迎春杯”競賽題）

拓廣訓練：

1、若m<0,〃>0且|網(wǎng)>網(wǎng)，比較一機,一",m+〃，加一〃，〃一〃？的大小，并用“>”號連接。

例4：已知a<5比較同與4的大小

拓廣訓練：

1、已知。>-3,試討論M與3的大小2、已知兩數(shù)。力，如果。比b大，試判斷M與網(wǎng)

的大小

4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關的問題。

例5:有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子同+網(wǎng)+,+4+卜一4化簡結果為

-------------------???A

（）-la01bc

A.2。+38一。B.3b-cC.b+cD.c-b

拓廣訓練:

1、有理數(shù)a,Ac在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡卜+4-|8一1|一|。一［一|1一。|的結果

.A

為。baOc1

2、已知,+4+,-4=加，在數(shù)軸上給出關于a力的四種情況如圖所示，則成立的

------------------>------------------->------------------->-------------

是-?——0-0bb0a0abOba

①②③④

3、已知有理數(shù)“，4c在數(shù)軸上的對應的位置如下圖：則|c一1|+,一4+|。一母化簡后的結

果是（）

（湖北省初中數(shù)學競賽選撥賽試題）~一；-----0-----~b------>

A.h—\B.2a—h—1C.1+2?！猦—2cD.1-2c4-b

三、培優(yōu)訓練

1、已知是有理數(shù)，且-lT+（2y+l）2=0,那以x+y的值是（）

13133

A.—B.—C.不或一彳D.一1或不

22222

2、（07樂山）如圖，數(shù)軸上一動點A向左移動2個單位長度到達點8,再向右移45個單

位長度到達點C.若點C表示的數(shù)為1,則點A表示的數(shù)為（）:C

A.7B.3C.-3D.-201

3、如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應的數(shù)分別

是整數(shù)a,b,c,△且d-2a=10,那么數(shù)軸的原點應是（）“BCD

A.A點B.B點C.C點D.D點

4、數(shù)。，ac,d所對應的點A,B,C,D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么a+c與匕+”的大

A.a+c<h+dB.a+c-b+dC.a+c>b+dD.不確定的

5、不相等的有理數(shù)。，dc在數(shù)軸上對應點分別為A,B,C,若|a—母+心一4=心一4，那

么點B（）

A.在A、C點右邊B.在A、C點左邊C.在A、C點之間D.以上均有可能

6、設丁=上-1+卜+1|,則下面四個結論中正確的是（）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）

A.y沒有最小值B.只一個x使y取最小值

C.有限個為（不止一個）使y取最小值D.有無窮多個x使y取最小值

7、在數(shù)軸上，點A,B分別表示和;，則線段AB的中點所表示的數(shù)是

8、若a>0,b<0,則使,一。|+,一4=a-b成立的x的取值范圍是。

Iiod95

9、X是有理數(shù)，則x-S+x+行的最小值是___________-

|221|221

10、已知。涉,c,4為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：-dbO―a-

且聞=胭=洞=44=6,求pa-2d\-\3b-2d［+\2b-<\的值。

11、（南京市中考題）（1）閱讀下面材料：

點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)。/，A、B兩點這間的距離表示為K4,當A、B兩點中

有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1,|49=|。9=|4=,一身；當A、B兩點都

O（A）B

不在原點時，L

ob

①如圖2,點A、B都在原點的右邊=|04一］。4|=例一向=人一〃=,一4；AB

???A

②如圖3,點A、8都在原點的左邊|4同=|0月一|04=舊_時=4_（_“）=卜—3；'

③如圖4,點A、B在原點的兩邊|A耳=|。4|+|。耳=可+|4=。+（）=1一用。

BA0

???A

綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離［Aq=|a—4。bao

BOA_

（2）回答下列問題：~b一o丁

①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離

是,數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是;

②數(shù)軸上表示X和-1的兩點A和B之間的距離是,如果口q=2,那么X

為；

③當代數(shù)式k+1|+|九—2］取最小值時，相應的x的取值范圍是;

