2022-2023學年人教A版高二數學上學期同步講義拓展二：空間向量基底法在立體幾何問題中的應用(詳解版)

拓展二：空間向量基底法在立體幾何問題中的應用

三目標導航

空間向量在解決立體幾何有關位置關系及其延伸出來的相關問題中有著比較廣泛的應用.在解題過程中，學

生通常較偏愛于用坐標法來解決問題，實際上，利用向量基底法求解不僅過程簡潔，而且在許多問題中其

往往更具有優(yōu)越性.通過向量基底法在上述平行垂直證明、角度問題、距離問題和位置關系判斷等問題中的

應用，我們發(fā)現合適基底的選擇是十分重要的.在計算問題中，應該盡量選擇模己知的向量，且三個向量間

的夾角也易求，而在證明問題中，這些條件可以適當放寬.

縱觀近些年的高考試卷，立體幾何解答題往往會在已知中給出兩兩垂直且交于一點的三條線段，這種

方便建系的考查方式讓同學們習慣了空間直角坐標系下的機械運算，空間想象能力和邏輯推理能力大幅度

降低.不僅如此，有時考題甚至找不到這樣的三條線段，以致于許多同學因為無法合理建系導致解題失敗.

因此，也建議教師在教學中可以適當補充一些向量基底法的知識，以便讓同學們充分體會到基底法使用的

廣泛性和靈活性，領略到立體幾何學習的樂趣.

善高頻考點

/0_______________________

'工知識梳理

知識點1“三個”定理

共線向量定理共面向量定理空間向量基本定理

對于空間任意兩個向若兩個向量a,5不共線，則向量p與向如果三個向量a,b,c不共面,

量a,。(際0),a〃。的充要量a"共面的充要條件是存在唯一的有序實那么對任意一個空間向量P,存在唯一

條件是存在實數為使a=數對(x,y),使p=xa+y"的有序實數組(x,j,z),使得

功.p=xa+yV+zc.其中｛a,b,c｝叫做空間的

一個基底,a,b,c都叫做基向量.如

p=xa+yb+zc,貝！］稱xa+y5+zc為〃在

基底｛a,b,c｝下的分解式.

知識點2空間平行、垂直關系的向量表示

設III,U2分別是直線，2的方向向量，ni,112分別是平面a,夕的法向量.

(1)線線平行：/l〃，2dl〃U2UB2eR，使得U1=XU2.

(2)線面平行：1i〃QUuiJLniUUi?ni=0.

(3)面面平行：a///uni〃ii2W使得ni=2n2.

(4)線線垂直:/1±/2<=^U|-LU2<={UI,U2=O.

(5)線面垂直：JiJ_〃uui〃niuai￡R,使得ui=2ni.

(6)面面垂直:aJ_"un1_L112田IF2=0?

知識點3空間距離及向量求法

設已知平面a的法向量為n,AGa,Pga,向

設u為直線/的單位方向向量，Aei,p^l,AP=

文字量也是向量方在平面上的投影向量,

a,向量弁在直線/上的投影向量為恁，則

語言

PQ=yj\AP)12—|A0|2=-\la2—a-u_\AP-n\

一1?1

知識點4空間角及向量求法

角的分類向量求法范圍

設兩異面直線所成的角為仇兩直線的方向向量分別為U,V,則

異面直線(It

所成的角

cos6?-|cos<u,v)|—|H||v|

直線與平

設直線/與平面a所成的角為〃，/的方向向量為u,平面a的法向量為n,則

si.=|cos<u,n)I'M!

面所成的n

角

平面a與平面。相交，形成四個二面角，把不大于?的二面角稱為這兩個平面的夾角.設

兩平面的

［仇3

平面a與平面”的夾角為〃，兩平面a,/?的法向量分別為由，n2,則

夾角

coslcos(m,n2)1-^nJ

P考點精析

考點一平行垂直問題

解題方略:

對于平行垂直關系的證明，一般是結合相關空間定理和性質，借助直觀的空間觀察和想象.當直觀想象

難以為繼，卻又不想利用坐標化以致有殺雞用牛刀之嫌的情況下，采用向量基底法不失為一個好的選擇.

