4.1數(shù)列的概念（第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第四章數(shù)列4.1數(shù)列的概念第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解數(shù)列遞推公式的含義,會(huì)用遞推公式解決有關(guān)問題.2.會(huì)利用數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的

之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)

名師點(diǎn)睛數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的區(qū)別和聯(lián)系公式類型遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法;(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式過關(guān)自診1.利用an+1=2an,n∈N*可以確定數(shù)列{an}嗎?提示

不能,需要知道數(shù)列{an}的某一項(xiàng)才可以.3.試分別根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng):(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;解

因?yàn)閍1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,a4=a3+2a2=4+2×2=8,a5=a4+2a3=8+2×4=16.因此,數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為1,2,4,8,16.知識(shí)點(diǎn)2

數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和

1.數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

共有n項(xiàng)

名師點(diǎn)睛由Sn-Sn-1求得的an,若當(dāng)n=1時(shí),a1的值不等于S1的值,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)采用分段形式表示,即過關(guān)自診1.S1與a1是什么關(guān)系?S2呢?2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則關(guān)系式an=Sn-Sn-1的使用條件是什么?提示

由于S1表示數(shù)列的前1項(xiàng)的和,因此S1與a1相等,而S2表示數(shù)列的前2項(xiàng)的和,因此S2=a1+a2.提示

n≥2,n∈N*,而不能只是n∈N*,這是因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)Sn-1=S0,數(shù)列中S0無意義.3.[人教B版教材習(xí)題]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3n,求{an}的通項(xiàng)公式.解

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n-3(n-1)=3.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3,所以an=3.重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一由遞推公式求前若干項(xiàng)【例1】

(1)(多選題)已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=-,則能使an=3的n可以為(

)A.22 B.24

C.26

D.28AD(2)已知數(shù)列{an},a1=1,且滿足an=3an-1+

(n∈N*,且n>1),寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng).分析

由a1的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a3,a4,a5的值.規(guī)律方法

由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)的方法根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計(jì)算即可.另外,解答這類問題時(shí)還需注意:若已知首項(xiàng),通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式;若已知末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式,若項(xiàng)數(shù)很大,則應(yīng)考慮數(shù)列的周期性.-3探究點(diǎn)二由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式解

由a1=2,an+1=3an,得a2=3a1=3×2,a3=3a2=3×3×2=32×2,a4=3a3=3×32×2=33×2,a5=3a4=3×33×2=34×2,…,猜想:an=2·3n-1.規(guī)律方法

由遞推公式求通項(xiàng)公式常用的兩種方法(1)累加法:當(dāng)an=an-1+f(n),n>1時(shí),常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通項(xiàng)公式.探究點(diǎn)三由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式【例3】

(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-2n2+10n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a1=-2+10=8=-4×1+12.此時(shí)滿足an=-4n+12,∴an=12-4n.(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3,經(jīng)驗(yàn)證不符合上式.規(guī)律方法

[提醒]應(yīng)重視分類討論的思想,分n=1和n≥2兩種情況討論.當(dāng)n=1時(shí),a1不適合an的情況要分開寫,即變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)Sn=2n-1,n∈N*;解

由Sn=2n-1,①得Sn-1=2n-1-1,②①-②,得an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),又n=1時(shí),a1=S1=21-1=1,滿足an=2n-1,即an=2n-1,n∈N*.(2)Sn=2n2+n+3,n∈N*.解

由Sn=2n2+n+3,③則Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+3,④③-④,得an=Sn-Sn-1=4n-1(n≥2),又當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=6,不滿足an=4n-1,本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)數(shù)列遞推公式的概念.(2)由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)數(shù)列的周期性.(4)由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.方法歸納:歸納法、累加法、累乘法、分類討論思想.3.常見誤區(qū):(1)用累加法、累乘法求通項(xiàng)公式時(shí)易忽視角標(biāo)和首項(xiàng)的確認(rèn);(2)由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)易忽視首項(xiàng)是否符合通項(xiàng)公式的驗(yàn)證.重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),則a4的值為(

)A.5 B.6 C.7 D.8D解析

因?yàn)閍1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8.1234567891011121314D12345678910111213143.[探究點(diǎn)三]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=4n2-10n,則a2a6=(

)A.52 B.68

C.96

D.108B解析

由題意,可得當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.12345678910111213144.[探究點(diǎn)二]已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(

)D解析

(方法1

構(gòu)造法)由已知整理,得(n+1)an=nan+1,1234567891011121314當(dāng)n=1時(shí),an=n也成立,所以an=n.12345678910111213145.[探究點(diǎn)一](多選題)已知數(shù)列{xn}滿足x1=a,x2=b,xn=1=xn-xn-1(n≥2),則下列結(jié)論正確的是(

)A.x2020=a

B.x2022=a-bC.x11=x2021

D.x1+x2+…+x2020=2b-aBCD1234567891011121314解析

x1=a,x2=b,x3=x2-x1=b-a,x4=x3-x2=-a,x5=x4-x3=-b,x6=x5-x4=a-b,x7=x6-x5=a=x1,x8=x7-x6=b=x2,∴{xn}是周期數(shù)列,周期為6,∴x2

020=x4=-a,A不正確;x2

022=x6=a-b,B正確;x2

021=x5=x11,C正確;x1+x2+…+x2

020=x1+x2+x3+x4=2b-a,D正確.12345678910111213146.[探究點(diǎn)一]若數(shù)列{an}滿足an+1=2an-1,且a8=16,則a6=

.

12345678910111213147.[探究點(diǎn)二]根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列的前四項(xiàng),并歸納猜想它的通項(xiàng)公式.(1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*);解

a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.猜想an=(n-1)2(n∈N*).B級(jí)關(guān)鍵能力提升練1234567891011121314A123456789101112131412345678910111213149.在數(shù)列{an}中,a1=1,對(duì)所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,則a3+a5等于(

)C解析

由題意a1a2=22,a1a2a3=32,a1a2a3a4=42,a1