2023年九年級中考數(shù)學(xué)一輪練習(xí) 特殊平行四邊形2 (三)(含解析)

2023年中考數(shù)學(xué)一輪專題練習(xí)一一點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)

系2（解答題部分）

一、解答題（本大題共22小題）

L（遼寧省大連市2022年）AB是的直徑，。是8上一點(diǎn)，BC,垂足為。，

過點(diǎn)A作：。的切線，與。0的廷長線相交于點(diǎn)E.

圖1圖2

（1）如圖1,求證NB=NE；

（2）如圖2,連接AO,若。。的半徑為2,?！?3,求A0的長.

2.（遼寧省撫順本溪遼陽市2022年）如圖，在中，N4CB=90。，，?！晔瘡S的頂

點(diǎn)O,D在斜邊4B上，頂點(diǎn)E,產(chǎn)分別在邊BC,AC上，以點(diǎn)O為圓心，Q4長為半徑

的。恰好經(jīng)過點(diǎn)。和點(diǎn)￡

（1）求證：BC與相切；

3

（2）若sinNB4C=w，CE=6,求）的長.

3.（江蘇省揚(yáng)州市2022年）如圖，AB為O。的弦，0c_L04交48于點(diǎn)P,交過點(diǎn)B的

直線于點(diǎn)C,且C8=CP.

（1）試判斷直線3c與O的位置關(guān)系，并說明理由;

⑵若sinA=4^,OA=8,求CB的長.

4.(湖北省荊州市2022年)如圖1,在矩形A8CO中，AB=4,AZ)=3,點(diǎn)O是邊AB

上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)4重合)，連接。。，將404。沿0。折疊，得到△OEO；再以

。為圓心，0A的長為半徑作半圓，交射線AB于G,連接AE并延長交射線BC于凡

連接EG,設(shè)OA=x.

(1)求證：OE是半圓。的切線；

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在B。上時，求x的值；

(3)當(dāng)點(diǎn)E落在8。下方時，設(shè)AAGE與戶8面積的比值為y,確定y與x之間的函

數(shù)關(guān)系式；

(4)直接與中：當(dāng)半圓O與△BCD的邊有兩個交點(diǎn)時，x的取值范圍.

5.(湖北省恩施州2022年)如圖，尸為。。外一點(diǎn)，PA,P8為。。的切線，切點(diǎn)分別

為A、B,直線PO交。。于點(diǎn)0、E,交A8于點(diǎn)C.

(1)求證：ZADE=ZPAE.

(2)若NAOE=30。，求證：AE=PE.

(3)若尸E=4,CD=6,求CE的長.

6.(湖南省湘潭市2022年)已知4(3,0)、8(0,4)是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，連接AB.

(1)如圖①，點(diǎn)P在線段A8上，以點(diǎn)P為圓心的圓與兩條坐標(biāo)軸都相切，求過點(diǎn)P的反

比例函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖②，點(diǎn)N是線段08上一點(diǎn)，連接AN,將..AON沿AN翻折，使得點(diǎn)O與線段

AB上的點(diǎn)M重合，求經(jīng)過A、N兩點(diǎn)的一次函數(shù)表達(dá)式.

7.(湖南省婁底市2022年)如圖，已知8。是的角平分線，點(diǎn)。是斜邊A8上的

動點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，06長為半徑的。。經(jīng)過點(diǎn)。，與。4相交于點(diǎn)E.

(1)判定AC與CO的位置關(guān)系，為什么？

3

(2)若BC=3,CD=-,

①求sinNDBC、sinZABC的值；

②試用sinND8c和cosND8c表示sinNA8C,猜測sin"與sina,cosa的關(guān)系，并用

a=300給予驗(yàn)證.

8.(湖南省郴州市2022年)如圖，在SBC中，AB=AC.以AB為直徑的與線段

BC交于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作OE_LAC,垂足為E,的延長線與4B的延長線交于點(diǎn)P.

(1)求證：直線尸石是的切線；

(2)若：。的半徑為6,/尸=30。，求CE的長.

12.(湖北省十堰市2022年)如圖，-ABC中，AB=ACf。為AC上一點(diǎn)，以。。為直

徑的二。與AB相切于點(diǎn)石，交5c于點(diǎn)尸，F(xiàn)GLAB,垂足為G.

(1)求證：FG是。的切線；

(2)若8G=1,BF=3t求C戶的長.

13.(四川省遂寧市2022年)如圖，OO是.A6c的外接圓，點(diǎn)O在8C上，的角

平分線交于點(diǎn)。，連接5Q,CD,過點(diǎn)。作8C的平行線與AC的延長線相交于點(diǎn)

(1)求證：P。是。的切線；

(2)求證：公ABDs,.DCP；

(3)若A4=6,AC=8,求點(diǎn)。到4。的距離.