【例J1-1】如圖，AEJ-平面/WCD,CF//AE,AD//BC,ADA.AB,AB=AD=\,

AE=BC=2.

求證：3尸//平面AZ）E；

【例1-2】如圖，在直三棱柱中，D,E分別為BC,AC的中點,

AB=BC.求證：

BE±C,￡.

考點二角度問題解題方略:

通過建立直角坐標系，利用坐標化進行代數運算是解決立體幾何中角度問題的“慣例”，這也是對考生數

學運算和數據處理等核心素養(yǎng)的考驗.但往往建系不方便或者運算量偏大時，向量基底法的適時引入往往能

夠起到柳暗花明的效果.

【例2-1】在長方體A3CD-A耳GR中，AB=BC=\,A4,=6，則異面直線AR與。耳所成角的余弦值

為（）

【例2-2】如圖，長方體ABC。-A4GA的底面A5CQ是正方形，點E在棱A4,上，8E_LEg.若AE=,

求二面角B-EC-C,的正弦值.

考點三距離問題

解題方略:

距離問題常以給出角度求距離的方式變相考查角度問題，另外在角度問題中涉及到的向量求模問題也

是對距離問題的一種隱性考查.

【例3-1】如圖，49//BC且4)=2BC,ADYCD,EG//4)且EG=4),CD"FG?LCD=2FG,DG1.

平面ABCD,DA=DC=DG=2.若點P在線段￡>G上，且直線3P與平面ADGE所成的角為60°,求

線段￡>P的長.

【例3-2】如圖，直四棱柱A8C￡>—AgCQ的底面是菱形，AA,=4,AB=2,NB4T>=60。，E是3c的

中點.則點C到平面GOE的距離為

考點四位置關系問題

解題方略:

空間中點線面的位置關系的判斷或證明實際是許多同學比較畏懼的一個知識點，因為其往往是相對抽

象的空間公理的直接應用.對于多點共面、多線共面和線面關系等問題的解決，向量基底法往往顯得更為形

象和具體.

【例4-1】如圖，在四棱錐P—A88中，R4_L平面A88,AD±CD,AD//BC,PA=AD^CD=2,

PF1

BC=3.E為PZ)的中點，點尸在PC上，且——=-.

PC3

(I)求證：CO_L平面RV)；

(II)求二面角尸一隹-P的余弦值：

(III)設點G在P8上，且生=2.判斷直線AG是否在平面心內，說明理

PB3

【例4-2】圖1是由矩形AOEB、RtAABC和菱形3FGC組成的一個平面圖形，其中4?=1,BE=BF=2,

ZFBC=60o.將其沿/記，BC1折起使得BE與即重合，連結￡)G,如圖2.

圖2證明：圖2中的A,C,G,。四點

◎分層提分

題組A基礎過關練

1、【多選】如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體ABCD-A/8/。。/,其中，以頂點A為端點的三條樓長均

為6,且它們彼此的夾角都是60。，下列說法中正確的是（）

/1B

A.ACi=6yf6

B.ACiLDB

C.向量5c與胸的夾角是60。

D.8D與AC所成角的余弦值為邁

3

2、在三棱錐A-3CD中，E是3c的中點，尸在AO上，且AF=2FD,BD=a>BC=b>麗=",

A

/X（1）試用九萬，6表示向量而；

C

（2）若底面88是等腰直角三角形，S.BD=BC=AB=3,N4BD=ABC=60°,求EF的長.

3、如圖所示，在平行四邊形ABC。中，AB=AC=\,ZACD=90沿它的對角線AC將“8折起，使A8

與C￡＞成60。角，求此時8,。兩點間的距離.

