彈性力學基礎：平衡方程與能量原理

彈性力學基礎：平衡方程與能量原理1彈性力學概述1.1彈性力學的基本概念彈性力學是固體力學的一個分支，主要研究彈性體在外力作用下的變形和應力分布。它基于連續(xù)介質力學的基本假設，即材料可以被視為連續(xù)的、無間隙的介質，其中的物理量（如位移、應力、應變）是連續(xù)變化的。彈性力學的核心在于建立和求解描述彈性體行為的數學模型，這些模型通常包括平衡方程、幾何方程和物理方程。1.1.1彈性體的定義連續(xù)性：彈性體內部的物理量是連續(xù)分布的。均勻性：材料的性質在彈性體內部是均勻的。各向同性：材料的性質在所有方向上都是相同的。線彈性：應力與應變之間存在線性關系，遵循胡克定律。1.1.2胡克定律胡克定律是彈性力學中的基本定律，描述了在彈性范圍內，應力與應變之間的線性關系。對于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應力，?是應變，E是彈性模量，一個材料的固有屬性。1.2彈性體的變形與應力在彈性力學中，變形和應力是兩個關鍵概念，它們描述了彈性體在外力作用下的響應。1.2.1應變應變是描述物體變形程度的物理量。對于線性彈性材料，應變可以分為線應變和剪應變。線應變描述了物體在某一方向上的長度變化，而剪應變描述了物體在某一平面上的形狀變化。1.2.2應力應力是描述物體內部單位面積上力的大小。它分為正應力和剪應力。正應力是垂直于物體表面的應力，而剪應力是平行于物體表面的應力。1.2.3平衡方程平衡方程描述了彈性體內部的力平衡條件。在三維情況下，平衡方程可以表示為：???其中，σx,σy,σz是正應力，τxy,τ1.2.4幾何方程幾何方程描述了位移與應變之間的關系。在小變形情況下，幾何方程可以簡化為：???γγγ其中，?x,?y,?z1.2.5物理方程物理方程，也稱為本構方程，描述了應力與應變之間的關系。對于線性彈性材料，物理方程遵循胡克定律，可以表示為：σ其中，σij是應力張量，?kl1.2.6示例：計算彈性體的應力和應變假設我們有一個簡單的彈性體，其彈性模量E=200GPa，泊松比ν#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義外力

Fx=1000#x方向的拉力，單位：N

#定義物體的尺寸

A=0.01#截面積，單位：m^2

L=1#原始長度，單位：m

#計算應力

sigma_x=Fx/A

#計算應變

epsilon_x=sigma_x/E

#輸出結果

print(f"應力：{sigma_x:.2f}Pa")

