2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)八平面對(duì)量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.下列各組向量中,不能作為平面內(nèi)全部的向量的基底的一組是 ()A.a=(-1,2),b=(0,5)B.a=(1,2),b=(2,1)C.a=(2,-1),b=(3,4)D.a=(-2,1),b=(4,-2)【解析】選D.因?yàn)?-2)×(-2)-1×4=0,所以a與b共線,不能作為平面內(nèi)向量的基底.2.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分別與x,y軸正方向相同且為單位向量).與共線,則x,y的值可能分別為 ()A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4【解析】選B.由題意知,=(1,2),=(3-x,4-y).因?yàn)椤?所以4-y-2(3-x)=0,即2x-y-2=0.只有B選項(xiàng),x=2,y=2代入滿意.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)向量a,b滿意|a|=2QUOTE,b=(2,1),且a與b的方向相反,則a的坐標(biāo)為 ()A.(-4,-2) B.(3,4)C.(4,2) D.(-3,-4)【解析】選A.因?yàn)閎=(2,1),且a與b的方向相反,所以設(shè)a=(2λ,λ)(λ<0).因?yàn)閨a|=2QUOTE,所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2.所以a=(-4,-2).3.若a=(x,2),b=QUOTE,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,則c-2d等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(1,2) D.(-1,-2)【解析】選D.c=(x+1,4),d=QUOTE,因?yàn)?(x+1)=4QUOTE,所以x=1.所以c=(2,4),d=QUOTE,c-2d=(-1,-2).4.設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,則向量A.(1,-1) B.(-1,1)C.(-4,6) D.(4,-6)【解析】選D.因?yàn)?a,3b-2a,c對(duì)應(yīng)的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-5.已知向量a=(1,2),b=(0,1),設(shè)u=a+kb,v=2a-bA.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.v=2(1,2)-(0,1)=(2,3),u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k).因?yàn)閡∥v,所以2(2+k)-1×3=0,解得k=-QUOTE.6.(多選題)下列向量組中,不能作為表示它們所在平面內(nèi)全部向量的基底的是 ()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=QUOTE【解析】選ACD.A中向量e1為零向量,所以e1∥e2;C中e1=QUOTEe2,所以e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),給出下列結(jié)論:①直線OC與直線BA平行;②+=;③+=;④=-2.其中,正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______.

【解析】①因?yàn)?(-2,1),=(2,-1),所以=-,又直線OC,BA不重合,所以直線OC∥BA,所以①正確;②因?yàn)?=≠,所以②錯(cuò)誤;③因?yàn)?=(0,2)=,所以③正確;④因?yàn)?(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以④正確.答案:①③④【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k的值是________.

【解析】=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以,共線,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-QUOTE.答案:-QUOTE8.對(duì)于隨意的兩個(gè)向量m=(a,b),n=(c,d),規(guī)定運(yùn)算“?”為m?n=(ac-bd,bc+ad),運(yùn)算“⊕”為m⊕n=(a+c,b+d).設(shè)m=(p,q),若(1,2)?m=(5,0),則(1,2)⊕m等于________.

【解析】由(1,2)?m=(5,0),可得QUOTE解得QUOTE所以(1,2)⊕m=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0).答案:(2,0)三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】方法一:由O,P,B三點(diǎn)共線,可設(shè)=λ=(4λ,4λ),則=-=(4λ-4,4λ),=-=(-2,6).由與共線得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=QUOTE,所以=QUOTE=(3,3),所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3).方法二:設(shè)P(x,y),則=(x,y),因?yàn)?(4,4),且與共線,所以QUOTE=QUOTE,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且與共線,則得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3).10.在△ABC中,已知點(diǎn)A(3,7),B(-2,5).若線段AC,BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上,求點(diǎn)C的坐標(biāo).【解析】(1)若AC的中點(diǎn)在y軸上,則BC的中點(diǎn)在x軸上,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得QUOTE=0,QUOTE=0,所以x=-3,y=-5,即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5).(2)若AC的中點(diǎn)在x軸上,則BC的中點(diǎn)在y軸上,則同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-7).綜合(1)(2),知C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5)或(2,-7).(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,假如c∥d,那么 ()A.k=1且c與d同向 B.k=1且c與d反向C.k=-1且c與d同向 D.k=-1且c與d反向【解析】選D.若c∥d,則c=λd,所以(k,1)=λ(1,-1),所以k=λ=-1,所以k=-1,且c與d反向.2.已知點(diǎn)A(-1,1),點(diǎn)B(2,y),向量a=(1,2),若∥a,則實(shí)數(shù)y的值為 ()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選C.=(3,y-1),又∥a,所以(y-1)-2×3=0,解得y=7.3.下列向量中,與向量c=(2,3)不共線的一個(gè)向量p= ()A.(3,2) B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)橄蛄縞=(2,3),對(duì)于A,2×2-3×3=-5≠0,所以A中向量與c不共線.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-2b共線,則QUOTE= ()A.2B.3C.±2D.-2【解析】選D.向量a=(2,3),b=(-1,2),則ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),若ma+nb與a-2b共線,所以-2m+n=12m+8n,即14m=-7n,所以QUOTE=-2.4.(多選題)已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),(1,-5),則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 ()A.(1,5) B.(-3,-5)C.(3,5) D.(5,-5)【解析】選ABD.設(shè)A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四個(gè)頂點(diǎn)為D,①若這個(gè)平行四邊形為?ABCD,則=,所以D(-3,-5);②若這個(gè)平行四邊形為?ACDB,則=,所以D(5,-5);③若這個(gè)平行四邊形為?ACBD,則=,所以D(1,5).綜上所述,D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).二、填空題(每小題5分,共20分)5.設(shè)向量a=(1,2),b=(2,3).若向量λa+b與向量c=(-4,-7)共線,則λ=________.