AD

\4、如圖，正方

CB’

體MCD-AB'C'D的棱長為1,E,F,G分別為CD,ATT,3力的中點.求證：EF//AC.

已知O,AB,CD,瓦F,G,H為空間的9個點,且朝“礪,

W=EH+mEF,%=0,機=0.

求證：⑴AC//EG;

b

B

(2)OG=kOC.

6、在所有棱長均為2的三棱柱ABC-A/B/。中，ZB/BC=60°,求證:

(1)AB/_L8C；

(2)A/C_L平面4B/G.

7、如圖，平行六面體A88-A4GR的底面ABCO是菱形，JiZC.CB=ZC,CD=ZBCD=60,CD=CC],

求證：。41，平面68。.

如圖，正四面體ABC。中，M,N分別為棱8C,AB的中點,

(1)用了,/；,3分別表示向量麗'，cN：

(2)求異面直線DM與CN所成角的余弦值.

9、如圖，在四棱錐。一回8中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ZBAL>=90°,24,底面ABC。，且

PA=AD=AB=2BC,M為PC的中點.

(1)求證：FBIDM;

(2)求AC與麗所成角的余弦值.

題組B能力提升練

1、如圖，在棱長為1的正四面體ABCC中，E是線段CZ)的中點，。在線段BE上，且的=2在，設通=￡,

AC=b，AD=c.以忖，反4為基底，用向量法解決下列問題.

A

(I)用基底表示向量而;

(3)求點A到平面BCZ)的距離.

2、二面角"-/-￡的棱上有兩個點A、B,線段5。與AC分別在這個二面角的兩個面內，并且垂直于棱/,

若4?=4,AC=6,30=8,CD=2歷，則平面a與平面廠的夾角為

3、如圖，平面A88,平面4BEF,四邊形"CO是正方形，四邊形A8EF是矩形，若G是EF的中點，AF=l,

ACBG=-2,則三棱錐C-ABG的外接球的表面積是()

6乃B.10%C.8乃D.12兀

4、如圖，在平行六面體ABC。-A4GA中，AB=AD=\,M=2.^AD==60°,ZDAB=90°,

M為AC與BQ的交點.右A8=a,AD=b>A4j=c.

0

G

(1)用￡，b,"表示的，并求8M的長;

(2)求異面直線BM與AC所成角的余弦值.

5、如圖,三棱錐0-A8C各棱的棱長都是1,點。是棱A8的中點，點E在棱0C上，且笳=%反，記刀=4,

⑴用向量己，b>1表示向量詼;

⑵求1。回的最小值.

題組C培優(yōu)拔尖練

1、在平行六面體ABCO-A8CQ中，AB=4,AD=2,M=3,ZBAD=ZBAA,=ZA,AD=,CM=2MQ,

求AM的長;

2、如圖，空間四邊形O48C的各邊及對角線長為2,E是A8的中點，F在0C上，且歷==2斤，設礪=￡，

o

(1)用a，b>c表不麗；

(2)求向量0底與向量爐所成角的余弦值.

3、如圖，平行六面體ABCD-A/CQ中，CBA.BD,ZC,CD=45,ZC,CB=60,CC、=CB=BD=

⑴求對角線CA的長度;

(2)求二面角C-BD一a的余弦值.

拓展二：空間向量基底法在立體幾何問題中的應用

三目標導航

空間向量在解決立體幾何有關位置關系及其延伸出來的相關問題中有著比較廣泛的應用.在解題過程中，學

生通常較偏愛于用坐標法來解決問題，實際上，利用向量基底法求解不僅過程簡潔，而且在許多問題中其

往往更具有優(yōu)越性.通過向量基底法在上述平行垂直證明、角度問題、距離問題和位置關系判斷等問題中的

應用，我們發(fā)現合適基底的選擇是十分重要的.在計算問題中，應該盡量選擇模己知的向量，且三個向量間

的夾角也易求，而在證明問題中，這些條件可以適當放寬.

