2021-2022學年人教B版必修1-2.4.2-求函數(shù)零點近似解的一種計算方法二分法-教案

—二分法一、教學內容分析本節(jié)選自?普通高中課程標準實驗教科書?數(shù)學1?人教B版第二章第四節(jié)第二小節(jié)，主要分析的是函數(shù)與方程的關系。用二分法求方程的近似解是新課程中的新增內容，它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)的零點存在定理〞為確定方程解所在區(qū)間為依據(jù)，從求方程近似解這個側面來表達“方程與函數(shù)的關系〞，求方程近似解其中隱含“逼近〞的數(shù)學思想,并且運用“二分法〞來逼近目標是一種普通而有效的方法，其關鍵是逼近的依據(jù)。而且在“用二分法求函數(shù)零點的步驟〞中滲透了算法的思想為學生后續(xù)學習算法的內容埋下伏筆。整節(jié)課充分表達新課程“滲透數(shù)學方法，關注數(shù)學文化以及重視信息技術應用〞的理念，有力培養(yǎng)了學生的直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)及邏輯推理素養(yǎng)等。二、學情分析同學們有了第一節(jié)課的根底，對函數(shù)的零點具備根本的認識；而二分法來自生活，是由生活中抽象而來的，只要我們選材得當，能夠激發(fā)學生的學習興趣，到達滲透數(shù)學思想關注數(shù)學文化的目的，學生也能夠很容易理解這種方法。三、設計理念本節(jié)課倡導積極主動、勇于探索的學習方式，應用從生活實際——理論——實際應用的過程，應用數(shù)形結合、圖表、信息技術，采用教師引導——學生探索相結合的教學方法，注重提高學生數(shù)學的提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學生經歷直觀想象、觀察發(fā)現(xiàn)、數(shù)學建模、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等思維過程。四、教學目標1、知識目標：理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。2、能力目標：利用直觀想象分析問題來培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)，利用建立模型解決問題來培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)，通過讓學生概括二分法思想和步驟培養(yǎng)學生的歸納概括能力；在二分法思想的探求中培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析，邏輯推理的能力。3、情感目標：通過創(chuàng)設情境調動學生參與課堂的熱情，激發(fā)學生學習數(shù)學的情感；在二分法步驟的探索、發(fā)現(xiàn)過程中，獲得成功的體驗，鍛煉了克服困難的意志，建立學習數(shù)學的自信心。五、教學重點與難點重點：掌握二分法的原理，能夠借助計算器，會用二分法求相應方程的近似解；難點：方程近似解所在初始區(qū)間確實定及逼近的思想，二分法的原理，精確度的理解。六、教學情境設計〔1〕創(chuàng)設情境，提出問題情境一：16枚金幣中有一枚略輕,是假幣,請你設計一個尋找這枚假幣的方案？教師提問：大家分組討論盡可能多的方案。學生發(fā)現(xiàn)：方案一：平均分成兩份，每份8個放上去稱，輕的8個拿下來再平均分成兩份放上去稱。。。。。。。直到最后剩兩個，稱一下輕的那個就是我們要找的假幣。方案二：平均分成4份，每份4個。方案三：分3份，2份5個，一份6個，把5個的兩份稱后如果天平稱是平的就說明假幣在6個中，再平均分2份。。。。。。方案4：。。。。。?！部磳W生具體情況〕。教師提問：這么多方案中，哪一種是你第一時間想到的，最簡單，方便，易操作的？學生發(fā)現(xiàn)：方案一。課堂活動：教師和學生一起感受方案一的模擬實驗過程。設計意圖：從簡單有趣的金幣問題開始，迅速調動學生的積極性，在學生分組討論解決問題的過程中，讓學生迅速建立二分查找的思想與方法。并且通過不同方法的比擬，例如三分，四分，甚至逐個稱來比擬，讓學生感受二分法是一種簡單方便易操作的方法。感受數(shù)學來自生活，激發(fā)學生的學習興趣；培養(yǎng)學生的歸納演繹的能力；學會將實際情境轉化為數(shù)學模型。培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。情境二：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的線路的某一處發(fā)生了故障。這是一條10km長的線路，你能否給維修線路的師傅設計一個尋找故障點的方法？學生發(fā)現(xiàn)：不斷取線路的中點檢測。設計意圖：同學們有了金幣問題作鋪墊，教師可以引導同學們用類似的方法來解決這個連續(xù)型的線路問題。體會用二分的思想來解決實際問題的過程。讓學生感受數(shù)學來自生活，激發(fā)學生的學習興趣；引導學生善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學，培養(yǎng)學生的歸納演繹的能力；學會將實際情景轉化為數(shù)學模型。培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。教師提問：如果把這個故障點換成函數(shù)零點呢？設計意圖：引出主題，激發(fā)學生的求知欲，將學生的思路與前面已解決的問題聯(lián)系起來，引導學生層層深入，抽絲撥繭，學習如何分析問題、如何利用新的知識解決問題；培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，以及運用知識、駕馭知識的能力。