專(zhuān)題20 用一次函數(shù)解決問(wèn)題壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專(zhuān)題20用一次函數(shù)解決問(wèn)題壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一次函數(shù)的應(yīng)用——分配方案問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二一次函數(shù)的應(yīng)用——最大利潤(rùn)問(wèn)題】 5【考點(diǎn)三一次函數(shù)的應(yīng)用——行程問(wèn)題】 8【考點(diǎn)四一次函數(shù)的應(yīng)用——幾何問(wèn)題】 12【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 15【典型例題】【考點(diǎn)一一次函數(shù)的應(yīng)用——分配方案問(wèn)題】例題：（2023春·云南臨滄·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某省實(shí)行城市援助鄉(xiāng)鎮(zhèn)的政策該省的A市有噸物資，市有噸物資經(jīng)過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)該省的甲鄉(xiāng)需要噸物資，乙鄉(xiāng)需要噸物資于是決定由A、兩市負(fù)責(zé)援助甲、乙兩鄉(xiāng)、已知從A市往甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的運(yùn)費(fèi)分別為元噸、元噸，從市往甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的運(yùn)費(fèi)分別為元噸、元噸．(1)設(shè)從A市往甲鄉(xiāng)運(yùn)送噸物資，從A、兩市向甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的總運(yùn)費(fèi)為元，求與的函數(shù)解析式．(2)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)運(yùn)費(fèi)最低的運(yùn)送方案，并求出最低運(yùn)費(fèi)．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?月23日是“世界讀書(shū)日”，某書(shū)店在這一天舉行了購(gòu)書(shū)優(yōu)惠活動(dòng)，有兩種優(yōu)惠方案可以選擇：方案一：享受當(dāng)天購(gòu)書(shū)按標(biāo)價(jià)總額8折的普通優(yōu)惠；方案二：50元購(gòu)買(mǎi)一張“書(shū)香城市紀(jì)念卡”，當(dāng)天憑卡購(gòu)書(shū)，享受標(biāo)價(jià)總額在普通優(yōu)惠的基礎(chǔ)上再打折的優(yōu)惠．設(shè)小明當(dāng)天購(gòu)書(shū)標(biāo)價(jià)總額為x元，方案一應(yīng)付元，方案二應(yīng)付元．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明選擇哪種購(gòu)書(shū)方案更劃算；(2)直接寫(xiě)出與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)小明如何選擇購(gòu)書(shū)方案才更劃算？2.（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）暑期將至，某健身俱樂(lè)部面向?qū)W生推出暑期優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)方案如下．方案一：購(gòu)買(mǎi)一張學(xué)生暑期專(zhuān)享卡，每次健身費(fèi)用按六折優(yōu)惠；方案二：不購(gòu)買(mǎi)學(xué)生暑期專(zhuān)享卡，每次健身費(fèi)用按八折優(yōu)惠．設(shè)某學(xué)生暑期健身x（次），按照方案一所需費(fèi)用為（元），且；按照方案二所需費(fèi)用為（元），且．其函數(shù)圖象如圖所示．

