高中數(shù)學(xué)B版4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)B版4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)課時(shí)：第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像；2.通過(guò)觀察函數(shù)值歸納指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，感悟通過(guò)解析式研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法；3.能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行同底數(shù)及不同底數(shù)的指數(shù)的大小比較，利用性質(zhì)解決相關(guān)問題。教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像。教學(xué)難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。教學(xué)過(guò)程：一.情境與問題問題1：考古學(xué)家經(jīng)常利用碳14的含量來(lái)推斷古生物死亡的大致時(shí)間。當(dāng)有機(jī)體生存時(shí)，會(huì)持續(xù)不斷地吸收碳14，從而其體內(nèi)的碳14含量會(huì)保持在一定水平；但當(dāng)有機(jī)體死亡后，就會(huì)停止吸收碳14，其體內(nèi)的碳14含量就會(huì)逐漸減少，而且每經(jīng)過(guò)大約5730年后會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的一半。假設(shè)某時(shí)刻有機(jī)體內(nèi)碳14的含量為1，則在自然條件下：（1）5730年后，有機(jī)體內(nèi)剩余碳14的含量為多少？（2）2×5730年后，有機(jī)體內(nèi)剩余碳14的含量為多少？（3）3×5730年后，有機(jī)體內(nèi)剩余碳14的含量為多少？（4）n×5730年后，有機(jī)體內(nèi)剩余碳14的含量為多少？為什么？回答問題并填寫下表：時(shí)間x今年5730年后2個(gè)5730年后……n個(gè)5730年后剩余量y1

由此可知，有機(jī)體內(nèi)碳14的剩余量y與時(shí)間x的關(guān)系可表示為：y=(1/2)x/5730，由于x/5730=n，所以也可以表示為有機(jī)體內(nèi)碳14的剩余量y與n的關(guān)系：y=(1/2)n問題2：當(dāng)有機(jī)體生存時(shí)有一種物質(zhì)C的含量會(huì)保持一定水平，但當(dāng)有機(jī)體死亡后每經(jīng)過(guò)5730年，剩余C的含量為之前的含量的a倍。假設(shè)某時(shí)刻有機(jī)體內(nèi)物質(zhì)C的含量為1，則在自然條件下：（1）5730年后，有機(jī)體內(nèi)剩余物質(zhì)C的含量為多少？（2）2×5730年后，有機(jī)體內(nèi)剩余物質(zhì)C的含量為多少？（3）3×5730年后，有機(jī)體內(nèi)剩余物質(zhì)C的含量為多少？（4）n×5730年后，有機(jī)體內(nèi)剩余物質(zhì)C的含量為多少？為什么？因此，有機(jī)體內(nèi)物質(zhì)C的剩余量y與時(shí)間x的關(guān)系可表示為：y=ax/5730，即有機(jī)體內(nèi)物質(zhì)C的剩余量y與n的關(guān)系：y=an，（a＞0，n∈N）。【設(shè)計(jì)意圖】從考古問題入手，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在考古學(xué)總的應(yīng)用，可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，教學(xué)更有趣味性；通過(guò)問題串的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生思考其中變量之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和獲取新知識(shí)的能力。二.定義理解一般地，函數(shù)y=ax稱為指數(shù)函數(shù).其中a是常數(shù)，a>0且a≠1。問題3：指數(shù)函數(shù)的定義中，為什么要規(guī)定a>0且a≠1？預(yù)設(shè)答案：1.如果a＜0，如：y=(-2)x，則3/4,1/2,1/4等類似的有理數(shù)都不在定義域內(nèi)，函數(shù)的定義域會(huì)過(guò)于復(fù)雜，為確保指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，要限定底數(shù)a＞0。2.如果a=0，則y=0x，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），且y=0，性質(zhì)非常簡(jiǎn)單。3.如果a=1，則y=1x恒等于1，那么這個(gè)函數(shù)就變成了y=1這個(gè)常函數(shù)，沒必要在指數(shù)函數(shù)中進(jìn)行研究。指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)解析式中ax的系數(shù)必須為1。問題4：想一想：下列函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問題3培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，理解指數(shù)函數(shù)中對(duì)底的范圍要求的必要性；通過(guò)問題4進(jìn)一步理解指數(shù)函數(shù)的定義。三、性質(zhì)探究下面我們來(lái)研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像。【嘗試與發(fā)現(xiàn)】分別求出指數(shù)函數(shù)y=2x在自變量取-2，-1，-1/2，0，1/2，1，2時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（填寫下表），并由此猜測(cè)指數(shù)函數(shù)y=2x的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，嘗試說(shuō)明理由。

