高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式 第3講 二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

第3講二元一次不等式（組）及簡單的線性規(guī)劃問題

考點回顧考綱解讀考向預(yù)測

年份卷型考點題號分值2019年會一如既往地考查線性規(guī)劃問

掌握二元一次不等式組表示題.預(yù)計考堂：①根據(jù)可行域求最值、面積與

I求最大值751.

2017的平面區(qū)域的畫法.參數(shù)范圍；②線性規(guī)劃與概率、基本不等式等

II求最小值752.會求目標(biāo)函數(shù)的最值.知識結(jié)合問題；③用線性規(guī)劃解決實際問題.

3.會利用線性規(guī)劃的方法解決解答線性規(guī)劃問題概括為：“畫、移、

2016III求最小值135

實際問題.轉(zhuǎn)、求、答”，適當(dāng)變形、轉(zhuǎn)化，利用幾何意

2015II求最大值145義求解是解翅關(guān)鍵.

板塊一知識梳理?自主學(xué)習(xí)

［必備知識］

考點1判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域

由于對直線1*+如+0=0同一側(cè)的所有點（X,y）,把它的坐標(biāo)（X,力代入/*+少+C

所得到實數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點（施，％）,由Ax0+By0

+C的符號即可判斷Ax+By+OO表示直線Ax+By+C^O哪一側(cè)的平面區(qū)域.

考點2線性規(guī)劃中的基本概念

名稱定義

約束條件由變量X,/組成的不等式（組）

線性約束條件關(guān)于X,?的一次不等式（或等式）

目標(biāo)函數(shù)關(guān)于筋y的函數(shù)解析式,如z=2x+3y等

續(xù)表

名稱定義

線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于X,「的一次解析式

可行解滿足線性約束條件的解（x,y）

可行域所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題

［必會結(jié)論］

畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法

（1）直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；

（2）特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取

(0,1)或(1,0)來驗證.

［考點自測］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)不等式［x+的+G0表示的平面區(qū)域一定在直線"+C=0的上方.()

(2)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域.()

(3)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.()

(4)目標(biāo)函數(shù)z=ax+勿(際0)中，z的幾何意義是直線ax+6y—z=0在y軸上的截

距.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)X

|%—3了+6》0,

2.［2018?吉林長春模擬］不等式組,表示的平面區(qū)域是()

X—y+2n<0

解析x—3y+620表示直線x-3y+6=0以及該直線下方的區(qū)域，入一/+2〈0表示直

線“一/+2=0上方的區(qū)域.故選B.

3.［課本改編］已知點(一3,—1)和點(4,一6)在直線3x—2y—a=0的兩側(cè)，則a的取

值范圍為()

A.(-24,7)

B.(-7,24)

C.(-8,-7)U(24,+8)

D.(-8,-24)U(7,+8)

答案B

解析根據(jù)題意知(-9+2—a),(12+12—a)<0.即(a+7)(a—24)<0,解得一7<a<24.

2*+y—6W0,

4.不等式組,“+了-320,表示的平面區(qū)域的面積為()

A.4B.1C.5D.無窮大

答案B

解析不等式組

'2x+y—6W0,

3,0,表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，明的面積即所求.求

.J<2

出點出B,。的坐標(biāo)分別為4(1,2),8(2,2),。(3,0),則△力比的面積為S=gx(2—1)X2

=1.

3x+2y—6W0,

5.[2017?全國卷HI]設(shè)x,y滿足約束條件

J，0，

則z=x—y的取值范圍是()

A.[-3,0]B.[-3,2]

C.[0,2]D.[0,3]

答案B

解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.

由題意可知，當(dāng)直線y=x—z過點4(2,0)時，z取得最大值，即z”.*=2—0=2；當(dāng)直

線尸x—z過點8(0,3)時,z取得最小值,即z?in=0—3=—3.

所以Z=x—y的取值范圍是[―3,2].故選B.