培養(yǎng)學生歸納類比能力和邏輯推理素養(yǎng)等?！?〕合作探究，解決問題探究1：當確定函數(shù)在區(qū)間內存在一個變號零點后，如何求出這個零點的近似值？教師提問：要求的函數(shù)零點就像線路問題中的故障點，初始區(qū)間類比到10km長的線路，如何求這個零點的近似值呢？學生發(fā)現(xiàn)：取區(qū)間中點。教師追問：線路問題中可以在中點通過檢測線路在判斷故障點的位置，現(xiàn)在我們取完中點要如何判斷零點在哪一半?yún)^(qū)間呢？學生發(fā)現(xiàn)：通過計算f(c)的值，看它和哪一端異號。設計意圖：教師引導學生作類比，，鼓勵學生大膽嘗試探求，感受二分法的定義。培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。探究2：嘗試歸納二分法的定義？課堂活動：學生討論，嘗試歸納。教師小結：對于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點或零點近似值的方法叫做二分法?！矎娬{二分法的實質：一分為二+逐步逼近〕。設計意圖：開展學生用文字語言、符號語言等數(shù)學語言表達世界的根本素養(yǎng)。通過二分法的無限逼近，首次讓學生體會逐漸逼近的極限思想；將區(qū)間一分為二，通過確定零點的存在位置，重點培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。探究3：一定要二分嗎？有沒有別的方法？比方3分4分甚至十等分呢？課堂活動：分組討論學生發(fā)現(xiàn)：理論上可以，但是很麻煩。教師小結：當然可以，但是就是比擬麻煩，不方便，事實上，約在1247年南宋時代，我國數(shù)學家秦九韶提出了一種解決高次函數(shù)零點近似解的一種方法，他將區(qū)間十等分，算出各分點的函數(shù)值，縮小零點所在區(qū)間，但這種方法計算冗長，不便于精確度較高的運算，如果精確度要求不高，例如要求到0.1，可以使用，另外這種方法在有的國家被稱為霍耐法〔Horner〕，英國數(shù)學家霍耐1819年才發(fā)現(xiàn)，遲于我國500多年。設計意圖：通過對其他方法的比擬，讓學生感受二分法的優(yōu)點：簡單方便易操作，同時滲透對數(shù)學文化的關注，培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。探究4：用二分法求函數(shù)的零點〔精確度為0.1〕。教師提問：函數(shù)有沒有零點？如果有，有幾個？學生發(fā)現(xiàn)：該函數(shù)在R上單調遞增。教師追問：在R上單調遞增的函數(shù)一定有一個零點嗎？課堂活動：學生分組討論。學生發(fā)現(xiàn)：不一定，比方反比例函數(shù)。教師追問：非常好，那什么情況下單調的函數(shù)有一個零點呢？學生發(fā)現(xiàn)：要找到異號的兩端。教師追問：對于函數(shù)，你能否找到異號的區(qū)間？學生發(fā)現(xiàn)：[0，1].設計意圖：教師通過追問的方式對同一函數(shù)從根的存在性問題深入到初始區(qū)間的求法，思路自然，引起學生認知沖突，激起學生進一步探究的欲望。問題是數(shù)學的“心臟〞，是數(shù)學知識、能力開展的生長點和思維的動力，把問題作為教學出發(fā)點，創(chuàng)設學生熟悉的問題，構造認知沖突和懸念，有利于培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)，直觀想象素養(yǎng)等。課堂活動：教師和學生一起完成表格，體會用二分法求解函數(shù)零點近似解的過程，并在黑板畫上畫上數(shù)軸幫助學生理解。教師提問：數(shù)軸越畫越短，誰能告訴我，什么時候終止計算？學生發(fā)現(xiàn)：題目有精確度的要求？教師追問：精確度為0.1要怎么用呢？學生發(fā)現(xiàn)：算到區(qū)間長度小于0.1即可。教師追問：為什么？課堂活動：教師黑板上畫出數(shù)軸講解精確度的含義。xxxobxa精確度為0.1即指誤差不超過0.1，當區(qū)間長度小于0.1時，區(qū)間內的任意一個值都可以作為近似值，為了方便，我們一般取區(qū)間端點。設計意圖：利用多媒體輔助教學有利于完善學生認知，深刻體驗二分法思想的本質，為學生自身總結歸納步驟奠定根底，并且提高教學效率。利用動態(tài)演示展現(xiàn)二分法的全過程，使學生的感官受到強烈的沖擊，加深對二分法的理解。利用數(shù)軸畫圖出簡圖來輔助說明，理解為求得方程更為精確的近似解，直觀上就是去探求零點所處的更小的范圍，即求方程近似解的問題可以轉化為不斷縮小零點所在范圍或區(qū)間的問題。培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)學運算素養(yǎng)等。教師提問：如果精確度改為0.01呢？學生發(fā)現(xiàn)：再算。教師提問：想不想算？學生發(fā)現(xiàn)：不想。教師提問：我們請個小幫手。注意到剛剛求解的過程中，一直重復地完成一些步驟：取中點，算中點函數(shù)值，定區(qū)間。像這種一直重復性的過程可以交給誰來完成？學生發(fā)現(xiàn)：電腦。課堂活動：教師展示一個由高一同學編寫的用二分法求函數(shù)零點近似解的小程序。設計意圖：借助程序，調動學生的積極性，讓學生感受二分法的一大優(yōu)點：易于編程，讓計算機執(zhí)行。將信息技術與數(shù)學課程相結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)。