問題5：研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)一般要從哪幾個(gè)方面入手？預(yù)設(shè)答案：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性。問題6：根據(jù)指數(shù)運(yùn)算的定義，嘗試得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域是____________。（2）值域是____________。（3）奇偶性是____________。（4）單調(diào)性是____________。預(yù)設(shè)答案：（1）R；（2）（0,+∞）：無(wú)論x取正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，還是分?jǐn)?shù)、整數(shù)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)y都是正數(shù)，事實(shí)上，由指數(shù)冪的定義等可以知道，y=2x＞0；（3）非奇非偶函數(shù)：當(dāng)x取互為相反數(shù)的兩個(gè)值時(shí)，函數(shù)值既不相等又不互為相反數(shù)；（4）增函數(shù)：隨著x取值的逐漸増大，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)值y也在逐漸增大，因此可以猜測(cè)函數(shù)在定義域R上是增函數(shù)。我們也可以利用上一節(jié)練習(xí)B第3題的結(jié)論來(lái)理解函數(shù)y=2x在定義域R上是增函數(shù)。具體如下：首先“如果a＞1，s是正有理數(shù)，那么as＞1”這個(gè)結(jié)論可以推廣到“如果a＞1，s是正實(shí)數(shù)，那么as＞1”。然后，設(shè)x1,x2∈R且x1＞x2，則x1-x2＞0，從而2x1/2x2=2x1-x2＞1，因此2x1＞2x2，從而可知y=2x在定義域R上是增函數(shù)。問題7：嘗試畫出y=2x的圖像.根據(jù)以上信息可知，函數(shù)y=2x的圖像都在x軸上方，而且從左往右是逐漸上升的，通過(guò)描點(diǎn)，可以做出y=2x的圖像?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)y=2x的性質(zhì)的探究過(guò)程，滲透“觀察函數(shù)值可以歸納函數(shù)性質(zhì)”的方法，在此過(guò)程中進(jìn)一步熟悉研究函數(shù)的一般方法與思維過(guò)程，體會(huì)對(duì)解析式的分析與解讀是研究函數(shù)的重要方法，最后結(jié)合性質(zhì)通過(guò)描點(diǎn)得到函數(shù)圖像，對(duì)y=2x的性質(zhì)有直觀認(rèn)識(shí)。【學(xué)生活動(dòng)1】請(qǐng)你嘗試研究指數(shù)函數(shù)y=(1/2)x的性質(zhì)與圖像。預(yù)設(shè)方法1：仿照y=2x的性質(zhì)與圖像的方法，即先代入一些點(diǎn)進(jìn)行觀察，然后再總結(jié)，通過(guò)描點(diǎn)得到函數(shù)圖像。預(yù)設(shè)方法2：利用y=(1/2)x與y=2x的對(duì)稱性直接得出圖像與性質(zhì)：注意到y(tǒng)=(1/2)x=2-x，因此y=(1/2)x與y=2x是有聯(lián)系的。當(dāng)這兩個(gè)函數(shù)的自變量取互為相反數(shù)的兩個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等。也就是說(shuō)，如果點(diǎn)（x0,y0）在y=(1/2)x的圖像上，那么這個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)（-x0,y0）一定在y=2x的圖像上；反之，y=2x的圖像上任意一點(diǎn)（x0,y0），其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（-x0,y0）也一定在y=(1/2)x的圖像上.因此指數(shù)函數(shù)y=(1/2)x與y=2x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱?！驹O(shè)計(jì)意圖】本活動(dòng)的設(shè)計(jì)一是希望學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移，如方法1，將剛學(xué)會(huì)的方法用于一個(gè)新的函數(shù)，通過(guò)取值觀察得到函數(shù)的圖像；二是培養(yǎng)學(xué)生利用對(duì)稱性來(lái)解題的習(xí)慣；三是培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察，能有意識(shí)地將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將未知問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐呀?jīng)解決或易于解決的問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式考慮問題、處理問題。問題8：你能指出指數(shù)函數(shù)y=(1/2)x與y=2x的圖像的公共點(diǎn)嗎？你能得出指數(shù)函數(shù)y=ax一定過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)嗎？預(yù)設(shè)答案：指數(shù)函數(shù)y=(1/2)x與y=2x的圖像的公共點(diǎn)為(0,1)；事實(shí)上，因?yàn)閍0=1（a≠0），所以y=ax一定過(guò)(0,1)。由以上分析，我們歸納出指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1且）的性質(zhì)：（1）定義域是實(shí)數(shù)集R。（2）值域是（0,+∞）；（3）函數(shù)一定過(guò)定點(diǎn)(0,1)；（4）當(dāng)a＞1時(shí)，y=ax是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=ax是減函數(shù)。問題9：為什么我們僅用指數(shù)函數(shù)定義域內(nèi)有限的、離散的若干數(shù)值的變化規(guī)律就能斷定指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？預(yù)設(shè)答案：其實(shí)，我們是在利用不同視角觀察理解指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的研究需要依靠函數(shù)的三種表征：解析式、列表法和圖像法，需要依靠方程和不等式的運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)、方程、不等式三種關(guān)系的過(guò)程.當(dāng)然，我們也要注意幾何直觀的局限性，以及用幾何直觀代替邏輯證明的錯(cuò)誤做法.指數(shù)函數(shù)的有些性質(zhì)在中學(xué)階段暫不需要論證，今后我們還會(huì)利用高等數(shù)學(xué)的方法加以證明?！驹O(shè)計(jì)意圖】經(jīng)歷從具體指數(shù)函數(shù)的研究結(jié)果歸納總結(jié)出一般指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程，并從代數(shù)與幾何的角度理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，滲透函數(shù)研究的一般方法與思維方式。四、例題精析例1.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)值的大?。海?）0.8-0.1與0.8-0.2