卜+y》0,

6.[2015?福建高考]變量x,y滿足約束條件(x-2y+2》0,

l/flx—y<0.

若z=2x-y的最大值為2,則實數(shù)卬等于()

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

x+y20,

解析如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y取最大值2即y=2x—2時，畫出°,

(x-2y+2^0

表示的區(qū)域，由于必x一尸0過定點(0,0),要使z=2x-y取最大值2,則目標(biāo)函數(shù)必過兩

直線x-2y+2=0與y=2x-2的交點4(2,2),因此直線mx-y=Q過點/⑵2),故有2m-

2=0,解得力=1.

板塊二典例探究?考向突破

考向用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域

卜+y—220,

例1[2018?浙江模擬]不等式組卜+2y—4W0,表示的平面區(qū)域的面積為

L+3r-220

答案4

解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.

x+3y—2=0,

由得4(8,-2).

x+2y—4=0,

由x+y-2=0,得6(0,2).又|切=2,

故S陰影=；X2X2+2X2X2=4.

觸類旁通

如何確定二元一次不等式（組）表示的區(qū)域

“直線定界，特殊點定域”.

2x+j<2,

【變式訓(xùn)練1】若不等式組《表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a

在0,

的取值范圍是（）

4

A.不B.OCaWl

44

C.D.0<a〈l或可

oo

答案D

x—y^Q,

解析不等式組<2x+j<2,表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分).解

、在。

y=x,(22、[y=0,

.得Q;解°,°得8(1,0).若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個

[2x+y=2V3；[2x+y=2

4

三角形，則直線x+尸a中的a的取值范圍是0〈aWl或

O

利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值

‘余題角一度I…線性規(guī)劃史的求最值問題

2x+3y—3W0,

例2[2017?全國卷II]設(shè)/,y滿足約束條件,2*-3y+320,則z=2x+y的

)+3川，

最小值是()

A.-15B.—9C.1D.9

答案A

解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.

將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y化為y=-2x+z,作出直線y=-2x,并平移該直線，知當(dāng)直線

y=-2x+z經(jīng)過點力(一6,—3)時，z有最小值，且Zmin=2X(―6)—3=—15.故選A.

?余題角度-2…線性規(guī)劃史的求參數(shù)問題

'x+y—220,

例3[2018?北京模擬]若x,y滿足<4x—y+220,且z=y—x的最小值為一4,

.在0，

則彳的值為()

11

2---

R.-22D.2

答案D

x+y—220,

解析作出線性約束條件，府一y+2》0,的可行域.當(dāng)A〉0時，如圖1所示，此

時可行域為x軸上方、直線x+y—2=0的右上方、直線成一了+2=0的右下方的區(qū)域，顯

然此時z=y-x無最小值.

當(dāng)火一1時，z=y—x取得最小值2；當(dāng)次=—1時，z=y-x取得最小值一2,均不符

合題意.

當(dāng)一1“<0時，如圖2所示，此時可行域為點4(2,0),oj,C(0,2)所圍成的三

角形區(qū)域，當(dāng)直線z=y-x經(jīng)過點0)時，有最小值，即一(一W=一4=A=一故選

D.

辰一『+2=0

/（1>（））

+2=0

(-1<^<0)

?施題角度宜…線性規(guī)劃史無方多個最優(yōu)解問題

x+y—2<0,

例4[2014?安徽高考]x,p滿足約束條件卜一2y—2W0,

2x—y+220.

若/=y—ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為（）

A.g或一1B.2或;

C.2或1D.2或一1

解析作出可行域（如圖），為勿內(nèi)部（含邊界）.由題設(shè)z=y—ax取得最大值的最

優(yōu)解不唯一可知：線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線與可行域某一邊界重合.由購=-1,服=2,k因

=4可得a=—1或a=2或a=J,驗證：a=—1或a=2時，成立；a=〈時，不成立.故選

利用線性規(guī)劃解決實際應(yīng)用問題

例5[2016?全國卷I]某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材

料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要

甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件

產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時

的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元.

