第二章 一元二次方程 講義 2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

一元二次方程1、關(guān)于x的方程x2＋5x＋m＝0的一個根為－2，則另一個根是()A．－6 B．－3 C．3 D．62、若關(guān)于x的一元二次方程x2－2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜1B．k≤1C．k＞－1D．k＞13、下列一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）A．x2+3=0 B．（x+1）2=0 C．x2+2x=0 D．（x+3）（x﹣1）=04、下列一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）A．x2+3=0 B．（x+1）2=0 C．x2+2x=0 D．（x+3）（x﹣1）=05、已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一個根，則方程的另一個根是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握一元二次方程的解法。理解一元二次方程韋達定理3、掌握有關(guān)一元二次方程判別式。4、掌握有關(guān)一元二次方程有關(guān)題目的解法。一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a0，b、c為常數(shù)）2、根的判別式.當(dāng)△=b2當(dāng)△=b2當(dāng)△=b23.一元二次方程的解法直接開平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法4、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)如果的兩個根是、,那么1.一元二次方程的定義【例1】下列方程中是一元二次方程的序號是．③練習(xí)1.已知，關(guān)于x的方程是一元二次方程，則練習(xí)2.當(dāng)時，方程不是關(guān)于x的一元二次方程．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根是0，則a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或02.一元二次方程根的情況【例1】若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是．練習(xí)1.已知：當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根．練習(xí)2.關(guān)于x的方程的根的情況是___________．【例2】不解方程，判別方程的根的情況：練習(xí)3.練習(xí)4.【例3】已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2（m＋1）x＋m2－1=0．（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若方程兩實數(shù)根分別為x1，x2，且滿足（x1－x2）2=16－x1x2，求實數(shù)m的值．練5、在Rt△ABC中，斜邊AB=5，而直角邊BC，AC之長是一元二次方程x2－（2m－1）x＋4（m－1）=0的兩根，則m的值是（）A．4B．－1C．4或－1D．－4或16、若x＝EQ\R(,3)是關(guān)于x的方程x2－4EQ\R(,3)x＋m＝0的一個根，則方程的另一個根是（）A.9B.4C.4EQ\R(,3)D.3EQ\R(,3)3.一元二次方程的解法①直接開平方法【例1】解方程．練1.解方程．練2.解方程．②配方法【例2】用配方法解方程．練3．x2＋8x－2＝0練4.2x2-x=6③分解因式法【例3】解方程．練5．(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)練6．4x2-20x+25=7分解因式：x2－4x＋4＝__________．分解因式：________．④公式法x2－4x＋4＝04x2-20x+25=7已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，則該三角形的周長可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．104、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）例1、若方程x2＋x－1=0的兩實根為α、β，那么下列說法不正確的是（）A．α＋β=－1B．αβ=－1C．α2＋β2=3D．＋=－1關(guān)于x的方程x2＋5x＋m＝0的一個根為－2，則另一個根是()A．－6 B．－3 C．3 D．6練1、若關(guān)于x的一元二次方程x2＋bx＋c=0的兩個實數(shù)根分別為x1=－2，x2=4，則b＋c的值是（）A．－10B．10C．－6D．－1【例2】設(shè)，是方程2x2＋4x－1=0的兩個根，不解方程求下列各式的值：（1）＋；（2）＋；（3）（－2）（－2）．練2、已知方程的兩個根為,求下列各式的值: 練3、方程x2－（m＋6）＋m2=0有兩個相等的實數(shù)根，且滿足x1＋x2=x1x2，則m的值是（）A．－2或3B．3C．－2D．－3或2練4、關(guān)于x的一元二次方程x2＋2（m－1）x＋m2=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，且x1＋x2＞0，x1x2＞0，則m的取值范圍是（）A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0【例3】已知方程的一個根是,求另一個根及的值.練5、已知關(guān)于x的方程2x2－mx－6=0的一個根2，則m=，另一個根為．練6、已知m，n是方程x2＋2x－5=0的兩個實數(shù)根，則m2–mn＋3m＋n=______．5、韋達定理和判別式的綜合例、已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2EQ\r(,2)x＋m=0，有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求實數(shù)m的最大整數(shù)值；（2）在（1）的條下，方程的實數(shù)根是x1，x2，求代數(shù)式x12＋x22－x1x2的值．4、一元二次方程應(yīng)用【例1】某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月如果單價不變，預(yù)計仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應(yīng)高于購進的價格；第二個月結(jié)束后，批發(fā)商將對剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40元，設(shè)第二個月單價降低x元．