第7章計(jì)數(shù)原理（考點(diǎn)串講）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（2019選擇性）

蘇教版（2019）選擇性必修第二冊(cè)第7章計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)大串講串講02第7章計(jì)數(shù)原理

010203目

錄押題預(yù)測(cè)題型剖析考點(diǎn)透視5大?？键c(diǎn)：知識(shí)梳理、思維導(dǎo)圖17個(gè)題型典例剖析+技巧點(diǎn)撥精選12道期末真題對(duì)應(yīng)考點(diǎn)練考點(diǎn)透視01考點(diǎn)1.兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理

(1)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有n類(lèi)方式，在第1類(lèi)方式中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)方式中有m2種不同的方法，在第n類(lèi)方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.(2)分步計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________

種不同的方法.m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn考點(diǎn)2.排列與組合的概念排列數(shù)與組合數(shù)2.排列與組合的概念名稱(chēng)定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照

排成一列組合并成一組一定的順序3.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有

的個(gè)數(shù)，用符號(hào)

表示.(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有

的個(gè)數(shù)，用符號(hào)

表示.排列組合考點(diǎn)3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)4.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)＝

＝

(n，m∈N*，且m≤n).(2)＝

＝

(n，m∈N*，且m≤n)性質(zhì)(1)0！＝

；

＝

.(2)＝__________n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！考點(diǎn)4.二項(xiàng)式定理

提醒

（1）項(xiàng)數(shù)為n＋1；（2）各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n；（3）字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.an－kbk

k＋1

考點(diǎn)4.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝

(n∈N*)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝

，它表示展開(kāi)式的第

項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)

(r＝0,1，…，n)k＋1考點(diǎn)5.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2.(1)對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)

.(2)增減性與最大值：相等增大減?、诋?dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)

取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)

與

相等，且同時(shí)取得最大值.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為

＝

.2n題型剖析02題型1.兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理【例題1】用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有A.144個(gè)

B.120個(gè)

C.96個(gè)

D.72個(gè)√①當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；②當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；③當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字為4時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；④當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4，個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；⑤當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4，個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè)).由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個(gè)).題型2.排列組合問(wèn)題【例題2】為了強(qiáng)化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生之間的溝通，凝聚班級(jí)集體的力量，激發(fā)學(xué)生對(duì)體育的熱情，某中學(xué)舉辦田徑運(yùn)動(dòng)會(huì).某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校4×100米接力賽，其中甲只能跑第一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數(shù)為A.48

B.36

C.24

D.12√故甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數(shù)為24＋12＝36.題型3.相鄰、相間問(wèn)題【例題3】甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A.12種

B.24種

C.36種

D.48種√題型4.分組、分配問(wèn)題【例題4】某高校計(jì)劃在今年暑假安排編號(hào)為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6名教師，到4個(gè)不同的學(xué)校進(jìn)行宣講，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中B，D必須安排在同一個(gè)學(xué)校.則不同的安排方法共有A.96種

B.144種C.240種

D.384種√題型5.排列問(wèn)題【例5】

已知7位同學(xué)站成一排.（1）甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

（2）甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？

（4）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

（5）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？（6）甲總在乙的前面的排法共有多少種？

｜解題技法｜求解排列問(wèn)題的四種常用方法題型6.組合問(wèn)題【例6】

按下列要求分配6本不同的書(shū)，各有多少種不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本.

1.組合問(wèn)題的兩類(lèi)常見(jiàn)題型（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。唬?）“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.2.有限制條件的組合問(wèn)題的解題思路從限制條件入手.組合問(wèn)題只是從整體中選出部分即可，相對(duì)來(lái)說(shuō)較簡(jiǎn)單.常見(jiàn)情況有：（1）某些元素必選；（2）某些元素不選；（3）把元素分組，根據(jù)在各組中分別選多少分類(lèi).題型7.排列與組合的綜合問(wèn)題【例7】

（2022·新高考Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有

（

）A.12種B.24種C.36種D.48種

答案

B

｜解題技法｜解排列、組合問(wèn)題要遵循的2個(gè)原則（1）按元素（位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；（2）按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解排列、組合問(wèn)題常以元素（位置）為主體，即先滿(mǎn)足特殊元素（位置），再考慮其他元素（位置）.?題型8.二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)及系數(shù)問(wèn)題

A.153B.－153C.17D.－17

答案

C

｜解題技法｜求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的步驟題型9.二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)和問(wèn)題

A.二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.各項(xiàng)系數(shù)和為64C.常數(shù)項(xiàng)為－135D.常數(shù)項(xiàng)為135

答案

ABD｜解題技法｜賦值法的應(yīng)用（1）對(duì)形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可；（2）對(duì)（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可；

題型10.二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題

A.－126B.－70C.－56D.－28

答案

C

題型11.幾個(gè)多項(xiàng)式和展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題【例11】

在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)是

（

）A.25B.30C.35D.40

答案

C｜解題技法｜

對(duì)于幾個(gè)二項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，從每一個(gè)二項(xiàng)式中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可.也可以先對(duì)二項(xiàng)式求和，化簡(jiǎn)后再依據(jù)通項(xiàng)公式確定特定項(xiàng)（系數(shù)）.題型12.幾個(gè)多項(xiàng)式積展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題

答案

－28｜解題技法｜求幾個(gè)多項(xiàng)式積展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）的方法題型13.

三項(xiàng)式展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題

｜解題技法｜求三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）的方法題型14.系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值【例題14】

已知

的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是A.二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為37B.二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C.二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)D.二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為240x3√題型14.系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值所以2n＝64，則n＝6，令x＝1，可得二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36，故A錯(cuò)誤；題型14.系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)r＝3，則二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)4＝

＝

，故B錯(cuò)誤；所以二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

＝60，故C錯(cuò)誤；題型14.系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值因?yàn)閗∈N，所以r＝2.－28題型15.形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式題型16.二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和【例題16】已知

的展開(kāi)式中第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之比為1∶8，則A.n＝4B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為24D.展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)√√題型16.二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為－1，故B錯(cuò)誤；【例題17】(x－2y)8的展開(kāi)式中x6y2的系數(shù)為_(kāi)_____(用數(shù)字作答).112所以(x－2y)8的展開(kāi)式中x6y2的系數(shù)為112.題型17.形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式押題預(yù)測(cè)031.某生產(chǎn)過(guò)程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中選出4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有A.24種

B.36種

C.48種

D.72種√分兩類(lèi)：①第一道工序安排甲時(shí)有1×1×4×3＝12(種)；②第一道工序不安排甲時(shí)有1×2×4×3＝24(種).所以共有12＋24＝36(種).2.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學(xué)生到3個(gè)學(xué)校進(jìn)行支教活動(dòng)，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大學(xué)生，則不同的安排方法共有A.50種

B.60種

C.80種

D.100種√綜上所述，共有80種安排方法.3.利用二項(xiàng)式定理計(jì)算0.996，則其結(jié)果精確到0.001的近似值是A.0.940 C.0.942 √＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