(1)求k1和b的值，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義；(2)求打折前的每次健身費(fèi)用和的值；(3)八年級(jí)學(xué)生小華計(jì)劃暑期前往該俱樂(lè)部健身7次，應(yīng)選擇哪種方案所需費(fèi)用更少？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)二一次函數(shù)的應(yīng)用——最大利潤(rùn)問(wèn)題】例題：（2023春·貴州黔南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某地允許市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)主體在規(guī)范有序的條件下，采取“店鋪外擺”“露天市場(chǎng)”方式進(jìn)行銷(xiāo)售．個(gè)體業(yè)主小王響應(yīng)號(hào)召，采取“店鋪外擺”方式銷(xiāo)售甲、乙兩種特價(jià)商品，兩種商品的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表所示：甲商品乙商品進(jìn)價(jià)（元/件）4010售價(jià)（元/件）5015小王計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件進(jìn)行銷(xiāo)售，設(shè)小王購(gòu)進(jìn)甲商品x件，甲、乙兩種商品全部銷(xiāo)售完后獲得的利潤(rùn)為y元．(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若購(gòu)進(jìn)乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的4倍，當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件時(shí)，可使得甲、乙兩種商品全部銷(xiāo)售完后獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣西南寧·八年級(jí)?？计谀┬《谀尘W(wǎng)店選中，兩款玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷(xiāo)售．兩款玩偶的進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)售價(jià)如表：款玩偶款玩偶進(jìn)貨價(jià)（元/個(gè)）2015銷(xiāo)售價(jià)（元/個(gè)）2820(1)第一次小冬用550元購(gòu)進(jìn)了，兩款玩偶共30個(gè)，求兩款玩偶各購(gòu)進(jìn)多少個(gè)；(2)第二次小冬進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過(guò)款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半．小冬計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩款玩偶共45個(gè)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？2.（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）俄烏戰(zhàn)爭(zhēng)仍在繼續(xù)，人們對(duì)各種軍用裝備倍感興趣，某商家購(gòu)進(jìn)坦克模型（記作A）和導(dǎo)彈（記作B）兩種模型，若購(gòu)進(jìn)A種模型10件，B種模型5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種模型4件，B種模型3件，需要550元．(1)求購(gòu)進(jìn)A，B兩種模型每件分別需多少元？(2)若銷(xiāo)售每件A種模型可獲利潤(rùn)20元．每件B種模型可獲利潤(rùn)30元．商店用1萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)模型，且購(gòu)進(jìn)A種模型的數(shù)量不超過(guò)B種模型數(shù)量的8倍，設(shè)總盈利為W元，購(gòu)買(mǎi)B種模型b件，請(qǐng)求出W關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)b為何值時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，并求出最大值．【考點(diǎn)三一次函數(shù)的應(yīng)用——行程問(wèn)題】例題：（2023春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）甲、乙兩地相距千米，一輛貨車(chē)和一輛轎車(chē)先后從甲地出發(fā)開(kāi)往乙地．如圖，線(xiàn)段表示貨車(chē)離甲地距離千米與時(shí)間小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系；折線(xiàn)表示轎車(chē)離甲地距離千米與小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：

(1)求線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)貨車(chē)從甲地出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間被轎車(chē)追上？此時(shí)離甲地的距離是多少千米？(3)轎車(chē)到達(dá)乙地后，貨車(chē)距乙地多少千米．【變式訓(xùn)練】1.（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）航模興趣小組在操場(chǎng)上進(jìn)行航模試驗(yàn)，甲型航模從距離地面20米處出發(fā)，以a米/分的速度勻速上升，乙型航模從距離地面50米處同時(shí)出發(fā)，以15米/分的速度勻速上升，經(jīng)過(guò)6分鐘，兩架航模距離地面高度都是b米，兩架航模距離地面的高度y米與時(shí)間x分鐘的關(guān)系如圖．兩架航模都飛行了20分鐘．

(1)直接寫(xiě)出a、b的值；(2)求出兩架航模距離地面高度y甲、y乙（米）與飛行時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式；(3)直接寫(xiě)出飛行多長(zhǎng)時(shí)間，兩架航模飛行高度相差25米？2.（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，甲、乙兩車(chē)分別從相距的、兩地相向而行，乙車(chē)比甲車(chē)先出發(fā)小時(shí)，并以各自的速度勻速行駛，甲車(chē)到達(dá)地后因有事立刻按原路原速返回地．乙車(chē)從地直達(dá)地，兩車(chē)同時(shí)到達(dá)地．甲、乙兩車(chē)距各自出發(fā)地的路程（千米）與甲車(chē)出發(fā)所用的時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系如圖，結(jié)合圖像信息解答下列問(wèn)題：

(1)乙車(chē)的速度是千米/時(shí)，乙車(chē)行駛小時(shí)到達(dá)地；(2)求甲車(chē)從地按原路原速返回地的過(guò)程中，甲車(chē)距它出發(fā)地的路程與它出發(fā)的時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求甲車(chē)出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間兩車(chē)相距千米？【考點(diǎn)四一次函數(shù)的應(yīng)用——幾何問(wèn)題】例題：（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)是，設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為x，以點(diǎn)A、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.（2021春·福建漳州·七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度在圖①的邊（相鄰兩邊互相垂直）上按的路線(xiàn)移動(dòng)，相應(yīng)的的面積與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的圖象如圖②所示，且．當(dāng)時(shí)，．

2.（2023春·安徽宿州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，的面積也發(fā)生變化．

(1)寫(xiě)出的面積y與的長(zhǎng)之間的關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，求y的值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·安徽亳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）甲，乙兩車(chē)在筆直的公路上行駛，乙車(chē)從之間的地出發(fā)，到達(dá)終點(diǎn)地停止行駛，甲車(chē)從起點(diǎn)A地與乙車(chē)同時(shí)出發(fā)到達(dá)地休息半小時(shí)后立即以另一速度返回地并停止行駛，在行駛過(guò)程中，兩車(chē)均保持勻速，甲、乙兩車(chē)相距的路程千米與乙車(chē)行駛的時(shí)間小時(shí)之間的關(guān)系如圖所示，下列說(shuō)法中正確的有（