縱觀近些年的高考試卷，立體幾何解答題往往會在已知中給出兩兩垂直且交于一點的三條線段，這種

方便建系的考查方式讓同學們習慣了空間直角坐標系下的機械運算，空間想象能力和邏輯推理能力大幅度

降低.不僅如此，有時考題甚至找不到這樣的三條線段，以致于許多同學因為無法合理建系導致解題失敗.

因此，也建議教師在教學中可以適當補充一些向量基底法的知識，以便讓同學們充分體會到基底法使用的

廣泛性和靈活性，領略到立體幾何學習的樂趣.

善高頻考點

/0_______________________

'工知識梳理

知識點1“三個”定理

共線向量定理共面向量定理空間向量基本定理

對于空間任意兩個向若兩個向量a,5不共線，則向量p與向如果三個向量a,b,c不共面,

量a,。(際0),a〃。的充要量a"共面的充要條件是存在唯一的有序實那么對任意一個空間向量P,存在唯一

條件是存在實數為使a=數對(x,y),使p=xa+y"的有序實數組(x,j,z),使得

功.p=xa+yV+zc.其中｛a,b,c｝叫做空間的

一個基底,a,b,c都叫做基向量.如

p=xa+yb+zc,貝?。莘Qxa+y5+zc為〃在

基底｛a,b,c｝下的分解式.

知識點2空間平行、垂直關系的向量表示

設III,U2分別是直線，2的方向向量，ni,112分別是平面a,夕的法向量.

(1)線線平行：/l〃，2dl〃U2UB2eR，使得U1=XU2.

(2)線面平行：1i〃QUuiJLniUUi?ni=0.

(3)面面平行：a///uni〃ii2W使得ni=2n2.

(4)線線垂直:/1±/2<=^U|-LU2<={UI,U2=O.

(5)線面垂直：JiJ_〃uui〃niuai￡R,使得ui=2ni.

(6)面面垂直:aJ_"un1_L112田IF2=0?

知識點3空間距離及向量求法

設已知平面a的法向量為n,AGa,Pga,向

設u為直線/的單位方向向量，Aei,p^l,AP=

文字量也是向量方在平面上的投影向量,

a,向量弁在直線/上的投影向量為恁，則

語言

PQ=yj\AP)12—|A0|2=-\la2—a-u_\AP-n\

一1?1

知識點4空間角及向量求法

角的分類向量求法范圍

設兩異面直線所成的角為仇兩直線的方向向量分別為U,V,則

異面直線(It

所成的角

cos6?-|cos<u,v)|—|H||v|

直線與平

設直線/與平面a所成的角為〃，/的方向向量為u,平面a的法向量為n,則

si.=|cos<u,n)I'M!

面所成的n

角

平面a與平面。相交，形成四個二面角，把不大于?的二面角稱為這兩個平面的夾角.設

兩平面的

［仇3

平面a與平面”的夾角為〃，兩平面a,/?的法向量分別為由，n2,則

夾角

coslcos(m,n2)1-^nJ

P考點精析

考點一平行垂直問題

解題方略:

對于平行垂直關系的證明，一般是結合相關空間定理和性質，借助直觀的空間觀察和想象.當直觀想象

難以為繼，卻又不想利用坐標化以致有殺雞用牛刀之嫌的情況下，采用向量基底法不失為一個好的選擇.

【例J1-1】如圖，AEJ-平面/WCD,CF//AE,AD//BC,ADA.AB,AB=AD=\,

AE=BC=2.

求證：3尸//平面AZ)E；

【解析】方法一：空間向量法

證明：以A為坐標原點，分別以通，AD,通所在直線為x,y,z軸建立空間

直角坐標系,可得A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).

設CF=/?(/i>0),則尸(1,2,h).

則福=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又礪=(0,2,田，可得8戶-A月=0.

