【數(shù)學(xué)思想方法在高中三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探究8500字（論文）】

[5]以下進(jìn)行舉例說明.例4函數(shù)的最大值為,最小值為,求函數(shù)的最小正周期和最值.解析：在本題中,需要先求出參數(shù),而參數(shù)的正負(fù)對的最大最小值有很大的影響,所以解題的過程中需要對分類討論.解：若,解得所以函數(shù)的最小正周期為,最大值為2,最小值為-2.若,則,解得所以函數(shù)的最小正周期為,最大值為2,最小值為-2.綜上可得,最小正周期為,最大值為2,最小值為-2.小結(jié)：三角函數(shù)問題的求解過程是在三角函數(shù)定義、圖像和性質(zhì)理解的基礎(chǔ)上,對對角線值、函數(shù)名和代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換.雖然題目大多是以化簡、求值、證明等形式為主,但是可以通過數(shù)學(xué)思想方法來幫助學(xué)生理清解題思路,幫助學(xué)生將所面臨的問題簡化,降低運(yùn)算難度從而提高學(xué)生的自信心和內(nèi)在動力,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入創(chuàng)新思維的殿堂.3學(xué)生問卷及分析三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位不言而喻,但日常的教學(xué)情況也告訴我們教學(xué)質(zhì)量并不理想,找出原因,對提高教學(xué)質(zhì)量有很大的幫助.本章通過調(diào)查問卷統(tǒng)計(jì)學(xué)生平時的學(xué)習(xí)狀況,分析學(xué)習(xí)過程中的阻力和困難,為后續(xù)教學(xué)措施的提出提供依據(jù).3.1調(diào)查問卷說明為了能了解學(xué)生對三角函數(shù)中所蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法,為教師制定行之有效的教學(xué)策略,在昭通市民族中學(xué)高一選取120名學(xué)生,發(fā)放調(diào)查問卷120份.共收回有效問卷105份.收集和整理出每道題的各選項(xiàng)的人數(shù),并做出分析.問卷中第一和第五題是調(diào)查學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的了解情況；第二題到第四題是調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)時數(shù)學(xué)思想和三角函數(shù)相結(jié)合的情況；第六題到第九題是了解學(xué)生在解題過程中使用數(shù)學(xué)思想方法的情況.3.2問卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)和分析（1）在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時,你了解到哪些數(shù)學(xué)思想方法？調(diào)查結(jié)果顯示：有25.71％同學(xué)能到在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)思想方法,有43.81％同學(xué)并不能確定什么是數(shù)學(xué)思想方法,有30.48％的同學(xué)基本不能意識到.調(diào)查結(jié)果說明：在學(xué)習(xí)的過程中,能意識到的學(xué)生會覺得數(shù)學(xué)思想方法在解決三角函數(shù)問題上很容易運(yùn)用.只要運(yùn)用得當(dāng),問題就會很快得到解決.而不太確定的學(xué)生,他們認(rèn)為有時會用到,有時不會用到.認(rèn)為不會用到的學(xué)生甚至連三角函數(shù)的知識都不清楚.（2）在教學(xué)中你的老師是否會對三角函數(shù)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想歸納總結(jié)？調(diào)查結(jié)果顯示：幾乎全部的同學(xué)都認(rèn)為老師在教學(xué)過程中有整理和歸納數(shù)學(xué)思想方法.調(diào)查情況說明：在課堂上,多數(shù)教師會對例題中所包含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié),有的教師可能對數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的應(yīng)用不夠重視.這些都表明教師對數(shù)學(xué)思想方法在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用有不同的認(rèn)識.（3）你認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和解題有無指導(dǎo)作用？調(diào)查結(jié)果顯示：有24.76％的同學(xué)認(rèn)為有非常重要的指導(dǎo)作用,有35.24％的同學(xué)認(rèn)為其作用比較重要,有28.57％的同學(xué)認(rèn)為它作用一般,還有個別同學(xué)認(rèn)為并沒有什么指導(dǎo)作用.