2023-2024學(xué)年福建省福州市金山中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省福州市金山中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z1=1+3i，z2=3+i，則zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，A=60°，AB=1，AC=2，則S△ABC的值為(

)A.12 B.32 C.3.已知向量a=(3,2)，b=(?1,1)，則|2aA.10 B.5 C.58 4.如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長為2的正方形O′A′B′C′，則原四邊形OABC的面積是(

)A.162

B.82

C.5.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是ABA.32 B.62 C.6.已知不共線的向量a、b，若向量a?kb與ka?b共線，則實(shí)數(shù)A.1 B.±1 C.±2 7.如圖，在△ABC中，AD=23AC，BP=13PD，若APA.1112 B.3C.89 D.8.桂林日月塔又稱金塔銀塔、情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量該塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，如圖2.已知在A處測(cè)得塔頂P的仰角為60°，在B處測(cè)得塔頂P的仰角為45°，AB=25米，∠AOB=30°，則該塔的高度OP=(

)A.252米 B.253米 C.50米二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z的虛部不為零，同時(shí)滿足z?z?=1，則A.|z?|=1 B.z+1z?1為純虛數(shù)

C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上 10.已知a、b、c是任意的非零向量，則下列結(jié)論正確的是(

)A.非零向量a、b，滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b

B.a?b≤|a|?|b11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是(

)A.若sinA<sinB，則A<B

B.若△ABC是銳角三角形，sinA<cosB恒成立

C.若a=10，b=9，B=60°，則符合條件的△ABC有兩個(gè)

D.若B=60°，b2=ac，則12.某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2，在軸截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2ABA.該圓臺(tái)軸截ABCD面面積為33cm2

B.該圓臺(tái)的體積為73π3cm3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若1+2i是實(shí)系數(shù)方程x2+ax+b=0的一個(gè)根，則a?14.如圖為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD的各邊的長度(單位：km)：AB=5,BC=8,CD=3,DA=5，如圖所示，且A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則AC的長為

km．

15.已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2，高為3，則該正四棱錐的表面積為______．16.已知梯形中ABCD，AD//BC，∠B=π3，AB=AD=2，BC=4，點(diǎn)P，Q在線段BC上移動(dòng)，且PQ=1，則DP?四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知圓柱高為4，母線與側(cè)面展開圖的對(duì)角線成60°角，求該圓柱的體積．18.(本小題12分)

若復(fù)數(shù)z1=1+ai(a∈R)，復(fù)數(shù)z2=3?4i．

(1)若z1+z2∈R，求實(shí)數(shù)a19.(本小題12分)

已知向量a=(2,?1)，|b|=2．

(1)若(2a+b)?b=4，求a與20.(本小題12分)

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若(2a?c)cosB?bcosC=0．

(1)求角B的大??；

(2)若b=2，求a+c的取值范圍．21.(本小題12分)

已知在圓錐SO中，底面⊙O的直徑AB=12，△SAB的面積為48．

(1)求圓錐SO的表面積；

(2)一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余空間．22.(本小題12分)

如圖，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60°，BC邊上的中點(diǎn)為M，AC邊上的中點(diǎn)為N，AM，BN相交于點(diǎn)P．

(1)求BC；

(2)求AM與BN夾角的余弦值；

(3)過點(diǎn)P作直線交邊AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，求該直線將△ABC分成的上下兩部分圖形的面積之比的取值范圍．

參考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.D

6.B

7.A

8.B

9.AB

10.BD

11.ACD

12.ABD

13.?12

14.7

15.12

16.11417.解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則側(cè)面展開圖是一個(gè)長為2πr，寬為4的矩形，

依題意2πr4=tan60°，即r=23π18.解：(1)由已知z1+z2=4+(a?4)i∈R，則a?4=0，解得a=4．

(2)當(dāng)19.解：(1)因?yàn)閍=(2,?1)，|b|=2，所以|a|=22+(?1)2=5，

又(2a+b)?b=4，所以2a?b+b2=4，即2a?b+(2)2=4，所以a?b=1，

設(shè)a與b夾角為θ20.解：(1)∵(2a?c)cosB?bcosC=0，

∴(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC=0，

∴2sinAcosB?sin(B+C)=0，

∵A+B+C=π，

∴sin(B+C)=sin(π?A)=sinA，

∴2sinAcosB?sinA=0，

∵sinA>0，

∴cosB=12，

∵B∈(0,π)，

∴B=π3；

(2)由B=π3，b=2，

可得：b2=a2+c2?ac=(a+c21.解：(1)設(shè)圓錐SO的母線長為l，底面⊙O的直徑為2r，所以2r=12，

因?yàn)椤鱏AB的面積為48，所以S△SAB=12?2r?SO=48，解得SO=8，

由勾股定理，可得母線l=SO2+r2=10，

由圓錐的表面積公式有：S表=S側(cè)+S底=πrl+πr2=60π+36π=96π；

(2)如圖所示，作出圓錐的軸截面，球與圓錐側(cè)面相切，設(shè)球心為D，

則DE⊥SB于E，DE=OD=R(其中R為球的半徑)，

則△SED∽22.解：(1)在△ABC中，且AB=4，AC=10，由余弦定理得12=16+100?BC22×4×10，解得BC=219，(負(fù)根舍去)，故BC=219．

以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，易知A(0,0)，C(10,0)，

如圖所示：

設(shè)B(x,y)，由兩點(diǎn)間距離公式得x2+y2=16(x?10)2+y2=76，解得x=2，y=23，(負(fù)根舍去)，