又?.?直線8FC平面;.BF//平面

方法二：基底法

證明：如圖所示，因為CT〃AE,所以存'=%醺(/>0),又因為A￡)〃BC,BC=2AD=2,所以

BF=BC+CF=2AD+AAE,所以8AA方和4月共面，又Bb.平面ADE,所以8%平面ADE.

【例1-2】如圖，在直三棱柱43C-ABC中，D,E分別為BC,AC的中點，AB=BC.求證:

BE±C,E.

【解析】方法一：通過線面垂直證線線垂直

?.?在直三棱柱A8C-AMC中，￡是AC的中點，AB=BC.

:.BE±AC,

?.?直三棱柱ABC-AAG中，A4,_L平面ABC,龐:u平面ABC.

A4,,

乂AAp|AC=A，.^.BEJ_平面ACGA，

?.?GEu平面ACGA,，:.BELJE.

方法一：基底法

證明：如圖所示，在直三棱柱ABC—中，CGJ.BE,又因為AB=BC,￡為AC的中點，所以

ACA.BE,所以BE-qE=BE(C^C+^CA)=BEC^C+^BECA=O,所以BE±CtE.

考點二角度問題

解題方略：

通過建立直角坐標系，利用坐標化進行代數運算是解決立體幾何中角度問題的“慣例”，這也是對考生數

學運算和數據處理等核心素養(yǎng)的考驗.但往往建系不方便或者運算量偏大時，向量基底法的適時引入往往能

夠起到柳喑花明的效果.

【例2-1】在長方體-ABC"中，AB=BC=\,A4,=6，則異面直線AR與。耳所成角的余弦值

為()

A>/5R下,石門近

5652

【解析】方法一：空間向量法

建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設D4=I,

則有：0(0,0,0),A(l,0,0),￡>,(0,0,y/3),B,(l,1,73),

所以函=(1,I,百)，A￡>'=(-1,0,

設西，通■的夾角為。，則cos6=^^,竺L=?,

1。即.|四|5

即異面直線AR與DB,所成角的余弦值為亞，

方法二：基底法

如圖，|宿R蒞+麗|=2,|函蒞+通+麗|=行，

5?萬瓦=(而5+羽)(-而+詬+題)=2,記A。與。片所成角為8,則

c°se=慢時=3=見

故選A

IAD,||DBt|2V55

【例2-2］如圖，長方體ABC。—440〃的底面鉆8是正方形,

點E在棱A4,上，BElECt.若AE=AE,求二面角B-EC-0的正弦值.

以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

22

設AE=AE=1,貝lj,=BEJ,平面EBg,BE±EBt,；.BE+EB；=2BE=BB；=4,

：.BE?=2,

AE2+AB2=\+AB2=BE2=2,

則E(l,1,1),A(1,1,0),即0,1,2),C,(0,0,2),C(0,0,0),

BC_LEB、,EBt_L面EBC.

故取平面EBC的法向量為m=EB；=(-1,0,1),

設平面EC￡的法向量元=(x,y,z),

萬.再=。，得z-0

Hi-,取x=l,得”=(1,一1，0),

n-C￡=0x+y+z=0

一tn-n1

..COS<ITlyYl>=------=,

Imllnl2

???二面角8-EC-G的正弦值為y

方法二:基底法

如圖：記而、瓦和麗'分別為。、氏c,二面角6-EC-G的平面角為。，平面ECG的一個法向量

n=xa+yb+zc,由n-EC="?(a+b-gc)=0和n-CC(=〃?c=0得〃=a-。;在矩形中，因為

E為A4中點，顯然用E_LBE,乂因為BC_L平面ABB/,aEu平面A3與A，所以BC1.耳E,

BCC\BE=B,所以&E_L平面BCE,即瓦后=a+是平面BCE的一個法向量，從而

2

BE(a-b)(a+—c)2?J3

IcoseH1=1-------------Y—1=—J=L，所以二面角6-EC-￡的正弦值為—.

I〃H4E|\a-b\\a+^c\23222

考點三距離問題

解題方略：

距離問題常以給出角度求距離的方式變相考查角度問題，另外在角度問題中涉及到的向量求模問題也

是對距離問題的一種隱性考查.