調(diào)查情況說明：數(shù)學(xué)思想方法在解題過程中有非常重要的指導(dǎo)作用,而學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解除去自身的努力情況外并不全面,可能和老師的教學(xué)也有一定的關(guān)系,這些都有待改善.（4）你覺得你的數(shù)學(xué)老師重視數(shù)學(xué)思想方法嗎？調(diào)查結(jié)果顯示：有69.52％的同學(xué)認(rèn)為老師很重視,有30.48％的同學(xué)認(rèn)為老師重視程度一般.沒有同學(xué)認(rèn)為老師不重視數(shù)學(xué)思想.調(diào)查情況說明：老師在教學(xué)過程中有對數(shù)學(xué)思想方法的傳授,但是所采用的教學(xué)方法和教學(xué)策略效果不佳有待提升.（5）寫出你所了解的數(shù)學(xué)思想方法？調(diào)查結(jié)果顯示：有97％的同學(xué)回答出數(shù)形結(jié)合思想,有71％的同學(xué)回答出函數(shù)與方程思想,有39％的同學(xué)回答出了化歸思想,有76％的同學(xué)回答出分類討論思想.調(diào)查情況說明：從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出,學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的思想比較熟悉,其次是分類討論的思想.學(xué)生認(rèn)為數(shù)形結(jié)合更直觀,畫完圖后,容易從圖中得到解決問題的思路.而學(xué)生對化歸思想的理解大多都只是停留在表面,很難運(yùn)用到解決具體問題中.調(diào)查結(jié)果顯示：在這個題目中51%的同學(xué)是通過直接在坐標(biāo)系中畫出三個函數(shù)圖像進(jìn)行比較,35%的同學(xué)則是根據(jù)三角函數(shù)的特性,通過單位圓來比較大小,這兩種方法都是對數(shù)形結(jié)合的基本運(yùn)用,剩余的同學(xué)則是完全沒有思路,可見對于數(shù)形結(jié)合思想完全沒有認(rèn)識.（7）一塊三角形的土地,現(xiàn)可測量出,米,米,請求出這塊土地的面積. C C ADB A BD圖1 圖2調(diào)查結(jié)果顯示：有64％的學(xué)生會使用分類討論思想,有36％的學(xué)生不會使用分類討論思想.解析：中,已知兩邊和其中一邊的對角,這時特別注意的形狀不唯一！要分兩種情況分別求出,如圖1、圖2,作,就可以求得面積應(yīng)為：調(diào)查情況說明：題目的計(jì)算難度并不大,考察的就是學(xué)生考慮問題是否全面具體.從問卷答題情況看,一部分的學(xué)生只計(jì)算出一種結(jié)果.這類同學(xué)大多是粗心大意,沒有仔細(xì)思考,但同時這也反映出學(xué)生對分類討論的數(shù)學(xué)思想方法掌握并不牢靠.（8）在中,,求的長.調(diào)查結(jié)果顯示：有58％的學(xué)生會能夠利用化歸思想分析和解決問題,有41％的學(xué)生沒有思路.解析：注意題中所說的并不是直角三角形.如圖3,不是直角三角形,為了利用,可以作于D,這樣就是一直角三角形中的一角,也出現(xiàn)在另一個直角三角形中, C ADB 圖3設(shè),則由,得再有調(diào)查情況說明：這個題目有一定的難度,對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一定的要求.比如該題中用到了“轉(zhuǎn)化和化歸思想”,找到解題的思路,使問題得到了簡化.（9）求函數(shù)的值域.調(diào)查結(jié)果情況顯示：20％的學(xué)生會能夠使用函數(shù)與方程的思想分析和解決問題,有80％的學(xué)生不會用函數(shù)與方程的思想來分析和決問題.分析：將函數(shù)式展開,展開后得：,因此可以設(shè)解：由展開得：設(shè),則,此時所以值域是調(diào)查情況說明：這是一道綜合性很強(qiáng)的題,這題只有很少的一部分學(xué)生答案正確,但是如果學(xué)生對這題的解法思路有了解或許就會大有不同.該題主要是將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了一元二次函數(shù)問題,減小了解題難度.而這,正是方程和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.3.3小結(jié)通過分析問卷,了解到學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法是有所了解，但離能夠熟練的解決問題依舊還有很大的提升空間.通過對問卷進(jìn)行分析,總結(jié)出學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中主要存在以下幾個問題：（1）學(xué)生學(xué)習(xí)的目標(biāo)不明確,積極性不高.調(diào)查中發(fā)現(xiàn)一小部分的學(xué)生對于數(shù)學(xué)思想方法完全沒有了解,這類學(xué)生基本上都是數(shù)學(xué)成績很差的學(xué)生,似乎完全放棄了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).而大部分的學(xué)生也僅僅只是知道數(shù)學(xué)思想方法,對于在具體題目中的應(yīng)用同樣沒有思路.（2）學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握并不透徹,對公式的變形、靈活應(yīng)用能力也有待加強(qiáng).