【解析】λa+b=(λ+2,2λ+3),因?yàn)?λa+b)∥c,所以-7(λ+2)=-4(2λ+3)?λ=2.答案:26.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起點(diǎn)為A(1,2),終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

【解析】由b∥a,可設(shè)b=λa=(-2λ,3λ).設(shè)B(x,y),則=(x-1,y-2)=b.由QUOTE?QUOTE又B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,則1-2λ=0或3λ+2=0,所以BQUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a=(QUOTE,1),b=(0,-1),c=(k,QUOTE),若a-2b與c共線,則k=________.

【解析】a-2b=(QUOTE,3),依據(jù)a-2b與c共線,得3k=QUOTE×QUOTE,解得k=1.答案:17.如圖所示,在四邊形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),則直線AC與BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)P(x,y),則=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).由B,P,D三點(diǎn)共線可得=λ=(5λ,4λ).又因?yàn)?-=(5λ-4,4λ),由與共線得,(5λ-4)×6+12λ=0,解得λ=QUOTE,所以=QUOTE=QUOTE,所以P的坐標(biāo)為QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知A(-1,4),B(x,-2),若C(3,3)在直線AB上,則x=________.

【解析】=(x+1,-6),=(4,-1),因?yàn)椤?所以-(x+1)+24=0,所以x=23.答案:238.(雙空題)已知a=(1,0),b=(2,1).當(dāng)k=______時(shí),ka-b與a+2b共線,若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三點(diǎn)共線,則m=________.

【解析】ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因?yàn)閗a-b與a+2b共線,所以2(k-2)-(-1)×5=0,得k=-QUOTE.方法一:因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以=λ,λ∈R,即2a+3b=λ(a+mb),所以QUOTE解得m=QUOTE.方法二:=2a+3b=(8,3),=a+mb=(2m+1,m),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以∥,故8m-3(2m+1)=0,m=QUOTE.答案:-QUOTEQUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.如圖,已知四邊形ABCD是正方形,∥,||=||,EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:AF=AE.【證明】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則A(-1,1),B(0,1),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y),則=(x,y-1),=(1,-1).因?yàn)椤?所以x×(-1)-1×(y-1)=0.①又||=||,所以x2+y2=2.②由①②聯(lián)立,解得點(diǎn)E的坐標(biāo)為QUOTE.設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x′,1),由=(x′,1)和=QUOTE共線,得QUOTEx′-QUOTE=0,所以x′=-(2+QUOTE),所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-2-QUOTE,1).所以=(-1-QUOTE,0),=QUOTE,所以||=1+QUOTE=||,即AF=AE.10.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).(1)若點(diǎn)A,B,C不能構(gòu)成三角形,求x,y滿意的條件;(2)若=2,求x,y的值.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C不能構(gòu)成三角形,則A,B,C三點(diǎn)共線.由=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y)得=(3,1),=(2-x,1-y),所以3(1-y)=2-x.所以x,y滿意的條件為x-3y+1=0.(2)=(-x-1,-y),由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),所以QUOTE解得QUOTE11.如圖,在?OABP中,過(guò)點(diǎn)P的直線與線段OA,OB分別相交于點(diǎn)M,N,若=x,=y(0<x<1).(1)求y=f(x)的解析式;(2)令F(x)=QUOTE+x,推斷F(x)的單調(diào)性,并給出你的證明.【解析】(1)==-,=-=x-y,=-=(-)-x=-(1+x)+