④求|x—1|+|x—2|+|x—3|+…+k—199才的最小值0

聚焦絕對值

一、閱讀與思考

絕對值是初中代數(shù)中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要

學習的算術根可以有進一步的理解;絕對值又是初中代數(shù)中一個基本概念，在求代數(shù)式的值、

代數(shù)式的化簡、解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值

概念應注意以下幾個方面：

1、脫去絕值符號是解絕對值問題的切入點。

脫去絕對值符號常用到相關法則、分類討論、數(shù)形結合等知識方法。

去絕對值符號法則：

a(a>0)

|a|=<0(a=0)

-a(a<0)

2、恰當?shù)剡\用絕對值的幾何意義

從數(shù)軸上看M表示數(shù)。的點到原點的距離；表示數(shù)。、數(shù)卜的兩點間的距離。

3、靈活運用絕對值的基本性質

222

①時20(2)|a|=|a|=a③|叫=時.回⑤

,+44何+|4⑥,一廳2|4-帆

二、知識點反饋

1、去絕對值符號法則

例1：已知同=5,網(wǎng)=3且,一4=。一。那么"+匕=。

拓廣訓練：

1、已知時=1,網(wǎng)=2，H=3,且a>b>c,那么(a+0-c)2=。(北京市“迎春

杯”競賽題)

2、若同=8,網(wǎng)=5,且。+6〉0,那么。一人的值是()

A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-13

2、恰當?shù)剡\用絕對值的幾何意義

例2:卜+1|+上一1|的最小值是()

A.2B.0C.1D.-1

解法1、分類討論

當x<一］時，,+1|+?—1|=-(x+1)_(x_1)=_2x>2；

當一］?彳41時，卜+1|+,_1|=%+］_@_1)=2；

當x>1時,+1|+,一=x+l+(x—l)=2x>2。

比較可知，k+i|+k-1|的最小值是2,故選A。

解法2、由絕對值的幾何意義知卜-1|表示數(shù)X所對應的點與數(shù)1所對應的點之間的距離；

k+i|表示數(shù)無所對應的點與數(shù)-1所對應的點之間的距離；k+i|+|x-1的最小值是指x點

到1與-1兩點距離和的最小值。如圖易知―*~1-1'1-「

X-JLXLX

當時，,+1|+歸一1|的值最小，最小值是2故選A。

拓廣訓練：

1、已知,一3|+卜+2|的最小值是a,卜一31Tx+2］的最大值為"求a+b的值。

三、培優(yōu)訓練

A

1、如圖，有理數(shù)。涉在數(shù)軸上的位置如圖所示:0b

則在a+仇b-2a,一時,|a-4|a+21Hh-4|中，負數(shù)共有（）（湖北省荊州市競賽題）

A.3個B.1個C.4個D.2個

2、若利是有理數(shù)，則帆一m一定是（）

A.零B.非負數(shù)C.正數(shù)D.負數(shù)

3、如果卜一2|+%—2=0,那么無的取值范圍是（）

A.x>2B.x<2C.x>2D.x<2

4、a/是有理數(shù)，如果,一4=。+匕，那么對于結論（1）。一定不是負數(shù)；（2）匕可能

是負數(shù)，其中（）（第15屆江蘇省競賽題）

A.只有（1）正確B.只有（2）正確C.（1）（2）都正確D.（1）（2）都不正確

5、已知|a|=—a,則化簡一1|一|。一2|所得的結果為（）

A?—1B.1C.2a—3D?3—2。

6、已知04a44,那么|a—2|+|3—。|的最大值等于（）

A.1B.5C.8D.9

7、已知々，氏c都不等于零，且工=廠[+.+1+^~~—r，根據(jù)a,〃,c的不同取值，工有（）

\a\HIdm

A.唯一確定的值B.3種不同的值C.4種不同的值D.8種不同的值

8、滿足卜一母=同+忖成立的條件是（）（湖北省黃岡市競賽題）

A.ab>0B.ab>\C.ab<0D.ab<1

|x-5||x-2|Ixl

9、若2cx<5,則代數(shù)式J~^一三二+這的值為____________o

x—52—xx

10、若而>0,則@+曲一的的值等于__________。