實驗過程中，隨著實驗次數(shù)逐漸增加，零點存在區(qū)間逐漸逼近準確解，讓學生感受無限逼近的極限思想；讓學生發(fā)現(xiàn)，隨著實驗次數(shù)的逐漸增加，零點的近似解就越接近精確解，估計就越準確，感受精確與近似的對立統(tǒng)一；算法可以解決一類問題，節(jié)約了大量的時間，使學生對二分法的算法思想與計算原理有新的感受；樹立典范作用，激發(fā)學生的求知欲。培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等。教師提問：如果終止計算的條件該為精確到呢？課堂活動：教師和學生一起分析精確到到精確度的區(qū)別。設計意圖：幫助學生區(qū)分精確到與精確度，雖然兩者都是用來終止計算的，但是要求不同。有助于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，數(shù)學運算素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等?！?〕歸納總結，揭示新知教師提問：回憶剛剛整個過程，給定精確度，嘗試歸納用二分法求函數(shù)零點近似解的步驟？學生發(fā)現(xiàn)：確定初始區(qū)間，取中點，算中點函數(shù)值，縮小區(qū)間，再取中點。。。。教師提問：有沒有可能當你第一次縮小區(qū)間后發(fā)現(xiàn)，已經算完了？學生發(fā)現(xiàn)：有可能。課堂活動：教師PPT上給出完整步驟。并給出用數(shù)學語言表示的步驟。用二分法求方程的近似解一般步驟1.確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε；2.求區(qū)間(a,b)的中點c；3.計算f(c)；(1)假設f(c)=0，那么c就是函數(shù)的零點；(2)假設f(a)·f(c)<0，那么令b=c〔此時零點x0∈(a,c));(3)假設f(c)·f(b)<0，那么令a=c〔此時零點x0∈(c,b)).4.判斷是否到達精確度ε:即假設|a-b|<ε，那么得到零點近似值a(或b)；否那么重復步驟2—4．設計意圖：開展學生用文字語言、符號語言等數(shù)學語言表達世界的根本素養(yǎng)。培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等?！?〕概念拓展，實踐穩(wěn)固課堂活動:用二分法求函數(shù)〕。同桌兩人一組，一人用計算器算，一人填寫課前發(fā)好的表格。最快的一組上來投影展示。設計意圖：鼓勵學生自行嘗試,讓學生體驗解題遇阻時的困惑以及解決問題的成就感。讓學生體會用二分法來求方程近似解的完整過程,進一步穩(wěn)固二分法的思想方法。培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，數(shù)學運算素養(yǎng)。課堂活動：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的線路的某一處發(fā)生了故障，這是一條10km長的線路，請你用二分法算一算：要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50～100m左右，要檢查多少次？設計意圖：首尾照應，學以致用，培養(yǎng)學生應用與創(chuàng)新的能力，利用二分法的逼近思想解決實際問題。開展學生的數(shù)學應用意識，開展學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，數(shù)學運算素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等?！?〕課堂小結，作業(yè)創(chuàng)新教師提問：這節(jié)課我們都學了哪些知識？學生發(fā)現(xiàn)：二分法的定義，用二分法求方程近似解的步驟。課堂活動：PPT展示二分法的口訣：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷。對本節(jié)課表達的數(shù)學思想和核心素養(yǎng)進行總結。設計意圖：通過總結,培養(yǎng)學生數(shù)學交流和表達的能力,養(yǎng)成及時總結的良好習慣,并將所學知識納入已有的認知結構。同時讓學生知道理解二分法定義是關鍵,掌握二分法解題的步驟是前提,實際應用是深化。培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)等。課堂活動：PPT展示今天作業(yè)：(1)P74/A1,2.(2)P81/閱讀與欣賞“數(shù)學文化〞。(3)研究性作業(yè)：利用Internet查找有關資料,查閱牛頓法、華羅庚優(yōu)選法等其他求函數(shù)零點的方法，上交小報告。設計意圖：在作業(yè)中提出對“數(shù)學文化〞的學習要求，讓學生通過自主查閱，閱讀自學等學習數(shù)學的方式，提高學生學習的主動性，逐步形成正確的數(shù)學觀，實現(xiàn)教師引導下的“再創(chuàng)造〞。在完成作業(yè)的過程中，有力培養(yǎng)了學生的直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學建模素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。七、評價和說明1、這節(jié)課安排了創(chuàng)設情境，提出問題；合作探究，解決問題；歸納總結，揭示新知；概念拓展，實踐穩(wěn)固；課堂小結，作業(yè)創(chuàng)新等環(huán)節(jié)。整堂課圍繞等價轉化、函數(shù)與方程、數(shù)形結合以及無限逼近的數(shù)學思想方法來展開