14.(四川省內(nèi)江市2022年)如圖，AABC內(nèi)接于。O,AB是。。的直徑，。。的切線

PC交84的延長線于點(diǎn)P,OF//BC交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連接4F.

(1)判斷直線AF與。0的位置關(guān)系并說明理由；

(2)若。。的半徑為6,Ar=26，求AC的長；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

15.(湖北省黃岡市、孝感市、咸寧市2022年)如圖，。是A8C的外接圓，A。是

。的直徑，3C與過點(diǎn)A的切線EF平行，BC,AO相交于點(diǎn)G.

D

(1)求證：AB=ACx

(2)若ZX?=5C=16,求AB的長.

16.(四川省南充市2022年)如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。是

。。外一點(diǎn)，NBCD=NBAC,連接。。交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：。是。。的切線.

4

(2)若CE=OAsinN64C=M，求tanNCEO的值.

17.(四川省眉山市2022年)如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，。與O。相

切于點(diǎn)C,過點(diǎn)8作3D_LDC,連接AC,BC.

D

(1)求證：8C是NA8D的角平分線；

(2)若加＞=3,AB=4,求的長；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

18.(四川省瀘州市2022年)如圖，點(diǎn)。在以AB為直徑的。上，C0平分/AC8交

于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作0。的切線交CO的延長線于點(diǎn)尸.

c

(1)求證：FD//AB-,

(2)若AC=26，8C=石，求即的長.

19.(2022年四川省樂山市)如圖，線段AC為。。的直徑，點(diǎn)。、E在。O上，CD=

連結(jié)CE交DF于點(diǎn)G.

3

(2)已知。O的半徑為6,sinZACE=-,延長AC至點(diǎn)B,使3c=4.求證：8。是。O

的切線.

20.(湖北省鄂州市2022年)如圖，AA8c內(nèi)接于。O,P是。O的直徑A5延長線上一

點(diǎn)，ZPC8=ZOAC,過點(diǎn)。作8c的平行線交尸C的延長線于點(diǎn)D.

(1)試判斷PC與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若尸C=4,tanA=1,求△OC。的面積.

21.(四川省涼山州2022年)如圖，已知半徑為5的。M經(jīng)過x軸上一點(diǎn)C,與y軸交

于A、B兩點(diǎn)，連接AM、AC,AC平分NOAM,AO+CO=6

(2)求AB的長：

(3)連接并延長交圓M于點(diǎn)D,連接CO,求直線CO的解析式.

22.(湖南省株洲市2022年)如圖所示，介他。的頂點(diǎn)A、B在。O上，頂點(diǎn)C在。O

外，邊AC與。。相交于點(diǎn)O,ZBAC=45°,連接08、OD,已知O￡>〃6c.

(1)求證：直線BC是。。的切線；

(2)若線段。。與線段A8相交于點(diǎn)E,連接80.

①求證：AABZKUDBE；

②若48?8￡=6,求。。的半徑的長度.

參考答案

1.【答案】(1)見解析

⑵孚

【分析】

(I)證明/。￡>3=/。4石=90。，NDOB=ZAOE,即可得出N8=NE；

(2)證明△O￡>8:^OAE,求出OO,由勾股定理求出08,由垂徑定理求出8C,進(jìn)

而利用勾股定理求出4C，AD.

(1)

解：???ODABC,

：.N88=90。，

VA￡是8的切線，

AZQAE=90°,

在AOQB和AO4E中，ZODB=^OAE=90°f/DOB=ZAOE,

：.ZB=NE；

(2)

解：如圖，連接AC.

B

A

VOO的半徑為2,

，04=08=2,AB=4,

在AO力B和AOAE中，

ZODB=ZOAE=9(rt4DOB：=ZAOEf

/.tsODB:AOAE,

工嘰”即空二,

OA0E23

4

???OD=-

3f

在RtAQDB中，由勾股定理得:OD2+DB2=OB2,

，DB=>IOB2-OD2=卜2_(gW-

VOD^BC,OD經(jīng)過G。的圓心，

???CD=DB=—,

3

ABC=2DB=—.

3

〈AB是CX>的直徑，C是OO上一點(diǎn),

/.ZACB=90°,

在RtAACB中，由勾股定理得：，4。2+叱2=452,

8

：?AC=ylAB2-BC2

3

在RtAACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2,

2后

???AD=>JAC2+CD2=

3

2.【答案】(1)見解析

(2)2710

【分析】

(1)連接OE,先證明四邊形AOE尸是平行四邊形，得到OE〃AC,即可證明

NOEB=NACB=90°,由此即可證明結(jié)論；

(2)過點(diǎn)尸作H/A04于點(diǎn)兒先解直角△CE尸求出E尸的長，再證明四邊形40E尸

是菱形，得至IJO4,A尸的長，再解直角△4”尸，求出AH,FH,進(jìn)而求出?！?，即可

利用勾股定理求出OF.