【例3-1］如圖，4)//3。且4)=23。，AD1CD,EG//4)且￡G=4),CD"FG0CD=2FG,DGA.

平面A8C￡>,DA=DC=DG=2.若點尸在線段￡>G上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60。，求線段

DP的長.

【解析】方法一:空間向量法

證明：依題意，以。為坐標原點，分別以D4、DC,力G的方向為X軸，

y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.可得。(0,0,0),A(2,0,0),8(1,2,0),C(0,2,0),

3

E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M[0,-,1),N(1,0,2).

2

設線段上的長為〃，(〃e[0,2]),則點P的坐標為(0,0,h),

可得8戶=(-1,-2,〃)，而力C=(0,2,0)為平面4X7E的一個法向量,

故|cos〈即，反＞|=」B"C"L=-2由題意，可得2..=小60。=且,解得人;且引。，2].

|BP|-|￡＞C|"2+5J"+523

方法二：基底法

如圖，取平面ADGE的一個法向量詼，因為直線BP與平面ADGE所成的角為60°,DC=2,

所以所在麗的投影為|即|cos＜即，前＞=|而|cos30=|函|=2,所以|即|=述，又BC=1,

3

所以|麗|=君，所以麗2=(而+而)2=而2+而2=5+而2=3,解得|而|=必，從而線段

33

DP的長為芯

【例3-2］如圖，直四棱柱ABCO-ABCR的底面是菱形，M=4,AB=2,

ZS4￡>=60°,E是3c的中點.則點C到平面CQE的距離為

空間向量法

直四棱柱ABC。-48c。的底面是菱形，

AA=4,AB=21ZBAD=GO°,E是3c的中點.

則ZM,DE,兩兩垂直，以。為原點，建立空間直角坐標系,

C(-l,石，0),C,(-l,64),0(0,0,0),￡(0,60),

DE=(0,拒,0),DC\=(-\,⑺，4),DC=(-1,8，0),

設平面的法向量歷=(x,y,z),

則4_L，取x=4,得為=(4,0,1),

n-DE=y/3y=0

.?.點C到平面GOE的距離為：

,\DCri\44Vn

a=-----------=—f==--------.

|n|x/1717

故答案為：晅.

17

方法二：基底法

如圖，如圖：記礪、反和畫分別為。、。、c,平面。EG的一個法向量〃=m+?+zc，由

〃?詼=〃?(ga+b)=O和〃?礪=〃-S+c)=O得〃=8a+c;則點C到平面gOE的距離即為

在n方向的投影的絕對值KGTJc"(8a+c)|=_2=勺叵,所以點c到平面CQE的距離

\n\\n\471717

考點四位置關系問題

解題方略：

空間中點線面的位置關系的判斷或證明實際是許多同學比較畏懼的一個知識點，因為其往往是相對抽

象的空間公理的直接應用.對于多點共面、多線共面和線面關系等問題的解決，向量基底法往往顯得更為形

象和具體.

【例4-1】如圖，在四棱錐中，R4_L平面A8C￡>,AD±CD,AD//BC,PA=AD^CD=2,

PF1

BC=3.E為尸￡>的中點，點尸在PC上，且——=-.

PC3

(I)求證：四,平面次);

(II)求二面角尸-AE—P的余弦值；

(III)設點G在P3上，且生=2.判斷直線AG是否在平面A砂內，說明理由.

PB3

【解析】證明:(I).平面AfiCZ),:.PALCD,

：ADYCD,PA^\AD=A,

.?.8_L平面PAD.