（1）填表：（不需化簡）時間第一個月第二個月清倉時單價（元）8040銷售量（件）200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應(yīng)是多少元？練1、為了倡導(dǎo)節(jié)能低碳的生活，某公司對集體宿舍用電收費作如下規(guī)定：一間宿舍一個月用電量不超過a千瓦時，則一個月的電費為20元；若超過a千瓦時，則除了交20元外，超過部分每千瓦時要交元．某宿舍3月份用電80千瓦時，交電費35元；4月份用電45千瓦時，交電費20元．（1）求a的值；（2）若該宿舍5月份交電費45元，那么該宿舍當(dāng)月用電量為多少千瓦時？【例2】為建設(shè)“綠色城市”，某單位準備將院內(nèi)一塊長30m，寬20m的長方形空地，建成一個矩形花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532m2，那么小道進出口的寬度應(yīng)為多少米？（注：所有小道進出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形）練2、如圖，某市近郊有一塊長為60米，寬為50米的矩形荒地，地方政府準備在此建一個綜合性休閑廣場，其中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間的三個矩形（其中三個矩形的一邊長均為a米）區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地．（1）設(shè)通道的寬度為x米，則a=（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若塑膠運動場地總占地面積為2430平方米．請問通道的寬度為多少米？基礎(chǔ)演練1.下列方程:①x2=0,②-2=0,③2+3x=(1+2x)(2+x),④3-=0,⑤-8x+1=0中,一元二次方程的個數(shù)是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化為一元二次方程的一般形式是()A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0 C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=04.方程化為一元二次方程的一般形式是________,它的一次項系數(shù)是______.5.關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0有實數(shù)解的條件是__________.6.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比較簡便.7.如果2x2+1與4x2-2x-5互為相反數(shù),則x的值為________.鞏固提高1.下列方程中,常數(shù)項為零的是()A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12 C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+22．某商場有一種工藝品，一件工藝品進價為100元，標(biāo)價為135元售出，每天可售出100件，根據(jù)銷售統(tǒng)計，一件工藝品每降低1元出售，則每天可多售出4件，要使顧客盡量得到優(yōu)惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價（）A．4元B．6元C．4元或6元D．5元3．某方便面廠10月份生產(chǎn)方便面100噸，這樣1至10月份生產(chǎn)量恰好完成全年的生產(chǎn)任務(wù)，為了滿足市場需要，計劃到年底再生產(chǎn)231噸方便面，這樣就超額全年生產(chǎn)任務(wù)的21%，則11、12月的月平均增長率為（）A．10%B．31%C．13%D．11%4.方程x2-2kx+k2-2=0.求證:不論k為何值,方程總有兩不相等實數(shù)根.5.如果2x2+1與4x2-2x-5互為相反數(shù),則x的值為________.6.如果關(guān)于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0沒有實數(shù)根,那么k的最小整數(shù)值是__________.7.如果關(guān)于x的方程4mx2-mx+1=0有兩個相等實數(shù)根,那么它的根是_______.8.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0有兩個不相等實數(shù)根,則k的取值范圍是_______.1.一元二次方程2x2-3x+1=0化為(x+a)2=b的形式,正確的是()A. B. C. D.以上都不對2.關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則值為（）A．1 B.-1 C.1或-1 D.3.已知三角形兩邊長分別為2和9,第三邊的長為二次方程x2-14x+48=0的一根,則這個三角形的周長為()A.11 B.17 C.17或19 D.194．一名跳水運動員從10m高臺上跳水，他每一時刻所在高度h（單位：m）與所用時間t（單位：s）的關(guān)系是h=－5（t－2）（t＋1），則該運動員從起跳到入水所用的時間是（）A．5

sB．2

sC．3

sD．1

s5.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比較簡便.6.如果2x2+1與4x2-2x-5互為相反數(shù),則x的值為________.7.8.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個根為-1,則a、b、c的關(guān)系是______.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.下列方程中不一定是一元二次方程的是()A.(a-3)x2=8(a≠3)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2下列方程中,常數(shù)項為零的是()A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12 C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+23.已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是（）A. B.3 C.6 D.94.使分式的值等于零的x是()A.6 B.-1或6 C.-1 D.-65.若關(guān)于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有實根,則k的取值范圍是()A.k>- B.k≥-且k≠0 C.k≥- D.k>且k≠06.要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，則x滿足的關(guān)系式為（）A．x（x＋1）=28B．x（x－1）=28C．x（x＋1）=28D．x（x－1）=287．已知平面中有n個點，A，B，C三個點在一條直線上，A，D，E，F(xiàn)