(1)

證明：連接0E,

???四邊形8EF是平行四邊形，

:.EF//OD；EF=OD,

*/OA=OD,

：.EF//OD；EF=OA,

，四邊形AO瓦'是平行四邊形,

:.OE//AC,

：.NOEB=ZACB,

VZACB=90°

ZO￡B=90°,

:.OEJ.BC,

*/OE是O。的半徑，

???6c與CO相切；

(2)

解：過點(diǎn)尸作中入。4于點(diǎn)H,

???四邊形AOEF是平行四邊形

:.EF//OA.

：.4CFE=NCAB,

3

/.sinZCFE=sin/CAB=|,

在Rt.CEF中,NAC6=90。，

CF

=CE=6,sinZCFE=—,

EF

eCE6s

..sinZCFE3,

5

???四邊形AO樣是平行四邊形，且。4=OE,

:.「AO所是菱形，

，AF=AO=EF=\^,

在次AA/T/中，ZA//F=90°,

VAF=10,sinZC4fi=—,

AF

:.FH=AF-sinZCAfi=IOx|=6,

,**AH2=AF2-FH2^

,AH=y]AF2-FH2=V102-62=8*

AOH=AO-AH=10-S=2,

在RhQFH中,NF"。=90。，

???OF'OH'FH?,

??OF=ylOH2+FH2=722+62=2710?

3.【答案】（1）相切，證明見詳解

(2)6

【分析】

(1)連接。8,根據(jù)等腰三角形的性須得出NA=NQ84,NCPB=NCBP,從而求出

NAOC=NO8C=90°,再根據(jù)切線的判定得出結(jié)論；

(2)分別作交AB于點(diǎn)M,CN工AB交AB于N,根據(jù)sinA=*,0A=8求

出OP,AP的長，利用垂徑定理求出A8的長，進(jìn)而求出8P的長，然后在等腰三角形

CP8中求解CB即可.

(1)

證明：連接如圖所示：

.CP=CB,OA=OB,

：.ZA=ZOBAfNCPB=NCBP,

?:ZAPO=4CPB,

ZAPO=^CBP,

QOC±OA,即NAOP=90°,

,\ZA+ZAPO=90°=Z.OBA+NCBP=Z.OBC,

:.OB±BC,

QO8為半徑，經(jīng)過點(diǎn)0,

直線BC與。。的位置關(guān)系是相切.

(2)

分別作交AB于點(diǎn)M,CN_L45交AB于N,如圖所示:

CP=CB,AOJ-CO,

/.ZA+ZAPO=^PCN+ZCPN,PN=BN,4PCN=4BCN

:.ZA=NPCN=NBCN

sin4=—,OA=8,

5

.AOMOPy/5

二.smA=---------=-----9

OAAP5

"還,AMOP=4,4P=46,

5

32。

AB=2AM

5

.■.PN=BN=-PB=-(AB-AP)=-x_4⑹考

222

sinA=sinNBCN,

CB5

..CB=X/5B/V=>/5X^=6.

4.【答案】(1)見詳解

-I

9r23

(3)y=-^--(0<x<9

4x+362

(4)2<XM3或史<x《4

28

【分析】

(1)根據(jù)切線的判定定理求解即可；

(2)如圖，在RrAOEB,根據(jù)勾股定理列方程求解即可；

(3)先證皿求出4￡然后證明AAEGs&W尸，根據(jù)相似三角形面積比

等于相似比的平方即可求解；

(4)結(jié)合圖形，分情況討論即可求出x的取值范圍.

(1)

證明：在矩形ABC。中，ZZMB=90°,

△OED是40A。沿0D折疊得到的,

:.NOED=NDAB=90。,^OE±DE,

OE是半圓。的切線；

(2)

解：△OED是A0A。沿0。折疊得到的，

:.DE=AD=XOA=OE=xt

OB=AB-OA=4—x,

在R/ADAB中，DB=VAD2+AB2=732+42=5?

..EB=DB-DE=5-3=2f

在&AOEB中，OE2+EB2=OB2,

.\X2+22=(4-X)2,解得工二］,

(3)

解：在RtADAO中，DO=ylAff+AO2=y/l^+x2=79+x2?