）

①甲車(chē)行駛的速度為每小時(shí)千米；②兩地之間的距離為千米；③甲車(chē)返回地的速度為每小時(shí)千米；④甲車(chē)返回地比乙車(chē)到地時(shí)間晚小時(shí)．A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在直角梯形中，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿梯形的邊由運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，的面積為．把看作的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示，則面積為(

)

A．10 B．16 C．18 D．203．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖表示的是某公司一種產(chǎn)品30天的銷(xiāo)售情況，其中圖①是該產(chǎn)品日銷(xiāo)售量y（件）與日期t（日）的函數(shù)圖象，圖②是該產(chǎn)品單件的銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）與日期：t（日）的函數(shù)圖象．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．第25天的銷(xiāo)售量為200件 B．第6天銷(xiāo)售一件產(chǎn)品的利潤(rùn)是19元C．第20天和第30天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)相等 D．第18天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)高于第25天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)二、填空題4．（2023秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）馬家溝芹菜是青島的名優(yōu)農(nóng)產(chǎn)品，某公司零售一箱該產(chǎn)品的利潤(rùn)是10元，批發(fā)一箱該產(chǎn)品的利潤(rùn)是6元．經(jīng)營(yíng)性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于300箱．現(xiàn)該公司出售800箱這種產(chǎn)品，最大利潤(rùn)是元．5．（2023秋·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）某公司新產(chǎn)品上市天全部售完，圖①表示產(chǎn)品的市場(chǎng)日銷(xiāo)售量與上市時(shí)間之間的關(guān)系，圖②表示單件產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)與上市時(shí)間之間的關(guān)系，則最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是元；已知當(dāng)時(shí)，單件產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)w與t之間的函數(shù)關(guān)系式為，則第天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為元．

6．（2023·北京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）甲地組織20輛汽車(chē)裝運(yùn)食品、藥品、生活用品三種物資共100噸到乙地．每輛汽車(chē)可裝運(yùn)物資的運(yùn)載量和每噸所需運(yùn)費(fèi)如下表．物資種類(lèi)食品藥品生活用品每輛汽車(chē)運(yùn)載量/噸654每噸所需運(yùn)費(fèi)/元120160100如果20輛汽車(chē)都要裝運(yùn)，每輛汽車(chē)只能裝運(yùn)同一種物資且必須裝滿(mǎn)，每種物資至少裝運(yùn)1輛車(chē)，那么總運(yùn)費(fèi)最少的車(chē)輛安排方案為：裝運(yùn)食品、藥品、生活用品的汽車(chē)輛數(shù)依次是，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為元．三、應(yīng)用題7．（2023秋·安徽淮北·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿著B(niǎo)→C→D→A的方向移動(dòng)到點(diǎn)A，設(shè)移動(dòng)過(guò)程中三角形的面積為S（），移動(dòng)時(shí)間為t（s）．

(1)寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)①當(dāng)時(shí)，求三角形的面積；②當(dāng)三角形的面積為時(shí)，求t的值．8．（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)滕州育才中學(xué)?？计谥校┖戏誓承Ｓ?名教師準(zhǔn)備帶領(lǐng)部分學(xué)生（不少于3人）參觀野生動(dòng)物園．經(jīng)洽談，野生動(dòng)物園的門(mén)票價(jià)格為教師票每張36元，學(xué)生票半價(jià)，且有兩種購(gòu)票優(yōu)惠方案．方案一：購(gòu)買(mǎi)一張教師票贈(zèng)送一張學(xué)生票；方案二，按全部師生門(mén)票總價(jià)的80%付款，只能選用其中一種方案購(gòu)買(mǎi)．假如學(xué)生人數(shù)為x（人），師生門(mén)票總金額為y（元）．(1)分別寫(xiě)出兩種優(yōu)惠方案中y與x的函數(shù)表達(dá)式；(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算回答，選擇哪種購(gòu)票方案師生門(mén)票總費(fèi)用較少；(3)若選擇最優(yōu)惠的方案后，共付款288元，則學(xué)生有多少人？9．（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）河南某景區(qū)為了發(fā)展旅游，吸引游客，推出了兩種優(yōu)惠方案（設(shè)購(gòu)買(mǎi)門(mén)票的張數(shù)為x張，費(fèi)用為y元）方案一：充值元購(gòu)買(mǎi)年卡，每張門(mén)票元．方案二：每張門(mén)票的單價(jià)按圖中的折線(xiàn)所表示的函數(shù)關(guān)系確定．某單位準(zhǔn)備組織員工到該景區(qū)旅游．

