2023–2024學年七年級數(shù)學下冊單元速記與巧練（人教版）第五章 相交線與平行線知識突破（原卷版）

第五章相交線與平行線（知識歸納+題型突破）1.熟練掌握對頂角，鄰補角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運用；3.了解命題的概念及構成，并能通過證明或舉反例判定命題的真假；4.了解平移的概念及性質(zhì).知識點一相交線1.對頂角、鄰補角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點邊的關系大小關系對頂角112∠1與∠2有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補角有公共頂點∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線.鄰補角互補即∠3+∠4=180°特別說明：⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角.對頂角的特征:有公共頂點，角的兩邊互為反向延長線.⑵如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角.鄰補角的特征:有公共頂點，有一條公共邊，另一邊互為反向延長線．⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個.2.垂線及性質(zhì)、點到直線的距離（1）垂線的定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.如圖1所示，符號語言記作：AB⊥CD，垂足為O.特別說明：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個角中，是否有一個角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點P到直線AB的距離是垂線段PO的長.特別說明：垂線段PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條.知識點二平行線1．平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．特別說明：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.2．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.特別說明：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點．（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．3．兩條平行線間的距離如圖3，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離.特別說明：（1）兩條平行線之間的距離處處相等.（2）初中階級學習了三種距離,分別是兩點間的距離、點到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點在于都是線段的長度,它們的區(qū)別是兩點間的距離是連接這兩點的線段的長度,點到直線距離是直線外一點引已知直線的垂線段的長度,平行線間的距離是一條直線上的一點到與之平行的另一直線的距離.（3）如何理解“垂線段”與“距離”的關系：垂線段是一個圖形，距離是線段的長度，是一個量，它們之間不能等同.知識點三命題及平移1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．每個命題都由題設、結(jié)論兩部分組成.題設是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項.2.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移．特別說明：平移的性質(zhì)：（1）平移后，對應線段平行（或共線）且相等；（2）平移后，對應角相等；（3）平移后，對應點所連線段平行（或共線）且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.【題型一對頂角、領補角的定義理解】例題1：（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┫铝懈鲌D中，與是對頂角的是（

）A．B．C．D．例題2．（2023下·福建泉州·七年級校考期中）下列圖形中，與是鄰補角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式訓練】1.（2022上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┫铝袌D中，和是對頂角的有（

）個．

A．個 B．個 C．個 D．個2．（2023下·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）下列四個選項中，與互為鄰補角的是（

）A．

B．

C．

D．

【題型二對頂角、領補角性質(zhì)的應用】例題：（2023上·山東濱州·七年級?？计谥校┤鐖D，直線相交于點O，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【變式訓練】1．（2023下·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交于點O．

(1)寫出的鄰補角．(2)寫出的對頂角．(3)如果，求的度數(shù)．2．（2023下·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和相交于點O，把分成兩部分，且，平分．(1)的對頂角為，的鄰補角為；(2)若，求度數(shù)．【題型三垂線的定義的理解與應用】例題：如圖，，，垂足為，則下面的結(jié)論中，不正確的是（）A．點到的垂線段是線段B．與互相垂直C．與互相垂直D．線段的長度是點到的距離【變式訓練】1．過點C向AB邊作垂線段，下列畫法中正確的是（）A．B．C．D．2．如圖所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點C到AB的垂線段是線段AB；④點A到BC的距離是線段AD；⑤線段AB的長度是點B到AC的距離；⑥∠BAD=∠C．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【題型四利用垂線的定義求角的度數(shù)】例題：（2023上·河南商丘·七年級?？茧A段練習）如圖，直線、相交于點，射線在內(nèi)部，且．過點作．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，那么平分嗎？為什么？【變式訓練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學?？计谥校┮阎喝鐖D，直線與直線交點O，，平分．(1)如圖1，求證：平分；(2)如圖2，，在直線的下方，若平分，平分，，求的度數(shù)．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校?？茧A段練習）已知：直線、相交于點．

(1)如圖1，，求的度數(shù)．(2)如圖2，射線、在直線的上方，且，作平分，求與的數(shù)量關系．(3)如圖3，在（2）的條件下，當于，在下方作于，射線在的內(nèi)部，平分，若，，求的度數(shù)．【題型五點到直線的距離與垂線段最短】例題：如圖，點，，是直線上的三點，點在直線外，，垂足為，，，，則點到直線的距離是______．【變式訓練】1．（2023下·七年級課時練習）如圖，，垂足為D，，垂足為F，則點C到直線的距離是；點E到直線的距離是；點C到直線的距離是；點E到直線的距離是．2．如圖，BC⊥AC，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm．那么點B到AC的距離是_____，點A、B兩點的距離是_____，點C到AB的距離是_____．【題型六同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別】例題：（2023下·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┤鐖D，的同旁內(nèi)角是，的內(nèi)錯角是，的同位角是．