△OED是〉OAO沿。。折疊得到的，

AE.LOD,

.4G是。的直徑，

ZAEG=90°,即AEJ.EG,

.OD//EG,^DAO=ZAEG=9(r

ZAOD=ZEGA,

..M)AO^MEG,

,DODA

''AG~~AE'

22

V9+x34_6x

------------=——,AE=----------，

2xAE次壽

;ZAEG=NABC=90°,ZE4G=￡BAF,

.-.^AEG^AABF,

DC

3

解：由（2）知，當(dāng)E在08上時，x=-f

如圖，當(dāng)點(diǎn)E在￡>C上時，x=3,

當(dāng)半圓O經(jīng)過點(diǎn)。時，半圓。與△BCD的邊有兩個交點(diǎn),

連接0C,在mAOBC中，OB=4-x,OC=x,BC=3,

-OB2+BC~=OC2,

.-.（4-X）2+32=X2,解得x=N，

o

2s

，當(dāng)丁4工《4時，半圓。與△BCO的邊有兩個交點(diǎn)；

O

3

綜上所述，當(dāng)半圓0與△BCO的邊有兩個交點(diǎn)時，X的取值范圍為：或

5.【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）CE的長為2.

【分析】

(I)連接0A，根據(jù)切線的性質(zhì)得到NO4E+NPAE=90。，根據(jù)圓周角定理得到

NOAE+NOAO=90。，據(jù)此即可證明NAOE=NPAE；

(2)由(1)得NAOE=NP4E=30。，ZAED=60°,利用三角形外角的性質(zhì)得到

ZAPE=ZA￡D-ZPAE=30°,再根據(jù)等角對等邊即可證明AE=PEi

(3)證明RtaEACsRi^AOC,RtAOAC^RtAAPC,推出。CxCE=OCxPC,設(shè)

CE=x,據(jù)此列方程求解即可.

(1)

證明：連接。A,

???PA為。。的切線,

/.OALPA,即NOA尸=90°,

AZOAE+ZPAE=90Q,

YOE為。。的直徑，

ZDA￡=90°,即NOAE+N040=90。，

：.ZDAO=ZPAE,

,/OA=OD,

：.ZDAO=ZADE,

:./ADE=/PAE；

(2)

證明：VZADF=30°,

由(1)ADE=7PAF.=30°,Z4ED=900-Z4DE=60°.

JZAPE=ZAED-ZPAE=30°,

/.NAPE=NPAE=30。，

：.AE=PE；

(3)

解：TPA、PB為。。的切線，切點(diǎn)分別為4、B,直線PO交A8于點(diǎn)C.

：.ABLPD,

???/OAE=90°,NOAP=90°,

，NOAC+NC4E=90。，ZOAC-ZPAC=90Q,

?.?ND4C+NQ=90。，NOAC+NAOG90。，

：.ZCAE=ZD,ZPAC=ZAOC,

ARtAEACSRSADC,RtAOACSRSAPC,

22

：.AC=DCxCE,AC=OCxPCt

即DCxCE=OCxPC,

YYY

設(shè)CE=x,則。E=6+x,0E=3+—,OC=3+--x=3--,PC=4+x

222t

Y

A6x=(3-y)(4+x),

整理得：x2+10x-24=0,

解得：x=2(負(fù)值已舍).

:.CE的長為2.

6.【答案】(1)丁=詈144

49x

小13

⑵y=一產(chǎn)］

【分析】

(1)根據(jù)AB的坐標(biāo)，可得直線48的解析式，根據(jù)題意點(diǎn)P為丁=%與4B的交點(diǎn)，求

得交點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求解；

(2)設(shè)N(0,〃)，0<W<4,根據(jù)題意求得人8=5,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)結(jié)合圖形求得

BM,MN,BN,在RtABMN中，BN?=+NM?即可求得〃的值，進(jìn)而待定系數(shù)法求

解析式即可求解.

(1)

v4(3,0)>5(0,4)

(3k+b=0

設(shè)直線AB的解析式為)，=履+〃，則'彳，

p=4

2

解得3,

b=4

4

則直線AB的解析式為y=x+4,

以點(diǎn)P為圓心的圓與兩條坐標(biāo)軸都相切，則C=%,

???點(diǎn)P為y=x與A8的交點(diǎn)，

12

x=一

解得］7；，

y=7

則喈用,

設(shè)點(diǎn)P的反比例函數(shù)表達(dá)式為)=k%，則內(nèi)=關(guān)144，

144

-?y——；

49x

(2)

設(shè)N(0,〃)，0<w<4

將AON沿AN翻折，使得點(diǎn)。與線段AB上的點(diǎn)M重合，

:.ON=OM,OA=AM

A(3,0)、8(0,4)

..OA=3.O5=4

RtZXAOB中，AB=y/AO12*5+BO2=5

..I3M=AB-AM=AB-AO=2tMN=ON=n,BN=4—n

在中，BN2=BM2+NM2

即(4-?)2=22+/J2

解得〃、

則NR,?

設(shè)直線AN的解析式為y=M+f

3s+f=0

則《3

f=~

1

s=——

2

解得3

t=-

2

13

，直線AN的解析式為y=--x+|.