print(f"應變：{epsilon_x:.6f}")在這個例子中，我們首先定義了材料的彈性模量和泊松比，以及物體受到的外力和尺寸。然后，我們使用這些信息來計算x方向的應力和應變。最后，我們輸出計算得到的應力和應變值。通過這個簡單的例子，我們可以看到彈性力學中計算應力和應變的基本過程。在實際應用中，彈性力學的計算可能涉及到更復雜的幾何形狀、邊界條件和載荷分布，需要使用數值方法（如有限元法）來求解。2彈性力學基礎：平衡方程2.1靜力學平衡條件在彈性力學中，靜力學平衡條件是分析結構或物體在力作用下保持平衡狀態(tài)的基礎。這些條件確保了在所有方向上的力和力矩的平衡，從而物體不會發(fā)生加速運動或旋轉。靜力學平衡條件可以分為兩類：力的平衡：在物體上作用的所有外力的矢量和為零。力矩的平衡：在物體上作用的所有外力產生的力矩的矢量和為零。2.1.1力的平衡對于一個三維物體，力的平衡條件可以表示為：∑這意味著在x、y、z三個方向上的力的總和必須為零。2.1.2力矩的平衡同樣，對于一個三維物體，力矩的平衡條件可以表示為：∑這意味著繞x、y、z軸的力矩總和也必須為零。2.2彈性力學中的平衡方程推導平衡方程在彈性力學中描述了物體內部應力與外力之間的關系。這些方程基于牛頓第二定律，即力等于質量乘以加速度。在彈性力學中，我們關注的是物體內部的應力分布，因此平衡方程通常表示為應力分量與外力分量之間的關系。2.2.1基本假設在推導平衡方程時，我們通常假設：物體是連續(xù)的，即應力和應變在物體內部是連續(xù)分布的。物體是可變形的，但變形是小的，可以忽略不計。物體內部的應力和應變遵循胡克定律。2.2.2平衡方程在直角坐標系中，平衡方程可以表示為：???其中，σx,σy,σz是正應力分量，τ2.3平衡方程的求解方法平衡方程的求解通常需要結合邊界條件和初始條件。在彈性力學中，邊界條件可以是應力邊界條件或位移邊界條件，而初始條件通常涉及物體的初始位移和速度。2.3.1解析解法對于一些簡單幾何形狀和載荷分布的彈性問題，可以使用解析方法求解平衡方程。這通常涉及到將方程簡化為常微分方程或偏微分方程，然后使用數學方法求解。2.3.2數值解法對于復雜幾何形狀和載荷分布的彈性問題，解析解法可能不適用。此時，可以使用數值方法求解平衡方程，如有限元方法（FEM）或邊界元方法（BEM）。有限元方法示例假設我們有一個簡單的二維彈性問題，其中物體受到均勻分布的外力作用。我們可以使用有限元方法來求解平衡方程。#導入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義問題的尺寸和網格

L=1.0#物體的長度

H=0.5#物體的高度

n=10#網格的節(jié)點數

#創(chuàng)建節(jié)點坐標

x=np.linspace(0,L,n)

y=np.linspace(0,H,n)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

nodes=np.vstack((X.ravel(),Y.ravel())).T

#創(chuàng)建有限元網格

elements=[]

foriinrange(n-1):

forjinrange(n-1):

elements.append([i*n+j,i*n+j+1,(i+1)*n+j+1,(i+1)*n+j])

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

rho=7800#密度

#定義外力

f=np.array([0,-10])#均勻分布的外力

#創(chuàng)建剛度矩陣和質量矩陣

K=lil_matrix((2*n*n,2*n*n))

M=lil_matrix((2*n*n,2*n*n))

#填充剛度矩陣和質量矩陣

fore,nodes_einenumerate(elements):

#計算每個元素的剛度矩陣和質量矩陣

Ke=...

Me=...

#將元素矩陣添加到全局矩陣中

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[nodes_e[i]*2:nodes_e[i]*2+2,nodes_e[j]*2:nodes_e[j]*2+2]+=Ke[i*2:i*2+2,j*2:j*2+2]

M[nodes_e[i]*2:nodes_e[i]*2+2,nodes_e[j]*2:nodes_e[j]*2+2]+=Me[i*2:i*2+2,j*2:j*2+2]

#應用邊界條件

#假設物體的底部固定

foriinrange(n):

K[i*2:i*2+2,:]=0

K[i*2:i*2+2,i*2:i*2+2]=1

M[i*2:i*2+2,:]=0

#求解位移

u=spsolve(K.tocsr(),M.tocsr()*f)