解：(II)以A為原點，在平面MCE)內過4作8的平行線為x軸,

A￡＞為y軸，"為z軸，建立空間直角坐標系，

A(0,0,0),￡(0,1,1),尸(|,|,g),

-.__224

P(0,0,2),8(2,-1,0),A￡=(0,I,1),"

333

平面AEP的法向量元=(1,0,0),

設平面AEF的法向量而=(x,y,z),

in-AE=y+z=0

則一.224，取x=1，得應=(11,-1),

m-AF=—x+—y+—z=0

333

設二面角尸一AE-P的平面角為。,

\m\\ri\￡3

.??二面角尸一AE-P的余弦值為走.

3

(III)方法一：空間向量法

直線AG在平面AEF內，理由如下:

???點G在必上，且生=M.-.G(-,二，2),

PB3333

__422

.IAG=(§,--,y),

???平面AEF的法向量比=(1,1,-1),

—?422

m-AG=-------=0,

333

故直線AG在平面AEF內.

X方法二：基底法

直線AG在平面AEF內，說明如下：如圖，記加、加和入戶分別為a、b、c,平面AE尸的一個法向量

—11—112

〃=M+M+ZC,由n-AE=??(—tz+—c)=0和n-AF=n-(—a+—b+—c)=O得n=a—g乂

—.1?1—?121a2c2—

AG=——a+-b+-c,所以AG-〃=(a—c>(——a+-b+-c)=——+—=0,所以AGJ_〃，所以

33333333

AG在平面AEF內.

【例4-2】圖1是由矩形ADEB、RtAABC和菱形3FGC組成的一個平面圖形，其中

4?=1,BE=BF=2,ZFBC=f^)°.將其沿AB,8c折起使得況與5尸重合，連結。G,如圖2.

圖1圖2證明：圖2中的A,C,G,。四點

共面

【解析】方法一：基本事實

證明：由已知得4￡>//3E,CG//BE,:.AD//CG,

.\AD,CG確定一個平面，

;.A,C,G,。四點共面，

方法二：基底法

證明：在圖1中，因為四邊形ADEB和BFGC分別為矩形和平行四邊形，所以通=布，函=而，又因為

在圖2中，而=詼，所以函=屁，從而A方=BG,;.A,C,G,力四點共面，

分層提分

題組A基礎過關練

1、【多選】如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體ABCC-A/B/C/S,其中，以頂點A為端點的三條棱長均

為6,且它們彼此的夾角都是60。，下列說法中正確的是（）//二//

AB

A.AC尸6加）

B.ACiLDB

C.向量就與油的夾角是60。

D.與AC所成角的余弦值為逅

3

【解析】因為以頂點A為端點的三條棱長均為6,且它們彼此的夾角都是60。，

所以?麗二A4,AD=ADAB=6x6xcav60°=18,

（羽+A月+而）J福2+通2+而*+2隨瓦+2通通+2福而

=36+36+364-3x2x18=216,

UUU_________________

貝！J|1=1A4,+通+標1=6#，所以A正確；

UUU______

AC,■DB^AA.+AB+ADHAB-AD）

=AB-AA^AD+AB2-AB-AD+ADAB-AD=0，所以B正確；

顯然△AA/D為等邊三角形，則NA4O=60。.

因為麻=麗，且向量麗與麗■的夾角是120。，所以麻與麗的夾角是120。，所以C不正確;

\S^]BD；=AD+AA^-AB,AC=AB+AD

所以IBD；1=J(而+福-A分尸=60,\AC\=yl(AB+A5f=6+,

BD；?祝=（而+隨-而）?（而+而）=36,

所以0.，<麗次>=需送=6/6斯器，所以C不正確.

故選:AB.2、在三棱錐A—BCD中，E是BC的中點，尸在AO上，且A尸=2田，BD=a>BC=b>BA=c>

(2)若底面BCD是等腰直角三角形，S.BD=BC=Afi=3,ZABD=ABC=(^°,求EF的長.