【變式訓練】1．如圖所示，與是_________角，是直線________和直線________被直線_____所截而形成的，與是_____角，是直線________和直線___________被直線__________所截而形成的．2．如圖，（1）∠1和∠ABC是直線AB、CE被直線________所截得的________角；（2）∠2和∠BAC是直線CE、AB被直線________所截得的________角；（3）∠3和∠ABC是直線________、________被直線________所截得的________角；（4）∠ABC和∠ACD是直線________、________被直線_________所截得的________角；（5）∠ABC和∠BCE是直線________、________被直線________所截得的________角．【題型七平行線的判定】例題：（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，，，．請說明線段BE與DF的位置關系？為什么？【變式訓練】1．已知如圖所示，，點、、在同一條直線上，，且平分，試說明的理由．2．如圖，射線BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求證：AB∥CD．【題型八添加一條件使兩條直線平行】例題：如圖，點E在AC的延長線上，若要使，則需添加條件_______（寫出一種即可）【變式訓練】1．如圖，填寫一個能使ABCD的條件：_________．2．如圖，要使，需補充一個條件，你認為這個條件應該是______（填一個條件即可）．【題型九根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度】例題：（2023下·浙江溫州·七年級?？计谀┤鐖D，已知，分別是射線，上的點．連接，平分，平分，．(1)試說明；(2)若，求的度數(shù)．【變式訓練】1．（2023上·河北邢臺·八年級校考階段練習）如圖，于點P．

(1)求證：；(2)若平分，交于點C，且，求的度數(shù)．2．（2023上·浙江金華·八年級?？奸_學考試）如圖，在三角形中，是上一點，，交于點，是上一點，．(1)與平行嗎？請說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【題型十平行線的性質(zhì)在生活中的應用】例題：已知：某小區(qū)地下停車場的欄桿如圖所示，當欄桿抬起到最大高度時∠ABC=150°，若此時CD平行地面AE，則_________度．【變式訓練】1．光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，則∠2＝______．2．如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．【題型十一平行線的性質(zhì)與判定綜合應用】例題：（2023下·四川成都·八年級校考期中）如圖1，中，的平分線交于O點，過O點作平行線交于D、E．(1)請寫出圖1中線段之間的數(shù)量關系？并說明理由．(2)如圖2，若的平分線與的外角平分線交于O，過點O作平行線交于D，交于E．那么之間存在什么數(shù)量關系？并證明這種關系．【變式訓練】1．（2023上·全國·八年級專題練習）已知，，直線交于點，交于點，點在線段上，過作射線、分別交直線、于點、．(1)如圖，當時，求的度數(shù)；(2)如圖，若和的角平分線交于點，求和的數(shù)量關系；(3)如圖，在（）的基礎上，當，且，時，射線繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設運動時間為秒，當射線與的一邊互相平行時，請直接寫出的值．2．（2023下·吉林長春·九年級?？茧A段練習）如果兩個角的差等于，就稱這兩個角互為“兄弟角”．其中一個角叫做另一個角的“兄弟角”．例如，，，則a和β互為“兄弟角”，即a是β的“兄弟角”，β也是α的“兄弟角”．

(1)已知和互為“兄弟角”．，且和互補，求的度數(shù)．(2)在中，，是的角平分線，①如圖1，點P在射線上，平分，與射線交于點N，若與互為“兄弟角”，求的度數(shù)．②如圖2，若，射線平分且與射線交于點N，若與互為“兄弟角”，則的度數(shù)為．③如圖3，若于點P，、相交于點F，若與互為“兄弟角”，直接寫出的度數(shù)．【題型十二命題的判定與逆命題】例題：下列命題是真命題的是（

）A．同位角相等B．兩個銳角的和是銳角C．若兩個角的和為，則這兩個角互補D．相等的角是對頂角【變式訓練】1．下列命題中，其逆命題是假命題的是（

）A．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 B．若，則C．銳角與鈍角互為補角 D．相等的角是對頂角2．下列命題的逆命題正確的是(

)A．對頂角相等 B．直角三角形兩銳角互余C．全等三角形的對應角相等 D．全等三角形的面積相等【題型十三生活中的平移現(xiàn)象】例題：（2023下·廣西南寧·七年級校考期中）下圖是德勝中學的?；?，將它通過平移可得到的圖形是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式訓練】1．（2024上·黑龍江綏化·七年級?？计谀┫铝羞\動屬于平移的是（

）A．蕩秋千 B．地球繞著太陽轉(zhuǎn)C．風箏在空中隨風飄動 D．急剎車時，汽車在地面上的滑動2．（2023下·浙江溫州·七年級溫州市第十二中學校聯(lián)考期中）下列大學?；湛梢钥闯墒怯蓤D案自身的一部分經(jīng)平移后得到的為（）A．

B．

C．

D．

【題型十四圖形的平移】例題：（2023下·天津東麗·七年級統(tǒng)考期中）如圖，沿方向平移得到，已知，，則平移的距離．

【變式訓練】1．（2023下·重慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，邊長為的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此時陰影部分的面積為．

2．（2023下·浙江溫州·七年級?？茧A段練習）如圖，長方形中，，，現(xiàn)將該長方形沿方向平移，得到長方形，若重疊部分的面積為16，則長方形向右平移的距離為cm．【題型十五平移作圖】例題：（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，的頂點均在小正方形的頂點上．(1)把先向右移動5個單位長度，再向下移動3個單位長度得到，畫出（其中點A的對應點為，點B的對應點為，點C的對應點為）；(2)連接，，判定與的位置關系，并寫出的面積．【變式訓練】1．（2022下·福建廈