蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.28 第2章 對(duì)稱圖形-圓（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）（含答案）

第2章對(duì)稱圖形——圓（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．已知的半徑是一元二次方程的一個(gè)根，圓心O到直線l的距離，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．相切或相交2．如圖，在中，，，，以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫弧交邊于點(diǎn)P，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，則線段的長(zhǎng)為（

）

A．5 B．8 C． D．4．如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E都在上，是直徑，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．如圖，過(guò)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)M是第三象限內(nèi)圓上一點(diǎn)，，則的半徑為（

）

A．4 B．5 C．6 D．26．如圖，直線、、分別與相切于點(diǎn)、、且，若，，則等于（）A． B． C． D．7．如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在扇形中，C為的中點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．如圖，將半徑為的圓形紙片沿折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過(guò)圓心，用圖中陰影部分的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）A． B． C． D．10．圖1是一張圓形紙片；如圖2，將圓形紙片作兩次對(duì)折，且折痕，垂足為點(diǎn)；如圖3，把紙片展開后，再將圓形紙片沿弦折疊，使兩點(diǎn)，重合，折痕與相交于點(diǎn)，連接，，，．下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．四邊形是菱形 B．為等邊三角形C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．若點(diǎn)P到上的所有點(diǎn)的距離中，最大距離為8，最小距離為2，那么的半徑為．12．已知：如圖，是的直徑，弦交于E點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為．13．如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，若，，則的半徑為．14．如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則．15．如圖，四邊形是內(nèi)接四邊形，，，連接，于點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為．

16．如圖，是的外接圓，，于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）（填“，或”）：（2）若，，則．17．如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，，分別交于點(diǎn)，，若該圓的半徑為12，則線段的長(zhǎng)為．18．如圖，四邊形是正方形，其中，…依次連接，它們的圓心依次按A、B、C、D循環(huán)．當(dāng)時(shí)，曲線的長(zhǎng)度是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）如圖，以的邊上一點(diǎn)為圓心的圓，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)，為的下半圓弧的中點(diǎn)，連接交于，若．（1）連接，求證：；（2）若，，求的半徑．20．（8分）如圖，已知是半徑為1的的直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，，．（1）求證：為等邊三角形；（2）若，求證：．21．（10分）如圖，AB為的直徑，C為上一點(diǎn)，的切線BD交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：；（2）若，．求CD的長(zhǎng)．22．（10分）如圖，已知是的外接圓，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，交于，．（1）求證：是的切線；（2）若，．求圖中陰影部分的面積．23．（10分）【特例解決】（1）如圖1，經(jīng)過(guò)菱形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作的直徑，交邊于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，連接，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)H，．與是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？【深入探究】（2）如圖2，若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，，三條線段的關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）在第2問(wèn)的基礎(chǔ)上，求證：．24．（12分）綜合與探究問(wèn)題情境：如圖，已知為的直徑，點(diǎn)C為上異于A，B的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作的切線，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，連接．

（1）探究發(fā)現(xiàn)：證明：無(wú)論點(diǎn)C在何處，將沿折疊，點(diǎn)D一定落在直徑上；（2）探究引申：如圖2，勤奮小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若是等腰三角形且對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，此時(shí)，與存在數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；（3）探究規(guī)律：如圖3，智慧小組在勤奮小組的啟發(fā)下發(fā)現(xiàn)當(dāng)為正三角形時(shí)，與存在的數(shù)量關(guān)系是：______．參考答案：1．B【分析】本題考查一元一次方程的解法，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)與方法，求出一元一次方程的解并且判斷圓心到直線的距離與的半徑之間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)的半徑為，解一元一次方程得，，則，所以，可知直線與圓相離，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：設(shè)的半徑為，解一元一次方程得，，∵的半徑是一元二次方程的一個(gè)根，∴，∵圓心到直線的距離，∴，∴直線與相離，故選：B．2．D【分析】本題考查了勾股定理，圓的基本性質(zhì)，由勾股定理得到，由題意得到，即可求解，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，∵以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫弧交邊于點(diǎn)P，∴，∴，故選：D．3．B【分析】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，先連接，根據(jù)已知條件求出，從而求出，然后根據(jù)勾股定理求出，由垂徑定理求出答案即可．【詳解】解：連接，

∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故選：B4．C【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出根據(jù)圓周角定理得到進(jìn)而求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】解：如圖,連接,，，∵是的直徑,，，∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，故選:.5．A【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，坐標(biāo)與圖形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到，再由的圓周角所對(duì)的弦是直徑得到是直徑，求出，進(jìn)而求出，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵、、、都在圓上，，∴，∵，∴是的直徑，，∵，∴，∴，∴的半徑為4，故選：A．6．D【分析】此題主要是考查了切線長(zhǎng)定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理，即可證明，再根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)，再結(jié)合切線長(zhǎng)定理即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：，，，；

∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．故選：．7．D【分析】本題考查正多邊形內(nèi)角和公式、正多邊形的中心角，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可以求得的度數(shù)，根據(jù)周角等于，可以求得的度數(shù)，然后即可計(jì)算出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，，，，故選：D．8．B【分析】連接，判定是等邊三角形，推出，由圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，由弧長(zhǎng)公式即可求出；本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定，弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是判定是等邊三角形，掌握弧長(zhǎng)公式．【詳解】解：連接∵，∴是等邊三角形∴∵C為的中點(diǎn)，∴∴∴的長(zhǎng)故選：B．9．A【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，解直角三角形；作于，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得等于半徑的一半，即，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出，則，所以，則利用弧長(zhǎng)公式可計(jì)算出弧AB的長(zhǎng)，再求出底面圓的半徑為，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐的高．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可知，，則由此可得，在中，，同理可得，在中，由三角形內(nèi)角和定理，得．弧AB的長(zhǎng)為．設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為，則，．圓錐的高為．故選A．10．D【分析】由翻折性質(zhì)以及垂徑定理證明菱形即可判斷A；由等邊對(duì)等角作出判斷即可；先判斷為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；利用扇形面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，，．由垂徑定理知垂直平分，，互相垂直平分，四邊形是菱形，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；，，．，，，．同理可得，，是等邊三角形，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；，，，．，，是等邊三角形，，，，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；設(shè)圓的半徑為，則，，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D【點(diǎn)撥】本題圓的綜合題型，主要考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵．11．或者【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分點(diǎn)P在外和內(nèi)兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在外時(shí)，最大距離與最小距離之差等于直徑；當(dāng)點(diǎn)P在內(nèi)時(shí)，最大距離與最小距離之和等于直徑，即可得．【詳解】解：點(diǎn)P在外時(shí)，外一點(diǎn)到上所有的點(diǎn)的距離中，最大距離是，最小距離是，的半徑長(zhǎng)等于；點(diǎn)P在內(nèi)時(shí)，內(nèi)一點(diǎn)到上所有的點(diǎn)的距離中，最大距離是，最小距離是，的半徑長(zhǎng)等于，故答案為：或者．12．42【分析】本題考查了勾股定理和垂徑定理，過(guò)O作于F，連接，根據(jù)垂直定義得出，即可求出，求出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)垂徑定理得出，即可求出答案,能熟記垂徑定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，過(guò)O作于F，連接，則，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∵，過(guò)圓心O，∴，∴故答案為：．13．【分析】本題主要考查了圓綜合．熟練掌握?qǐng)A周角定理推論，含30°的直角三角形性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)直徑性質(zhì)得出，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理求出，即得．（方法不唯一）【詳解】連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∵，，∴，解得，，∴．∴的半徑為．故答案為：．14．【分析】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是的直徑，，，∴，∴；故答案為：．15．【分析】連接，由，得到，求得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，求得，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，

∵，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，，根據(jù)在同圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等可得，根據(jù)等角的余角相等可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，即可推得；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，結(jié)合（1）中結(jié)論和根據(jù)等角的余角相等可得，結(jié)合對(duì)頂角相等可得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，設(shè)，則，根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖：

∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．（2）解：∵，∴，∵，∴，由（1）得：，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等；熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接正六邊形．熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，含的直角三角形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．含的直角三角形性質(zhì)：三邊是的關(guān)系．連接、，根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到是等邊三角形，得到，推出，，得到，得到，推出，，得到是等邊三角形，即得．【詳解】連接、，∵六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，圓的半徑為12，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴．故答案為：．18．【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)計(jì)算公式應(yīng)用，根據(jù)題意得出扇形半徑是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)題意得出扇形半徑，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式求出即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得出：，，，，∴曲線的長(zhǎng)度為：．故答案為：．19．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了垂徑定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)．（1）連接，由圓的性質(zhì)可得，根據(jù)，可得，由垂徑定理可得，然后借助角關(guān)系轉(zhuǎn)化可得結(jié)論；（2）在由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：連接，，，，，為的下半圓弧的中點(diǎn)，，，，；（2）在中，，，（不合題意舍去）或，的半徑為．20．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由圓周角定理得出，則，由直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出，再證，得出即可；（2）由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出，證，則，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：是半徑為1的圓直徑，，，，，，，，，又，，，，，是等邊三角形；（2）證明：由（1）得：是等邊三角形，，，，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)圓周角定理得到，加上，于是利用等量代換得到結(jié)論；（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，然后證明得到即可．【詳解】（1）證明：∵DB是的切線，∴，∴．∵AB是的直徑，∴．∵，∴．∴；（2）解：在中，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴，∴．∴．∴．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的知識(shí)，涉及切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及含30度的直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟悉圓的知識(shí)．22．(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理可知，利用平行線的性質(zhì)即可求出，從而可知是的切線；（2）設(shè)，由于，所以，在中，由勾股定理可知：，解得，所以半徑；根據(jù)扇形面積公式以及三角形面積公式即可求出答案．本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及勾股定理，圓周角定理，切線的判定，扇形面積公式等知識(shí)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．【詳解】（1）證明：連接，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：設(shè)，則，，∵，在中，由勾股定理可知：，，，（舍去），，的半徑為4，；∴，，圖中陰影部分的面積．23．（1），（2）成立，理由見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【分析】（1）圓周角定理，得到，，，進(jìn)而得到，結(jié)合菱形的鄰邊相等，證