7.【答案】(1)相切，原因見解析

(2)?sinZ.DBC=—,sinZ.ABC=；②sin2a=2sinacosa,驗(yàn)證見解析

55

【分析】

(1)連接0。，根據(jù)角之間的關(guān)系可推斷出00/8。，即可求得NO0A的角度，故可

求出圓與邊的位置關(guān)系為相切；

(2)①構(gòu)造直角三角形，根據(jù)角之間的關(guān)系以及邊長可求出sinNDBC,sinNABC的

值；②先表示出來sinNDBC、cosN08C和sinN4BC的關(guān)系，進(jìn)而猜測sin2a與sina,

cosa的關(guān)系，然后將a=30。代入進(jìn)去加以驗(yàn)證.

(1)

解：連接0。如圖所示

B

???8。為NA3c的角平分線

，ZABD=4CBD

又??.8過點(diǎn)8、D,設(shè)OO半徑為r

:.OB=OD=r

：.NODB=NOBD=NCBD

：.OD//BC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)

*/ODA.AC

???AC與O的位置關(guān)系為相切.

(2)

3

@V5C=3,CD=-

2

???BD=y/BC2+CD2=—

2

過點(diǎn)D作DFLAB交于一點(diǎn)F,如圖所示

：.CD=DF（角平分線的性質(zhì)定理）

:.BF=BC=3

：.OF=BF?OB=3?r,OF=CD=」

:.0D2=OF2+DF2即?=(3-r):+

VODUBC

：.ZABC=NFOD

DF4

sinZ.ABC=sinZ.FOD=-----

OD5

Js4

..sinNDBC=—,sinN4BC=-

55

@cosZDBC=—=—

BD5

，sinZDBCxcosNDBC=—x—=-

555

/.sinZABC=2sinNDBCxcosNDBC

猜測sin2a=2sinacosa

當(dāng)a=30。時2a=60。

萬

???sin2a-sin60°=——

2

sina=sin30°=—

2

cosa=cos30°=—

2

，sin2a=2sinacosa=2x,x正=立=sinla

222

sin2a=2sinacosa.

8.【答案】（1）見解析

（2）3

【分析】

（1）連接A。、OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證得NC=N2,根據(jù)平行線的判定與性

質(zhì)可證得然后根據(jù)切線的判定即可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求得C。、CE即可.

（1）

證明：連接A。、OD,記NAB￡）=/1,NODB=N2,

VDEA.AC,

，ZCED=90°.

VAB=ACt

:.Z1=ZC.

.：OB=OD,

:.Z1=Z2,

:.NC=N2,

OD//AC,

:.NODE=NCED=90P,

PE±OD,

又?:。。是。。的半徑，

工直線PE是。。的切線.

（2）

連接AD,

TAB是直徑，

/.ZADB=90°,

:.ADIBC.

又＜AB=ACf

:.CD=-BC

2f

VZP=30°,ZP￡4=90°,

/.ZE4￡;=60°,

又＜AB=AC,

???JABC為等邊三角形，

ZC=60\BC=AB=\2,

:.CD=-BC=6

2t

CE

在Rt^COE中，VcosC=—,

CD

CE=CDcos60°=6x—=3.

2

9.【答案】（1）相切，見解析

Q）DE=6

【分析】

（1）先證得：ZODC=ZODE=90°,再證8DEgOBE,得到/OBE=NODE=90°，

即可求出答案；

(2)設(shè)半徑為「；則：r2+42=(2+r)2,即可求得半徑，再在直角三角形CBE中，利用

勾股定理8。2+8爐=。爐，求解即可.

(1)

證明：連接OZ).

???Q）為。。切線,

?:20DC=40DE=*）。,

又，：OE//M），

???切。=NEOB,ZADO=ZEOD,

且ZWO=NZ）A。，

???NEOD=NEOB,

在式）DE與△OBE中；

OD=OB

?：<NEOD=NEOB,

OE=OE

；?aODE^dOBE,

???NOBE=NODE=9QP,

工直線BE與。O相切.

(2)

設(shè)半徑為r；

則：r2+42=(2+r)2,得r=3;

在直角三角形CBE中，BC?+B^=CE?,

(2+3+3)2+DE2=(4+DE)2,解得DE=6

10.【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)tanZOAC=—

4

【分析】

(1)如圖，過。作。H1AB于",證明0C=0”,即可得到結(jié)論；

(2)證明？4CE2OCD?ODC,再結(jié)合？CAE?D4C,從而可得結(jié)論;

4"AC1

(3)由相似三角形的性質(zhì)可得嚶=三二工設(shè)=貝iJ4C=2x,AO=4x,而

ACAD2

AD=AE+DE=x+12,從而建立方程求解x,從而可得答案.

(1)

證明：如圖，過。作0H1AB于”,

NACB=90。，AO是△ABC的角平分線,

\OC=OH,

。為圓心，。。為半徑，

.?.AB是。。的切線.