(1)當(dāng)購(gòu)買(mǎi)張門(mén)票時(shí)，按方案一和方案二分別應(yīng)花費(fèi)多少錢(qián)？(2)求方案二中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出折線(xiàn)所表示的實(shí)際意義．(3)該單位選擇哪種購(gòu)買(mǎi)方案更劃算？10．（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)山東省濟(jì)南稼軒學(xué)校?？计谥校┰?、兩地之間有服務(wù)區(qū)，甲車(chē)由地駛往服務(wù)區(qū)，乙車(chē)由地駛往地，兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，如圖是甲、乙兩車(chē)分別距離服務(wù)區(qū)的路程、（單位：千米）與乙車(chē)行駛時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象信息，解答下列問(wèn)題：

(1)甲車(chē)的速度是________千米/時(shí)；(2)求圖象中線(xiàn)段的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)兩車(chē)距服務(wù)區(qū)的路程之和是千米時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)乙車(chē)的行駛時(shí)間．11．（2023春·吉林白城·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，表示振華商場(chǎng)一天的某型電腦銷(xiāo)售額與銷(xiāo)售量的關(guān)系，表示該商場(chǎng)一天的銷(xiāo)售成本與電腦銷(xiāo)售量的關(guān)系．觀察圖象，解決以下問(wèn)題：(1)當(dāng)銷(xiāo)售量時(shí)，銷(xiāo)售額＝______萬(wàn)元，銷(xiāo)售成本＝______萬(wàn)元；(2)一天銷(xiāo)售______臺(tái)時(shí)，銷(xiāo)售額等于銷(xiāo)售成本；(3)分別求出和對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(4)直接寫(xiě)出利潤(rùn)w與銷(xiāo)售量x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)銷(xiāo)售量x是多少時(shí)，每天的利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元？12．（2023春·黑龍江綏化·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)生用品商店，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A、B兩種背包共80件進(jìn)行銷(xiāo)售，購(gòu)貨資金不少于2090元，但不超過(guò)2096元，兩種背包的成本和售價(jià)如下表：種類(lèi)成本（元/件）售價(jià)（元/件）A2530B2835假設(shè)所購(gòu)兩種背包可全部售出，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)該商店對(duì)這兩種背包有哪幾種進(jìn)貨方案？(2)該商店如何進(jìn)貨獲得利潤(rùn)最大？(3)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每件B種背包的市價(jià)不會(huì)改變，每件A種背包的售價(jià)將會(huì)提高a元（a>0），該商店又將如何進(jìn)貨獲得的利潤(rùn)最大？13．（2023秋·安徽安慶·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）共享電動(dòng)車(chē)是一種新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市場(chǎng)，現(xiàn)有A，B兩種品牌的共享電動(dòng)車(chē)，給出的圖象反映了收費(fèi)y（元）與騎行時(shí)間x（min）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中A品牌收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)y1，B品牌的收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出圖中函數(shù)，的圖象交點(diǎn)P表示的實(shí)際意義(2)求，，關(guān)于x的函數(shù)解析式(3)①如果小明每天早上需要騎行A品牌或B品牌的共享電動(dòng)車(chē)去工廠(chǎng)上班，已知兩種品牌共享電動(dòng)車(chē)的平均行駛速度均為，小明家到工廠(chǎng)的距離為9km，那么小明選擇___________品牌共享電動(dòng)車(chē)更省錢(qián)．（填“A”或“B”）②當(dāng)x為何值時(shí)，兩種品牌共享電動(dòng)車(chē)收費(fèi)相差3元？14．（2023秋·湖北·九年級(jí)?？贾軠y(cè)）在襄陽(yáng)市創(chuàng)建“經(jīng)濟(jì)品牌特色品牌”政策的影響下．每到傍晚，市內(nèi)某網(wǎng)紅燒烤店就食客如云，這家燒烤店的海鮮串和肉串非常暢銷(xiāo)，店主從食品加工廠(chǎng)批發(fā)以上兩種產(chǎn)品進(jìn)行加工銷(xiāo)售，其中海鮮串的成本為m元/支，肉串的成本為n元/支；兩次購(gòu)進(jìn)并加工海鮮串和肉串的數(shù)量與成本如下表所示（成本包括進(jìn)價(jià)和其他費(fèi)用）：次數(shù)數(shù)量（支）總成本（元）海鮮串肉串第一次3000400017000第二次4000300018