18高中數(shù)學(xué)新教材課堂導(dǎo)學(xué)案（直線與圓錐曲線關(guān)系）及答案

課堂導(dǎo)學(xué)（直線與圓錐曲線的關(guān)系）【知識(shí)點(diǎn)】1.直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.①Δ＞0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無(wú)公共點(diǎn)．2.直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若即，①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無(wú)公共點(diǎn)．3.直線與拋物線的位置關(guān)系將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點(diǎn)；若①Δ＞0直線和拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；③Δ＜0直線和拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．4.拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)。設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：①焦點(diǎn)弦長(zhǎng)②③，其中|AF|叫做焦半徑，④焦點(diǎn)弦長(zhǎng)最小值為2p。根據(jù)時(shí)，即AB垂直于x軸時(shí)，弦AB的長(zhǎng)最短，最短值為2p。5.相交弦長(zhǎng)：直線直線與二元曲線交于，，則或6.中點(diǎn)弦：點(diǎn)差法.【典例】例1．（2022·江蘇·高二）已知直線：與雙曲線：相交于兩點(diǎn).（1）求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】【分析】聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元得到關(guān)于的一元二次方程，求得兩根之和與兩根之積，代弦長(zhǎng)公式即可求解【詳解】設(shè)直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)由所以，所以即直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為例2．已知雙曲線：，點(diǎn).（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的斜率取值集合.A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.①直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；③設(shè)過(guò)的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.例3．已知直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，求線段AB的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】首先判斷直線的斜率存在，設(shè)直線為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，根據(jù)，求出參數(shù)，再根據(jù)焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意顯然直線的斜率存在，設(shè)直線為，，，由，消去整理得當(dāng)時(shí)，顯然不成立．當(dāng)時(shí)，，又得，解得，當(dāng)時(shí)直線，又焦點(diǎn)滿足直線．所以，又，．故答案為：【作業(yè)】1．過(guò)拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)的直線垂直于軸交拋物線于兩點(diǎn)，則（）A．B．5C．SKIPIF1<0D．102.已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線與、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A．B．C．D．3.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線交于,兩點(diǎn)，則（C）（A）（B）（C）（D）4．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)可得，然后即可求出的范圍【詳解】雙曲線的一條漸近線為，因?yàn)橹本€與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，故有，即，，所以，所以.所以的范圍為故選：A5．（2022·江蘇·高二）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為一條漸近線上的一點(diǎn)，且，則的面積為（

）A． B． C．5 D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)，可得，又，即可求得的面積【詳解】雙曲線的漸近線方程，不妨設(shè)A在上，則，根據(jù)可得，且，解得，所以的面積為．故選：B6．（多選題）（2022·浙江浙江·高二期中）若雙曲線的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為 B．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．雙曲線的漸近線方程為 D．直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A，B，C，將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立可判斷選項(xiàng)D.【詳解】在雙曲線的方程為中，，則則雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為由可得，即雙曲線的漸近線方程為故選項(xiàng)A,C正確，選項(xiàng)B不正確.由可得，所以直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD7．過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線有條.8．（2022·江蘇·高二）已知直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的實(shí)數(shù)的值組成集合_______.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立，消，分二次項(xiàng)系數(shù)等于0和不等于0兩種情況討論，結(jié)合根的判別式從而可得出答案.【詳解】解：聯(lián)立，消得，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述或，所以滿足條件的實(shí)數(shù)的值組成集合為.故答案為：.9．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且垂直于實(shí)軸的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為______.【答案】4【解析】【分析】求得雙曲線的，，，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線的方程，代入雙曲線方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得弦長(zhǎng)．【詳解】解：雙曲線的，，，可得一個(gè)焦點(diǎn)為，直線，代入雙曲線的方程可得，解得，則，故答案為：4．11．（2022·江蘇·高二）已知為雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性以及可知，四邊形為矩形，再根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理求得，即可得到四邊形的面積．【詳解】由題意得，，由雙曲線的對(duì)稱性以及可知，四邊形為矩形，所以，解得，所以四邊形的面積為．故答案為：．12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)為A、，，．則直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為_____________．【答案】．【解析】【分析】由題可得橢圓的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由，，可得，，解得，，則，即有橢圓的方程為，聯(lián)立直線和橢圓，可得，設(shè)被橢圓截得的