(2)

%為;10的直徑，

\?DCE90??DCO?OCE,

Q2ACB90??ACE?BCE,

\?DCO?ACE,

vOD=OC.

NODC=NOCD,

\1ACE?ADC,

Q2CAE?DAC,

\YACE爾ADC.

(3)

Ap1

QVACEsVADC,器=j

、AE_AC

就一而一/，

設(shè)Af=x,貝ijAC=2x,AO=4x,[fijAD=AE+DE=x+\2t

\4x=x+12,解得x=4,

\AE=4,AC=8,AO=16,

/?八OC63

??tanNOAC=----=-=-.

AC84

11.【答案】(1)/645=45。，AC=3應(yīng)

(2)F￡)=2&

【分析】

(1)由圓周角定理得NACB=90°,由C為4B的中點(diǎn)，得AC=BC，從而AC=8C,

即可求得NC4B的度數(shù)，通過勾股定理即可求得AC的長度；

(2)證明四邊形ECFZ)為矩形，F(xiàn)D=CE=^CB,由勾股定理求得8c的長，即可得

出答案.

(1)

VAB為。。的直徑，

?..ZACB=90%

由C為AB的中點(diǎn)，得AC=3C，

AAC=BC,得/48C=NC4B,

在心.ABC中,ZABC+NCAB=%。,

???ZC4B=45°；

根據(jù)勾股定理，有AC2+8C2=AB2,

又AB=6,得2AC?=36,

:.AC=3y/2;

(2)

??,FD是1)0的切線，

：?0D工FD,即NODF=90。，

?：0DLCB,垂足為E,

JZCro=90°,CE=-CB,

2

同(1)可得ZAC3=90。，有NFCE=90。，

???Z.FCE=ZCED=Z.0DF=90°,

???四邊形EC4)為矩形，

:?FD=CE,于是fO=《C8,

2

在用二ABC中，由AB=6,AC=2,得CB7AB?-AC2=4①，

AFD=2&.

12.【答案】(1)見解析

【分析】

(1)連接",。尸，設(shè)NODF=ZOFD=0,40FC=a,根據(jù)已知條件以及直徑所對

的圓周角相等，證明。+夕=90。，進(jìn)而求得=尸。=?，即可證明咫是0。

的切線；

(2)根據(jù)已知條件結(jié)合(1)的結(jié)論可得四邊形GE0F是正方形，進(jìn)而求得。C的長,

根據(jù)N8FG=NF￡>C=￡,sin^=—=—,即可求解.

BFDC

(1)

如圖，連接拉氏。尸，

?：OF=OD,

則NODF=NOFD,

設(shè)4)DF=4)FD=0,ZOFC=a,

,OF=OC,

:.Z.OFC=AOCF=a,

???oc為oo的直徑，

.?"FC=90。，

^DFO+OFC-4DFC-90°，

即a+P=90。，

???A8=AC,

."B=ZACB=a,

?;FGLAB,

/GFB=90°-ZB=90°-a=^.

???ZD昨ZDFC=90°,

ZDFG=90°-4GFB=90°-/7=a,

.?.ZGFO=GFD+DFO=a+尸=90。,

OF為OO的半徑，

是OO的切線；

(2)

如圖，連接OE,

QAB是。O的切線，則OE1AB，又。/_L依_LA8,

??四邊形GEQF是矩形，

?：OE=OF,

.?四邊形GEO尸是正方形，

GF=OF=-DC,

2

在Rt^G陽中，BG=T,BF=3,

:.FG=dBF2-GB2=26，

DC=4x/2,

由(1)可得NBFG=/FDC=0,

,FGA-AByDF±FC,

cGBFC

sinp=——=——,

BFDC

IFC

亍碰，

解得尸。=逑.

3

13.【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)點(diǎn)。到人。的距離為變

2

【分析】

(1)連接OD,證明0。八8。，則OD1DP,即可得證；

(2)由BC〃DP,ZACB=ZADB,可得NP二NADB，根據(jù)四邊形ABOC為圓內(nèi)接四

邊形，又NDC尸+NACD=180。，可得ZABD二/DCP,即可證明△ABQs二℃尸；

(3)過點(diǎn)。作0E1的于點(diǎn)E,由△ABQs二℃p,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得CP,

證明SB4DSJD4P，繼而求得力2E。，在RtVOEQ中，利用勾股定理即可求解.

(1)

證明：連接OD,

TA。平分NMC,

?\BAD=ZDAC,

；?BD二DC.

又???8C為直徑，

???。為BC中點(diǎn)，

：?OBBC.

VBC//DP,

；?0D上DP.

又???。。為半徑，

工尸。是G>O的切線；

(2)

證明：VBC//DP,

???ZACB=AP.

VZACB=ZADB.

；?4二ZADB.