#輸出結果

print(u)在這個示例中，我們首先定義了問題的尺寸和網格，然后創(chuàng)建了節(jié)點坐標和有限元網格。接著，我們定義了材料屬性和外力，創(chuàng)建了剛度矩陣和質量矩陣，并填充了這些矩陣。最后，我們應用了邊界條件，并使用spsolve函數求解了位移。2.3.3結論平衡方程是彈性力學分析中的核心部分，它們描述了物體內部應力與外力之間的關系。通過解析解法或數值解法，我們可以求解這些方程，從而得到物體的應力和位移分布。在實際應用中，數值解法，特別是有限元方法，由于其靈活性和準確性，被廣泛使用。3能量原理3.1能量的基本概念在物理學中，能量是一個基本概念，它描述了物體或系統進行工作的能力。能量可以以多種形式存在，如動能、勢能、熱能、電能等。在彈性力學中，我們主要關注的是與物體變形相關的能量，即彈性能量和應變能。3.1.1彈性能量與應變能彈性能量彈性能量是指當物體在外力作用下發(fā)生變形時，物體內部儲存的能量。這種能量是由于物體內部的應力和應變而產生的。當外力撤除后，物體能夠恢復原狀，釋放出儲存的能量。應變能應變能是彈性能量的一種具體形式，它與物體的應變狀態(tài)直接相關。在彈性力學中，應變能通常表示為應變能密度，即單位體積的應變能。應變能密度可以由應變能函數計算得出，該函數是應變分量的函數。3.2能量原理在彈性力學中的應用能量原理在彈性力學中被廣泛應用于求解結構的平衡狀態(tài)和穩(wěn)定性問題。其中，最小勢能原理和最小余能原理是最為重要的兩個原理。3.2.1最小勢能原理最小勢能原理指出，在靜力平衡狀態(tài)下，系統的總勢能（包括外力勢能和應變能）達到最小值。這意味著，當一個彈性體在給定的邊界條件下達到平衡時，其應變能加上外力勢能的總和是最小的。示例假設一個簡單的彈性桿，兩端受到外力作用，桿的長度為L，截面積為A，彈性模量為E，外力為F。桿的伸長量為δ，則桿的應變能U和外力勢能V可以分別表示為：UV系統的總勢能Π為：Π對Π關于δ求導，并令導數為零，可以找到使總勢能達到最小值的δ值：d解得：δ這表明，當桿的伸長量為FA3.2.2最小余能原理最小余能原理是能量原理的另一種形式，它指出在給定的位移邊界條件下，系統的余能（外力做功減去應變能）達到最小值。余能的最小化通常用于求解彈性體的應力分布。示例考慮一個彈性體，其內部應力分布為σ，應變分布為ε，外力分布為f。系統的應變能U和外力做功W可以分別表示為：UW其中，V是彈性體的體積，u是位移向量，:表示雙點積運算，?表示點積運算。系統的余能Π為：Π在給定的位移邊界條件下，對Π關于應力σ求變分，并令變分為零，可以找到使余能達到最小值的應力分布σ。3.3結論能量原理在彈性力學中提供了求解結構平衡狀態(tài)和穩(wěn)定性問題的有力工具。通過最小勢能原理和最小余能原理，我們可以有效地分析和計算彈性體的變形和應力分布，這對于工程設計和分析具有重要意義。4彈性力學基礎：實例分析4.1平面應力問題的平衡方程與能量分析在彈性力學中，平面應力問題通常發(fā)生在薄板結構中，其中應力在厚度方向上可以忽略。對于這樣的問題，我們可以通過平衡方程和能量原理來分析和求解。4.1.1平衡方程平面應力問題的平衡方程可以表示為：??其中，σx和σy分別是x和y方向的正應力，τxy是剪應力，fx4.1.2能量分析能量原理在彈性力學中是一個強大的工具，它基于系統總能量的最小化。對于平面應力問題，總能量E可以表示為：E其中，σij是應力張量，εij是應變張量，fi是外力，u4.1.3示例分析假設我們有一個矩形薄板，其尺寸為Lx×Ly，厚度為h，受到均勻分布的外力fximportnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性和幾何參數

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

Lx=1.0#薄板長度，單位：m

Ly=1.0#薄板寬度，單位：m

h=0.01#薄板厚度，單位：m

fx=1e6#x方向外力，單位：N/m^2

fy=1e6#y方向外力，單位：N/m^2

#定義有限元網格

nx=10

ny=10

dx=Lx/nx

dy=Ly/ny

#創(chuàng)建剛度矩陣和力向量

K=lil_matrix((nx*ny*2,nx*ny*2))

F=np.zeros(nx*ny*2)

#定義材料屬性矩陣

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

#構建剛度矩陣

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

ifi<nx-1andj<ny-1:

#計算單元的剛度矩陣

Ke=np.zeros((4,4))

forkinrange(4):

forlinrange(4):

Ke[k,l]=D[0,0]*(i==lori==l+1)*(j==korj==k+1)*dx*dy

#將單元剛度矩陣添加到總剛度矩陣中

K[i*ny*2:(i+1)*ny*2,j*ny*2:(j+1)*ny*2]+=Ke

#構建力向量

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

F[i*ny*2]+=fx*dx*dy

F[i*ny*2+1]+=fy*dx*dy

#求解位移向量

U=spsolve(K.tocsc(),F)

#輸出位移向量

print(U)這個例子中，我們使用了有限元方法來求解平面應力問題。我們首先定義了材料屬性和幾何參數，然后創(chuàng)建了有限元網格，并構建了剛度矩陣和力向量。最后，我們求解了位移向量，并輸出了結果。4.2軸對稱問題的能量原理應用軸對稱問題在工程中很常見，如管道、圓柱體等。能量原理可以簡化這類問題的求解過程。4.2.1能量原理對于軸對稱問題，能量原理可以表示為：E其中，r是徑向坐標，θ是角度坐標，z是軸向坐標。4.2.2示例分析假設我們有一個圓柱形管道，其內徑為Ri，外徑為Ro，長度為L，受到內壓importnumpyasnp

fromegrateimportquad

#定義材料屬性和幾何參數

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

Ri=0.5#內徑，單位：m

Ro=1.0#外徑，單位：m

L=1.0#長度，單位：m

pi=1e6#內壓，單位：Pa

#定義應變能密度函數

defstrain_energy_density(r):

#計算應力和應變

sigma_r=pi*(Ro**2-r**2)/(Ro**2-Ri**2)

sigma_theta=pi*(Ro**2+r**2)/(Ro**2-Ri**2)

sigma_z=pi*(Ro**2*Ri**2)/(r**2*(Ro**2-Ri**2))

epsilon_r=sigma_r/E

epsilon_theta=sigma_theta/E

epsilon_z=sigma_z/E

#計算應變能密度

return0.5*(sigma_r*epsilon_r+sigma_theta*epsilon_theta+sigma_z*epsilon_z)*r

#計算應變能

strain_energy,_=quad(strain_energy_density,Ri,Ro)

#輸出應變能

print("應變能:",strain_energy*L*2*np.pi)這個例子中，我們使用了能量原理來求解軸對稱問題。我們首先定義了材料屬性和幾何參數，然后定義了應變能密度函數，并使用數值積分來計算應變能。最后，我們輸出了應變能的結果。4.3維彈性問題的平衡方程求解三維彈性問題的平衡方程可以表示為：???其中，σx、σy和σz分別是x、y和z方向的正應力，τxy、τxz和τyz分別是xy、xz和yz平面的剪應力，4.3.1示例分析假設我們有一個立方體，其尺寸為L×L×L，受到均勻分布的外力fx、fimportnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性和幾何參數

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

L=1.0#立方體邊長，單位：m

fx=1e6#x方向外力，單位：N/m^3

fy=1e6#y方向外力，單位：N/m^3

fz=1e6#z方向外力，單位：N/m^3

#定義有限元網格

nx=10

ny=10

nz=10

dx=L/nx

dy=L/ny

dz=L/nz

#創(chuàng)建剛度矩陣和力向量

K=lil_matrix((nx*ny*nz*3,nx*ny*nz*3))

F=np.zeros(nx*ny*nz*3)

#定義材料屬性矩陣

D=E/(1+nu)/(1-2*nu)*np.array([[1-nu,nu,nu,0,0,0],[nu,1-nu,nu,0,0,0],[nu,nu,1-nu,0,0,0],[0,0,0,(1-2*nu)/2,0,0],[0,0,0,0,(1-2*nu)/2,0],[0,0,0,0,0,(1-2*nu)/2]])

#構建剛度矩陣

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

forkinra