答案216000

解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax件，生產(chǎn)產(chǎn)品By件，利潤之和為z元，則z=2100x+900y.

’1.5x+0.5j<150,r3%+j<300,

x+0.3y^90,10^+3j<900,

根據(jù)題意得〈

5x+3K600,5x+3j<600,

*N,HN,

作出可行域(如圖).

“Ox+3尸900,

由彳,

〔5x+3尸600,

fx=60,

得

［尸100.

當(dāng)直線2100x+900y~z=0過點力(60,100)時，z取得最大值，丸=2100X60+900X100

=216000.

故所求的最大值為216000元.

觸類旁通

用線性規(guī)劃求解實際問題的一般步驟

(1)認(rèn)真分析并掌握實際問題的背景，收集有關(guān)數(shù)據(jù);

(2)將影響該問題的各項主要因素作為決策量，設(shè)未知量；

(3)根據(jù)問題的特點，寫出約束條件；

(4)根據(jù)問題的特點，寫出目標(biāo)函數(shù)，并求出最優(yōu)解或其他要求的解.

【變式訓(xùn)練2】［2018?江西模擬］某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50

畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：

年產(chǎn)量/每噸售

年種植成本/畝

畝價

黃0.55萬

4噸1.2萬元

瓜元

韭

6噸0.9萬元0.3萬元

菜

為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入一總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種

植面積(單位：畝)分別為()

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

答案B

解析設(shè)種植黃瓜x畝，種植韭菜y畝，因此，原問題轉(zhuǎn)化為在條件

"x+j<50,

1.2x+0.54,

“x》0,下，

求z=0.55X4x+0.3X6y—1.2x—0.9y=x+0.9y的最大值.畫出可行域如圖.利用線

性規(guī)劃知識可知，當(dāng)X,

x+y=50,

了取，c；c一的交點(30,20)時，z取得最大值?故選B.

11.2x+0.9y=54

(----------------------------------------10名師笫記?以?內(nèi)領(lǐng)/I---------------------------------------

O核心規(guī)律

1.解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變

量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.

2.利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問題.

二滿分策略

1.畫平面區(qū)域時：含等號，直線畫為實線；不含等號，直線畫為虛線.

77

2.在通過求直線的截距］的最值間接求出z的最值時，要注意：當(dāng)少0時，截距］取最大

bb

值時，z也取最大值；截距3取最小值時，z也取最小值；當(dāng)僅0時，截距3取最大值時，z

bb

取最小值；截距看取最小值時，Z取最大值.

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

題型技法系列9一一非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題

"x—2y+420,

［2016?江蘇高考］已知實數(shù)x,y滿足，2x+y—220,

.3x—y—3W0,

則/+/的取值范圍是

解題視點本題中的幾何意義是點(x,y)到原點的距離的平方，不能遺漏平方.

解析不等式組所表示的平面區(qū)域是以點(0,2),(1,0),(2,3)為頂點的三角形及其內(nèi)

24

部，如圖所示.因為原點到直線2x+y-2=0的距離為一廣，所以5+力，,產(chǎn)曰又當(dāng)(小

4

。取點⑵3)時，f+4取得最大值13,故/+/的取值范圍是

5,

3

答案

答題啟示與二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題

的求解一般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來完成.常見代數(shù)式的幾何意義：(1){7針表示

點(x，y)與原點(0,0)的距離；⑵4(X—與+(y—講表示點(x,y)與點(a,8)之間的距離;

\AxJt-By+C\

⑶表示點(x,力到直線Ax+Sy+C^O的距離;⑷1表示點(x,0與原點(0,0)

q片+4

連線的斜率；⑸三表示點(X,

力與點(a,6)連線的斜率.