???四邊形48OC為圓內(nèi)接四邊形，

:.Z4BD+Z4CD=180°.

又：ZDCP+Z4CD=180°,

：?ZABD=NDCP,

???AABDSLDCP.

0)

過點(diǎn)。作0E1的于點(diǎn)E,

???5C為直徑,

/.ZBAC=90°.

VAB=6,4c=8，

???BC-y]AB2+AC2-10-

又?；BD=DC,

，BD2+DC2=2BD2=BC2,

，BD=DC=54i.

由(2)知△ABDsJXT,

.ABBD

??~~,

DCCP

.fBDDC5025

..C〃=----------=—=一,

AB63

2549

??.AP=AC+CP=8+—=—.

33

又?；ZADB=ZACB=NP,ZR4D=NQ4P，

?*-LBAD^^DAP^

.ABAD

??----=-----,

ADAP

:.AD2=ABAP=9S,

工AD=7&.

V0E1AD,

???ED=-AD=^-.

22

在RtVOED中，OE=4OD2-ED?=

??.點(diǎn)。到A。的距離為退.

2

14?【答案】(I)直線A/與。。相切.理由見解析

(2)6

(3)186-6兀.

【分析】

(1)連接OC,證明△A。尸會4。0尸(S4S),由全等三角形的判定與性質(zhì)得出

NOAF=NOCF=90。,由切線的判定可得出結(jié)論；

(2)由直角三角形的性質(zhì)求出NA。尸=30。，可得出AE=3OA=3,則可求出答案；

(3)證明△AOC是等邊三角形，求出NAOC=60。，OC=6,由三角形面積公式和扇形

的面積公式可得出答案.

(1)

直線A尸與。O相切.

理由如下：連接。C,

???尸。為圓O切線,

ACP_LOC,

AZOCP=90°,

*/OF//BC,

:,Z.AOF=4B,NCOF=NOCB,

VOC=OB,

???NOCB=NB,

AZAOF=ZCOFt

???在aAOr和△CO尸中，

OA=OC

?/AO尸=NCOF,

OF=OF

:.△AOFW4COF(SAS'),

AZOAF=ZOCF=90°,

?"尸"LOA,

又TOA為圓O的半徑，

???A尸為圓。的切線；

(2)

,:△AOF9XCOF,

：.ZAOF=ZCOFf

t：OA=OC,

???E為AC中點(diǎn),

即AE=CE=-AC,OE1AC,

2

,:ZOAF=90\OA=6,AF=2>/3f

.?.皿4。尸="=氈=近

OA63

,NAOr=30°,

:.AE=-OA=3,

2

AC=2AE=6；

(3)

???AC=OA=6,OC=OA,

??.△AOC是等邊三角形，

???NAOC=60。，OC=6,

VZOCP=90°,

CP=y/3OC=6x/3,

???S/OCP=gOC?CP=；X6X66=185S^=6。瑟6,=,

AOC6;r

，陰影部分的面積=S40cp-S質(zhì)形AOC=18>/3-6^.

15.【答案】(1)證明見解析

⑵4百

【分析】

(1)由切線的性質(zhì)和6c〃歷可得捫1BC,由垂徑定理可得BG=CG,從而得到AO

垂直平分BC,最后利用垂直平分線的性質(zhì)即可得證；

(2)先利用勾股定理得到8。=86，然后利用兩組對應(yīng)角相等證明△AGBs/SBGO,

從而得到空=49,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

BDDG

(1)

證明：???直線EF切OO于點(diǎn)A，AD是OO的直徑，

工AD1EF，

???ADAE=ZDAF=90°,

VBC//EF,

???ZDGB=ZDAE=900,

?\AD1BC,

???BG;CG,

???AQ垂直平分BC,

:.AB=AC：

(2)

如圖，連接BD，

由(1)知：ADLBC,BG=CG,

???NDGB=ZAGB=90。，

,:DG=BC=16,

???BG=-BC=8,

2

在RhDGB中,BD=jBG\DG2=7S2+162=8>/5>

,:AO是OO的直徑，

???ZABD=90°,

???Z4BG+ZZ)BG=90。，

又,：？BDG2DBG90?,

：?ZABG=NBDG,

又丁NDGB=ZAGB=%。

:.AAGBs^BGD,

,ABBG

.?—=—，

BDDG

anAB_S

即演二市

AB=46，

即AB的長為4石.

16.【答案】(1)見解析；

(2)3

【分析】

(I)連接0C,根據(jù)圓周角定理得到NAC8=90。，根據(jù)OA=OC推出N8CO=NACO,

即可得到NBCZ)+NOC8=90。，由此得到結(jié)論；

(2)過點(diǎn)。作OFJ_BC于尸，設(shè)8C=4x,則AB=5x,OA=CE=2.5x,BE=\.5x,勾股

opOR

定理求出4C,根據(jù)O尸〃AC,得到==2=1,證得O尸為△ABC的中位線，求出

CFOA

OF&EF,即可求出tan/CEO的值.