（2）2.5a與2.5a+1

分析：上面講的性質(zhì)哪個(gè)可以和大小聯(lián)系起來(lái)呢？單調(diào)性和大小有關(guān)，我們可以借助于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)考慮，要比較大小的兩個(gè)數(shù)底數(shù)相同，因此可以看成指數(shù)函數(shù)f(x)=0.8x當(dāng)x取-0.1和-0.2時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)f(x)=0.8x在實(shí)數(shù)集R上是單調(diào)減的就可以比較大小了。解：（1）因?yàn)?.8-0.1與0.8-0.2都是以0.8為底的冪值，所以考查函數(shù)f(x)=0.8x，由于這個(gè)函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù)，又因?yàn)?0.1＞-0.2，所以0.8-0.1＜0.8-0.2?！緦W(xué)生活動(dòng)2】請(qǐng)你嘗試獨(dú)立完成（2）參考答案：因?yàn)?.5a與2.5a+1都是以2.5為底的冪值，所以考查函數(shù)f(x)=2.5x，由于這個(gè)函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù)，又因?yàn)閍＜a+1，所以2.5a＜2.5a+1。例2.已知實(shí)數(shù)a，b滿足(3/7)a＞(3/7)b，試判斷6a與6b的大小。【學(xué)生活動(dòng)3】請(qǐng)你嘗試獨(dú)立完成。參考答案：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(3/7)x在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù)，所以由(3/7)a＞(3/7)b可知a＞b。又因?yàn)閒(x)=6x在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù)，所以6a＜6b?！驹O(shè)計(jì)意圖】初步運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決簡(jiǎn)單的比較大小問題，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同特征，構(gòu)造合適的函數(shù)，在此過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng)。五、課堂練習(xí)1.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)值的大小：（1）1.52.5與1.53.2；（2）0.5-1.2與0.5-1.5；（3）1.50.3與0.81.2

解：（1）考慮指數(shù)函數(shù)f(x)=1.5x，因?yàn)?.5＞1，所以f(x)=1.5x。在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù)。因?yàn)?.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2。（2）考慮指數(shù)函數(shù)f(x)=0.5x。因?yàn)?＜0.5＜1，所以f(x)=1.5x在實(shí)數(shù)集R上是是減函數(shù)。因?yàn)?1.2＞-1.5，所以0.5-1.2＜0.5-1.5。（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.50.3＞1.50=1，而0.81.2＜0.80=1，所以1.50.3＞0.81.2。

反思：第（2）小題和（1）一樣直接借助單調(diào)性即可解題，第（3）小題在考慮是就發(fā)現(xiàn)單調(diào)性不能直接應(yīng)用，兩個(gè)底不一樣.但是借助一個(gè)中間變量1就可以把問題解決了。六、課堂小結(jié)1.正確理解指數(shù)函數(shù)的定義；2.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像；3.能利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題。七、作業(yè)