【解析】(1)依題意，因E是8C的中點，/在A￡)上，旦AF=2/D,

則喬=麗+麗+江=胡+通一爐=麗+—而——BC=BA+-(BD-BA)——BC

3232

2——1―.1—.2-1.1-

=-BD——BC+-BA=-a——/?+-(7,

323323

―,2-1-1-

所以EF=-a——b+-c；

323

(2)因BD=3C=AB=3,NCBD=90>,ZABD=ABC=60°,

____-9—9

即|〃|=|b|=|c|=3,則a.B=O，a,c=萬,bc=—,

由(1)知：|喬卜后一1+￥)2=即+.+/_|￡/一].1+,￡=與,

所以￡F的長是息.

2

3、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=\,ZAC。=90,沿它的對角線AC將△ACO折起，使A8

與C。成60角，求此時反。兩點間的距離.

邊形A8CZ）為平行四邊形，「.AB//。，又乙48=90,/.ZC4fi=90,

:.ACCD=0>ACfiA=0.

?在空間四邊形ABCD中，4B與CD成60角，，＜麗，而＞=60或120。，

又而=麗+/+而，：.\BD^=\BA!\+\AC^+\CD^+2BA-AC+2BA-CD+2AC-CD

=3+2xlxlxcos＜l?X,C￡）＞,

當〈麗，前＞=60「時，|南（=4,，B4=2,即此時B,。兩點間的距離為2；

當〈麗，麗＞=1201時，回『=2,:.\BD\=42,即此時B,O兩點間的距離為拉：

綜上所述：8，。兩點間的距離為2或④.

4、如圖，正方體ABCO-A'B'C'D的棱長為1,E,F,G分別為C'￡）’,AD,DO的中點.求證：EF//AC.

則｛7，LD構成空間的一個單位正交基底.

所以而=西_麻=3：_3]=3（；-力，CA=DA-DC=l-j.

所以前=4直.

2

所以即〃4c.

5、如圖，已知aA.BCZXEEG,”為空間的9個點，且在=%樂，爐=%而，麗=%而，衣=而+〃?而,

EG=EH+mEF,

求證：（1）AC//EG;

(2)旃=左詼.【解析】證明：(1)EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)

=k(OD-OA)+km(OB-OA)=kAD+kmAB=k(AD+mAB^=kAC：.AC//EG.

(2)OG=OE+W=kOA+kAC=k{OA+AC}=kOC.

6、在所有棱長均為2的三棱柱ABC-4/B/C/中，ZB/BC=60°,求證：

(1)AB/1BC；

（2）4CJ■平面AB/G.

【解析】證明：（1）易知〈而，比＞=120°,鬲=福+函，

則通!'反=（而+甌）BC=ABBC+BI^JC=2X2XJ+2x2xy=0.

所以AB」8c.

（2）易知四邊形AA/C/C為菱形，所以A/CLA。.

因為鬲?卡=（西-麗）?（前-麗）

=（函-麗）（及-麗-麗）

AA.-BABC+BABA+BAAA^

BC-BB^AA^-BA-BC+BA-BA

=2x2x442x2x1+4=0,

22

所以AB/L4/C又AC/OAB/=A,所以A/CL平面ABC/.

7、如圖，平行六面體4BCD-ABCR的底面ABC￡>是菱形，且NGCB=NCC。=NBCO=60,CD=CC1,

求證：。,_1平面（7田。.

由于四邊形ABCD為菱形，則CB=CO=CG，即同=欠=/，

所以，C“=HJNCOS60=；卜］，同理可得==,

由題意可得以=￡+后+",BD=b-a,

所以，C4,?BD=（a+b+c^-（b-a^=b-a+c-b-c-a=Q,所以，CA}±BD,

同理可證。?，BG，

因為B￡）n8￡=B,因此，。4，平面￡8。.

8、如圖，正四面體ABCZ）中，M,N分別為棱BC,A3的中點，設通=a,AC=b<AD=c-

c分別表示向量DM,CN;

（2）求異面直線DM與CN所成角的余弦值.

A

【解析】（1）如圖，設正四面體棱長為1,

則麗=次+麗7=-"+'(￡+5)」(￡+5-2工)，