(1)

JZACB=90°,

ZACO+ZOCB=90°,

'：OA=OC,

???NA=/ACO,

??,NBCD=NBAC,

???NBCO=NACO,

，N8CO+NOCB=90。，

???OC±CD,

???CD是。0的切線.

(2)

解：過點(diǎn)。作。/_LBC于F,

4

?:CE=OAsin/BAC=-，

，設(shè)BC=4x,則AB=5x,OA=CE=2.5xf

BE=BC-CE=1.5xt

VZC=90°,

AC-slAB2-BC~=3x，

?：OA=OB,OF//AC,

.BFOB、

??----=-----=1f

CFOA

；.CF=BF=2x,EF=CE-CF=0.5xf

???0尸為△ABC的中位線，

OF=—AC=1.5x,

2

17?【答案】(1)見解析

Q)BC=26

⑶c72萬-gfT

【分析】

(1)連接OC，先證明OC〃BZ),然后由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，即可證

明結(jié)論成立；

(2)證明△ABCS^CB。即可，根據(jù)題目中的條件，可以得到NABONC8。，

ZACB=ZDt從而可以得到△ABCS^CB。，即可求出8C的長度；.

(3)先證明△AOC是等邊三角形，然后求出扇形A。。和AAOC的面積，即可得到答

案

(1)

證明：連接OC,如圖

???C。與GO相切于點(diǎn)C,

???OCLCD

VBD1CD,

：.OC//BD

???NOCB=/DBC.

又,：OC=OB,

???20CB=20BC，

?,?功BC=ZOBC，

:.BC平分/A8Q.

(2)

解：根據(jù)題意，

??,線段AB是直徑,

:.4。3=90。=/￡),

VBC平分NABQ，

：.ZABC=ZCBD,

：.QABCS^CBD,

,AB_B￡

一而一而‘

VBD=3,AB=4，

:.BC2=3x4=12?

:.BC=2x/3；

(3)

解：作CE_LAO于￡如圖:

在直角△ABC中，AC=Q『-QEy=2,

???A0=AC=C0=2,

???△AOC是等邊三角形，

AZ4OC=60°,0E=\,

:.CE=6

???陰影部分的面積為：

XX

S=60￡2；_1X2X75=21_75

36023

18.【答案】（1）見解析

【分析】

(1)連接OO,由CO平分NAC8,可知AO=8O，得/4。。=/8。。=90。，由。尸是

切線可知/。。尸=90。=乙4。。，可證結(jié)論；

(2)過C作CM_L4B于M,已求出CM、BM.0M的值，再證明△。。/s^MCO,

俎CMOM.

得而二而'代入可"

(1)

證明：連接0。，如圖，

???CO平分NACB,

,AD=?

???NAOZ)=N8OO=90。,

YQF是。。的切線，

JZODF=90°

：?/ODF=/BOD,

J.DF//AB.

(2)

解：過。作CM_LA8于M,如圖,

???48是直徑，

/.ZACB=90°,

22

???A8=VAC+BC=J(2石)2+仍)2=5?

：.-AB>CM=-AC^BC,

22

即L?5?CM1倉必君J5,

22

???CM=2,

.**BM=ylBC2-CM2=7(\/5)2-22=1，

I3

；?OM=OB-BM=T51=-,

22

VDF//AB,

：.40FD=4C0M,

又VZODF=ZCMO=900,

:ADOFsRMCO,

.CM_0M

'~OD~~FD

3

嗚

2

?m—15

8

19.【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】

(1)連接A。，得到N4OF+NFOC=90。，由。5J_4C,得至ljN40尸+ND4尸=90。，再

由CD=DE，可推出NOCE=/FOC,即可證明CG=OG：

(2)要證明8。是。O的切線，只要證明。。_LB。，只要證明8D〃CE,通過計(jì)算求

得sin/8=1,即可證明結(jié)論.

(1)

證明：連接4。，

TAC為。。的直徑，???/AOC=90。，則NA。尸+N尸。C=90。,

VDF±4C,AZAFD=90°,則尸+NOAF=90。，

：?NFDC=/DAF,

*.*CD=DE，*,?NDCE=ZDAC,

：.ZDCE=ZFDC,

JCG=DG；

(2)

證明：連接。D，設(shè)。。與CE相交于點(diǎn)H,

E

A

OF

?CD=DE?

:.OD±EC,

:。尸_LAC,

AZODF=ZOCH=ZACE,

3

VsinZAC￡=-

5

oCFOH4

sinZODF=sinZOCH=~,即---=----=-,

5ODOC5

??.。尸=旦

5

24

由勾股定理得DF=—,

5

FC=OC-OF