1.2.2空間中的平面與空間向量課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

空間中的平面與空間向量學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解平面的法向量的概念,會(huì)求平面的法向量.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.會(huì)用直線的方向向量和平面的法向量解決線面、面面的平行與垂直的有關(guān)問(wèn)題.(邏輯推理、直觀想象)3.理解三垂線定理及其逆定理,并會(huì)用其解決線面、線線的垂直問(wèn)題.(邏輯推理、直觀想象)教材認(rèn)知·內(nèi)化必備知識(shí)一、平面的法向量1.平面的法向量(1)定義:如果α是空間中的一個(gè)平面,n是空間中的一個(gè)______向量,且表示n的有向線段所在的直線與平面α______,則稱n為平面α的一個(gè)法向量.此時(shí)也稱n與平面α垂直,記作______.非零垂直n⊥α(2)性質(zhì):如果A,B是平面α上的任意不同兩點(diǎn),n為平面α的一個(gè)法向量,則:1若直線_____,則l的任意一個(gè)方向向量都是平面α的一個(gè)法向量2對(duì)任意實(shí)數(shù)λ≠0,λn也是平面α的一個(gè)法向量3向量

一定與向量n______,即

·n=0l⊥α垂直2.空間線面的位置關(guān)系與空間向量若v是直線l的一個(gè)方向向量,n1,n2分別是平面α1,α2的一個(gè)法向量,則:1______

?l⊥α12n1⊥v?l∥α1,或_____3n1⊥n2?_______4n1∥n2?α1∥α2,或α1與α2______n1∥vl?α1α1⊥α2重合點(diǎn)睛

(1)平面的一個(gè)法向量垂直于該平面的所有向量,一個(gè)平面的法向量有無(wú)限多個(gè),它們互相平行.(2)零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量,因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾?無(wú)法用其來(lái)描述空間直線與平面的位置.思考

求平面法向量的坐標(biāo)時(shí),為什么只構(gòu)建兩個(gè)方程求解?提示:根據(jù)線面垂直的判定定理可知,只要直線垂直于該平面內(nèi)的任意兩條相交直線,它就垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線,因此,法向量的坐標(biāo)只要滿足兩個(gè)方程就可以了.注意:平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè),求解時(shí),只需取一個(gè)較簡(jiǎn)單的非零向量作為法向量即可.二、三垂線定理及其逆定理射影已知空間中的平面α以及點(diǎn)A,過(guò)A作α的______l,設(shè)l與α相交于點(diǎn)A',則A'就是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影,也稱為投影三垂線定理如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的______垂直,則它也和這條斜線垂直三垂線定理的逆定理如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的______垂直垂線射影射影點(diǎn)睛

(1)三垂線定理及其逆定理中,“平面內(nèi)”這個(gè)條件不可省略,否則不一定成立.(2)三垂線定理及其逆定理通常用于判定空間直線互相垂直,在引用時(shí)要清楚:一是從條件上看,三垂線定理的條件是“和射影垂直”,其逆定理的條件是“和斜線垂直”;二是從功能上看,三垂線定理用于解決已知共面垂直,證明異面垂直的問(wèn)題,逆定理正好相反.【質(zhì)疑辨析】(1)已知直線l垂直于平面α,向量a平行直線l,則a是平面α的法向量.(

)提示:向量a必須為非零向量.(2)直線的方向向量與平面的法向量垂直,則直線與平面平行. (

)提示:此時(shí)直線可能與平面平行,也可能在平面內(nèi).(3)一個(gè)平面的法向量垂直于與該平面共面的所有向量. (

)××√合作探究·形成關(guān)鍵能力線面平行(1)求出直線l的方向向量是a,平面α的法向量是u,只需證明a⊥u,即a·u=0.(2)在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可面面平行(1)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行.(2)求出平面α,β的法向量u,v,證明u∥v