在解題過程中三角函數(shù)公式經(jīng)常會出現(xiàn)類似這樣的變化,這些都需要學(xué)生對三角函數(shù)公式足夠的熟悉.在解決三角函數(shù)問題時,不會觀察已知與求解之間的內(nèi)在聯(lián)系，對三角函數(shù)知識的理解非常的淺薄,只是知道了概念，完全沒有辦法用來分析和解決問題，這對于學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)是一個極大的難題。（3）在解決實(shí)際的題目時,沒有有效的解題思路和解題步驟.從問卷中的題目可以看出,學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解要好一些,絕大部分能夠應(yīng)用于分析和解決問題.但是在函數(shù)和方程的數(shù)學(xué)思想方法,和轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握程度并不夠,同時在分析問卷作答情況時學(xué)生存在對基本的公式、概念記得不牢,公式變形易產(chǎn)生混淆的情況.而解題的步驟同樣是雜亂無章的,前后的邏輯并不緊密,一些不相關(guān)的條件胡亂拼湊、條理混亂.能思路清晰、步驟合理作答的學(xué)生較少.4數(shù)學(xué)思想方法在高中三角函數(shù)教學(xué)中的教學(xué)策略三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn),并且三角函數(shù)的教學(xué)經(jīng)常會遇到一些教學(xué)難題。特別是學(xué)生一聽就懂，一開始做題就出錯,就算是相同類型的題目把變量替換一下，學(xué)生就沒有任何的解題思路，這點(diǎn)讓學(xué)生和老師都很頭疼.針對問卷總結(jié)問題提出以下幾點(diǎn)教學(xué)策略.4.1明確學(xué)習(xí)目標(biāo),培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，對提高教學(xué)質(zhì)量很有幫助。由于三角函數(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法十分抽象、很難具體,所以如果能夠培養(yǎng)出學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，既可以減輕老師和學(xué)生的壓力，還能夠提高教學(xué)的質(zhì)量，這是非常有意義的。教師可以通過三角函數(shù)的教學(xué)特點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)用性來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生升起對知識的求知欲。更有利于學(xué)生對三角函數(shù)公式的記憶和數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握.4.2結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,加強(qiáng)學(xué)生對三角函數(shù)公式的理解和運(yùn)用高中三角函數(shù)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)的過程中,面臨著運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析題目,公式眾多且繁瑣的解題過程,易造成知識記憶的困難,解題要領(lǐng)不易掌握的困境.因此在教學(xué)過程中,要以學(xué)生為主體將運(yùn)用不同思想方法和不同難度的題目分類,讓學(xué)生練習(xí),增強(qiáng)學(xué)生對知識的記憶和理解,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率.下面以運(yùn)用轉(zhuǎn)化和化歸思想的高考題為例：例5,面積滿足,則下列不等式成立的是（）B.C.D.分析：這題是對三角變換公式和不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用,利用正弦定理可以將角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.高考對考查學(xué)生的臨場應(yīng)變和觀察的能力是有明確的要求.這個問題的條件很多,聯(lián)系不強(qiáng),學(xué)生需要在緊張的考試氣氛中冷靜地觀察和分析題目,確定解題思路,難度較大.4.3通過數(shù)學(xué)思想方法優(yōu)化解題程序,提高教學(xué)質(zhì)量在傳授解三角函數(shù)問題時,教師應(yīng)該根據(jù)自己解題時的經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化三角函數(shù)解題程序,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法知識的接受程度,進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量.從數(shù)學(xué)思想方法的角度對各類三角函數(shù)問題進(jìn)行合理劃分,并總結(jié)出相應(yīng)的解題策略,使學(xué)生在解題過程中能按照系統(tǒng)的解題方法進(jìn)行求解.