/跟蹤訓(xùn)練

[2018?成都模擬]設(shè)實數(shù)x,y滿足不等式組

V—1

X—y20,則3=*7的取值范圍是()

X+1

、2x—y—220,

1

2-

答案B

解析作出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示，由于mV—1■可以看作直線的

斜率形式，于是問題可以轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的哪些點與點4(—1,1)連線的斜率最大、最小

問題.

1

如圖,當(dāng)直線過點小。)時，斜率最小，此時。=事

2-

當(dāng)直線與x-y=O平行時，斜率最大，此時。=1,但它與陰影區(qū)域無交點，取不到.

1

故"缶的y-取1值范圍是-

21.故選B.

板塊四模擬演練?提能增分

[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

%W3,

1.[2017?北京高考]若x,y滿足x+y》2,則葉2y的最大值為（）

.y^x,

A.1B.3C.5D.9

答案D

解析作出可行域如圖陰影部分所示.

設(shè)z=x+2y,

作出直線A：y=-p,并平移該直線，可知當(dāng)直線x—gx+gz過點。時，z取得最

大值.

x=3，x=3,

由得c故以3,3).

.y—x,ly=3,

.*=3+2X3=9.故選I).

x20,

2.[2017?浙江高考]若x,y滿足約束條件,x+y—320,

則z=x+2y的取值范圍是（）

A.[0,6]B.[0,4]

C.[6,+8）1).[4,+°0)

答案D

y

解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.

1z

由題意可知，當(dāng)直線片=一5牙+5過點4(2,1)時，z取得最小值，即右=2+2Xl=4.

所以z=x+2y的取值范圍是［4,+8).故選D.

’x一介1,

3.［2018?陜西黃陵中學(xué)模擬］已知變量x,y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)

z=x+2y的最大值為10,則實數(shù)a的值等于()

8

A.4B.-C.2D.8

答案A

解析由不等式組可得可行域如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過點/(a,a-

1)時，z取得最大值，由已知得a+2(a—1)=10,解得a=4.故選A.

卜一Zl,

4.[2018?開封模擬]設(shè)變量x,y滿足約束條件（x+y>2,

b<2，

則目標(biāo)函數(shù)z=f+/的取值范圍為（）

A.[2,8]B.[4,13]

_5

--3

C.[2,13]D.夕-

一

答案C

解析作出可行域，如圖中陰影部分，將目標(biāo)函數(shù)看作是可行域內(nèi)的點到原點的距離的

0+0-21

平方，從而可得益?=1。|2=；卜=2,益x=1陽|2=32+22=13.故z的取值范圍為

[2,13].

5.[2015?陜西高考]某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,6兩種原料，已知生產(chǎn)1

噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分

別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）

甲乙原料限額

4（噸）3212

8（噸）128

A.12萬元B.16萬元C.17萬元D.18萬元

答案D

解析設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，獲利z元.

~3x+2j<12,

x+2j<8,

則由題意知<、利潤函數(shù)z=3x+4y.

欄0,

j20.

畫出可行域如圖所示，當(dāng)直線3x+4y-z=0過點8時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由

3x+2尸⑵

x+2尸8,

x=2,

解得

y=3.

故利潤函數(shù)的最大值為Z=3X2+4X3=18(萬元).故選D.

2a—

6.某校今年計劃招聘女教師a名，男教師6名，若a,6滿足不等式組，a-bW2,

a<7,

設(shè)這所學(xué)校今年計劃招聘教師最多x名，則x=()

A.10B.12C.13D.16

答案C

解析畫出約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，如圖陰影部分所示，作直線2：6+a=

0,平移直線再由a,6GN,可知當(dāng)a=6,6=7時，x=a+6=13.故選C.

7.[2017?全國卷I]設(shè)x,y滿足約束條件，2x+y2—l,

貝ljz=3x—2y的最小值為.

答案一5

解析作出可行域如圖陰影部分所示.

/口3z

由z=3x-2y,<y=~x--.

作出直線/。：y=|x,并平移/。，知當(dāng)直線y=5x—楙過點力時，z取得最小值.

x+2y-l=0,

由.得力(-1,1),

2x+y+l=0,

，為“=3X(—1)一2義1=一5.

A—y<10,

8.[2018?遼寧模擬]設(shè)變量x,y滿足?0Wx+j<20,

則2x+3y的最大值為

.0<尸(15,

答案55

97

解析不等式組表示的區(qū)域如圖所示，令z=2x+3y,目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閥=一鼻丫+于因此

OO

[%+y=20,

截距越大，z的取值越大，故當(dāng)直線z=2x+3y經(jīng)過點4時，z最大，由于=

lr=15

5

一'故點力的坐標(biāo)為(5,15),代入z=2x+3y,得到右=55,即2x+3y的最大值

y=15,

為55.

[x+4y-13W0,

9.已知變量x,y滿足約束條件(2y—x+l>0,且有無窮多個點(x,。使目標(biāo)函

〔x+y-420,

數(shù)z=x+"吠取得最小值，求m的值.

解作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.

若卬=0,則2=必目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意.

11y

若杼0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+/〃y可看作斜率為-一的動直線y=—

mmm

若成o,則一bo,數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)Z=x+〃y取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮

m

多個;

若勿＞0,則一50,數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動直線與直線46重合時，有無窮多個點(x,力,

在線段相上，使目標(biāo)函數(shù)z=x+犯取得最小值，即-1，貝U/kL

綜上可知，m=\.

x—4y+3W0,

10.變量x,y滿足《3x+5y-25W0,

、x21.

(1)設(shè)z=4求Z的最小值；

X

(2)設(shè)z=V+/,求z的取值范圍；

(3)設(shè)2=步+/+6*-47+13,求z的取值范圍.

f%—4y+3^0,

解由約束條件?3x+5y—25W0,

作出(x,力的可行域如圖所示.

解得

卜=1,

由|y-4y+3=0,

解得C(l,l)?

p-4y+3=0,

叫3x+5y-25=0,解得6(5,2).

⑴因為z=2=m,

9

所以Z的值即是可行域中的點與原點0連線的斜率.觀察圖形可知^,?=^=-

5

(2)z="2+〃的幾何意義是可行域上的點到原點。的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可行

域上的點到原點的距離中，d,i?—|0C\—y[2,4,x=|。6|=，藥.所以2WzW29.

(3)z=f+/+6x—4y+13=(%+3)2+(y-2)2的幾何意義是可行域上的點到點(一3,2)

的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可行域上的點到(-3,2)的距離中,或“=1—(—3)=4,的

=、(—3-5)2+(2―2)2=8.所以16WzW64.

[B級知能提升]

x+3Z4,

2,

則Z=|x—3y|的最大值為()

A.10B.8C.6D.4

答案B

解析不等式組，x+3j<4,

、x2一2,

所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.

當(dāng)平移直線x—3尸0過點/時，/=x—3y取最大值；

當(dāng)平移直線x—3y=0過點C時，s=x—3y取最小值.

由題意可得力(一2,—2),C(—2,2),所以%HX=-2—3X(—2)=4,偏汨=—2—3X2

=-8,

所以一8W加W4,所以I%IW8,即Zmax=8.

x+y—2W0,

2.若不等式組＜x+2y—220,表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于4十則m

O

、x—y+2m20,

的值為（）

4

A.-3B.1C."D.3

答案B

解析作出可行域，如圖中陰影部分所示,

易求4B,C,〃的坐標(biāo)分別為/⑵0）,

l+/z?），

?汽l=g（2+2勿）（1+加一+

D(—2m,0).

加）+號目=2，解得"7=1或7=一3（舍去）.

卜一y+220,

3.實數(shù)x,y滿足不等式組(2x-y-5W0,

則z=Ix+2y-41的最大值為

〔x