這樣不僅能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識,更能提高學(xué)生運(yùn)用其解決三角函數(shù)問題的能力.以下則是總結(jié)的常用的求解的方法.（1）配方法這是一種重要且常用的解題方法.它是通過配方公式恒等變形將表達(dá)式中的某些項(xiàng)匹配成一個或幾個多項(xiàng)式的正整數(shù)次冪和的形式.其中,完全平方公式的使用最為頻繁.下面舉例說明配方法在三角函數(shù)中的應(yīng)用.例6已知函數(shù),求它的最值.解：由于,所以可以知道當(dāng)時,也就是的時候,；當(dāng)時,也就是當(dāng)?shù)臅r候,.（2）換元法通過采用參數(shù)替換的方式將一個復(fù)雜的函數(shù)或者等式轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚暮瘮?shù)或等式,其中參數(shù)定義域?yàn)樘鎿Q函數(shù)或等式的值域.換元法在解決三角函數(shù)問題中是相互的,它既可以將三角函數(shù)變成非三角函數(shù),同時也可以把非三角函數(shù)變成三角函數(shù).文中求的最大值.通過設(shè),建立和之間的關(guān)系,引入輔助函數(shù)得到,將復(fù)合三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求解.綜上所述,雖然中學(xué)數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)面臨諸多困難,但我們可以在教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,教學(xué)的質(zhì)量.在高中三角函數(shù)的教授過程中,教師也需要注重學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不能停留在僅僅傳授知識的層面，正確引導(dǎo)學(xué)生意識到數(shù)學(xué)思想方法在解決三角函數(shù)問題時的實(shí)用性,激發(fā)并增強(qiáng)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的主動性,提高學(xué)生自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).5回顧和展望數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)教育的核心內(nèi)容,本研究僅從四種常見數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā),研究讓數(shù)學(xué)思想方法與高中三角函數(shù)教學(xué)有效結(jié)合的方法.希望隨著教師素質(zhì)的不斷提高,總結(jié)出更多更好的方法來突破高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)目標(biāo).三角函數(shù)中所包含的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容也非常豐富,本研究僅闡述了常用思想,在后續(xù)的教學(xué)中,沒有涉及到數(shù)學(xué)思維方法對學(xué)生的深刻影響,因此在三角形教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思維方法的研究前景非常廣闊,值得進(jìn)一步研究和探索.本文在選題、研究方向、資料整理到最后的寫作過程中遇到了很多困難和想法.本文對日常學(xué)習(xí)和生活提出了一些新的思考.在論文寫作期間,在導(dǎo)師和朋友的大力支持下,提出了許多好的意見和建議,對問題有了更深更廣的認(rèn)識,在教學(xué)和科研能力上有了一定的發(fā)展.最后,由于自身的水平有限,本文還有許多方面的不足,希望在之后的工作和學(xué)習(xí)中繼續(xù)完善.參考文獻(xiàn)：康利昌.數(shù)學(xué)思想方法在高中三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].云南師范大學(xué),2018.歐陽維誠、張垚、肖國能.初等數(shù)學(xué)思想方法選講[M].長沙:湖南教育出版社,2000.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].人民教育出版社,2017.白煒.從三角函數(shù)上滲透數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)大世界，2018,(17):71.南文廷.數(shù)學(xué)思想方法在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào),2003,32(4):75.楊梅.三角函數(shù)最值問題的解題策略[J].科技資訊,2015,13(33):134-136.吳雨卓.淺析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)心得[J].教育現(xiàn)化,2017,4(02):253-254.劉彧彤.三角函數(shù)問題中的數(shù)學(xué)思想[J].亞太教育,2016(33):77.彭雪純.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)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